新高考高中数学核心知识点全透视专题8.3平面向量的数量积(精讲精析篇)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题8.3平面向量的数量积(精讲精析篇)(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了3 平面向量的数量积，向量的应用，平面向量在物理中的应用等内容，欢迎下载使用。

一、核心素养
1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养．
6．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．
二、考试要求
1.平面向量的数量积
(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
2.向量的应用
(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
三、主干知识梳理
（一）两个向量的夹角
1．定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
2．范围
向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.
3．向量垂直
如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.
（二）平面向量的数量积
1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cs θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ，其中θ是a与b的夹角．
规定0·a＝0.
当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.
2．a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积．
（三）数量积的运算律
1．交换律：a·b＝b·a.
2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
（四）平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
（五）平面向量的模与夹角的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表：
（六）向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.
2．a⊥ba·b＝0.
3．a·a＝|a|2，.
4．cs θ＝.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b|≤|a||b|.
（七）数量积的坐标运算
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：
1．a·b＝a1b1＋a2b2.
2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0.
3．|a|＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)).
4．csθ＝＝.(θ为a与b的夹角)
（八）平面向量的应用
1.向量与平面几何综合问题的解法
(1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．
2．向量在解析几何中的作用（解析几何专题中详讲）
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．
(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．
3．向量与三角的综合应用
解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解．
4.平面向量在物理中的应用
一、命题规律
（1）数量积、夹角及模的计算问题；
（2）以平面图形为载体，借助于平面向量研究平面几何平行、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．
二、真题展示
1．（2023·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
考点01 平面向量数量积的运算
【典例1】（2023·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【典例2】（2023·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（ ）
A．-3B．-2
C．2D．3
【典例3】（2023·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
________；________.
【典例4】（2023·全国高考真题（文））设向量，若，则______________.
【典例5】（2023·天津高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
【总结提升】
1.计算向量数量积的三种常用方法
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|csθ(θ是a与b的夹角)．
(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．
2.总结提升：
（1）.公式a·b＝|a||b|cs与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cs求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．
（2）已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：
a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．
两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．
考点02 平面向量的模、夹角
【典例6】（2023·天津·南开大学附属中学高三月考）已知平面向量，，满足，，，则，的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【典例7】（2023·全国高考真题（理））已知向量 ，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例8】（2023·全国高考真题（理））已知为单位向量，且=0，若 ，则___________.
【典例9】（2023·全国高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.
【总结提升】
1.求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；
(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
提醒：〈a，b〉∈[0，π]．
2．平面向量模问题的类型及求解方法
(1)求向量模的常用方法
①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝eq \r(x2＋y2).
②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
(2)求向量模的最值(范围)的方法
①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
3．平面向量垂直问题的类型及求解方法
(1)判断两向量垂直
第一，计算出这两个向量的坐标；
第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
(2)已知两向量垂直求参数
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
考点03 平面向量的综合应用
【典例10】（2023·山东海南省高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ）
A．B．
C．D．
【典例11】(2023·浙江高考真题）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【典例12】（2023·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.
【典例13】（2023·重庆高一期末）如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，．若有，则在正方形的四条边上，使得成立的点有（ ）个．
A．2B．4C．6D．0
【典例14】（2023·吉林长春·一模（理））长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则等于（ ）
A．B．C．D．
【典例15】（2023·上海高三专题练习）用向量的方法证明：三角形ABC中
（1）正弦定理：；
（2）余弦定理：．
巩固提升
1．（2023·全国高考真题（文））已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
2．（2023·福建省福州格致中学期末）已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为45°，则的取值范围是（ ）
A．B．C．（0，2]D．
3．（2023·全国高考真题（文））已知非零向量a，b满足=2，且（a–b）b，则a与b的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4.（2023·全国·高考真题（文））若向量满足，则_________.
5．（2023·全国高考真题（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
6．（2023·浙江省高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
7.（2023·江苏高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
8．（2023·全国高考真题（理））已知为单位向量，且=0，若 ，则___________.
9. (2023·上海高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为____．
10.（2023·天津高考真题（理）） 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.
数量积
两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b＝__x1x2＋y1y2__
两个向量垂直
a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__
坐标表示
模
|a|2＝__xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)__或|a|＝ eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝ eq \r(x2－x12＋y2－y12)
夹角
csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))) (a，b为非零向量)
专题8.3 平面向量的数量积（精讲精析篇）
一、核心素养
1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养．
6．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．
二、考试要求
1.平面向量的数量积
(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
2.向量的应用
(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
三、主干知识梳理
（一）两个向量的夹角
1．定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
2．范围
向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.
3．向量垂直
如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.
（二）平面向量的数量积
1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cs θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ，其中θ是a与b的夹角．
规定0·a＝0.
当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.
2．a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积．
（三）数量积的运算律
1．交换律：a·b＝b·a.
2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
（四）平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
（五）平面向量的模与夹角的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表：
（六）向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.
2．a⊥ba·b＝0.
3．a·a＝|a|2，.
4．cs θ＝.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b|≤|a||b|.
（七）数量积的坐标运算
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：
1．a·b＝a1b1＋a2b2.
2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0.
3．|a|＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)).
4．csθ＝＝.(θ为a与b的夹角)
（八）平面向量的应用
1.向量与平面几何综合问题的解法
(1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．
2．向量在解析几何中的作用（解析几何专题中详讲）
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．
(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．
3．向量与三角的综合应用
解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解．
4.平面向量在物理中的应用
一、命题规律
（1）数量积、夹角及模的计算问题；
（2）以平面图形为载体，借助于平面向量研究平面几何平行、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．
二、真题展示
1．（2023·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
分析：
A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】
A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
2．（2023·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
答案：1
分析：
设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.
