湖南省长沙市2023-2024学年高二下学期期末调研数学试题（Word版附解析）

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1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“函数在上单调递减”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 学生可从本年级开设的7门选修课中往意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是（ ）
A. 350B. 700C. 2100D. 4200
4. 福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
A 5B. 6C. 8D. 10
5. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.7B. 0.3C. 0.2D. 0.1
6. 某企业生产线上生产的产品的某项指标，且. 现从该生产线上随机抽取个产品，记表示的产品个数，则（ ）
A. 7B. 9C. 11D. 13
7. 若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
8. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 已知a，b，c为实数，则下列命题中正确的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
10. 已知，则下列选项正确的有（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知正实数满足（是自然对数的底数，），则（ ）
A. B.
C. 的最大值为D. 方程无实数解
三、填空题
12. 曲线与直线平行的切线方程为_________.
13. 现安排高二年级甲，乙、丙、丁、戊五名同学去A、B两个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，每个工厂至少需要两名同学，若甲和乙不能去同一个工厂，则不同的安排方法种数为______．（用数字作答）
14. 某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则某同学第2天去餐厅用餐的概率为________；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值__________.
四、解答题
15. 已知集合，.
（1）求，；
（2）记关于x的不等式的解集为M，若，求实数m的取值范围.
16. 在的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项；
（2）若第项是有理项，求的取值集合；
（3）系数最大的项是第几项.
17. 为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中.
（1）根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由）
（2）根据（1）中所选模型，求出关于经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1）
18. 无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域.
（1）消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关：
附：其中
（2）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭.
（i）求起火点被无人机击中次数X的分布列及数学期望；
（ii）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.
19. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值.
7.5
2.25
82.50
4.50
12.14
2.88
晴天
雨天
命中
45
30
不命中
5
20
0.15
0.10
0.05
0.010
0001
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828