新高考高中数学核心知识点全透视专题15.5导数的综合应用(精讲精析篇)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题15.5导数的综合应用(精讲精析篇)(原卷版+解析)，共36页。试卷主要包含了5 导数的综合应用，每件产品售价6元，【多选题】等内容，欢迎下载使用。

一、核心素养
1. 考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
2.考查利用导数不等式的证明、方程等，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
3.考查利用导数解决生活中的优化问题，凸显数学建模、数学运算的核心素养．
二、考试要求
1.了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.
2. 了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.
三、主干知识梳理
（一）利用导数研究函数的图象与性质
函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等.解决此类问题应先观察选项的不同之处，然后根据不同之处研究函数的相关性质，进而得到正确的选项.如该题中函数解析式虽然比较复杂，但借助函数的定义域与函数的单调性很容易利用排除法得到正确选项.
（二）与函数零点有关的参数范围问题
1．方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．
2．函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.
（二）求极值的步骤：
①先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）；
②分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点.
（3）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.
（4）函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.
（三）与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题
不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．
：
（四）利用导数证明、解不等式问题
无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.
二、真题展示
1．（2023浙江）已知，函数．若函数恰有3个零点，则
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
2．（2023·江苏高考真题）设函数，为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；
（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．
考点01 利用导数研究函数的零点或零点个数
【典例1】（2023·全国高三专题练习）已知定义在R上的可导函数的导函数为，若当时，，则函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．0或2
【典例2】（2023·全国高考真题（理））已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【总结提升】
利用导数研究函数零点或方程根的方法
(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法．
借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．
(2)数形结合法求解零点．
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．
(3)构造函数法研究函数零点．
①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．
②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．
考点02 与函数零点有关的参数范围问题
【典例3】（2023·九龙坡·重庆市育才中学高三月考）已知函数，函数有个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【典例4】（2023·全国高考真题（文））已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【总结提升】
与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．
考点03 与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题
【典例5】（2023·天津高考真题（理））已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例6】（2023·全国高三月考）已知函数.
（1）探究函数的单调性；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【总结提升】
1.不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．
：
2.不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
考点04 利用导数证明、解不等式问题
【典例7】（2023·江苏省前黄高级中学高三开学考试）已知函数，则_________；关于的不等式的解集为____________．
【典例8】（2023·全国高三月考）已知函数 (，为常数)在内有两个极值点.
（1）求参数的取值范围；
（2）求证：.
【典例9】（2023·全国高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【总结提升】
1.无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.
2.利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法
(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；
(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.
3.不等式存在性问题的求解策略
“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立，以免细节出错．
考点05 用导数研究生活中的优化问题
【典例10】（2023·无锡市第一中学高三月考）相应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进修自主创业.经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生成x万件，需另投入流动成本W（x）万元，在年产量不足4万件时，W（x）=x3+2x.在年产量不小于4万件时，W（x）=7x+-27.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.
（1）写出年利润P（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【典例11】（2023·全国高二课时练习）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体．“刍薨”字面意思为茅草屋顶，图1是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图2，屋顶五面体为刍薨”，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形，点在平面和上射影分别为，，已知m，m，梯形的面积是面积的2.2倍．设．
（1）求屋顶面积关于的函数关系式．
（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为．现欲造一栋总高度为m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？
【总结提升】
利用导数解决生活中的优化问题的步骤
第一步:分析实际问题中各量之间的关系，构建数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)
第二步:求函数f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0
第三步:比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值
第四步:回归实际问题，给出优化问题的答案
巩固提升
1．（2023·内蒙古宁城·高三月考（文））已知函数对任意的满足（其中为函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·河南许昌·高三月考（文））已知，，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
3.（2023·全国高三其他（文））若不等式恒成立，则正数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4.（2023·赤峰二中高三三模（理））已知是函数f(x)的导函数，且对任意的实数x都有(e是自然对数的底数)，f(0)=3，若方程f(x)=m恰有三个实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5.【多选题】（2023·全国高二单元测试）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表．下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．函数的极值点的个数为3
B．函数的单调递减区间为
C．若时，的最大值是2，则t的最大值为4
D．当时，方程有4个不同的实根
6.【多选题】（2023·全国高二学业考试）若满足，则对任意正实数a，下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7.（2023·山东奎文�潍坊中学高二月考）要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为，其底面两邻边之比为，则它的长为__________，高为__________时，可使表面积最小.
