3.1.2 函数的表示法（七种常考题型）- 【初升高衔接】2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

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知识点1 函数的表示法
注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．
知识点2 分段函数
1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
（2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的．
（3）分段函数的图象要分段来画．
题型一函数的表示法
1．自变量x与因变量y之间的关系如下表：
（1）写出x与y的关系式：________.
（2）当时，________.
【答案】 5
【分析】根据表格数据直接得到关系式，再代入即可得到值.
【详解】观察表格可知，的值是值的两倍，故，当，.
故答案为：；5.
2．已知函数由下表给出，则 ________.
【答案】
【分析】根据表格中函数的对应关系，先求得，进而求得的值.
【详解】根据表格中的对应关系，可得，则.
故答案为：.
3．已知函数由下表给出，则等于（ ）
A．1B．2
C．3D．不存在
【答案】C
【分析】根据函数定义求值.
【详解】由已知，因为，所以，
故选：C．
4．若函数与分别由下表给出，则 =（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用函数中图表的对应关系，求出，则，再根据函数中图表的对应关系即可求出结果.
【详解】由题知，因此，
故选：B.
5．如图是一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况示意图．

该汽车在这段时间内的最高时速是________．
【答案】80千米/时
【分析】根据图像直接提取信息即可.
【详解】由图像可知，
纵轴代表速度，所以最高时速为80千米/时.
故答案为：80千米/时
6．（多选）下列图形中，表示函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】借助函数的概念进行判断.
【详解】根据函数的定义，可知A、B是函数图象，正确；C、D图像中每个x的值对于不是唯一的y值，错误．
故选：AB
7．已知集合，．
(1)试写出一个上的函数，使其值域为；
(2)试写出一个上的函数，使其值域为的子集．
【答案】(1)（答案不唯一）；
(2)（答案不唯一）．
【分析】（1）（2）本题属于开放性问题，只要找到合适条件的解析式即可.
【详解】（1）不妨令，，
则，，，
所以，即的值域为集合，符合题意.
（2）不妨令，，
则，，，所以，
满足的值域为的子集，符合题意.
8．若，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】求出对称轴、及，即可判断函数所过象限，从而得解.
【详解】对于函数，因为，，
则对称轴为，，且，
所以函数开口向下，对称轴在轴右侧，与轴有两个交点，且交轴负半轴，
故函数经过一、三、四象限，不经过第二象限.
故选：B
题型二函数的图象的应用
9．（多选）若函数的图象为如图所示的曲线m和线段n，曲线m与直线l无限接近，但永不相交，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．在的定义域内任取一个值，总有唯一的y值与之对应
D．在的值域内任取一个值，总有唯一的x值与之对应
【答案】BC
【分析】A选项，取不到-3，A错误；
B选项，由图象可知值域为；
C选项，由图象及函数的定义可知定义域内任取一个值，总有唯一的y值与之对应；
D选项，可举出反例.
【详解】由题意得：定义域为，A错误；
的最小值为1，故值域为，B正确；
由函数定义及图象可知：在的定义域内任取一个值，总有唯一的y值与之对应，C正确，
在的值域内任取一个值时，此时有两个x值与之对应，D错误.
故选：BC
10．如图是周老师散步时所走的离家距离（y）与行走时间（x）之间的函数关系的图象，则周老师散步的路线可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据关于的函数关系的图象确定正确答案.
【详解】根据关于的函数关系的图象可知，
周老师先远离家，然后有一段时间和家的距离相同，然后再回家（离家越来越近），
所以D选项对应图象符合.
故选：D
11．在同一直角坐标系中，函数与的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数和反比例函数图像的特点进行判断即可.
【详解】时，反比例函数的图像经过二、四象限，一次函数的图像经过二、三、四象限，没有选项符合；
时，反比例函数的图像经过一、三象限，一次函数的图像经过一、二、三象限，C选项符合；
故选：C
12．（多选）如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象.（收支差额＝车票收入-支出费用）.由于目前本条线路亏损，公司有关人员为扭亏为盈，分别提出了将图1变为图2与图3的两种建议.下列关于两种建议说法中正确的是（ ）

A．图2的建议是：支出不变，只提高票价
B．图2的建议是：只减少支出，票价不变
C．图3的建议是：减少支出，同时提高票价
D．图3的建议是：支出不变，只提高票价
【答案】BD
【分析】根据题意知图象反应了收支差额与乘客量的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当的点说明公司的成本情况，再结合图象即可判断各选项．
【详解】对于AB，由图2可知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为时，
收入是但是支出的变少了，即说明了此建议是减少支出而保持票价不变，A错，B对；
对于CD，由图3可知，当乘客量为时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，
即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，
即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，C错，D对.
