新高考高中数学核心知识点全透视专题9.1复数(精讲精析篇)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题9.1复数(精讲精析篇)(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了1 复数，共轭复数， 复数的模等内容，欢迎下载使用。

一、核心素养
1.通过方程的解，认识复数，凸显数学抽象的核心素养．
2.结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共轭复数，复数的模等概念的认识，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
3.结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算，凸显数学运算的核心素养．
二、考试要求
1.复数的概念
(1)理解复数的基本概念.
(2)理解复数相等的充要条件.
(3)了解复数的代数表示法及其几何意义.
2.复数的四则运算
(1)会进行复数代数形式的四则运算.
(2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
3.复数的三角形式
三、主干知识梳理
（一）复数的概念
1．虚数单位为i，规定：i2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立．
2．复数的概念
形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
①当b＝0时，复数a＋bi为实数；
②当b≠0时，复数a＋bi为虚数；
③当a＝0且b≠0时，复数a＋bi为纯虚数．
3.复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔ a＝c且b＝d，特别地，a＋bi＝0⇔ a＝b＝0.
4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．
5. 复数的模
向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋bi)).即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋bi))＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．
6.共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)；(6).
（二）复数的几何意义
1.z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)．
2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．
（三）复数的四则运算
1.复数的加、减、乘、除的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；
(2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(3)eq \f(z1,z2)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i (z2≠0)．
2. .
（四）复数的三角形式及其运算
1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cs θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq \(OZ,\s\up14(→))所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．r(cs θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
2．复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cs θ1＋isin θ1)·r2(cs θ2＋isin θ2)=
r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
(2)eq \f(z1,z2)＝eq \f(r1cs θ1＋isin θ1,r2cs θ2＋isin θ2)
＝eq \f(r1,r2) [cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
一、命题规律
（1）复数的概念
（2）复数的四则运算
（3）复数的几何意义.
二、真题展示
1．（2023·全国·高考真题（理））设，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点01 复数的有关概念与性质
【典例1】【多选题】（2023·广东白云·高一期末）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A．当时，复平面内表示复数的点位于第二象限
B．当时，为纯虚数
C．最大值为
D．的共轭复数为
【典例2】（2023·全国高三其他（文））若复数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的虚部为C．D．
【典例3】（2023·全国高考真题（文））设z=i(2+i)，则=（ ）
A．1+2iB．–1+2i
C．1–2iD．–1–2i
【典例4】（2023·浙江省高考真题）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ）
A．1B．–1C．2D．–2
【典例5】（2023·浙江·高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A．B．1C．D．3
【总结提升】
求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．
考点02 复数的几何意义
【典例6】（2023·全国高考真题（理））设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）
A．B．C．D．
【典例7】（2023·北京高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）．
A．B．C．D．
【典例8】（2023·河北石家庄·高三月考）设为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【总结提升】
1．复数z、复平面上的点Z及向量eq \(OZ,\s\up15(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq \(OZ,\s\up15(→)).
2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
3. 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
4.提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝eq \r(x2＋y2)，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离．
考点03 复数的四则运算
【典例9】（2023·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例10】（2023·海南省高考真题）（ ）
A．1B．−1
C．iD．−i
【典例11】（2023·全国·高考真题（文））设，则（ ）
A．B．C．D．
【典例12】（2023·云南大理·模拟预测（理））已知复数满足（其中i为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．B．-2iC．1D．i
【总结提升】
复数四则运算的解题策略
(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算．
(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．
(3)在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.
（4）注意应用： = 1 \* GB3 ①(1±i)2＝±2i； = 2 \* GB3 ②＝i,＝－i.
考点04 复数的三角形式、运算及其几何意义
【典例13】（2023·全国·高一课时练习）将复数z=-2+2i化成三角形式是_____.
【规律方法】
复数的代数形式化为三角形式的步骤
（1）先求复数的模.
（2）决定辐角所在的象限.
（3）根据象限求出辐角.
（4）求出复数的三角形式.
提醒：
(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
(2)复数0的辐角是任意的．
(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，且0≤arg z＜2π.
(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（5）一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值.
【典例14】（2023·全国·高一课时练习）将复数z=3化成代数形式为_____;|z|=_____.
【规律方法】
复数的三角形式z＝r（cs θ＋isin θ）必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角.如（2）小题.
【典例15】（2023·全国·高一课时练习）________.
【规律方法】
（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．
（2）除法法则：模相除，辐角相减．
（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．
拓广：
(1)有限个复数相乘，结论亦成立．
即z1·z2…zn＝r1(cs θ1＋isin θ1)·r2(cs θ2＋isin θ2)…rn(cs θn＋isin θn)＝r1·r2…rn[cs(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]．
(2)当z1＝z2＝…＝zn＝z时，即r1＝r2＝…＝rn＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，有zn＝[r(cs θ＋isin θ)]n＝rn(cs nθ＋isin nθ)，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍．
【典例16】在复平面内，把复数3－eq \r(,3)i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转eq \f(π,3)，求所得向量对应的复数．
【规律方法】
两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量 eq \(OZ1,\s\up14(→))， eq \(OZ2,\s\up14(→))，然后把向量 eq \(OZ1,\s\up14(→))绕点O按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把 eq \(OZ1,\s\up14(→))绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量 eq \(OZ,\s\up14(→))， eq \(OZ,\s\up14(→))表示的复数就是积z1z2.
