3.2.1 单调性与最大（小）值（ 种常考题型）-【初升高衔接】2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

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知识点1 函数的单调性
1.单调性的定义
温馨提示：定义中的有以下3个特征
（1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般；
（2）有大小,通常规定；
（3）属于同一个单调区间．
2．函数的单调区间
如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间．
温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质．
（2）函数在定义域的某个区间D上单调,不一定在定义域上单调．如等．
（3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性．
知识点2 最值
注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素．
（2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值．
（3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值．
题型一函数单调性的判断与证明
1．（多选）下列函数中满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），都有”的是（ ）
A．B．
C．D．
2．设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （ ）
A．B．
C．D．
3．已知，.
(1)解不等式；
(2)判断并证明函数的单调性.
4．用定义证明：函数在上是增函数．
5．利用函数单调性的定义判断函数的单调性.
6．（多选）以下函数在其定义域上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x＞0时，，求证：f（x）在R上是减函数；
8．已知函数.
(1)求的解析式;
(2)判断并证明函数在上的单调性.
9．已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．是增函数B．是减函数
C．是增函数D．是减函数
题型二求函数的单调区间
10．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
11．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
12．己知函数的图象如图，网格中每个小正方形的边长为1，则函数的单调递增区间有__________；函数的单调递减区间有__________．

13．函数的单调递增区间是______
14．已知函数.
(1)画出的函数图像.
(2)写出的最大值和单调递减区间.
15．定义域为的函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则：
（1）函数的单调递增区间是__________；单调递减区间是__________；
（2）函数的单调递增区间是__________；单调递减区间是__________．
16．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．，
17．已知函数，．求函数的单调区间．
题型三复合函数的单调性
18．函数的定义域为 _____，减区间为 _____．
19．的单调增区间是______.
20．（多选）已知是上的增函数，是上的偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上单调递增D．在上单调递减
21．函数 的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
22．已知函数在上单调递减，则函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
23．已知函数，，试求的单调区间.
24．函数的单调递增区间为__________．
25．（多选）若函数均是定义域为R的增函数，则下列函数在其定义域上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
题型四根据单调性解不等式
26．己知函数为定义在上的减函数，且，试求实数m的取值范围．
27．已知函数是实数集上的减函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
28．（多选）已知定义在上的函数满足：对任意的，当时，都有，若不等式恒成立，则实数m的可能取值为（ ）
A．B．C．0D．1
29．已知是上的增函数，是其图象上两点，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
30．函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
31．已知函数对任意的，都有，且当时，．
(1)求证：是上的增函数；
(2)若，解不等式．
32．已知函数，则关于x的不等式的解集为______．
33．若函数是定义在上的增函数，且对一切，，满足，则不等式的解为______．
34．已知函数是定义域为的减函数，若，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型五根据函数的单调性求参数
35．已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（ ）．
A．B．
C．或D．或
36．“”是“函数在上函数值随自变量增大而增大”的______.（填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中的一个）
37．设函数是上的减函数，则有（ ）
A．B．C．D．
38．若函数在区间上单调递减，则a的取值范围是______．
39．已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
40．命题 在上为增函数，命题Q：在单调增函数，则命题P是命题Q（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
41．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________．
42．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．
题型六求函数的最大(小)值
43．已知函数
(1)用定义法判断函数在上的单调性；
(2)求函数在上的最值.
44．已知函数，且.
(1)求实数m的值；
(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
(3)求函数在上的最值.
45．已知函数，，满足条件，.
(1)求的解析式；
(2)用单调性的定义证明在上的单调性，并求在上的最值.
46．已知函数.
(1)当时，求的解集；
(2)求函数在区间上的最小值.
47．当时，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
48．函数的值域为_________.
49．已知，函数.
(1)若，求；
(2)若，当时，求的最小值.
50．已知函数．
(1)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围．
题型七根据最值求参数
51．已知函数.
(1)证明在区间上单调递减；
(2)已知，在上的值域是，求，的值.
52．函数在上的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
53．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
54．已知函数，其中.
(1)若函数在上单调递减，求的取值范围；
(2)若函数在的最小值是3，求实数的值.
55．当时，函数的最小值为1，则的值为_____
56．已知函数的最小值为，则实数的取值范围为___________.
57．函数在区间上的最大值为4，则______.
58．若函数，当时，有最大值，则实数的取值范围______．
题型八函数不等式的恒（能）成立问题
59．若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且．
(1)求的解析式；
(2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围．
60．已知.
(1)若，求x的解集;
(2)若恒成立，求a的取值范围.
61．已知.
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若，解不等式.
62．已知函数，且．
(1)证明：在区间上单调递减；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围．
63．已知函数.
(1)当时，用定义法证明函数在上是减函数；
(2)已知二次函数满足，，若不等式恒成立，求的取值范围.
64．已知函数的表达式为．
(1)若关于x的不等式的解集为，求实数k的值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
65．已知函数满足，其中.
(1)求实数的值；
(2)若对于任意的，均有成立，求实数的取值范围.
66．若mx2－mx－1<0对于m∈[1，2]恒成立，则实数x的取值范围为________．
67．（2022·高一课时练习）已知，不等式的解集是．
(1)求的解析式；
(2)若不等式在上有解，求t的取值范围．
68．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数的定义域为.
(1)求的定义域；
(2)对于（1）中的集合，若，使得成立，求实数的取值范围.
69．（2022秋·湖北恩施·高一恩施市第一中学校考阶段练习）已知函数.
(1)判断函数在上的单调性，并加以证明.
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围；增函数
减函数
定义
一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[
当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数
当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数
图象描述
自左向右看,图象是上升的
自左向右看,图象是下降的
定义
几何意义
最大值
一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足：
①,都有；
②,使得.
那么,称是函数的最大值．
函数的最大值是图象最高点的纵坐标
最小值
一般地,设函数的定义域为I,如果存在实数满足：
①,都有；
②,使得.
那么,称是函数的最小值．
函数的最小值是图象最低点的纵坐标