新高考高中数学核心知识点全透视专题15.6导数的综合应用(专题训练卷)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题15.6导数的综合应用(专题训练卷)(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了6 导数的综合应用，已知函数．等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023·全国高二课时练习）已知函数（）只有一个零点，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·云南曲靖一中高三月考（文））已知函数，若对任意的在区间[-2，2]上总存在唯一的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．(1，3]B．(1，5]C．(3，5]D．(3，7]
3．（2023·黑龙江大庆·铁人中学高三月考（文））函数零点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．（2023·河南高三月考（文））已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
5．（2023·河南高三月考（理））已知是定义在上的偶函数，且满足，若关于的方程有10个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·全国高二学业考试）函数与函数的图象有3个交点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·云南曲靖一中高三月考（理））定义在R上的偶函数f（x）满足，当 （其中e为自然对数的底数，e=2.71828……），则函数g（x）=f（x） +lnx在区间（0，4）上零点的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（2023·河南高三月考（理））已知函数f(x)=x2lnx，，若x>0时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，1]B．[-1，+∞）
C．（-∞，-1]D．（-∞，-1]∪[1，+∞）
二、多选题
9.（2023·皇姑·辽宁实验中学高三月考）已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为
B．若方程有两个不相等的实数根，则
C．的极大值为
D．的极小值点为
10．（2023·全国高二单元测试）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．若是增函数，则
C．当时，函数恰有两个零点D．当时，函数恰有两个极值点
11．（2023·福建高三一模）已知函数，，则（ ）
A．在上为增函数
B．当时，方程有且只有3个不同实根
C．的值域为
D．若，则
12．（2023·山东高三其他模拟）已知奇函数的定义域为，若对，有，且当时，，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．周期为
B．函数在区间上为增函数
C．函数在上的零点个数为
D．对，
三、填空题
13．（2023·西城·北京十五中高三月考）函数有两个零点，则的取值范围是___________.
14．（2023·全国高二学业考试）一艘船的燃料费y（单位：元/时）与船速x（单位：千米/时）的关系是.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100千米的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为______千米/时.
15．（2023·全国高二单元测试）已知定义域为R的函数满足：（c为常数），，则的单调递增区间是______；若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是______．
16．（2023·四川青羊·石室中学高三月考（文））已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为___________.
四、解答题
17.（2023·西藏拉萨中学高三月考（文））已知函数，函数的图象在处的切线方程为．
（1）当时，求函数在上的最小值与最大值;
（2）若函数有两个零点，求a的值．
18．（2023·湖南开福�长沙一中高三月考（理））设函数，.
（1）若，讨论的零点个数；
（2）证明：.
19.(2023·全国高考真题（理））已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求的值.
20.（2023·辽宁大连·高三期中）已知函数．
（1）若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围；
（2）证明：关于的方程有两个不等实根．
21．（2023·北京昌平·北师大二附中未来科技城学校高三月考）已知，，．
（1）若，证明：；
（2）对任意都有，求整数的最大值．
22.（2023·四川省南充市白塔中学高三模拟预测（理））已知函数，，，令．
（1）当时，求函数的单调区间及极值；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
专题15.6 导数的综合应用（专题训练卷）
一、单选题
1．（2023·全国高二课时练习）已知函数（）只有一个零点，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
先求导，分析出三次函数的单调性为：增减增的形式，结合图像可知，为保证只有唯一的负数零点，只要其极小值大于零.
【详解】
，，当或时，；当时，．故的极小值为，因为函数只有一个零点，且，所以，解得或，又，则．
故选：A．
2.（2023·云南曲靖一中高三月考（文））已知函数，若对任意的在区间[-2，2]上总存在唯一的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．(1，3]B．(1，5]C．(3，5]D．(3，7]
答案：C
分析：
由对任意的在区间[-2，2]上总存在唯一的零点可得，由此求实数a的取值范围.
【详解】
∵，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∵在上总存在唯一的零点，即与的图象在上仅有一个交点，∴，即，.∵，∴，∴，即的取值范围为，
故选：C．
3．（2023·黑龙江大庆·铁人中学高三月考（文））函数零点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：B
分析：
求导分析单调性，结合极小值，极大值，以及的正负，即可判断零点个数
【详解】
由题意得，
令
令或，则在和上单调递增；
令，则在单调递减
故当时，取得极小值；
当时，取得极大值
故当时，函数无零点；
当时，，又
故当时，函数只有一个零点
因此函数有一个零点
故选：B
4．（2023·河南高三月考（文））已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案：C
分析：
首先利用导函数求的单调性，根据其单调性作出的大致图像，然后结合已知条件将方程解的问题转换成交点问题即可求解.
