新高考高中数学核心知识点全透视专题17.3离散型随机变量分布列与数字特征(精讲精析篇)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题17.3离散型随机变量分布列与数字特征(精讲精析篇)(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了 六条性质等内容，欢迎下载使用。


一、核心素养
1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，凸显数学抽象、数据分析的核心素养.
2.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单的离散型随机变量的均值、方差，凸显数学运算的核心素养．
3．能利用离散型随机变量的均值、方差的概念解决一些简单实际问题，凸显数学建模的核心素养．
二、考试要求
1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，理解两点分布，并能进行简单的应用.
2．理解随机变量的均值、方差的概念，会计算取有限个值的简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决简单的实际问题.
三、主干知识梳理
（一）离散型随机变量的分布列
1．离散型随机变量的分布列
(1)随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．
(2)离散型随机变量
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
随机变量的线性关系：若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量.
2. 分布列的两个性质
①，；②.
3．分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．
(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：
若随机变量服从两点分布，即其分布列为
其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．
(2)设离散型随机变量可能取得值为，，…，，…，取每一个值 ()的概率为，则称表
为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式，表示的分布列．
（二）离散型随机变量分布列与数字特征
1．均值
若离散型随机变量X的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．．
若，其中为常数，则也是随机变量，且.
若服从两点分布，则；
2.方差
若离散型随机变量X的分布列为
则描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差．
若，其中为常数，则也是随机变量，且．
若服从两点分布，则．
3. 六条性质
(1) (为常数)
(2) (为常数)
(3)
(4)如果相互独立，则
(5)
(6)
一、命题规律
离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，以解答题为主，以实际问题为背景考查离散型随机变量的分布列求法、均值与方差在实际问题中的应用.考查分布列的性质、数学期望、方差的计算，及二者之间的关系.往往与函数的单调性、二次函数性质、不等式的应用、数列、导数等相结合.
二、真题展示
1．（2023·浙江·高考真题）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________，___________.
2．（2023·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
考点01 离散型随机变量分布列的性质
【典例1】（2023·浙江·金华市曙光学校高二月考）设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则常数a的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【典例2】（2023·全国·高二课时练习）已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（ ）
A．B．
C．[－3，3]D．[0，1]
【规律方法】
1．离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
2．对于分布列易忽视其性质及，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．
3．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．
4.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
考点02 离散型随机变量分布列的求法
【典例5】（2023·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币2次，设正面朝上的次数为X．
（1）说明表示的是什么事件，并求出；
（2）求X的分布列．
【典例6】（2023年高考北京卷理选）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列；
（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
【总结提升】
1.解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路
(1)明确随机变量可能取哪些值．
(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．
(3)根据分布列和期望、方差公式求解．
【注意】解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．
2. 求分布列的三种方法
(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．
(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．
(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
3. 离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．
(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．
(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．
(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确
考点03 离散型随机变量的均值与方差
【典例7】（2023·浙江高考真题）设，则随机变量的分布列是：
则当在内增大时（ ）
A．增大B．减小
C．先增大后减小D．先减小后增大
【典例8】（2023·浙江省高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______．
【总结提升】
均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．
考点04 离散型随机变量的均值、方差的综合问题
【典例9】(2023年浙江省高考模拟）已知随机变量的分布列如表所示：
若，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例10】（2023·浙江宁波·高三月考）已知离散型随机变量的分布列如下表：
若随机变量的期望值，则_______，_______．
考点05 实际问题中的科学决策
【典例11】（2023·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
【典例12】（2023·江苏高邮·高三月考）某商家以6元一件的价格购进某商品，然后以每件10元的价格出售.如果该商品当天卖不完，剩下的只能作垃圾处理.商家记录了100天该商品的日需求量（单位：件），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（1）若商家一天购进该商品16件，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望；
（2）若商家计划一天购进该商品16件或17件，你认为应购进16件还是17件？请说明理由.
【总结提升】
1.解决与生产实际相关的概率问题时首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的均值．
2.均值与方差在决策中的应用注意点
（1）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
（2）两种应用策略
= 1 \* GB3 ①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．
= 2 \* GB3 ②若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.