8．（2023·河南高三其他（理））函数，若，则在的最小值为_______；当时，恒成立，则a的取值范围是_____.
9.(2023·全国高考真题（文））已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.
10．(2023·全国高考真题（文））(2023年新课标I卷文）已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
-1
0
2
4
5
1
2
0
2
1
专题15.5 导数的综合应用（精讲精析篇）
一、核心素养
1. 考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
2.考查利用导数不等式的证明、方程等，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
3.考查利用导数解决生活中的优化问题，凸显数学建模、数学运算的核心素养．
二、考试要求
1.了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.
2. 了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.
三、主干知识梳理
（一）利用导数研究函数的图象与性质
函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等.解决此类问题应先观察选项的不同之处，然后根据不同之处研究函数的相关性质，进而得到正确的选项.如该题中函数解析式虽然比较复杂，但借助函数的定义域与函数的单调性很容易利用排除法得到正确选项.
（二）与函数零点有关的参数范围问题
1．方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．
2．函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.
（二）求极值的步骤：
①先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）；
②分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点.
（3）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.
（4）函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.
（三）与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题
不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．
：
（四）利用导数证明、解不等式问题
无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.
二、真题展示
1．（2023浙江）已知，函数．若函数恰有3个零点，则
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
答案：C
【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，
，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；
当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，
令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，
如图：
∴0且，
解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，
则a>–1，b<0.
故选C．
2．（2023·江苏高考真题）设函数，为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；
（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．
答案：（1）；
（2）的极小值为
（3）见解析.
【解析】
（1）因为，所以．
因为，所以，解得．
（2）因为，
所以，
从而．令，得或．
因为，都在集合中，且，
所以．
此时，．
令，得或．列表如下：
所以的极小值为．
（3）因为，所以，
．
因为，所以，
则有2个不同的零点，设为．
由，得．
列表如下：
所以的极大值．
解法一：
．因此．
解法二：
因为，所以．
当时，．
令，则．
令，得．列表如下：
所以当时，取得极大值，且是最大值，故．
所以当时，，因此．
考点01 利用导数研究函数的零点或零点个数
【典例1】（2023·全国高三专题练习）已知定义在R上的可导函数的导函数为，若当时，，则函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．0或2
答案：A
分析：
构造函数，结合判断出的单调区间，求得，由此判断出没有零点.
【详解】
由题意，设，
则（）．
由已知，
所以当时，，当时，，
又因为在上可导，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以无解，即方程无解，
即方程无解，所以函数无零点．
故选：A．
【典例2】（2023·全国高考真题（理））已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
答案：（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）由题意知：定义域为：且
令，
，
在上单调递减，在上单调递减
在上单调递减
又，
，使得
当时，；时，
即在上单调递增；在上单调递减
则为唯一的极大值点
即：在区间上存在唯一的极大值点.