【详解】
设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.
考点01 平面向量数量积的运算
【典例1】（2023·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
答案：B
分析：
考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件
故选：B.
【典例2】（2023·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（ ）
A．-3B．-2
C．2D．3
答案：C
【解析】
由，，得，则，．故选C．
【典例3】（2023·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
________；________.
答案：0 3
分析：
根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】
以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则，
，，
.
故答案为：0；3.
【典例4】（2023·全国高考真题（文））设向量，若，则______________.
答案：5
【解析】
由可得，
又因为，
所以，
即，
故答案为：5.
【典例5】（2023·天津高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
答案：
【解析】
，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
【总结提升】
1.计算向量数量积的三种常用方法
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|csθ(θ是a与b的夹角)．
(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．
2.总结提升：
（1）.公式a·b＝|a||b|cs与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cs求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．
（2）已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：
a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．
两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．
考点02 平面向量的模、夹角
【典例6】（2023·天津·南开大学附属中学高三月考）已知平面向量，，满足，，，则，的夹角是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可．
【详解】
解：平面向量，，满足，，，设，的夹角是，
可得，因为，所以，的夹角是：．
故选：A．
【典例7】（2023·全国高考真题（理））已知向量 ，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
，，，.
，
因此，.
故选：D.
【典例8】（2023·全国高考真题（理））已知为单位向量，且=0，若 ，则___________.
答案：.
【解析】
因为，，
所以，
，所以，
所以 ．
【典例9】（2023·全国高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.
答案：
【解析】
因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
【总结提升】
1.求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；
(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
提醒：〈a，b〉∈[0，π]．
2．平面向量模问题的类型及求解方法
(1)求向量模的常用方法
①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝eq \r(x2＋y2).
②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
(2)求向量模的最值(范围)的方法
①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
3．平面向量垂直问题的类型及求解方法
(1)判断两向量垂直
第一，计算出这两个向量的坐标；
第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
(2)已知两向量垂直求参数
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
考点03 平面向量的综合应用
【典例10】（2023·山东海南省高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
【典例11】(2023·浙江高考真题）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
答案：A
【解析】
设，
则由得，
由得
因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
【思路点拨】
先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
【典例12】（2023·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.
答案：
分析：
设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.
【详解】
由题意，设，
则，即，
又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【典例13】（2023·重庆高一期末）如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，．若有，则在正方形的四条边上，使得成立的点有（ ）个．
A．2B．4C．6D．0
答案：B
【解析】
以DC为x轴，以DA为y轴建立平面直角坐标系，如图，则，
（1）若P在CD上，设，
，
，
，
当时有一解，当时有两解；
（2）若P在AD上，设，
，
，
，
当或时有一解，当时有两解；
（3）若在上，设，
，
，
，
当或时有一解，当时有两解；
（4）若在上，设，
，
，
，，
当或时有一解，当时有两解，
综上可知当时，有且只有4个不同的点使得成立.
故选：B.
【典例14】（2023·吉林长春·一模（理））长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
由题意知有即所以，
故选：B．
【典例15】（2023·上海高三专题练习）用向量的方法证明：三角形ABC中
（1）正弦定理：；
（2）余弦定理：．
答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
（1）如图（）所示，过顶点作对边的高，
则，即．
∴．
如图（）所示，如果为钝角，
有
∴．
上述关系对直角三角形显然成立[图（）]
∴．
（2）在中，．
∴．
即．
巩固提升
1．（2023·全国高考真题（文））已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
答案：D
【解析】
由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
2．（2023·福建省福州格致中学期末）已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为45°，则的取值范围是（ ）
A．B．C．（0，2]D．
答案：D
【解析】
如图所示，设，，∠CAB＝45°，
由图可知，当BC⊥AC时，的取值最小，此时，则，
而没有最大值，
故的取值范围为.
故选：D.
3．（2023·全国高考真题（文））已知非零向量a，b满足=2，且（a–b）b，则a与b的夹角为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．
4.（2023·全国·高考真题（文））若向量满足，则_________.
答案：
分析：
根据题目条件，利用模的平方可以得出答案
【详解】
∵
∴
∴.
故答案为：.
5．（2023·全国高考真题（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
答案：
【解析】
由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
6．（2023·浙江省高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
答案：
【解析】
，
，
，
.
故答案为：.
7.（2023·江苏高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
答案：.
【解析】
如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
8．（2023·全国高考真题（理））已知为单位向量，且=0，若 ，则___________.
答案：.
【解析】
因为，，
所以，
，所以，
所以 ．
9. (2023·上海高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为____．
答案：-3
【解析】
根据题意，设E（0，a），F（0，b）；
∴；
∴a=b+2，或b=a+2；
且；
∴；
当a=b+2时，；
∵b2+2b﹣2的最小值为；
∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
10.（2023·天津高考真题（理）） 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.
答案：.
【解析】
建立如图所示的直角坐标系，则，.
因为∥，，所以，
因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为.
由得，，
所以.
所以.
数量积
两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b＝__x1x2＋y1y2__
两个向量垂直
a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__
坐标表示
模
|a|2＝__xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)__或|a|＝ eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝ eq \r(x2－x12＋y2－y12)
夹角
csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))) (a，b为非零向量)