巩固提升
1．（2023·江苏·高考真题）若复数满足，则的虚部等于（ ）
A．4B．2C．-2D．-4
2．（2023·全国高考真题（理））设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）著名数学家棣莫佛（De mivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式，则______；若，则 ______.
6．（2023·浙江高考真题）复数（为虚数单位），则________.
7．（2023·天津高考真题（理））是虚数单位，则的值为__________.
8．(2023·上海高考真题）已知复数满足（是虚数单位），则 ．
9．(2023·天津高考真题（文））i是虚数单位，复数___________.
10．(2023·江苏高考真题）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．
专题9.1 复数（精讲精析篇）
一、核心素养
1.通过方程的解，认识复数，凸显数学抽象的核心素养．
2.结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共轭复数，复数的模等概念的认识，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
3.结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算，凸显数学运算的核心素养．
二、考试要求
1.复数的概念
(1)理解复数的基本概念.
(2)理解复数相等的充要条件.
(3)了解复数的代数表示法及其几何意义.
2.复数的四则运算
(1)会进行复数代数形式的四则运算.
(2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
3.复数的三角形式
三、主干知识梳理
（一）复数的概念
1．虚数单位为i，规定：i2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立．
2．复数的概念
形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
①当b＝0时，复数a＋bi为实数；
②当b≠0时，复数a＋bi为虚数；
③当a＝0且b≠0时，复数a＋bi为纯虚数．
3.复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔ a＝c且b＝d，特别地，a＋bi＝0⇔ a＝b＝0.
4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．
5. 复数的模
向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋bi)).即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋bi))＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．
6.共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)；(6).
（二）复数的几何意义
1.z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)．
2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．
（三）复数的四则运算
1.复数的加、减、乘、除的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；
(2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(3)eq \f(z1,z2)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i (z2≠0)．
2. .
（四）复数的三角形式及其运算
1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cs θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq \(OZ,\s\up14(→))所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．r(cs θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
2．复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cs θ1＋isin θ1)·r2(cs θ2＋isin θ2)=
r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
(2)eq \f(z1,z2)＝eq \f(r1cs θ1＋isin θ1,r2cs θ2＋isin θ2)
＝eq \f(r1,r2) [cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
一、命题规律
（1）复数的概念
（2）复数的四则运算
（3）复数的几何意义.
二、真题展示
1．（2023·全国·高考真题（理））设，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】
设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
2．（2023·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：A
分析：
利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】
，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，
故选：A.
考点01 复数的有关概念与性质
【典例1】【多选题】（2023·广东白云·高一期末）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A．当时，复平面内表示复数的点位于第二象限
B．当时，为纯虚数
C．最大值为
D．的共轭复数为
答案：BC
分析：
利用复数的几何意义、概念及共轭复数的含义即可判断.
【详解】
对于A，当时，，复平面内表示复数的点位于第四象限，故A错误；
对于B，当时，，为纯虚数，故B正确；
对于C，，最大值为，故C正确；
对于D，的共轭复数为，故D错误.
故选：BC.
【典例2】（2023·全国高三其他（文））若复数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的虚部为C．D．
答案：D
【解析】
因为，所以，故A错；
的虚部为1，故B错；，故C错；，故D正确.
故选：D
【典例3】（2023·全国高考真题（文））设z=i(2+i)，则=（ ）
A．1+2iB．–1+2i
C．1–2iD．–1–2i
答案：D
【解析】
，
所以，选D．
【典例4】（2023·浙江省高考真题）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ）
A．1B．–1C．2D．–2
答案：C
【解析】
因为为实数，所以，
故选：C
【典例5】（2023·浙江·高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A．B．1C．D．3
答案：C
分析：
首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.
【详解】
，
利用复数相等的充分必要条件可得：.
故选：C.
【总结提升】
求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．
考点02 复数的几何意义
【典例6】（2023·全国高考真题（理））设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
则．故选C．
【典例7】（2023·北京高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）．
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
由题意得，.
故选：B.
【典例8】（2023·河北石家庄·高三月考）设为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：D
分析：
先用复数的除法运算计算可得，在复平面内对应的点为，分析即得解
【详解】
由题意，
故
在复平面内对应的点为，位于第四象限
故选：D
【总结提升】
1．复数z、复平面上的点Z及向量eq \(OZ,\s\up15(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq \(OZ,\s\up15(→)).
2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
3. 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
4.提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝eq \r(x2＋y2)，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离．
考点03 复数的四则运算
【典例9】（2023·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：
由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】
，
.
故选：B.
【典例10】（2023·海南省高考真题）（ ）
A．1B．−1
C．iD．−i
答案：D
【解析】
故选：D
【典例11】（2023·全国·高考真题（文））设，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.
【详解】
由题意可得：.