（2）由（1）知：，
①当时，由（1）可知在上单调递增
在上单调递减
又
为在上的唯一零点
②当时，在上单调递增，在上单调递减
又
在上单调递增，此时，不存在零点
又
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，此时不存在零点
③当时，单调递减，单调递减
在上单调递减
又，
即，又在上单调递减
在上存在唯一零点
④当时，，
即在上不存在零点
综上所述：有且仅有个零点
【总结提升】
利用导数研究函数零点或方程根的方法
(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法．
借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．
(2)数形结合法求解零点．
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．
(3)构造函数法研究函数零点．
①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．
②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．
考点02 与函数零点有关的参数范围问题
【典例3】（2023·九龙坡·重庆市育才中学高三月考）已知函数，函数有个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：
分析可知直线与函数在上的图象有两个交点，考查直线与函数的图象相切，且切点位于第一象限的情况，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】
令，函数的定义域为，
，函数为上的奇函数，则，
因为函数有个零点，则函数在、上均有个零点，
当时，，，则，
令，可得，考虑直线与函数的图象相切，且切点在第一象限，
设切点为，，则曲线在点，即，
所以，，解得，
如下图所示：
由图可知，当时，即当时，直线与函数在上的图象有两个交点.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
【典例4】（2023·全国高考真题（文））已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
答案：（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【解析】
（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以的减区间为，增区间为；
（2）若有两个零点，即有两个解，
从方程可知，不成立，即有两个解，
令，则有，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
而时，，当时，，
所以当有两个解时，有，
所以满足条件的的取值范围是：.
【总结提升】
与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．
考点03 与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题
【典例5】（2023·天津高考真题（理））已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
∵，即，
（1）当时，，
当时，，
故当时，在上恒成立；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当函数单增，当函数单减，
故，所以.当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
故选C.
【典例6】（2023·全国高三月考）已知函数.
（1）探究函数的单调性；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
答案：（1）答案见解析；（2）.
分析：
（1）求导，对参数分类讨论，由导函数的符号可得函数的单调性；
（2）将不等式化为，再构造函数，利用导数求出函数的最大值，由可求出结果.
【详解】
（1）由，得，
①若，则，在上单调递增；
②若，则，
当时，；
当时，；
所以在区间上单调递增，在上单调递减.
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在上单调递减.
（2）不等式在上恒成立，
相当于在上恒成立，
令，
则，
①当时，，由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，解得.
②当时，因为，所以，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，所以，
解得，又，所以；
③当时，，此时，
由，得或，由，得，
所以在和上递增，在上递减，
所以分别是函数的极大值点和极小值点，
因此有；
④当时，，所以在上单调递增，所以，
即，所以；
⑤当时，，此时，
由，得或，由，得，
所以在和上递增，在上递减，
所以分别是函数的极大值点和极小值点，
因此有；
综上可知，实数的取值范围是.
【总结提升】
1.不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．
：
2.不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
考点04 利用导数证明、解不等式问题
【典例7】（2023·江苏省前黄高级中学高三开学考试）已知函数，则_________；关于的不等式的解集为____________．
答案：2
分析：
根据解析式直接求的值，易知关于对称，可将题设不等式变形为，再利用导数判断的单调性，由单调性列不等式求解集.
【详解】
，
由，
∴关于对称，故，
∴，即，
又，故单调递减，
∴，即，解得.
∴不等式解集为.
故答案为：2；.
【典例8】（2023·全国高三月考）已知函数 (，为常数)在内有两个极值点.
（1）求参数的取值范围；
（2）求证：.
答案：（1）；（2）证明见解析．
分析：
（1）函数有两个极值点，转化为在内有两个不相等的实数解，利用函数的单调性和零点存在性定理即可得实数a的取值范围；
（2）要证，即证，构造新函数，利用单调性即可证明．
【详解】
解：(1)由，得.
记，由题意知，在上存在两个零点.
因为，则
当时，，在上递增，至多只有一个零点，不合题意；
当时，令，得．
（i）若，即时，在上递减，在上递增，
则 .
当，且，，此时，
从而在和上各有一个零点，
所以，在上存在两个零点.
（ii）若，即时，在上递减，至多只有一个零点，不合题意.
（iii）若，且，即时，此时在上只有一个零点，而在上没有零点，不合题意.
综上所述，；
（2）若函数在上存在两个零点，
即，则，两式相减可得
要证，即证
即
令，即
设，则
所以在区间上单调递增，则
即，那么原不等式成立
【典例9】（2023·全国高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
答案：（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
分析：
（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；
（2）设，原不等式等价于，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设，从而把转化为在上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.
