新高考高中数学核心知识点全透视专题4.6函数的应用(二)(专题训练卷)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题4.6函数的应用(二)(专题训练卷)(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了6 函数的应用，2倍为偏胖，低于0，90，99，02，85等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023·四川省高一期末）下列函数中有2个零点的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·宜宾市叙州区第一中学校高二月考（文））方程的实根所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广西七星·桂林十八中高二开学考试（文））函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国高一课时练习）关于用二分法求函数零点的近似值，下列说法中正确的是（ ）
A．函数只要有零点，就能用二分法求出其近似值
B．零点是整数的函数不能用二分法求出其近似值
C．多个零点的函数，不能用二分法求零点的近似解
D．一个单调函数如果有零点，就能用二分法求出其近似值
5．（2023·上海奉贤区致远高级中学高三月考）函数的零点的个数（ ）
A．1B．2C．3D．
6．（2023·四川省乐山第一中学校高三月考（理））已知是函数的零点，则的值为（ ）
A．正数B．0C．负数D．无法判断
7．（2023·北京市第五十七中学高二月考）已知函数，.若存在2个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·皇姑·辽宁实验中学高三月考）已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则在区上所有零点之和为（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、多选题
9．（2023·抚顺市第六中学高一期末）设，则下列区间中不存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
10.（2023·海南昌茂花园学校）已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中不正确的是（ ）
A．当时，有3个零点B．当时，有2个零点
C．当时，有4个零点D．当时，有1个零点
11．（2023·巴南·重庆市实验中学高三开学考试）已知函数对任意都有，若的图象关于点（1，0）对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）．
A．是偶函数B．的周期T=2
C． 在上有7个零点D．在单调递增
12.（2023·江苏省前黄高级中学高三开学考试）已知函数，若函数有个零点，则实数的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．（2023·全国高一课时练习）关于x方程在内恰有一解，则a的取值范围_______
14．（2023·全国高一课时练习）已知函数的零点为，且，那么的取值范围是______．
15．（2023·广东荔湾·高三月考）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，则后物体的温度（单位：°C）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有52°C的物体，放在12°C的空气中冷却，2min以后物体的温度是32°C，则再经过6min该物体的温度可冷却到___________.
16.（2023·上海普陀·曹杨二中高三月考）设，函数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是___________.
四、解答题
17．（2023·江苏秦淮·南京一中高一月考）已知二次函数.
（1）若二次函数有零点，求实数的取值范围；
（2）如果是满足（1）的最大整数，且二次函数的零点是二次函数的一个零点，求的值及二次函数的另一个零点.
18．（2023·全国）已知函数．
（1）若对任意的x∈R＋，不等式f(x)>0恒成立，求m的取值范围；
（2）试讨论函数f(x)零点的个数．
19．（2023·福建厦门外国语学校高一月考）已知函数.
（1）在给定直角坐标系内直接画出f(x)的草图(不用列表描点)，并由图象写出函数f(x)的单调减区间；
（2）当m为何值时f(x)-m=0有两个不同的零点.
20.（2023·昭通市昭阳区第二中学高一期末）黑颈鹤是国家一级保护动物，主要在青藏高原繁殖，云贵高原过冬，是世界上15种鹤类中唯一在高原上繁殖和越冬的鹤类，数量十分稀少．截止2020年11月30日，大山包保护区黑颈鹤迁徙数据再破纪录，达1938只，是至今为止历年来大山包监测到黑颈鹤数量的最高纪录．研究鸟类的专家发现，黑颈鹤的飞行速度(单位：)与其耗氧量之间的关系为 (其中，是实数).据统计，黑颈鹤在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1．
（1）求出，的值；
（2）若黑颈鹤为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
21．（2023·全国（文））节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.
（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；
（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据：取）
22．（2023·全国高一课时练习）以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表.
（1）根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数，，中找到一种函数，使它比较近似地反映该地未成年男性体重y关于身高x的函数关系，试写出这个函数的解析式，并求出a，b的值.