3.几种常用的解题方法
(1)转化法．
将现实问题转化为数学模型，将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题，以求得解决途径．
(2)正难则反的解题策略．
当所求问题正面求解过于烦琐时，往往可以使用其对立事件简化过程，一般当问题中出现“至多”“至少”等词语时使用较多．
巩固提升
1.(2023·浙江·高三专题练习）某射手射击所得环数的分布列下表：已知的数学期望，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·浙江高考真题）设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，（ ）
A．减小B．增大
C．先减小后增大D．先增大后减小
3.（2023·广东高二期末）设随机变量X的分布列为P(X=)=ak(k=1，2，3，4)，a为常数，则（ ）
A．a=B．P(X>)=C．P(X<4a)=D．E(X)=
4.(2023·浙江高考真题）已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0A．<，
C．>，，>
5．【多选题】（2023·全国·高二课时练习）(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（ ）
A．a＝B．b＝
C．c＝D．P(|X|＝1)＝
6.【多选题】（2023·全国·高二课时练习）(多选题)离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，E(X)＝3，则（ ）
A．a＝10B．a＝
C．D．b＝1
7.（2023·山东高二期末）已知X的分布列如图所示，则
（1），
（2），
（3），其中正确的个数为________.
8.（2023·防城港市防城中学高二期中（理））袋中装有一些大小相同的球，其中标号为号的球个，标号为号的球个，标号为号的球个，，标号为号的球个．现从袋中任取一球，所得号数为随机变量，若，则______．
10.（2023·山西大同一中高三期中（理））某烘焙店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为60元，售价为100元.如果卖不完，则剩余的蛋糕在当日晚间集中销毁，现收集并整理了该店100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)如下表：
将100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.
（1）若该烘焙店某一天制作生日蛋糕17个，设当天生日蛋糕的需求量为(单位：个)，当天出售生日蛋糕获得的利润为(单位：元).
①试写出关于的表达式；
②求的概率分布列，并计算.
（2）以烘焙店一天出售生日蛋糕获得利润的平均值作为决策依据，你认为烘焙店每天应该制作17个生日蛋糕还是18个？0
1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
X
0
1
P
支付金额（元）
支付方式
（0，1000]
（1000，2000]
大于2000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人
-2
0
2
P
a
b
日需求量
14
15
16
17
18
19
频数
10
20
25
20
15
10
7
8
9
10
0.1
0.3
X
－1
0
1
P
a
b
c
X
-1
0
1
P
0.2
0.3
a
需求量
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
30
20
12
8
专题17.3 离散型随机变量分布列与数字特征（精讲精析篇）
一、核心素养
1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，凸显数学抽象、数据分析的核心素养.
2.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单的离散型随机变量的均值、方差，凸显数学运算的核心素养．
3．能利用离散型随机变量的均值、方差的概念解决一些简单实际问题，凸显数学建模的核心素养．
二、考试要求
1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，理解两点分布，并能进行简单的应用.
2．理解随机变量的均值、方差的概念，会计算取有限个值的简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决简单的实际问题.
三、主干知识梳理
（一）离散型随机变量的分布列
1．离散型随机变量的分布列
(1)随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．
(2)离散型随机变量
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
随机变量的线性关系：若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量.
2. 分布列的两个性质
①，；②.
3．分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．
(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：
若随机变量服从两点分布，即其分布列为
其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．
(2)设离散型随机变量可能取得值为，，…，，…，取每一个值 ()的概率为，则称表
为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式，表示的分布列．
（二）离散型随机变量分布列与数字特征
1．均值
若离散型随机变量X的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．．
若，其中为常数，则也是随机变量，且.
若服从两点分布，则；
2.方差
若离散型随机变量X的分布列为
则描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差．
若，其中为常数，则也是随机变量，且．
若服从两点分布，则．
3. 六条性质
(1) (为常数)
(2) (为常数)
(3)
(4)如果相互独立，则
(5)
(6)
一、命题规律
离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，以解答题为主，以实际问题为背景考查离散型随机变量的分布列求法、均值与方差在实际问题中的应用.考查分布列的性质、数学期望、方差的计算，及二者之间的关系.往往与函数的单调性、二次函数性质、不等式的应用、数列、导数等相结合.
二、真题展示
1．（2023·浙江·高考真题）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________，___________.
答案：1
分析：
根据古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根据随机变量的分布列即可求出．
【详解】
，所以，
, 所以, 则．
由于
．
故答案为：1；．
2．（2023·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
答案：（1）见解析；（2）类．
分析：
（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】
（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
考点01 离散型随机变量分布列的性质
【典例1】（2023·浙江·金华市曙光学校高二月考）设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则常数a的值为（ ）
A．B．C．或D．或
答案：A
分析：
根据分布列的性质，列式求.