【详解】
（1）函数的定义域为，
又，
当时，，当时，，
故的递增区间为，递减区间为.
（2）因为，故，即，
故，
设，由（1）可知不妨设.
因为时，，时，，
故.
先证：，
若，必成立.
若， 要证：，即证，而，
故即证，即证：，其中.
设，
则，
因为，故，故，
所以，故在为增函数，所以，
故，即成立，所以成立，
综上，成立.
设，则，
结合，可得：，
即：，故，
要证：，即证，即证，
即证：，即证：，
令，
则，
先证明一个不等式：.
设，则，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，故，
故成立
由上述不等式可得当时，，故恒成立，
故在上为减函数，故，
故成立，即成立.
综上所述，.
【总结提升】
1.无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.
2.利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法
(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；
(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.
3.不等式存在性问题的求解策略
“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立，以免细节出错．
考点05 用导数研究生活中的优化问题
【典例10】（2023·无锡市第一中学高三月考）相应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进修自主创业.经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生成x万件，需另投入流动成本W（x）万元，在年产量不足4万件时，W（x）=x3+2x.在年产量不小于4万件时，W（x）=7x+-27.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.
（1）写出年利润P（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
答案：（1）；（2）当年产量为10万件时，所获利润最大，为5万元.
分析：
（1）分别求得当时，，当时，，即可求得函数的关系式；
（2）由（1）中的解析式，当时，利用导数求得函数的单调性和最大值，当时，利用基本不等式求得函数的最大值，即可得到答案.
【详解】
（1）由题意，当时，；
当时，，
所以年利润关于的函数关系式为.
（2）由（1）知，
当时，，可得，
令，解得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以；
当时，，
当且仅当，时取等号.
所以当年产量为10万件时，所获利润最大，为5万元.
【典例11】（2023·全国高二课时练习）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体．“刍薨”字面意思为茅草屋顶，图1是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图2，屋顶五面体为刍薨”，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形，点在平面和上射影分别为，，已知m，m，梯形的面积是面积的2.2倍．设．
（1）求屋顶面积关于的函数关系式．
（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为．现欲造一栋总高度为m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？
答案：（1）；（2）当为时，该别墅总造价最低．
分析：
（1）先求得,进而求得屋顶面积关于的函数关系式.
（2）首先求得别墅总造价，利用导数求得当时，总造价最低.
【详解】
（1）由题意，知平面，
因为平面，所以．
在中，，，所以．
所以的面积为．
所以屋顶面积．
所以关于的函数关系式为．
（2）在，，所以下部主体高度为．
所以别墅总造价为
．
设，，则，
令，得，又，所以．
与随的变化情况如下表：
所以当时，在上有最小值．
所以当为时，该别墅总造价最低．
【总结提升】
利用导数解决生活中的优化问题的步骤
第一步:分析实际问题中各量之间的关系，构建数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)
第二步:求函数f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0
第三步:比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值
第四步:回归实际问题，给出优化问题的答案
巩固提升
1．（2023·内蒙古宁城·高三月考（文））已知函数对任意的满足（其中为函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：
令，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可．
【详解】
解：令，
故，
故在递增，所以，可得，即，所以D正确；
故选：D．
2．（2023·河南许昌·高三月考（文））已知，，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：
由题设，，构造利用导数研究单调性可得，再构造有，利用导数研究其单调性即可判断参数的大小关系.
【详解】
由题设，，，
令，则且，，
∴当时，即递增；当时，即递减；
∴，即，
对于有且，
∴时，，递增；时，，递减；
∴.