【详解】
因为，所以，
当，；当，，
所以在和单调递减，在单调递增，
且当时，，，
故的大致图象如图所示：
关于的方程等价于，
即或，
由图知，方程有且仅有一解，则有两解，
所以，解得，
故选:C.
5．（2023·河南高三月考（理））已知是定义在上的偶函数，且满足，若关于的方程有10个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：
求导分析的单调性、极值、边界情况，画出函数在的图象，数形结合即得解
【详解】
当时，，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，
且，当时，；
当时，单调递增，且此时.
函 数在的图象如下图所示：
方程即，
由图象可知，在有3个实数解，由于为偶函数，故在R上有6个实数解
所以只需要有4个不同的实数解，
可得或，
故选：B.
6．（2023·全国高二学业考试）函数与函数的图象有3个交点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：
根据题意得关于x的方程有3个不相等实根，进而令，利用导数研究函数的零点即可得答案.
【详解】
的定义域为，函数与函数的图象有3个交点，等价于关于x的方程有3个不相等实根.
令，
因为，所以必有1个零点.
（当且仅当时取等号）.
当时，在上单调递增，不符合题意；
当时，令，得，，
所以，
所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，，
又，，
所以在上有1个零点，在上有1个零点，
所以函数有3个零点，即函数与函数的图象有3个交点.
故选：D.
7．（2023·云南曲靖一中高三月考（理））定义在R上的偶函数f（x）满足，当 （其中e为自然对数的底数，e=2.71828……），则函数g（x）=f（x） +lnx在区间（0，4）上零点的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：A
分析：
由题意知函数的周期为，为偶函数，且关于对称，令，转化为图象交点求解.
【详解】
由知函数的周期为，
又因为函数为偶函数，
所以，
则函数关于对称.
令，，
令，
如图：
，当时，，，
可求得处的切线方程为；
当时，，故函数与 有两个交点，
故选：A.
8．（2023·河南高三月考（理））已知函数f(x)=x2lnx，，若x>0时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，1]B．[-1，+∞）
C．（-∞，-1]D．（-∞，-1]∪[1，+∞）
答案：A
分析：
当时，恒成立可得，当时，构造函数，利用导数探讨其单调性并确定a的范围即可作答..
【详解】
依题意，当时，有恒成立，而有，则，即，解得，
当时，有恒成立，即，
令，求导得，令，，
则有在单调递增，，若，而，则必存在使得，
当时，，则在上单调递减，于是有与当时，恒成立矛盾，
从而得，解得，而当时，，，在上单调递增，恒成立，则，
综上得，，
所以实数a的取值范围是.
故选：A
【点睛】
结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤ f(x)min.
二、多选题
9.（2023·皇姑·辽宁实验中学高三月考）已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为
B．若方程有两个不相等的实数根，则
C．的极大值为
D．的极小值点为
答案：BC
分析：
对求导，结合导数的几何意义可得切线的斜率，写出切线方程，可判断选项A；利用导数分析函数的单调性，极值可判断选项B,C,D．
【详解】
，所以（1），（1），
的图象在点处的切线方程为（1），
即，故选项A不正确；
在上，，单调递增，在上，，单调递减，
所以的极大值也是最大值为（），且当时，，当时，，所以方程有两个不相等的实数根，则，
故选项BC正确；
因为在上，单调递增，在上，单调递减，所以函数没有极小值点，故选项D错误.
故选：BC
10．（2023·全国高二单元测试）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．若是增函数，则
C．当时，函数恰有两个零点D．当时，函数恰有两个极值点
答案：BD
分析：
对A,根据奇函数的定义判定即可，对B,求导后利用恒成立问题分析即可，对C,根据单调性分析即可，对D,求导后令导函数等于0画图分析交点个数即可.
