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沪教版八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试核心考点02代数方程(原卷版+解析)
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这是一份沪教版八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试核心考点02代数方程(原卷版+解析)，共46页。试卷主要包含了整式方程，分式方程，无理方程，二元二次方程组与列方程解应用题等内容，欢迎下载使用。
考点一：高次方程
考点二：无理方程
考点三：分式方程的增根
考点四： 由实际问题抽象出分式方程
考点五：分式方程的应用
考点六：含字母系数的一元一次方程
考点七：二元二次方程组
考点考向
一、整式方程：
1字母系数：关于x的方程中，把用字母表示的已知数m、n、a、b、c叫做字母系数.
2.含字母系数的一元一次方程
定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程；
求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1；注意：系数化为1时视情况讨论！
3．含字母系数的一元二次方程
定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程；
解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论.
4.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式；
一元n次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n；其中n大于2的方程称为一元高次方程.
5.二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零. 一般形式为：
.
二项方程的解法：将方程变形为，当n为奇数时，；当n为偶数时，如果，；如果，那么方程没有实数根.
二、分式方程：
6.可化为一元二次方程的分式方程
解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解；
解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根.
三、无理方程
1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式；无理方程也叫根式方程.
2.无理方程、有理方程、代数方程三者之关系
有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程；
代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程.
3.无理方程的解法
（1）基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解；
（2）一般步骤：
四、二元二次方程组与列方程（组）解应用题
1.二元二次方程
2.二元二次方程组
3.二元二次方程组的解法
(1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次.
(2)题型一：解方程组即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.
方法：代入消元法；
一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解.
(3)题型二：解方程组（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式）
方法：因式分解法；
解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解.
4.列方程（组）解应用题
考点精讲
一．高次方程（共3小题）
1．（2022春•徐汇区校级期中）对于二项方程axn+b＝0（a≠0，b≠0），当n为偶数时，已知方程有两个实数根，那么ab一定（ ）
A．ab＜0B．ab＞0C．ab≥0D．ab≤0
2．（2022春•上海期中）下列方程中，二项方程是（ ）
A．x2+2x+1＝0B．x5+x2＝0C．x2＝1D．+x＝1
3．（2022春•青浦区校级期中）在实数范围内，方程x4﹣16＝0的实数根的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．无理方程（共4小题）
4．（2022秋•青浦区校级期末）下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2﹣x+2＝0B．＝C．＝﹣1D．x4﹣1＝0．
5．（2022春•杨浦区校级期中）方程（x﹣2）＝0的根是 ．
6．（2022春•杨浦区校级期中）解方程：+2x＝1．
7．（2022春•闵行区校级期末）解方程：．
三．分式方程的增根（共2小题）
8．（2022春•杨浦区校级期中）方程﹣3＝有增根，则m的值为（ ）
A．B．±3C．﹣3D．3
9．（2022春•杨浦区校级期中）已知关于x的分式方程＝有增根，则m＝ ．
四．由实际问题抽象出分式方程（共3小题）
10．（2022春•浦东新区校级期中）一项工程，甲单独完成比乙单独完成多用6天，若甲、乙合作3天后，乙需再用7天才能全部完成，若设甲单独完成此项工程需x天，则下列方程正确的是（ ）
A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1
11．（2022春•青浦区校级期中）今日，上海疫情防控形势严峻，某工厂计划生产1000套防护服，由于工人加班加点，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x套防护服，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022春•上海期中）某工人要完成1000个零件，起初机器出现故障，每分钟比原计划少加工4个零件，加工320个零件后，换了一台新机器，每分钟比原计划多加工8个零件．已知用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少6分钟，设原计划每分钟加工x个零件，则可列方程为： ．
五．分式方程的应用（共3小题）
13．（2022春•闵行区校级月考）上海市政府计划年内改造3.6万个分类垃圾箱房，把原有的分类垃圾箱房改造成可以投放“干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾”四类垃圾的新型环保垃圾箱房．环卫局原定每月改造相同数量的分类垃圾箱房，为确保在年底前顺利完成改造任务，环卫局决定每月多改造500个分类垃圾箱房，提前一个月完成任务，求环卫局每个月实际改造分类垃圾箱房的数量．
14．（2022春•闵行区校级月考）若A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，且甲比乙早出发2小时，如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在AB中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？