故选：BD．
13．如图为函数和的图象，则不等式的解集为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】数形结合判断各区间函数值的正负即可.
【详解】由图象可得当，此时需满足，则符合要求，故；
当，此时需满足，则符合要求，故.
综上所述，.
故选：D.
14．已知函数，则函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果.
【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称，
由解析式，作出的图像如图
.
从而可得图像为D选项.
故选：D.
15．设均为非零实数，则直线和在同一坐标系下的图形可能是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】假设每个选项中的一次函数图象正确，可得的正负，由此可确定二次函数的开口方向和对称轴位置，可排除得到最终结果.
【详解】对于A，若图象正确，则，，
开口方向向上，对称轴为，与图象符合，A正确；
对于B，若图象正确，则，，
开口方向向下，与图象不符，B错误；
对于C，若图象正确，则，，
开口方向向上，与图象不符，C错误；
对于D，若图象正确，则，，
开口方向向上，与图象不符，D错误.
故选：A.
题型三函数解析式的求法
16．已知，求.
【答案】
【分析】利用配凑法求解.
【详解】因为，
所以.
17．已知函数是一次函数且，则函数的解析式为_________．
【答案】
【分析】设，根据已知条件列方程组，由此求得，进而求得正确答案.
【详解】设，
由得，
即，
所以，解得，
所以．
故答案为：
18．已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用换元法即可得解.
【详解】令，则，
又，所以，则，
故选：C.
19．（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式．
（2）若对任意实数x，均有，求的解析式．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设，利用待定系数法求解即可；
（2）构造关于方程组求解即可.
【详解】（1）因为是一次函数，所以设，，
又因为，
所以，整理得，
故，解得，
所以.
（2）因为①，
所以②，
由①②得：，
解得：.
20．（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）应用换元法求函数解析式；
（2）构造方程组并作差求函数解析式.
【详解】（1）令，则，故，
所以；
（2）由题设①，结合②，
3×①②得：，故.
21．已知，求的解析式
【答案】
【分析】用方程组的方法求解即可.
【详解】因为，
用替换得，
消去，解得，即.
22．已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则___________，___________.
【答案】
【分析】由题可知，在函数满足的条件中，用代替上式中的，采用解方程的可得函数的解析式，而二次函数的解析式用待定系数法可解.
【详解】解：（1）①，用代替上式中的，得②，联立①②，可得；设，所以，即，
所以，解得，，又，得，所以.
故答案为：，
23．若二次函数满足，且，则的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式.
【详解】设，，
∵，则，
又∵，
令，则，∴，即，，
令，则，，即，，
∴，，.
故选：D.
题型四分段函数求值或值域
24．（多选）已知函数，则（ ）
A．最小值为1B．最大值为2C．无最小值D．无最大值
【答案】AD
【分析】分段讨论后求解最值，
【详解】由题意得，函数最小值为1，无最大值，
故选：AD
25．已知函数，则的值域 _____.（用列举法表示）
【答案】
【分析】根据函数解析式，利用分段函数性质即可得其值域.
【详解】因为函数，
由分段函数性质可得的值域为，
故答案为：.
26．已知函数，则的值为______.
【答案】7
【分析】根据函数的解析式，代入，逐次计算，即可求解.
【详解】由题意，函数，
则.
故答案为：.
27．函数，则（ ）
A．4B．2C．8D．6
【答案】B
【分析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代相应的对应关系
【详解】因为，
所以.
故选：B
28．下列四个函数：① ；②；③ ；④ ．其中定义域与值域相同的函数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据函数解析式分别求得每个函数的定义域和值域，即可判断出答案.
【详解】①的定义域和值域均为R,
②,定义域为 ，∴值域为，定义域与值域相同；
③的定义域为R，值域为 ，
定义域与值域不相同；
④的定义域为R，当时，；
当时，，则函数值域为R, 故函数定义域与值域相同，
所以函数定义域与值域相同的函数是①②④，共有3个．
故选：C．
29．已知函数，则的最小值为_________．
【答案】1
【分析】画出的图象后可求其最小值.
【详解】的图象如图所示，
故的最小值为1，
故答案为：1.
30．设函数，若，则__________．
【答案】
【分析】对的取值范围进行分类讨论，分别代入计算即可得出符合题意的取值.
【详解】由题意可得，当时，，此时方程无解；
当时，，解得或（舍）
故答案为：
31．已知函数，则______．
【答案】6
【分析】根据分段函数的解析式求解函数值.