故选：C.
【典例12】（2023·云南大理·模拟预测（理））已知复数满足（其中i为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．B．-2iC．1D．i
答案：A
分析：
根据复数模的计算公式及复数代数形式的除法运算法则化简复数，即可判断其虚部；
【详解】
解：因为，，所以，所以
所以复数的虚部为；
故选：A
【总结提升】
复数四则运算的解题策略
(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算．
(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．
(3)在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.
（4）注意应用： = 1 \* GB3 ①(1±i)2＝±2i； = 2 \* GB3 ②＝i,＝－i.
考点04 复数的三角形式、运算及其几何意义
【典例13】（2023·全国·高一课时练习）将复数z=-2+2i化成三角形式是_____.
答案：4
分析：
由概念求出模长和辐角，再根据即可求解
【详解】
模长|z|==4，设辐角为θ，，且点(-2，2)在第二象限，得辐角主值为π，故z=4.
故答案为：4
【规律方法】
复数的代数形式化为三角形式的步骤
（1）先求复数的模.
（2）决定辐角所在的象限.
（3）根据象限求出辐角.
（4）求出复数的三角形式.
提醒：
(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
(2)复数0的辐角是任意的．
(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，且0≤arg z＜2π.
(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（5）一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值.
【典例14】（2023·全国·高一课时练习）将复数z=3化成代数形式为_____;|z|=_____.
答案： 3
分析：
利用特殊角的三角函数值，即可得到答案；
【详解】
，
故答案为：
【规律方法】
复数的三角形式z＝r（cs θ＋isin θ）必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角.如（2）小题.
【典例15】（2023·全国·高一课时练习）________.
答案：i
分析：
根据复数的三角形式的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】
根据复数的三角形式的运算法则，可得：
.
故答案为：
【规律方法】
（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．
（2）除法法则：模相除，辐角相减．
（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．
拓广：
(1)有限个复数相乘，结论亦成立．
即z1·z2…zn＝r1(cs θ1＋isin θ1)·r2(cs θ2＋isin θ2)…rn(cs θn＋isin θn)＝r1·r2…rn[cs(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]．
(2)当z1＝z2＝…＝zn＝z时，即r1＝r2＝…＝rn＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，有zn＝[r(cs θ＋isin θ)]n＝rn(cs nθ＋isin nθ)，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍．
【典例16】在复平面内，把复数3－eq \r(,3)i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转eq \f(π,3)，求所得向量对应的复数．
答案：-2eq \r(,3)i.
【解析】因为3－eq \r(,3)i＝2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3),2)－\f(1,2)i))＝2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11,6)π＋isin\f(11,6)π))，
所以2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11,6)π＋isin\f(11,6)π))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))
＝2eq \r(,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π＋\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π＋\f(π,3)))))
＝2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(13,6)π＋isin\f(13,6)π))
＝2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))
＝3＋eq \r(,3)i
2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11,6)π＋isin\f(11,6)π))×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))))
＝2eq \r(,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π－\f(π,3)))))＝2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(3,2)π＋isin\f(3,2)π))＝－2eq \r(,3)i.
故把复数3－eq \r(,3)i对应的向量按逆时针旋转eq \f(π,3)得到的复数为3＋eq \r(,3)i，按顺时针旋转eq \f(π,3)得到的复数为－2eq \r(,3)i.
【规律方法】
两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量 eq \(OZ1,\s\up14(→))， eq \(OZ2,\s\up14(→))，然后把向量 eq \(OZ1,\s\up14(→))绕点O按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把 eq \(OZ1,\s\up14(→))绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量 eq \(OZ,\s\up14(→))， eq \(OZ,\s\up14(→))表示的复数就是积z1z2.
巩固提升
1．（2023·江苏·高考真题）若复数满足，则的虚部等于（ ）
A．4B．2C．-2D．-4
答案：C
分析：
利用复数的运算性质，化简得出.
【详解】
若复数满足，则
，
所以的虚部等于.
故选：C.
2．（2023·全国高考真题（理））设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：C
【解析】
由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．
3．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：
由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】
由题意可得：.
故选：D.
4．（2023·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】
因为，故，故
故选：C.
5．（2023·全国·高三专题练习）著名数学家棣莫佛（De mivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式，则______；若，则 ______.
答案： 2
分析：
（1）直接代公式得原式为，化简即得解；
（2）直接代公式化简得，解方程即得解.
【详解】
（1）；
（2）.
故答案为：；2.
6．（2023·浙江高考真题）复数（为虚数单位），则________.
答案：
【解析】
.
7．（2023·天津高考真题（理））是虚数单位，则的值为__________.
答案：
【解析】
.
8．(2023·上海高考真题）已知复数满足（是虚数单位），则 ．
答案：5
【解析】
由（1+i）z=1﹣7i，
得，
则|z|=．
故答案为：5．
9．(2023·天津高考真题（文））i是虚数单位，复数___________.
答案：4–i
【解析】
由复数的运算法则得：.
10．(2023·江苏高考真题）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．
答案：2
【解析】
因为，则，则的实部为.