15．（2022春•闵行区校级期末）某工程队承担了修建地铁两个站点间2400米的隧道工程任务，由于采用了新技术，现在每个月比原计划多掘进了180米，因而比原计划提前3个月完成任务．
（1）求完成此项工程原计划每个月掘进多少米？
（2）如果每天的施工费用为2.5万元，那么该工程队现在完成此项工程共需多少万元？（每个月按30天算）
六．含字母系数的一元一次方程（共1小题）
16．（2018春•浦东新区期末）如果是方程mx2+y2＝xy的一个解，那么m＝ ．
七．二元二次方程组（共4小题）
17．（2022春•长宁区校级期中）将方程组：转化成两个二元二次方程组分别是 和 ．
18．（2021春•闵行区期中）已知二元二次方程组有一组解是，写出一个符合上述条件的二元二次方程组为 ．
19．（2022春•上海期中）解方程组：．
20．（2022春•静安区校级期中）解方程组：
巩固提升
一、单选题
1．（2023春·八年级单元测试）以下方程是无理方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·八年级单元测试）已知方程：①，②，③，④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（2022春·上海·八年级专题练习）若关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．B．－1C．1D．
4．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）下列命题正确的是（ ）
A．B．与是同类二次根式
C．是分式方程的增根D．一元二次方程可能没有实根，可能有一个实根，可能有两个实根
二、填空题
5．（2023春·八年级单元测试）方程组的解是______．
6．（2023春·八年级单元测试）把方程化为两个二元一次方程，它们是_____和_____．
7．（2023春·八年级单元测试）解关于的方程有增根，则的值为___________
8．（2023春·八年级单元测试）下列方程：，，，无实数根的方程有________个．
三、解答题
9．（2023春·八年级单元测试）小李家离某书店12千米，他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了一小时，求小李去书店时的步行速度
10．（2023春·八年级单元测试）解方程组：
11．（2022春·上海·八年级专题练习）外出佩戴口罩可以有效防控新冠病毒，某药店用元购进若干包医用外科口罩很快售完，该店又用元钱购进第二批同种口罩，而且数量比第一批多，第二批每包的进价比第一批每包的进价多元，请解答下列问题：
(1)求购进的第一批医用口罩有多少包？
(2)政府采取限价措施，要求在这两批医用口罩的销售中售价保持不变，而且售完这两批口罩的总利润不高于元，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？
12．（2023春·八年级单元测试）若关于x的方程无解，求实数的值．
13．（2023春·八年级单元测试）用换元法解方程：x2﹣x﹣=4．
14．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）在中，，，射线上有一点分别为点P关于直线的对称点，连接
(1)如图1，当点P在线段 上时，则______，______．
(2)如图2，当点P在线段的延长线上时．根据题意补全图形，并探究是否存在点P，使得，若存在，直接写出满足条件时的长度；若不存在，说明理由．
15．（2022春·上海长宁·八年级校考期中）解方程：．
16．（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）解方程组：．
17．（2023春·八年级单元测试）解方程：
18．（2023春·八年级单元测试）解方程：．
19．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）解方程：
(1)；
(2)；
(3)
20．（2022春·上海·八年级校考期中）解方程组：．
21．（2022春·上海·八年级专题练习）关于x的方程：－＝1.
(1)当a＝3时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求a的值．
核心考点02 代数方程
目录
考点一：高次方程
考点二：无理方程
考点三：分式方程的增根
考点四： 由实际问题抽象出分式方程
考点五：分式方程的应用
考点六：含字母系数的一元一次方程
考点七：二元二次方程组
考点考向
一、整式方程：
1字母系数：关于x的方程中，把用字母表示的已知数m、n、a、b、c叫做字母系数.
2.含字母系数的一元一次方程
定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程；
求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1；注意：系数化为1时视情况讨论！
3．含字母系数的一元二次方程
定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程；
解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论.
4.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式；
一元n次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n；其中n大于2的方程称为一元高次方程.
5.二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零. 一般形式为：
.
二项方程的解法：将方程变形为，当n为奇数时，；当n为偶数时，如果，；如果，那么方程没有实数根.
二、分式方程：
6.可化为一元二次方程的分式方程
解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解；
解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根.
三、无理方程
1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式；无理方程也叫根式方程.
2.无理方程、有理方程、代数方程三者之关系
有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程；
代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程.
3.无理方程的解法
（1）基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解；
（2）一般步骤：
四、二元二次方程组与列方程（组）解应用题
1.二元二次方程
2.二元二次方程组
3.二元二次方程组的解法
(1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次.
(2)题型一：解方程组即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.
方法：代入消元法；
一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解.