【详解】函数，，
.
故答案为：6
32．已知函数，
(1)求与的值：
(2)画出函数的图象，说出函数的单调区间，并求的最大值.
【答案】(1).
(2)函数图象见答案；函数单调递增区间为，单调递减区间为,的最大值为3.
【分析】（1）根据分段函数的解析式，即可求得答案；
（2）分段作出函数的图象，由此可写出函数的单调区间以及最大值.
【详解】（1）因为，所以，；
（2）作出函数的图象，如图示：
函数单调递增区间为，单调递减区间为,
当时，，当时，，故的最大值为3.
题型五已知分段函数的值求参数或自变量
33．已知，若，则的值是（ ）
A．0B．1C．2D．0或2
【答案】D
【分析】根据定义域分别由求的值即可.
【详解】当时，由，解得；
当时，由，解得；
则的值是或0.
故选：D.
34．已知函数，若，则实数______．
【答案】或
【分析】分、、三种情况解方程，即可解得实数的值.
【详解】当时，由，可得，合乎题意；
当时，由，解得，合乎题意；
当时，由，解得，不合乎题意.
综上所述，或.
故答案为：或.
35．设函数，若，则实数（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】先计算，然后讨论的范围，根据直接计算即可.
【详解】由题可知：
①，则
②
所以
故选：C
36．设函数，若，则实数a＝_____．
【答案】或
【分析】由分段函数解析式可得在定义域内恒成立，由题意可得，分和两种情况，运算求解.
【详解】当时，则；
当时，则；
综上所述：在定义域内恒成立，
令，则，解得，即，
当时，则，解得；
当时，则，解得或（舍去）；
综上所述：或.
故答案为：或.
37．已知定义在上的函数的图像经过原点，在上为一次函数，在上为二次函数，且时，，，
(1)求的解析式；
(2)求关于的方程的解集.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用待定系数法及二次函数的性质，结合点在函数的图象上即可求解；
（2）根据（1）的结论及分段函数分段处理的原则即可求解.
【详解】（1）当时，∵，
∴设.
又，∴，解得.
∴，.
∴.
故和时，的图象均过点.
∵当时，为一次函数，
∴设.
∵的图像过原点，∴，
∴，即.
将点代入，得，即
所以，.
综上所述，的解析式为.
（2）当时，，解得；
当时，，即，解得，
又因为，，
所以，
综上所述，的取值为或.
38．已知函数.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)2；
(2)或2
【分析】（1）根据的取值范围求出对应的函数值，再将函数值代入相应的解析式即可求得.
（2）对自变量分情况讨论，令函数值等于，求出对应的，再根据自变量的取值范围即可确定的值.
【详解】（1）
，
（2）
当时，，解得，不成立；
当时，，解得或，成立；
当时，，解得成立.
综上，的值为或2.
39．（多选）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．D．若，则的值是2
【答案】BCD
【分析】对A：根据解析式判断定义域；对B：结合一次函数、二次函数求出值域；对C：代值即可求出结果；对D：利用函数值分段讨论求出变量的值.
【详解】对A：由题意知函数的定义域为，故A错误；
对B：当时，；当时，；
则的值域为，故B正确；
对C：当时，，故C正确；
对D：当时，，解得，不合题意；
当时，，解得或（舍去）；
综上所述：若，则的值是2，故D正确；
故选：BCD．
40．已知函数若，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】先求出在各段上的值域，根据求得的值，进一步求得.
【详解】当时，的值域为，
当时，的值域为；
当时，的值域为.
要使，则，所以，解得.
故选：D.
题型六分段函数不等式
41．已知函数，则不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】当时，由单调性解不等式即可．
【详解】函数
当，函数单调递增，
则化为
解得，
故答案为：．
42．设函数,则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据分段函数解析式，分，解不等式即得.
【详解】当时，，解得或，
所以或；
当时，，解得，
所以；
综上，满足的的取值范围是.
故选：D.
43．已知函数.
(1)在所给坐标系中作出的简图；
(2)解不等式.
【答案】(1)图像见解析
(2)
【分析】（1）直接画出对应二次函数和反比例函数的图像即可；
（2）分段函数分段解不等式即可.
【详解】（1）的简图如下：
；
（2）由已知得或，
解得或，
即不等式的解集为．
44．设，则不等式的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分别在和的情况下解一元二次不等式即可.
【详解】当时，由得：，解得：或，；
当时，由得：，解得：，；
不等式的解集是.
故选：A.
45．已知函数，则不等式的解集是________．
【答案】
【分析】分和，利用分段函数求解.
