函数的概念与性质章节检测卷-【初升高衔接】2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

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1．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.
【详解】对于A，与定义域均为，所以，
与为相等函数，A正确；
对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；
对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；
对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.
故选：A.
2．已知函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由解析式有意义列不等式求的范围，可得函数的定义域.
【详解】由有意义可得，
化简可得，
所以函数的定义域为.
故选：D.
3．若函数的定义域为集合，值域为集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用根式的定义域求得集合，利用单调性的定义求的单调性进而求得集合，再根据集合交集的定义即可求解.
【详解】由解得，所以，
任取，则，，则，
所以，即，
所以在上是增函数，且，，
所以，
所以，
故选：A
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】，则，即的定义域为，解不等式得到答案.
【详解】函数的定义域为，，则，
即的定义域为，取，解得，
故函数的定义域为.
故选：D
5．已知是上的偶函数，当时，，则时，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由偶函数的性质可求得函数在时的解析式.
【详解】因为是上的偶函数，当时，，则.
故选：C.
6．已知函数,则使得的的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求解分段函数不等式，需要对分类讨论，分别求解各段上的范围，最后并起来即可.
【详解】当时，由可得，，，解得.
当时，由可得，，
即恒成立，所以.
综上可得，使得的的取值范围为.
故选：D.
7．函数满足,且在区间上的值域是，则坐标所表示的点在图中的（ ）
A．线段和线段上B．线段和线段上
C．线段和线段上D．线段和线段上
【答案】B
【分析】先根据对称性求出，再
【详解】因为，所以对称轴为，
因为在区间上的值域是，所以
因此.
当时，；对应线段AD;
当时，;对应线段DC,
故选：B
【点睛】本题考查函数对称性以及根据函数值域求定义域，考查综合分析判断与求解能力，属中档题.
8．已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于对称．若，则（ ）
A．3B．2C．0D．50
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质得到和，再结合函数对称性得到，赋值求出、；推导出函数的周期为4，即可求解.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，且，
又的图象关于对称，则，
即①，则，，
在①中，令，得，
则，所以函数的周期为，即，
则有，
所以
，
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．下列函数中既是奇函数，又在上为减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据奇函数和减函数的特性，结合选项判定即可.
【详解】选项A：是奇函数，但在上是增函数，排除A；
选项B：是奇函数，在上为减函数，符合题意；
选项C：定义域为，是非奇非偶函数，在上为增函数，排除C；
选项D：是奇函数，在上为减函数，符合题意；
故选：BD
10．下列说法不正确的有（ ）
A．若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数
B．函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线
C．与是同一个函数
D．函数的定义域为R，值域为R.
【答案】ABCD
【分析】利用同一函数的判定方法，函数的定义，函数定义域，值域的求法，对选项逐个判断，得出正确选项.
【详解】对于A，例如，，定义域相同为R，值域都是，但不是同一个函数，故选项A说法不正确；
对于B，若函数图象是一条封闭曲线，则必然存在一个对应2个，不符合函数定义，故选项B说法不正确；
对于C，的定义域为，而的定义域为，故不是同一个函数，故选项C说法不正确；
对于D，的值域为，故选项D说法不正确.
故选：ABCD.
11．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．的单调递减区间为
B．的最大值为
C．的最小值为
D．的单调递增区间为
【答案】ABC
【分析】根据图象直接判断单调区间和最值即可.
【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确；
对于B，当时，，B正确；
对于C，当时，，C正确；
对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误.
故选：ABC.
12．方程的解可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，若方程的各个实根所对应的点均在直线的同侧，则实数a可能取值是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】原方程等价于,分别作出和的图象,分和讨论,利用数形结合即可得到结论.
【详解】显然不是方程的根，故方程可等价于,
所以原方程的实根是 与曲线的交点的横坐标,
曲线可看作是由曲线向上或向下平移个单位而得到,
若交点均在直线的同侧,因与的交点为,
所以结合图象可得:或恒成立,
所以在上恒成立,或在上恒成立,
所以,或,
即实数的取值范围是.
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．函数在上为增函数，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质得到不等式，解得即可.
【详解】函数开口向上，对称轴为，
要使函数在上为增函数，则，解得，即.
故答案为：
14．已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则不等式的解集为______．
【答案】
【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，且该函数上单调递增，由可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为函数的定义域为，是偶函数，
则，即，
所以，函数的图象关于直线对称，
当时，，则函数在上单调递减，
故函数在上单调递增，
因为，则，即，
即，即，解得或，
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
15．定义域为的函数满足，当时， 当时，恒成立，则实数t的取值范围是______．
【答案】
【分析】先求出上的值域，根据可以求出上的的值域，然后只需，解不等式即可.
【详解】时，，
则当，，
而，则，由
于是当时，
因此当时，．
而当时，恒成立，
等价于，即，
由得，即，
由可得，
于是.
故答案为：
16．规定表示取、中的较大者，例如，，则函数的最小值为______.
【答案】
【分析】由已知在同一坐标系中分别画出与的图象，数形结合确定最低点位置，再联立方程组求解即可．
【详解】在同一直角坐标系中分别画出与的图象如图，
两个函数的图象有四个交点A，B，C，D．由图可知，B为函数图象的最低点，联立方程组，解得或（舍去），
所以的最小值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知函数是定义在R上的偶函数，如图所示，现已画出函数在y轴左侧的图象，