(3)题型二：解方程组（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式）
方法：因式分解法；
解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解.
4.列方程（组）解应用题
考点精讲
一．高次方程（共3小题）
1．（2022春•徐汇区校级期中）对于二项方程axn+b＝0（a≠0，b≠0），当n为偶数时，已知方程有两个实数根，那么ab一定（ ）
A．ab＜0B．ab＞0C．ab≥0D．ab≤0
【分析】根据偶数次方的非负性求解．
【解答】解：∵axn+b＝0（a≠0，b≠0），
∴xn＝﹣，
∵n为偶数时，已知方程有两个实数根，
∴﹣＞0，
∴ab＜0．
故选A．
【点评】本题考查高次方程的解，注意偶数次方的非负性是求解本题的关键．
2．（2022春•上海期中）下列方程中，二项方程是（ ）
A．x2+2x+1＝0B．x5+x2＝0C．x2＝1D．+x＝1
【分析】根据二项方程的定义判断求解．
【解答】解：∵x2+2x+1＝0有三项，不符合二项方程定义，
∴A不合题意．
∵x5+x2＝0左边是二项式，右边为0，不符合二项方程的定义．
∴B不符合题意，
∵x2＝1，可得x2﹣1＝0，符合二项方程定义．
∴C符合题意．
∵+x＝1是分式方程，
∴D不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二项方程的定义，掌握二项方程的定义是求解本题的关键．
3．（2022春•青浦区校级期中）在实数范围内，方程x4﹣16＝0的实数根的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先移项得出x4＝16，再根据四次方根的定义求出方程的解即可．
【解答】解：x4﹣16＝0，
x4＝16，
x＝＝±2，
即方程x4﹣16＝0的实数根的个数是2，
故选：B．
【点评】本题考查了解高次方程，能求出x＝±是解此题的关键．
二．无理方程（共4小题）
4．（2022秋•青浦区校级期末）下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2﹣x+2＝0B．＝C．＝﹣1D．x4﹣1＝0．
【分析】根据根的判别式即可判断选项A；方程两边乘x﹣1得出x＝1，即可判断选项B；根据算术平方根的非负性即可判断选项C；求出方程的解，即可判断选项D．
【解答】解：A．x2﹣x+2＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2＝1﹣8＝﹣7＜0，
所以此方程无实数根，故本选项不符合题意；
B．＝，
方程两边都乘x﹣1，得x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣1＝0，
所以x＝1是增根，
即原方程无实数根，故本选项不符合题意；
C．＝﹣1，
∵算术平方根是非负数，
∴此方程无实数根，故本选项不符合题意；
D．x4﹣1＝0，
x4＝1，
x＝±＝±1，
即方程有实数根，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，解分式方程，解无理方程，解高次方程等知识点，能熟记根的判别式的内容、把分式方程转化成整式方程、能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
5．（2022春•杨浦区校级期中）方程（x﹣2）＝0的根是 x＝1 ．
【分析】根据已知方程得出＝0或x﹣2＝0，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：∵（x﹣2）＝0，
∴＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2，
经检验x＝1是原方程的根，x＝2不是原方程的根，
即原方程的根是x＝1，
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
6．（2022春•杨浦区校级期中）解方程：+2x＝1．
【分析】移项后两边平方得出x+1＝1﹣4x+4x2，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：+2x＝1，
移项，得＝1﹣2x，
两边平方，得x+1＝1﹣4x+4x2，
解得：x1＝0，x2＝，
经检验x＝0是原方程的解，x＝不是原方程的解，
所以原方程的解是x＝0．
【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
7．（2022春•闵行区校级期末）解方程：．
【分析】通过方程两边分别平方，把无理方程转化为有理方程，再求解．
【解答】解：移项得：＝9﹣，
两边都平方得：x+2＝81﹣18+x﹣7，
移项合并同类项得：18＝72，
∴＝4，
两边再平方得：x﹣7＝16，
∴x＝23，
检验：当x＝23时，左边＝+＝5+4＝9＝右边，
所以x＝23是原方程的解，
【点评】本题考查了解无理方程，两边平方转化为有理方程是解题的关键．
三．分式方程的增根（共2小题）
8．（2022春•杨浦区校级期中）方程﹣3＝有增根，则m的值为（ ）
A．B．±3C．﹣3D．3
【分析】根据题意可得x＝3，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答．
【解答】解：﹣3＝，
x﹣3（x﹣3）＝m，
解得：x＝，
∵方程有增根，
∴x＝3，
把x＝3代入x＝中，
3＝，
解得：m＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