【详解】
由分布列的性质可知 ，解得：.
故选：A
【典例2】（2023·全国·高二课时练习）已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（ ）
A．B．
C．[－3，3]D．[0，1]
答案：B
分析：
根据等差数列的性质和分布列的性质可求解.
【详解】
解：由题意得：
设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得
(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故，
由，解得.
所以公差的取值范围是.
故选：B
【规律方法】
1．离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
2．对于分布列易忽视其性质及，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．
3．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．
4.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
考点02 离散型随机变量分布列的求法
【典例5】（2023·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币2次，设正面朝上的次数为X．
（1）说明表示的是什么事件，并求出；
（2）求X的分布列．
答案：
（1）事件见解析，；
（2）分布列见解析．
分析：
（1）根据表示的意义确定事件，并计算概率．
（2）的可能值为0，1，2，求出各概率后得分布列．
（1）
表示正面向上的次数为1的事件，．
（2）
的可能值为0，1，2，则，，
的分布列如下：
【典例6】（2023年高考北京卷理选）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列；
（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
答案：（1）0.4；（2）分布列见解析，E（X）=1；（3）见解析．
【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．
所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为．
（2）X的所有可能值为0，1，2．
记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．
由题设知，事件C，D相互独立，且．
所以，
，
．
所以X的分布列为
（3）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．
假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，
则由上个月的样本数据得．
答案示例1：可以认为有变化．
理由如下：
P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．
一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，
但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．
【总结提升】
1.解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路
(1)明确随机变量可能取哪些值．
(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．
(3)根据分布列和期望、方差公式求解．
【注意】解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．
2. 求分布列的三种方法
(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．
(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．
(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
3. 离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．
(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．
(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．
(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确
考点03 离散型随机变量的均值与方差
【典例7】（2023·浙江高考真题）设，则随机变量的分布列是：
则当在内增大时（ ）
A．增大B．减小
C．先增大后减小D．先减小后增大
答案：D
【解析】
方法1：由分布列得，则
，则当在内增大时，先减小后增大.
方法2：则
故选D.
【典例8】（2023·浙江省高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______．
答案：
【解析】
因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以，
随机变量，
，
，
所以.
故答案为：.
【总结提升】
均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．
考点04 离散型随机变量的均值、方差的综合问题
【典例9】(2023年浙江省高考模拟）已知随机变量的分布列如表所示：
若，则（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
【解析】
由题意得.
∵
∴
∵
∴
设，则在上单调递减.
∵
∴
故选D.
【典例10】（2023·浙江宁波·高三月考）已知离散型随机变量的分布列如下表：
若随机变量的期望值，则_______，_______．
答案： 11
分析：
根据，结合表中数据求得a，b，然后利用方差公式及方差性质求解.
【详解】
由表中数据得：，
解得，则，
所以，
所以，
故答案为：；11
考点05 实际问题中的科学决策
【典例11】（2023·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
答案：（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）．
分析：
（1）①由题设条件还原情境，即可得解；
②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解.
【详解】
（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意，可以取20，30，
，，
则的分布列:
所以；
（2）由题意，可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，
则.
【典例12】（2023·江苏高邮·高三月考）某商家以6元一件的价格购进某商品，然后以每件10元的价格出售.如果该商品当天卖不完，剩下的只能作垃圾处理.商家记录了100天该商品的日需求量（单位：件），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（1）若商家一天购进该商品16件，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望；
（2）若商家计划一天购进该商品16件或17件，你认为应购进16件还是17件？请说明理由.
答案：（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）购进16件更合理，理由见解析.
分析：
（1）根据题意可知的可能取值为44､54､64，并由表格分别计算出各自对应的概率，得到分布列，求出数学期望；
（2）计算出购进17件时利润的数学期望，与比较即可得出．
【详解】
（1）的可能取值为44､54､64，
，，，
的分布列为：
.
（2）若当天购进17件，则利润为：
，
因为，所以购进16件更合理.
【总结提升】
1.解决与生产实际相关的概率问题时首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的均值．
2.均值与方差在决策中的应用注意点
（1）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
（2）两种应用策略
= 1 \* GB3 ①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．
= 2 \* GB3 ②若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.
