1.4 充分条件与必要条件（六种常考题型）-【初升高衔接】2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

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知识点1 命题及相关概念
知识点2 充分条件与必要条件
注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式．
（2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”．
知识点3 充要条件
如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件．
如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件．
注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
①若，则称是的充分条件，是的必要条件．
②若，则是的充要条件．
③若，且，则称是的充分不必要条件．
④若，且，则称是的必要不充分条件．
⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件．
（2）“”的传递性
若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件．
题型一命题的概念及真假
1．下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;
③方程的判别式大于0;
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
⑤集合 是集合A的子集，且是的子集．
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据矩形以及菱形的性质即可判断①②，根据一元二次方程的判别式即可判断③，根据三角形全等的判断即可判断④，根据集合的关系即可判断⑤.
【详解】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确;
对于②，菱形不一定有外接圆，故错误，
对于③，方程的判别式为，故正确，
对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误，
对于⑤，,故正确;
故选：C．
2．将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)当a＞b时，有ac2＞bc2；
(2)实数的平方是非负实数；
(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除．
【答案】(1)若a＞b，则ac2＞bc2，是假命题
(2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题
(3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，是真命题
【分析】（1）可以举反例证明；
（2）实数的平方必为非负数；
（3）由，即可判断.
【详解】（1）若a＞b，则ac2＞bc2，当，则该命题不成立，故为假命题；
（2）若，则，该命题为真命题；
（3）若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，
若一个数能被6整除，即6为该数的一个因数，由，
则也为该数的因数，故该命题正确.
3．(多选)下列语句是命题的是（ ）
A．3是15的约数B．x2+2x+1≥0
C．4不小于2D．你准备考北京大学吗?
【答案】ABC
【分析】根据命题的定义逐个判断即可.
【详解】对于A，3能整除15，为真，所以A是命题；
对于B，，为真，所以B是命题；
对于C，，所以“4不小于2”为真，所以C是命题；
对于D，“你准备考北京大学吗?”是疑问句不是陈述句，且无法判断真假，所以D不是命题.
故选：ABC.
4．下列语句中是命题的有________；是真命题的有________（填序号）.
①这里真热闹啊！②求证是无理数；③一个数不是正数就是负数；④并非所有的人都喜欢苹果；⑤若x＝2，则.
【答案】 ③④⑤ ④⑤
【分析】利用命题的意义，逐一判断各个语句，并判断命题真假作答.
【详解】①是感叹句，不是命题；②是祈使句，不是命题；
③是命题，一个数不是正数可能是负数，还可能为0，可以判断该语句的真假，所以该命题为假命题；
④是命题，有的人喜欢苹果，也有人不喜欢苹果，所以可判断该语句的真假，它是命题，并且是真命题；
⑤是命题，当时，，可以判断该语句的真假，它是命题，并且是真命题．
故答案为：③④⑤；④⑤
5．以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【答案】B
【分析】根据命题的定义进行判断.
【详解】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．
故选：B
6．下列命题中真命题有（ ）
①是一元二次方程；
②函数的图象与x轴有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】B
【分析】对于①，举反例即可判断；对于②，令，求解即可判断；对于③，根据包含关系即可判断；对于④，根据空集不是本身的真子集即可判断.
【详解】①中，当时，是一元一次方程，①错误；
②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确；
③中，互相包含的两个集合相等，③正确；
④中，空集不是本身的真子集，④错误．
故选：B
题型二充分、必要条件的判定
7．明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合题意即可下结论.
【详解】“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件.
故选：B.
8．不等式“”成立，是不等式“”成立的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分、必要条件的定义判断.
【详解】由，但，所以由“”不能推出“”；
又，但，所以由“”不能推出“”，
即不等式“”成立，是不等式“”成立的既不充分也不必要条件.
故选：D
9．“”是“”的____(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”).
【答案】充分不必要条件
【分析】利用集合法求解.
【详解】由解得：，记集合.
由解得：，记集合.
因为，所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件
10．“”是“”的________条件，“”是“”的________条件（用“充分”“必要”填空）．
【答案】 必要 充分
【分析】由于，再根据充分条件和必要条件的定义即可作答.
【详解】由于，
所以“”是“”的必要条件，“”是“”的充分条件．
故答案为：必要；充分
11．已知实数a，b，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
【详解】为充要条件．
故选：C.
12．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】先判断充分性是否满足，再判断必要性是否满足，即可得答案.
【详解】解：充分性：若，则可得有三种可能：①两个都为正；②一个为正、一个为零；③一个为正、一个为负且正数的绝对值大于负数的绝对值，
所以或或，
故不是的充分条件；
必要性:若，则或，故或，
故“”不是“”的必要条件.
综上，“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
13．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不允分也不必要条件
【答案】B
【分析】分别求解与，再根据充分性与必要性判断即可.
【详解】由“”解得，由“”解得，故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
14．已知A，，则“”是“”的__________条件．
【答案】充要
【分析】根据集合间的运算即可结合充要条件的定义进行求解.
【详解】由可得,所以，
由得，进而，故“”是“”的充要条件，
故答案为：充要
15．“”是“不等式与同解”的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】D
【分析】取特殊值，即可得出充分性和必要性均不满足.
【详解】取，，满足，
所以即为，即为，
两不等式的解集不同，故充分性不满足；
不等式与不等式的解集相同，均为R，
但不满足，故必要性不满足.
所以“”是“不等式与同解”的既不充分又不必要条件.
故选：D.
16．(多选)下列命题是真命题的是（ ）
A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件
B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件
C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件
D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件
【答案】AC
【分析】根据充分条件与必要条件的定义逐项判断即可.
【详解】∵x＞3⇒x＞2，“x＞2”是“x＞3”的必要条件，∴A是真命题；
∵x＝2⇒x2＝4，x2＝4不能推出x＝2，“x＝2”不是“x2＝4”的必要条件，∴B是假命题；
∵A∩B＝B⇒A∪B＝A，“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件，反之也成立，故也是充分条件，∴C是真命题；
∵ac＞bc，c