【详解】
对于A，的定义域为R， ，所以是奇函数，选项A错误；
对于B，若是增函数，则，即在R上恒成立．令，则，令，则，所以为增函数，又，所以当时，，为减函数，当时，，为增函数，所以，所以，选项B正确；
对于C，当时，为增函数，不可能有两个零点，选项C错误；
当时，，结合函数与的图象，
由图可知，有两解（不妨记为，且），当或时，，当时，，故有两个极值点，选项D正确．
故选：BD
11．（2023·福建高三一模）已知函数，，则（ ）
A．在上为增函数
B．当时，方程有且只有3个不同实根
C．的值域为
D．若，则
答案：BCD
分析：
根据函数解析式作出函数图象，判断函数单调性及值域；根据导数求方程的根的个数；数形结合求得成立时，参数范围；
【详解】
根据函数解析式作出函数图象，
由图象易知，在上不是增函数，故A错误；
当时，，则，
过定点，当时，与在上相交，共2个交点；
当时，，过点作的切线，设切点为，
则，，解得，，故当时，与在处相切，有1个交点；
故当时，与共有3个交点，故B正确；
由图易知，故C正确；
当时，等价于，
由函数图象，及上述分析知，；
当时，等价于，
由函数图象，及上述分析知，；
故若，，故D正确；
故选：BCD
12．（2023·山东高三其他模拟）已知奇函数的定义域为，若对，有，且当时，，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．周期为
B．函数在区间上为增函数
C．函数在上的零点个数为
D．对，
答案：ACD
分析：
对于A，利用周期的定义判断即可；对于B，画出函数的图像结合周期判断；对于C，根据函数的图像断；对于D，有对称性可知：关于对称，从而求值即可
【详解】
对于选项A，函数的定义域为，又，令，可得，解得，所以，所以，故函数是周期为2的周期函数，故A正确．
对于选项B，画出的图象(如图)可知，函数在区间上为减函数，所以函数在区间上为增函数，故B错误．
对于选项C，由图象知函数在上的零点个数为6，故C正确；
对于选项D，对，有对称性可知：关于对称，
所以，
所以，
故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．（2023·西城·北京十五中高三月考）函数有两个零点，则的取值范围是___________.
答案：
分析：
依题意，与有两个交点，求出函数的单调性与最值，结合函数图象即可得解；
【详解】
解：由题知，与有两个交点，，
由得；由得，
在上单调递增，在上单调递减，
又，且当时，，函数图象如下所示：
所以；
故答案为：
14．（2023·全国高二学业考试）一艘船的燃料费y（单位：元/时）与船速x（单位：千米/时）的关系是.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100千米的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为______千米/时.
答案：30
分析：
依题意，航行的总费用，求导分析单调性可得当时，取得极小值，也是最小值，即得解
【详解】
依题意，航行的总费用，
所以.
令，得.
当时，故在单调递减；
当时，，故在单调递增；
所以当时，取得极小值，也是最小值.
所以要使得航行的总费用最少，航速应为30千米/时.
故答案为：30
15．（2023·全国高二单元测试）已知定义域为R的函数满足：（c为常数），，则的单调递增区间是______；若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是______．
答案：
分析：
（1），可求出参数，在求导，可得单调区间；（2）作出和的图像，数形结合解决.
【详解】
由题意，得，
所以，，当时，，
当时，，所以的单调递减区间是，
单调递增区间是．设，可知该函数恒过点，
画出，的大致图像，如图所示，
不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则这两个整数为0，－1，
所以，即，解得．
故答案为：，
16．（2023·四川青羊·石室中学高三月考（文））已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为___________.
答案：
分析：
令，再令，利用导数讨论的单调性后可求实数的最大值.
【详解】
等价于
整理得到在上恒成立.
令，
则，令，
则，
当时，为增函数，且.
当时，在上恒成立，故在为增函数，
所以在上恒成立，故在为增函数，
所以在上恒成立即在上恒成立.
若，
因为当时， ；
当时，，
故在上存在一个零点，
且时，，故在上为减函数，
所以在上恒成立，故在为减函数，
所以在上恒成立即在上恒成立，这与题设矛盾.
综上，即实数的最大值为.
故答案为：3.