【详解】当时，由－x，解得x，
当时，由2x－1，解得x，
综上不等式的解为x或x.
所以.
故答案为：
46．已知，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题，分，两种情况讨论求解即可.
【详解】解：当时，，
所以，即，解得，
当时，，
所以，即，解得，
所以，的取值范围是
故选：D
47．已知，函数，当时，不等式则的解集是______；若函数的图象与x轴恰有2个交点，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】分段函数根据不同分段分别求解，分段不确定时先讨论分段.
【详解】，，则当，得；
当，得；
综上，当时，不等式则的解集是.
函数的图象与x轴恰有2个交点等价于恰有两个根，
又，.
故当，根为1、2，符合题意；
当，根为1、2、3，不合题意；
当，根为1、3，符合题意；
当，根为3，不合题意；
故的取值范围是.
故答案为：；.
48．已知函数，若，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【分析】讨论，和三种情况，分别解出a的范围，最后求并集即可.
【详解】当时，显然不成立；
当时，不等式可化为，解得；
当时，不等式可化为，解得．
综上所述，a的取值范围为或
故答案为：
题型七根据分段函数的值域求参数
49．已知函数的值域与函数的值域相同，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据的值域为列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】依题意，，
当时，，
函数的值域与函数的值域相同，即为，
需满足，解得.
所以实数a的取值范围是.
故选：B
50．已知函数，若值域为，则实数c的范围是______.
【答案】
【分析】由分段函数的解析式进行分析，画出函数图像，由图像分析得出结论.
【详解】当x＝2时，，，
∵值域为，
∴当时，
由，得，此时，
由，得，解得x＝2或x＝－1，
作出图像：
有图像可得：要满足题意则：
综上，，即实数c的取值范围是.
故答案为：
51．已知函数，若，则的值域是_________；若的值域是，则参数的取值范围是_________.
【答案】 ； .
【分析】第一空，根据分段函数的解析式，分段求解函数值的范围，取并集可得答案;
第二空，结合二次函数的性质，根据题意得到参数需满足的不等式，求得答案.
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
故的值域是；
若的值域是，
因为时，，
因为时，，故需满足 ，
又因为需满足 ，则，故参数的取值范围是，即，
故答案为：;.
52．已知函数，当时，，则的最大值是________．
【答案】/
【分析】分别求得和时对应的自变量的值，结合的图象可确定的取值范围，由此可得结果.
【详解】令，解得：；令，解得：；
图象如下图所示，
由图象可知：，，.
故答案为：.
53．（多选）已知函数的值域为，则a的值可以是（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】BCD
【分析】首先分别求解与两段函数解析式对应的值域，然后结合题干的整体值域求出参数的取值范围，即可得到答案.
【详解】由题，当时，，
故得时，函数的值域为，
当时，，函数的值域为，
已知函数在上的值域为，故.
故选：BCD
54．已知函数的值域为，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据题意确定，考虑，两种情况，根据函数的单调性得到取值范围，计算得到答案.
【详解】因为当时，，要使的值域为，必须满足当时，单调递增，故．
当时，，故当时，
当时，，不等式恒成立；
当时，，解得，即.
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：
55．已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】先求出时，的值域为；再分类讨论，分别求出在上的值域，根据题意列不等式，分别求解即可.
【详解】当时，由于为上的增函数，其值域为；
当时，为顶点在开口向上的抛物线，对称轴.
i.若，则二次函数的最小值为.
要使的值域为R，只需：，解得：.
所以；
ii.若，则二次函数在上单调递增，所以最小值为.
要使的值域为R，只需：，解得：.
所以；
综上所述：实数t的取值范围是.
故答案为：
56．已知函数，．
(1)当时，求的解集；
(2)若的最大值为3，求的值．
【答案】(1)详见解析；
(2)
【分析】（1）根据二次不等式的解法，分类讨论即得；
（2）当时利用基本不等式可得函数的最大值，进而可得然后结合条件即得，当时根据二次函数的性质分类讨论可得函数的最值，然后结合条件检验即得.
【详解】（1）当时，，即．
当时，；
当时，不等式无解；
当时，若，，若，；
所以，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．
（2）①当时，，
又，则，当且仅当取等号，
所以，即，
若时，当时，．此时，
所以不满足题意，舍去．
②当时，的对称轴为，
当时，，．
当时，在时增函数，，即（舍去）．
若．当时，，满足题意．
综上，时，的最大值为3．函数的表示法
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
x
0
1
2
3
4
…
y
0
2
4
6
8
…

1
2
3
4
3
2
4
1
x
1≤x