故选：A
3.（2023·全国高三其他（文））若不等式恒成立，则正数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
不等式可化为，
所以有，
令，则原不等式化为，
又在成立，
所以函数在上单调递增，
所以，
所以，
令，有，
令，得，，得，
所以函数的增区间为，减区间为，
，
故有．
故选：A．
4.（2023·赤峰二中高三三模（理））已知是函数f(x)的导函数，且对任意的实数x都有(e是自然对数的底数)，f(0)=3，若方程f(x)=m恰有三个实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
因为，
所以，
令，
所以，
所以，，
又f(0)=3，解得，
所以，
所以，
当时，或，当时，，
所以在和上递增，在上递减，
所以的极大值是，极小值是，
因为方程f(x)=m恰有三个实数根，如图所示：
所以，
所以则实数m的取值范围是
故选：D
5.【多选题】（2023·全国高二单元测试）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表．下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．函数的极值点的个数为3
B．函数的单调递减区间为
C．若时，的最大值是2，则t的最大值为4
D．当时，方程有4个不同的实根
答案：AD
分析：
对于A：由的图象可知，当时，，再由导函数的符号可判断；
对于B：由图象得当时，，当时，，根据导函数的符号与函数的单调性之间的关系可判断；
对于C：由时，函数的最大值是2可判断；
对于D：作出函数的大致图象可判断．
【详解】
解：对于A：由的图象可知，当时，，且当时，，当时，，当时，，当时，，所以0，2，4是函数的极值点，故A选项正确；
对于B：由导函数的正负与函数之间的关系可知，当时，，当时，，所以函数的单调递减区间为，，故B选项错误；
对于C：当时，函数的最大值是2，而的最大值不是4，故C选项错误；对于D：作出函数的大致图象如图所示，当时，直线与函数的图象有4个交点，故D选项正确．
故选：AD．
6.【多选题】（2023·全国高二学业考试）若满足，则对任意正实数a，下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BD
分析：
先构造函数，通过求导，再结合已知条件判断出单调性，然后再分析每个选项即可.
【详解】
设，则，因为，
所以，在R上是增函数，因为a是正实数，所以，
所以，即，又，故，大小不确定，故A错误.
因为，所以，即，故B正确.
因为，所以，即，又，
所以，大小不确定，故C错误，D正确.
故选：BD.
7.（2023·山东奎文�潍坊中学高二月考）要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为，其底面两邻边之比为，则它的长为__________，高为__________时，可使表面积最小.
答案：
【解析】
设底面的长为，则由条件可得宽为，高为
所以表面积
因为，，
所以在上单调递减，上单调递增
所以当时取得最小值，即此时长为，宽为，高为
故答案为：；
8．（2023·河南高三其他（理））函数，若，则在的最小值为_______；当时，恒成立，则a的取值范围是_____.
答案：
【解析】
当时，∵，∴.
当时，恒成立，
∴在上单调递增.
∴在上最小值为.
又时，恒成立，令 ,,
所以在 递增， 所以
∴
恒成立，
∴.
故答案为；.
9.(2023·全国高考真题（文））已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.
答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）
（Ⅰ）设，则当时，；当时，.
所以f（x）在单调递减，在单调递增.
（Ⅱ）设，由得x=1或x=ln（-2a）.
①若，则，所以在单调递增.
②若，则ln（-2a）＜1,故当时，；
当时，，所以在单调递增，在单调递减.
③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.
（Ⅱ）（Ⅰ）设，则由（Ⅰ）知，在单调递减，在单调递增.
又，取b满足b＜0且，
则，所以有两个零点.
（Ⅱ）设a=0，则，所以只有一个零点.
（iii）设a＜0，若，则由（Ⅰ）知，在单调递增.
又当时，＜0，故不存在两个零点；若，则由（Ⅰ）知，在单调递减，在单调递增.又当时＜0，故不存在两个零点.
综上，a的取值范围为.
10．(2023·全国高考真题（文））(2023年新课标I卷文）已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
答案：(1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.
【解析】
（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–．
由题设知，f ′（2）=0，所以a=．
从而f（x）=，f ′（x）=．
当02时，f ′（x）>0．
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）当a≥时，f（x）≥．
设g（x）=，则
当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．
因此，当时，．
1
+
0
–
0
+
极大值
极小值

+
0
–
0
+
极大值
极小值
+
0
–
极大值
0
-1
0
2
4
5
1
2
0
2
1