一元二次函数、方程和不等式章末检测卷-【初升高衔接】2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

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1．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.
【详解】对于A，取特殊值，，，满足条件，但不满足结论，故A错误；
对于B，由，若，则，故B错误；
对于C，由同向不等式的性质知，，可推出，故C正确；
对于D，取，满足条件，但，故D错误.
故选：C.
2．已知，为实数，满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，以及作差比较和特殊值法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，例如，此时满足且，此时，所以A不正确；
对于B中，当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以B不正确；
对于C中，由且，可得，所以，所以C正确；
对于D中，由，因为，可得，但的符号不确定，所以D不正确.
故选：C.
3．若a，b为实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】D
【分析】由重要不等式可得答案.
【详解】注意到，，则，当且仅当时取等号.
故选：D
4．已知二次函数，关于该函数在时，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值，有最小值
B．有最大值0，有最小值
C．有最大值7，有最小值
D．有最大值7，有最小值
【答案】D
【分析】将二次函数整理成一般式，利用二次函数的单调性得出最值，即可得出答案.
【详解】∵，开口向上，对称轴为，，
所以时，随着增大而减小；时，随着增大而增大，
即当时，有最小值为，当时，，
当时，，所以二次函数有最大值为，有最小值为，
故选：D
5．如图是函数的图象，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【分析】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.
【详解】由二次函数图象可得：若，则或，
故不等式的解集为或.
故选：C.
6．“”是“成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】化简“成立”，再结合充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】由可得，
化简可得，
所以“成立”等价于“”，
“”可推出“成立”，
“成立”不能推出“”
所以“”是“成立”的充分不必要条件，
故选：A.
7．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为（ ）
A．B．1C．2D．6
【答案】C
【分析】由勾股定理，得到两直角边的关系，表示出周长后利用基本不等式求面积的最大值.
【详解】设该直角三角形的斜边为，直角边为，，则，
因为，所以，即，
当且仅当，且，即时，等号成立.
因为，，所以，所以的最大值为4，
该直角三角形周长，
故这个直角三角形周长取最大值时，，
此时三角形的面积为.
故选：C.
8．若，则在①，②，③，④，这四个不等式中，不正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据不等式的性质，以及基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】因为，
对于①中，由，当且仅当时，等号成立，所以①正确；
对于②中，由，当且仅当时，等号成立，
所以，所以②不正确；
对于③中，由不等式，可得，
两边同除，可得成立，所以③成立；
对于④，由，
可得，即，所以成立，所以④正确.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AD
【分析】举反例排除BC，利用不等式的性质判断AD，从而得解.
【详解】对于A选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以A正确；
对于B选项，例如：，，但是，所以B错误；
对于C选项，当时，，所以C错误；
对于D选项，因为，所以，又，所以，所以D正确.
故选：AD．
10．关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】CD
【分析】由题意先判断出，写出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3个正整数，分析的这3个正整数为,计算求解即可.
【详解】不等式化简为的解集中恰有3个正整数，
当时，不等式化为，则解集中有无数个整数.
当时，不等式的解集中有无数个正整数，故A错误；
所以，，，所以
所以不等式的解集为：， 根据0一定属于此集合，
则由不等式的解集中恰有3个正整数，
则这3个整数中一定为：，
则，解得
故可取和2，故C,D正确，AB错误；
故选：CD.
11．已知正实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由基本不等式，即可结合选项逐一求解.
【详解】因为，且均为正实数，所以由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立，正确；
由不等式，得，所以，即，当且仅当时等号成立，C错误（或）；
因为，所以，当且仅当时等号成立，D正确．
故选：ABD
12．已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（ ）
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m1}，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为___________．

【答案】1
【分析】设花卉带的宽度为米，根据题设有求解集，即可确定最小值.
【详解】设花卉带的宽度为米，则，即，
所以，故，
所以花卉带的宽度至少应为1米.
故答案为：1
14．若,,则的取值范围是________.
【答案】
【分析】根据绝对值定义求范围,再根据不等式性质求出结果.
【详解】因为,
所以,
又,
所以,
所以.
故答案为:.
15．已知，求的最小值为______.
【答案】/.
【分析】将函数的解析式变形，然后利用基本不等式可求出最小值.
【详解】，，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
16．已知函数在区间上的最小值为，则a的值为___________.