9．（2022春•杨浦区校级期中）已知关于x的分式方程＝有增根，则m＝ ﹣10 ．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣4＝0，得到x＝4，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘x﹣4，
得m＝﹣6﹣x
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣4＝0，
解得x＝4，
当x＝4时，m＝﹣10，
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
四．由实际问题抽象出分式方程（共3小题）
10．（2022春•浦东新区校级期中）一项工程，甲单独完成比乙单独完成多用6天，若甲、乙合作3天后，乙需再用7天才能全部完成，若设甲单独完成此项工程需x天，则下列方程正确的是（ ）
A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1
【分析】设甲单独完成此项工程需x天，则乙单独完成此项工程需（x﹣6）天，根据“甲、乙合作3天后，乙需再用7天才能全部完成”，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设甲单独完成此项工程需x天，则乙单独完成此项工程需（x﹣6）天，
依题意得：+＝1，
即+＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11．（2022春•青浦区校级期中）今日，上海疫情防控形势严峻，某工厂计划生产1000套防护服，由于工人加班加点，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x套防护服，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设原计划每天制作x套防护服，则实际每天制作为（1+20%）x，根据结果比原计划提前2天完成任务，列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天制作x套防护服，
可列方程为：﹣＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
12．（2022春•上海期中）某工人要完成1000个零件，起初机器出现故障，每分钟比原计划少加工4个零件，加工320个零件后，换了一台新机器，每分钟比原计划多加工8个零件．已知用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少6分钟，设原计划每分钟加工x个零件，则可列方程为： ．
【分析】根据题意可知：用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少6分钟，即可列出相应的分式方程．
【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
五．分式方程的应用（共3小题）
13．（2022春•闵行区校级月考）上海市政府计划年内改造3.6万个分类垃圾箱房，把原有的分类垃圾箱房改造成可以投放“干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾”四类垃圾的新型环保垃圾箱房．环卫局原定每月改造相同数量的分类垃圾箱房，为确保在年底前顺利完成改造任务，环卫局决定每月多改造500个分类垃圾箱房，提前一个月完成任务，求环卫局每个月实际改造分类垃圾箱房的数量．
【分析】设环卫局每个月实际改造分类垃圾箱房的数量为x个，则环卫局每个月原定改造分类垃圾箱房的数量为（x﹣500）个，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前一个月完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设环卫局每个月实际改造分类垃圾箱房的数量为x个，则环卫局每个月原定改造分类垃圾箱房的数量为（x﹣500）个，
根据题意得：﹣＝1，
整理得：x2﹣500x﹣18000000＝0，
解得：x1＝4500，x2＝﹣4000，
经检验，x1＝4500，x2＝﹣4000均为所列分式方程的解，x2＝﹣4000不符合题意，舍去，
∴x＝4500．
答：环卫局每个月实际改造分类垃圾箱房的数量为4500个．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
14．（2022春•闵行区校级月考）若A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，且甲比乙早出发2小时，如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在AB中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？
【分析】设甲的速度是每小时x千米，则乙的速度是每小时（x+2）千米，由题意：甲比乙早出发2小时，两人恰好在AB中点相遇．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设甲的速度是每小时x千米，则乙的速度是每小时（x+2）千米，
根据题意，得：﹣＝2，
整理，得：x2+2x﹣15＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣5，
经检验：x1＝3，x2＝﹣5都是原方程的解，但x＝﹣5不符合题意，舍去．
∴原方程的解是x＝3，
则x+2＝5，
答：甲的速度是每小时3千米，乙的速度是每小时5千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
15．（2022春•闵行区校级期末）某工程队承担了修建地铁两个站点间2400米的隧道工程任务，由于采用了新技术，现在每个月比原计划多掘进了180米，因而比原计划提前3个月完成任务．