（2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高175体重78，他的体重是否正常？
身高/
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
58.05
专题4.6 函数的应用（二）（专题训练卷）
一、单选题
1．（2023·四川省高一期末）下列函数中有2个零点的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
对,令，只有一个零点，所以该选项不符合题意；
对，令，只有一个零点，所以该选项不符合题意；
对，令，只有一个零点，所以该选项不符合题意；
对，令，有两个零点，与已知相符.
故选：D.
2．（2023·宜宾市叙州区第一中学校高二月考（文））方程的实根所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
构造函数，则该函数在上单调递增，
，，，
由零点存在定理可知，方程的实根所在区间为，故选B.
3．（2023·广西七星·桂林十八中高二开学考试（文））函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：
由函数的解析式可得，再利用函数的零点的存在性定理可得函数的零点所在的大致区间．
【详解】
因为，
所以（2），（3）,
所以,
根据函数的零点的存在性定理可得函数的零点所在的大致区间是，
故选：B
4．（2023·全国高一课时练习）关于用二分法求函数零点的近似值，下列说法中正确的是（ ）
A．函数只要有零点，就能用二分法求出其近似值
B．零点是整数的函数不能用二分法求出其近似值
C．多个零点的函数，不能用二分法求零点的近似解
D．一个单调函数如果有零点，就能用二分法求出其近似值
答案：D
分析：
根据二分法求函数零点的原理依次判断即可得答案.
【详解】
解：根据二分法求函数零点的原理，当零点左右两侧的函数值必须异号才可以求解，故A选项错误；
对于B选项，二分法求函数零点与函数零点的特征没有关系，故B选项错误；
对于C选项，二分法求函数零点与函数零点个数没有关系，故C选项错误；
对于D选项，一个单调函数如果有零点，则满足零点的存在性定理，可以用二分法求解，故D选项正确.
故选：D
5．（2023·上海奉贤区致远高级中学高三月考）函数的零点的个数（ ）
A．1B．2C．3D．
答案：C
分析：
函数的零点的个数即为的交点的个数，在同一直角坐标系中画出两个函数图像，数形结合即得解.
【详解】
由题意，
即函数的零点的个数即为的交点的个数，在同一直角坐标系中画出两个函数图像
数形结合可知，两个函数有3个交点
故函数的零点的个数是3
故选：C
6．（2023·四川省乐山第一中学校高三月考（理））已知是函数的零点，则的值为（ ）
A．正数B．0C．负数D．无法判断
答案：C
分析：
先利用零点存在定理，确定a的范围，再根据的单调性求解.
【详解】
因为在上单调递增，且，，
所以．
又因为在上单调递增，且，
故．
故选：C
7．（2023·北京市第五十七中学高二月考）已知函数，.若存在2个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：
根据题意，将问题转化为函数与函数有两个交点问题，进而作出函数图像，数形结合求解即可.
【详解】
解：因为存在2个零点，
所以函数与函数有两个交点，
作出函数的图像，如图，
所以函数与函数有两个交点时，，解得
所以的取值范围是
故选：D
8．（2023·皇姑·辽宁实验中学高三月考）已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则在区上所有零点之和为（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案：A
分析：
根据函数的性质可求出周期及对称轴，再由时函数的解析式可作出函数的图象，原问题可转化为图象与图象交点横坐标问题，由对称性求和即可.
【详解】
由已知是定义在R上的奇函数，所以，又，所以的周期是2，且得是其中一条对称轴，又当时，，，于是图象如图所示，
又函数零点即为图象与的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于对称，从左至右，交点的横坐标分别为所以，所以零点之和为.
故选：A
二、多选题
9．（2023·抚顺市第六中学高一期末）设，则下列区间中不存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
答案：ACD
分析：
判断、的符号，根据零点存在定理即可判断函数零点所在区间.
【详解】
，，
，函数的零点位于.