【答案】
【分析】根据二次函数的性质，求出二次函数的对称轴，然后分三种情况讨论：，和，由二次函数的单调性找出最小值即可求解．
【详解】函数的对称轴
当时，函数在区间上单调递增，，成立；
当时，函数在内单调递减，在内单调递增，
，解得（舍去）或，所以；
当时，在区间上单调递减，，解得，不成立.
综上可知，.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据二次不等式的解法求解即得；
（2）分类讨论求解即可得解.
【详解】（1）当时，不等式化为，
解得或.
∴不等式的解集为.
（2）关于的不等式，即，
当时，得，解集为；
当时，无解，解集为空集；
当时，得，解集为.
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为空集；
当时，解集为.
18．（1）已知，且.求的最小值.
（2）已知均为正数，且，求证：.
【答案】（1）9；（2）证明见解析
【分析】（1）由基本不等式求解，
（2）由基本不等式证明，
【详解】（1）因为，且，所以，
所以，
当且仅当即时取等，所以的最小值为9
（2）因为
则，
，
三式相加得：
所以.
19．已知二次函数满足，请从下列①和②两个条件中选一个作为已知条件，完成下面问题.
①；②不等式的解集为.
(1)求的解析式；
(2)若在上的值域为，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选择①，设，根据条件代入列出关系式，求解即可；若选择②，设，原题可转化为已知一元二次不等式的解集求系数，根据一元二次方程与不等式的关系即可得出答案.
（2）由二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）设，由得，，即，
若选择①：则，
即，
则，，解得，，即；
若选择②：则不等式的解集为，即，且方程的两根为和4，
则，，解得，，即；
（2）由（1）知，函数开口向上，
对称轴为直线，且，，
若在上的值域为，则，
令，解得或，根据二次函数的图象知，，
综上所述：实数的取值范围为.
20．汽车在隧道内行驶时，安全车距（单位：）正比于车速（单位：）的平方与车身长（单位：）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为时，安全车距为个车身长．
(1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距与车速之间的函数关系式；
(2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为，当速度为多少时该车队通过（第一辆车头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为的隧道用时最短?
【答案】(1)
(2)km/h
【分析】（1）根据题意为定值，设比例常数为，则，代入数值，得到，令，则，最后写出分段函数解析式即可；
（2）设通过隧道的时间为，则，分当和两种情况，结合幂函数的性质及基本不等式计算可得．
【详解】（1）根据题意为定值，设比例常数为，则，
所以，所以，
所以，令，则，
所以.
（2）设通过隧道的时间为，则．
①当时，．
②当时，
．
当且仅当，即时等号成立．
又，
所以当时用时最短．
答：当速度为时该车队通过该隧道用时最短．
21．（1）已知，且满足.求的最小值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值；
（3）已知，求的最大值.
【答案】（1） （2） （3）
【分析】（1）由已知把变形为，展开后用基本不等式求得最小值；
（2）分离参数化为恒成立，再利用基本不等式求出不等式右边的最小值即可得解；
（3）令，，可得，代入所求式子化简整理，运用基本不等式可得所求最大值；
【详解】（1）由，可得
；
当且仅当，即时，等号成立，
所以，的最小值为
（2）不等式恒成立化为恒成立，
又因为，所以，因此
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
即实数的最大值为9．
（3）令，，
可得，
所以，；
当且仅当时，上式取得等号，
可得的最大值为．
22．设二次函数，其中.
(1)若，且关于的不等式的解集为，求的取值范围；
(2)若，且均为奇数，求证：方程无整数根；
(3)若，当方程有两个大于1的不等根时求的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）根据题意分析可得在上恒成立，则根据一元二次不等式在实数集上的恒成立可得，运算求解；
（2）根据题意分析可得为奇数，为偶数，分类讨论的奇偶证明；
（3）根据二次方程根的分布列式求解.
（1）
∵
∴在上恒成立
∵，则，解得
综上所述：的取值范围为.
（2）
∵，则为奇数，为偶数
当时，则有：
1.若均为偶数时，则为偶数
∴，即方程无整数根
2.若均为奇数时，则有
①若为偶数时，则为偶数
∴，即方程无整数根
②若为奇数时，则为偶数
∴，即方程无整数根
综上所述：方程无整数根
（3）
由题意可得，解得
则的取值范围为.题号
一
二
三
四
总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分