（1）求完成此项工程原计划每个月掘进多少米？
（2）如果每天的施工费用为2.5万元，那么该工程队现在完成此项工程共需多少万元？（每个月按30天算）
【分析】（1）设完成此项工程原计划每个月掘进x米，则现在每个月掘进（x+180）米．由题意：现在每个月比原计划多掘进了180米，因而比原计划提前3个月完成任务．列出分式方程，解方程即可；
（2）由每天的施工费用×天数，列式计算即可．
【解答】解：（1）设完成此项工程原计划每个月掘进x米，则现在每个月掘进（x+180）米．
根据题意，得：﹣＝3，
整理，得：x2+180x﹣144000＝0．
解得：x1＝﹣480，x2＝300．
经检验：x1＝﹣480，x2＝300都是原方程的解，但x1＝﹣480不符合题意，舍去．
答：完成此项工程原计划每个月掘进300米．
（2）×2.5×30＝375（万元）．
答：该工程队现在完成此项工程共需375万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
六．含字母系数的一元一次方程（共1小题）
16．（2018春•浦东新区期末）如果是方程mx2+y2＝xy的一个解，那么m＝ ﹣ ．
【分析】依据方程的解概念，将方程的解代入方程进行计算，即可得到m的值．
【解答】解：把方程的解代入方程mx2+y2＝xy，可得
4m+1＝﹣2，
∴4m＝﹣3，
解得m＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，方程的解就是满足方程的未知数的值，把解代入方程即可．
七．二元二次方程组（共4小题）
17．（2022春•长宁区校级期中）将方程组：转化成两个二元二次方程组分别是 和 ．
【分析】方程组中，方程x2﹣5xy+6y2＝0的左边可因式分解，根据：两个因式的积为0，则其中至少有一个因式为0，将原方程组转化为两个二元二次方程组．
【解答】解：由方程x2﹣5xy+6y2＝0得（x﹣2y）（x﹣3y）＝0，
即x﹣2y＝0或x﹣3y＝0，
所以，原方程组可化为，，
故答案为：，．
【点评】本题考查了二元二次方程组的定义．关键是将方程组中的某个方程左边因式分解，使其积为0，可将较复杂的高次方程组转化为简单的高次方程组．
18．（2021春•闵行区期中）已知二元二次方程组有一组解是，写出一个符合上述条件的二元二次方程组为 ．
【分析】分别列两个方程代入x，y的值就可以．
【解答】解：把x，y的值代入符合要求；
故答案为：．
【点评】考察二元一次方程组定义，方程组得解，解题关键x，y都能使两个方程左右值相等．
19．（2022春•上海期中）解方程组：．
【分析】由第一个方程可得y＝，然后再代入到第二个方程中，进行计算求出一元二次方程的解，从而求出y的值，即可解答．
【解答】解：，
由①得：
2y＝4﹣x，
y＝③，
把③代入②得：
x2﹣2x•＝0，
x2﹣x（4﹣x）＝0，
x2﹣4x+x2＝0，
2x2﹣4x＝0，
x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或x＝2，
把x＝0代入③得：y＝2，
把x＝2代入③得：y＝1，
∴原方程组的解为：或．
【点评】本题考查了解二元二次方程组，把二元二次方程转化为一元二次方程是解题的关键．
20．（2022春•静安区校级期中）解方程组：
【分析】把原方程组转化为两个二元一次方程组，再利用加减消原法求解即可．
【解答】解：原方程组可化为或，
②﹣①，得5y＝2，
解得y＝，
把y＝代入①，得x＝，
所以；
③﹣④，得4y＝2，
解得y＝，
把y＝代入③，得x＝，
所以
综上所述，或．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
巩固提升
一、单选题
1．（2023春·八年级单元测试）以下方程是无理方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】无理方程就是根号下含有未知数的方程．
【详解】解：根据无理方程的概念可知：选项D为无理方程，
故选：D．
【点睛】本题考查无理方程的概念，解题的关键是正确理解无理方程的概念，本题属于基础题型．
2．（2023春·八年级单元测试）已知方程：①，②，③，④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】利用分式方程的定义判断即可．
【详解】解：①，是分式方程；
②，是分式方程；
③，是分式方程；
④，不是分式方程，
则分式方程的个数是3．
故选：B．
【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键．
3．（2022春·上海·八年级专题练习）若关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．B．－1C．1D．
【答案】D
【分析】先令分母为零求增根，在把分式方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程即可求出答案．
【详解】解： 分式方程无解
解得
原方程化为：
把 代入得
解得
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的增根，掌握增根产生的原因并求出增根，把分式方程转化为整式方程是解题的关键．
4．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）下列命题正确的是（ ）
A．B．与是同类二次根式
C．是分式方程的增根D．一元二次方程可能没有实根，可能有一个实根，可能有两个实根
【答案】B
【分析】根据二次根式、分式增根以及一元二次方程的知识，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A，当，时，，选项错误，不符合题意；