故选：ACD
10.（2023·海南昌茂花园学校）已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中不正确的是（ ）
A．当时，有3个零点B．当时，有2个零点
C．当时，有4个零点D．当时，有1个零点
答案：AB
分析：
先解方程，需要按的正负分类讨论，然后解方程可得．
【详解】
函数的零点个数，即方程的解的个数，
由得，若，则是的一个解，时，不是的解，
时，由，得是的一个解．
所以若，则由得得，，D正确；
若，则由得，或，
即或，
即，，有一解，
，是一解，
综上方程共4个解．C正确．
故选：AB
11．（2023·巴南·重庆市实验中学高三开学考试）已知函数对任意都有，若的图象关于点（1，0）对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）．
A．是偶函数B．的周期T=2
C． 在上有7个零点D．在单调递增
答案：BC
分析：
由的图象关于关于点（1，0）对称，可得，可判断A；
由，令可得，可判断B；
由，，可判断D；
结合函数单调性，奇偶性可得，有且只有两个零点，分析即可判断C
【详解】
由的图象关于关于点（1，0）对称，则，
即，故是奇函数，A错误；
由，令，可得，则，则的周期，B正确；
由于的周期，故，在不单调，D错误；
对任意的，，且，都有，即函数在单调递增，由于是奇函数且，故在单调递增
在中，令可得
故有且只有两个零点
由于的周期，在上有共7个零点，C正确
故选：BC
12.（2023·江苏省前黄高级中学高三开学考试）已知函数，若函数有个零点，则实数的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
分析：
由分段函数解析式判断函数性质并画出函数图象，讨论参数判断不同a对应值域的的范围，结合函数图象判断解的情况，即可确定有个零点时的范围.
【详解】
在上单调递增且值域为；
在上单调递减且值域为；
在上单调递增且值域为；
故的图象如下：
由题设，有个零点，即有7个不同解，
当时有，即，此时有1个零点；
当时有，即，
∴有1个零点，有3个零点，此时共有4个零点；
当时有或或，
∴有1个零点，有3个零点，有3个零点，此时共有7个零点；
当时有或或，
∴有1个零点，有3个零点，有2个零点，此时共有6个零点；
当时有或，
∴有3个零点，有2个零点，此时共有5个零点；
综上，要使有7个零点时，则，()
故选：BD
三、填空题
13．（2023·全国高一课时练习）关于x方程在内恰有一解，则a的取值范围_______
答案：
分析：
当时，验证不合题意，得，令，由，，建立不等式，解之可得答案.
【详解】
解：当时，，不合题意，∴，
令，有，，要使在内恰有一个零点，
∴即可，则，
故答案为：.
14．（2023·全国高一课时练习）已知函数的零点为，且，那么的取值范围是______．
答案：b<2
分析：
根据零点存在定理得，解之可求得答案.
【详解】
解：因为函数的零点为，且，所以，即，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
15．（2023·广东荔湾·高三月考）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，则后物体的温度（单位：°C）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有52°C的物体，放在12°C的空气中冷却，2min以后物体的温度是32°C，则再经过6min该物体的温度可冷却到___________.
答案：14.5℃
分析：
先根据题目中的数据，算出，再求6min后的物体温度.
【详解】
依题意得，带入数据到，得到，整理得到，解得；那么6min后，即时，
.
故答案为：14.5℃
16.（2023·上海普陀·曹杨二中高三月考）设，函数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是___________.
答案：##
分析：
问题转化为函数与直线有三个不同交点，分作出函数图象，数形结合即可求解.
【详解】
,
若函数有且仅有3个零点,则函数的图象与直线有三个不同的交点，
，当且仅当时等号成立，
当时，如图：
即可，
解得，
当时, 如图：
即可，
解得，
综上，
故答案为：
四、解答题
17．（2023·江苏秦淮·南京一中高一月考）已知二次函数.
（1）若二次函数有零点，求实数的取值范围；
（2）如果是满足（1）的最大整数，且二次函数的零点是二次函数的一个零点，求的值及二次函数的另一个零点.
答案：（1）；（2），另一零点为4.
分析：
（1）根据题意可得，即可得出答案；
（2）由（1）可得，即可求得函数的零点，从而可求的的值，从而可得答案.
【详解】
解：（1）因为二次函数有零点，即方程有解，
所以，解得；
（2）由（1）可得，所以函数的零点为2，
所以，解得，
所以二次函数为，
令，解得或4，
所以另一零点为4.