四、解答题
17.（2023·西藏拉萨中学高三月考（文））已知函数，函数的图象在处的切线方程为．
（1）当时，求函数在上的最小值与最大值;
（2）若函数有两个零点，求a的值．
答案：（1）最小值为，最大值为；（2）．
分析：
（1）求出导函数，写出切线方程，与已知方程比较可得，结合可确定函数在区间上的单调性、最值．
（2），由解得，令，由导数得出单调性，极值，函数的变化趋势后可得结论．
【详解】
（1）由题可知，
则函数的图象在处的切线方程为，即，由已知条件可得，
当时，在上， ，函数在上单调递增，
从而函数在上最小值为，最大值为．
（2）由（1）知，
由得，
令，则，或时，，时，，
所以在和上递增，在上递减．
的极小值为，
时，，时，，
所以要有两解，则．
所以时，函数有两个零点．
18．（2023·湖南开福�长沙一中高三月考（理））设函数，.
（1）若，讨论的零点个数；
（2）证明：.
答案：（1）当时，有唯一零点；当时，有两个零点；（2）证明见解析
【解析】
（1）由题意，函数，则，
①当，则函数，此时有唯一的零点；
②当，令，可得，
所以，最多两个零点，
当时，可得且，所以，
所以，故时，，
所以在有一个零点；
当时，，所以在有一个零点.
综上可知，当时，有唯一零点；当时，有两个零点.
（2）令，
则，
令，可得在是增函数，
且（，
所以在有唯一零点，且，
当时，，在上为减函数，
当时，，在上为增函数，
故，且，
所以，∴，
所以成立.
19.(2023·全国高考真题（理））已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求的值.
答案：（1）见解析；（2）
【解析】
（1）当时，等价于．
设函数，则．
当时，，所以在单调递减．
而，故当时，，即．
（2）设函数．
在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
由（1）知，当时，，所以．
故在有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
20.（2023·辽宁大连·高三期中）已知函数．
（1）若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围；
（2）证明：关于的方程有两个不等实根．
答案：（1）；（2）证明见解析．
分析：
（1）利用导数求出的单调性，结合、当时，可得答案；
（2）由可得，设，利用导数求出的单调性和最小值，然后结合零点存在定理可证明.
【详解】
（1）因为，所以的定义域为，，
当时，当时
所以在内单调递增，在内单调递减，
，当时，
因为关于的方程有两个不等实根，所以实数的取值范围是．
（2）方程的实根个数即方程的实根个数，
设，则，
设，易知在上单调递增，
因为，．
所以存在唯一的，使得，
当时，，即，
当时，，即，
故在上单调递减，在上单调递增．
由，得，对两边同时取对数可得，
所以，
又，，，
所以在及上各有1个零点，
所以在及上各有1个零点，
所以方程有两个不等实根．
21．（2023·北京昌平·北师大二附中未来科技城学校高三月考）已知，，．
（1）若，证明：；
（2）对任意都有，求整数的最大值．
答案：（1）证明见解析；（2）2．
分析：
（1）利用二次求导求得存在唯一零点，使得，在上恒成立上可以证明在定义域上的单调性，可知，便可证明结论.
（2）先判断整数可知，接着证明
在区间上恒成立即可可出结论.
【详解】
解：
（1）证明：设，，则．
因为，且
则在，单调递减，，
所以存在唯一零点，使得
则在时单调递增，在上单调递减
又，
所以在上恒成立上，所以在单调递增
则，即，
所以．
（2）因为对任意的，
即恒成立
令，则
由（1）知，所以
由于为整数，则
因此
下面证明，在区间上恒成立即可.
由（1）知，则
故
设，，则，
所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立.
综上所述, 的最大值为2．
22.（2023·四川省南充市白塔中学高三模拟预测（理））已知函数，，，令．
（1）当时，求函数的单调区间及极值；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
答案：（1）单调递增区间为；单调递减区间为；的极大值为，无极小值；（2）2．
分析：
（1）根据导数与函数单调性和极值的关系求函数的单调区间及极值；
（2）设，求函数的最大值，由此可得整数的最小值．
【详解】
解：（1）当时，，所以．
令得．
由得，所以的单调递增区间为．
由得，所以的单调递减区间为．
所以的极大值为，即，无极小值．
（2）令，
所以，
当时，因为，所以，所以在上是增函数，
又因为，
所以关于的不等式不能恒成立．
当时，．
令，得，所以当时，；
当时，，
因此函数在上是增函数，在上是减函数．
故函数的最大值为．
令，因为，，
且在上是减函数，所以当时，．
所以整数的最小值为．
-
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