3.几种常用的解题方法
(1)转化法．
将现实问题转化为数学模型，将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题，以求得解决途径．
(2)正难则反的解题策略．
当所求问题正面求解过于烦琐时，往往可以使用其对立事件简化过程，一般当问题中出现“至多”“至少”等词语时使用较多．
巩固提升
1.(2023·浙江·高三专题练习）某射手射击所得环数的分布列下表：已知的数学期望，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
利用离散型随机变量的分布列和数学期望列出方程组，能求出的值．
【详解】
解：的数学期望，
由射手射击所得环数的分布列，得，
解得，．
故选：．
2.(2023·浙江高考真题）设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，（ ）
A．减小B．增大
C．先减小后增大D．先增大后减小
答案：D
【解析】
，
，
，∴先增后减，因此选D.
3.（2023·广东高二期末）设随机变量X的分布列为P(X=)=ak(k=1，2，3，4)，a为常数，则（ ）
A．a=B．P(X>)=C．P(X<4a)=D．E(X)=
答案：B
【解析】
因为a(1+2+3+4)=1，所以a=，
所以P(X>)=+，
P(X<4a)=P(X<)=，
E(X)=×+×+×+×.
故选：B.
4.(2023·浙江高考真题）已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0A．<，
C．>，，>
答案：A
【解析】
∵，∴，
∵，∴，故选A．
5．【多选题】（2023·全国·高二课时练习）(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（ ）
A．a＝B．b＝
C．c＝D．P(|X|＝1)＝
答案：BD
分析：
本题根据等差数列性质得出a，b，c之间的关系，再利用分布列的性质即可求解.
【详解】
解：由题意得：
∵a，b，c成等差数列
∴2b＝a＋c.
由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1
∴
∴
.
故B、D正确；
因为题目中未给出a与c的关系，本题我们只知道，故无法求出a与c的值，故A、C错误；
故选：BD
6.【多选题】（2023·全国·高二课时练习）(多选题)离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，E(X)＝3，则（ ）
A．a＝10B．a＝
C．D．b＝1
答案：BC
分析：
根据概率和为1，以及期望公式，即可求解.
【详解】
易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3．①
又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，②
由①②，得，.
故选：BC
7.（2023·山东高二期末）已知X的分布列如图所示，则
（1），
（2），
（3），其中正确的个数为________.
答案：1
【解析】
由题意知：
，即；

综上，故（1）正确，（2）（3）错误，正确的个数是1.
故答案为：1.
8.（2023·防城港市防城中学高二期中（理））袋中装有一些大小相同的球，其中标号为号的球个，标号为号的球个，标号为号的球个，，标号为号的球个．现从袋中任取一球，所得号数为随机变量，若，则______．
答案：
【解析】
由题意可知，所有球的个数为，
由古典概型的概率公式可得，解得.
故答案为：.
9.（2023·吉林高二期中（理））设随机变量的分布列,则 _______
答案：.
【解析】
因为随机变量的分布列,
所以，
解得，
因此.
故答案为.
10.（2023·山西大同一中高三期中（理））某烘焙店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为60元，售价为100元.如果卖不完，则剩余的蛋糕在当日晚间集中销毁，现收集并整理了该店100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)如下表：
将100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.
（1）若该烘焙店某一天制作生日蛋糕17个，设当天生日蛋糕的需求量为(单位：个)，当天出售生日蛋糕获得的利润为(单位：元).
①试写出关于的表达式；
②求的概率分布列，并计算.
（2）以烘焙店一天出售生日蛋糕获得利润的平均值作为决策依据，你认为烘焙店每天应该制作17个生日蛋糕还是18个？
答案：（1）①；②分布列答案见解析，；（2）每天应该制作个生日蛋糕.
【解析】
（1）当时，
当时，
①
②由①可知的概率分布列为
故
（2）由（1）②知，当每天制作17个生日蛋糕时，对应利润的平均值
与（1）类似地，可以得到当每天制作18个生日蛋糕时，其对应利润为的分布列为
故
由于故每天应该制作个生日蛋糕.0
1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
X
0
1
P
0
1
2
支付金额（元）
支付方式
（0，1000]
（1000，2000]
大于2000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人
X
0
1
2
P
0.24
0.52
0.24
-2
0
2
P
a
b
日需求量
14
15
16
17
18
19
频数
10
20
25
20
15
10
44
54
64
0.1
0.2
0.7
7
8
9
10
0.1
0.3
X
－1
0
1
P
a
b
c
X
-1
0
1
P
0.2
0.3
a
需求量
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
30
20
12
8
480
580
680
0.1
0.2
0.7
420
520
620
720
0.1
0.2
0.3
0.4