(1)请画出y轴右侧的图像，并写出函数的解析式和单调减区间；
(2)若函数，求函数的最大值．
【答案】(1)图见解析，，单调递减区间为和
(2)
【分析】（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出的图象，写出单调递减区间，进而求得函数的解析式；
（2）当时，得到，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）解：如图所示，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出的图象，
当时，设函数，
由图象可得，解得，所以，
当时，则，因为函数为偶函数，所以，
所以函数的解析式为，
可得的单调递减区间为和，

（2）解：当时，，
可得其对称轴的方程为且开口向上，
①当时，即时，；
②当时，即时，，
综上可得，
18．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元)
(1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)4千克，480元﹒
【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
（2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出的最大值即可．
【详解】（1）依题意，又，
∴．
（2）当时，，开口向上，对称轴为，
在上单调递减，在上单调递增，
在上的最大值为．
当时，，
当且仅当时，即时等号成立．
∵，∴当时，．
∴当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．
19．设是R上的奇函数，，当时，.
(1)的值；
(2)当时，的图象与x轴所围成图形的面积.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据已知可得函数的周期为4，再由奇偶性与给定范围的表达式即可求解；
（2）由已知可得函数的图象关于直线x＝1对称，又当时，，且的图象关于原点成中心对称，再结合的图象求解即可．
【详解】（1）由，得，
所以是以4为周期的周期函数，又为奇函数，所以；
（2）由是奇函数且，
得，即．
故函数的图象关于直线x＝1对称．
又当时，，且的图象关于原点成中心对称，
则的图象如图所示．

当时，设的图象与x轴围成的图形面积为S，
则.
20．已知函数．
(1)判断在上的单调性，并用定义加以证明；
(2)设函数，，求的值域．
【答案】(1)单调递减，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据函数单调性的定义，即可证明；
（2）首先将拆分成内外层函数，，，结合（1）的结论求出的值域，即可得解.
【详解】（1）在上的单调递减，证明如下：
设，则
，
因为，所以，，，
，即，
所以，即，
所以函数在上的单调递减；
（2），
设，在上单调递增，当时，，
所以，
令，，
由（1）可知，在上单调递减，
又，，所以，
所以的值域为.
21．已知函数对于任意，总有，且时，.
(1)求证：在上是奇函数；
(2)求证：在上是减函数；
(3)若，求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)最大值为2，最小值为－2
【分析】（1）根据条件，通过赋值得到，再令即可证明结果；
（2）利用（1）中结果和条件，再利用单调性的定义即可证明结果；
（3）利用（2）中结果，得到在上也是减函数，再利用单调性和条件即可求出结果.
【详解】（1）因为函数对于任意，总有，
令，得，
令，得，即，
所以在上是奇函数.
（2）在上任取，
则，又因为，
因为时，，所以，得到，
所以在上是减函数.
（3）因为是上的减函数，
所以在上也是减函数，
所以在上的最大值和最小值分别为和，
而，，
所以在上的最大值为2，最小值为－2.
22．已知幂函数为偶函数，．
(1)若，求；
(2)已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用幂函数的定义及性质求出，再利用列方程求出；
（2）将问题转化为，构造函数，利用函数单调性的定义判断的单调性，根据单调性可求得，进而可得的取值范围
【详解】（1）对于幂函数，得，
解得或，
又当时，不为偶函数，
，
，
，
，
解得；
（2）关于x的不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
即，
先证明在上单调递增：
任取，
则，
，
，，又，
，
，即，
故在上单调递增，
，
，又，
解得.题号
一
二
三
四
总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分