18．（2023·全国）已知函数．
（1）若对任意的x∈R＋，不等式f(x)>0恒成立，求m的取值范围；
（2）试讨论函数f(x)零点的个数．
答案：（1）；（2）答案见解析.
分析：
（1）分离参数，将问题转化为求函数最值问题，进而得到答案；
（2）分离参数，作出函数的图象，通过数形结合求得答案.
【详解】
（1）当x>0时，，不等式f(x)>0恒成立等价于恒成立，
则恒成立，而，当时，有最大值，所以.
（2）令，得，
在同一坐标系中作出函数与函数的图象(如图，仅作出时的情况)．
结合图象可知，
①或，有一个零点；
②或m＝0时，有两个零点；
③且m≠0时，有三个零点．
19．（2023·福建厦门外国语学校高一月考）已知函数.
（1）在给定直角坐标系内直接画出f(x)的草图(不用列表描点)，并由图象写出函数f(x)的单调减区间；
（2）当m为何值时f(x)-m=0有两个不同的零点.
答案：(1)图象答案见解析，单调减区间是；(2).
分析：
(1)根据给定分段函数，分段画出函数的图象，写出单调区间即可；
(2)结合函数的图象，判断函数的最值，然后求解m的范围即可.
【详解】
(1)函数的图象如图：
函数f(x)在上是减函数，在是增函数，
所以函数f(x)的单调减区间是；
(2)由(1)知，在的值域是，在的值域是，
x=3时，函数取得最小值-2，由函数f(x)的图象可得：f(x)-m=0有两个不同的零点时，m>-2，
所以当m∈时，f(x)-m=0有两个不同的零点.
20.（2023·昭通市昭阳区第二中学高一期末）黑颈鹤是国家一级保护动物，主要在青藏高原繁殖，云贵高原过冬，是世界上15种鹤类中唯一在高原上繁殖和越冬的鹤类，数量十分稀少．截止2020年11月30日，大山包保护区黑颈鹤迁徙数据再破纪录，达1938只，是至今为止历年来大山包监测到黑颈鹤数量的最高纪录．研究鸟类的专家发现，黑颈鹤的飞行速度(单位：)与其耗氧量之间的关系为 (其中，是实数).据统计，黑颈鹤在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1．
（1）求出，的值；
（2）若黑颈鹤为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
答案：（1），；（2）270.
分析：
（1）由题意可得，解方程组即可求出结果；
（2）依题意得－1＋lg3≥2，解不等式即可求出结果.
【详解】
解：（1）由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blg3＝0，
即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故有a＋blg3＝1，
整理得a＋2b＝1.
解方程组得,
(2)由(1)知，v＝－1＋lg3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，
则有v≥2，即－1＋lg3≥2，即lg3≥3，解得Q≥270,
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.
21．（2023·全国（文））节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.
（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；
（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据：取）
答案：（1）；（2）至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
分析：
（1）由题设可得方程，求出，进而写出函数模型；
（2）由（1）所得模型，结合题设，并应用对数的运算性质求解不等式，即可知要使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标至少要改良的次数.
【详解】
（1）由题意得：，，
∴当时，，即，解得，
∴，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.
（2）由题意得，，整理得：，即，
两边同时取常用对数，得：，整理得：，
将代入，得，又，
∴，
综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
22．（2023·全国高一课时练习）以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表.
（1）根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数，，中找到一种函数，使它比较近似地反映该地未成年男性体重y关于身高x的函数关系，试写出这个函数的解析式，并求出a，b的值.
（2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高175体重78，他的体重是否正常？
答案：（1），，；（2）这个男生体重偏胖.
分析：
（1）根据表中的数据描点画出图像，观察这个图像，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，因此，我们可以考虑用函数来近似拟合，选择表中两点如点，的坐标代入，即可得出答案；
（2）将代入，从而可得出结论.
【详解】
解：（1）根据表中的数据描点画出图像，观察这个图像，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，因此，可以判断它不能用函数来近似反映.根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数来近似拟合.
选择表中两点如点，的坐标代入，可得，.
所以该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为；
（2）将代入，得，
计算得，由于，
所以，这个男生体重偏胖.
身高/
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
58.05