B、，，被开方数相同，是同类二次根式
选项正确，符合题意；
C、将转化为整式方程为
化简可得：
不是方程的根，
∴也不是的增根，选项错误，不符合题意；
D、一元二次方程可能没有实根，可能有两个相等的实根，可能有两个不相等的实根，说法错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了二次根式运算、同类二次根式、分式增根以及一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
二、填空题
5．（2023春·八年级单元测试）方程组的解是______．
【答案】
【分析】由得出，代入得到方程，求出方程的解，，将的值分别代入求出即可．
【详解】，
由得：，
把代入得：，
即，
，
解得：，，
代入得：，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了高次方程和解一元二次方程的应用，解此题的关键是把方程组转化成解一元二次方程，题型较好，难度适中．
6．（2023春·八年级单元测试）把方程化为两个二元一次方程，它们是_____和_____．
【答案】
【分析】先把方程左边分解得到，则原方程可转化为或．
【详解】解：∵，
∴，
∴或．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法，解题的关键是通常利用换元法或因式分解法把高次方程化为一元二次方程求解．
7．（2023春·八年级单元测试）解关于的方程有增根，则的值为___________
【答案】##
【分析】根据分式方程增根的产生，即使其最简公分母为0，但适合其转化为的整式方程进行求解．
【详解】解：根据题意，得
该分式方程的增根是，
该分式方程转化为整式方程，得，
把代入，得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，即适合分式方程转化为整式方程，但却使分式方程的最简公分母为0．
8．（2023春·八年级单元测试）下列方程：，，，无实数根的方程有________个．
【答案】3
【分析】根据二次根式有意义的条件判断；移项后得出方程，根据算术平方根的非负性即可判断；两边平方，求出方程的解，再进行检验即可判断；
【详解】解：，
由二次根式有意义条件得：，
解得：不等式组无解，
∴此方程无实数根；
，
移项得：，
∵不论x为何值，
的值不能为负数，
∴此方程无实数根；
，
方程两边平方，得，
解得：x=1，
经检验x=1不是原方程的解，
∴此方程无实数根；
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解无理方等知识点，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
三、解答题
9．（2023春·八年级单元测试）小李家离某书店12千米，他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了一小时，求小李去书店时的步行速度
【答案】小李去书店时的速度为4千米/小时．
【分析】设小李去书店时的速度为每小时x千米，根据他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了1小时列方程求解即可．
【详解】解：设小李去书店时的速度为每小时x千米，根据题意得
整理得
解得，（不合题意舍去）
经检验是原方程的根且符合题意
答：小李去书店时的速度为4千米/小时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，设出速度，以时间作为等量关系列方程求解．
10．（2023春·八年级单元测试）解方程组：
【答案】方程组的解为：或．
【分析】先把方程①变形可得或，再把原方程组化为两个二元一次方程组，再解两个二元一次方程组即可．
【详解】解：，
由①得：，
∴或，
∴原方程组化为：或，
由可得：，
由可得：，
∴方程组的解为：或．
【点睛】本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握“把二元二次方程组化为二元一次方程组的方法解题”是解本题的关键．
11．（2022春·上海·八年级专题练习）外出佩戴口罩可以有效防控新冠病毒，某药店用元购进若干包医用外科口罩很快售完，该店又用元钱购进第二批同种口罩，而且数量比第一批多，第二批每包的进价比第一批每包的进价多元，请解答下列问题：
(1)求购进的第一批医用口罩有多少包？
(2)政府采取限价措施，要求在这两批医用口罩的销售中售价保持不变，而且售完这两批口罩的总利润不高于元，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？
【答案】(1)购进的第一批医用口罩有包
(2)该药店销售该医用口罩每包最高售价为元
【分析】（1）设购进的第一批医用口罩有包，根据题意列出方程求解即可；
（2）设该医用口罩每包的售价为元，根据利润不高于3500元，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设购进的第一批医用口罩有包，
根据题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：购进的第一批医用口罩有包．
（2）解：设该医用口罩每包的售价为元，
由题意得：第一次进价为元每包，第二次进价为元每包，购进的第二批医用口罩为包 ，
根据题意得：，
解得：
答：该药店销售该医用口罩每包最高售价为元．
【点睛】此题主要考查分式方程和一元一次不等式解应用题，理解题意，找出实际问题中的等量关系和不等关系是解题关键．
12．（2023春·八年级单元测试）若关于x的方程无解，求实数的值．
【答案】或或
【分析】方程去分母转化为整式方程，求出的表达式，根据分式方程无解可得或或的表达式中分母为0，再代入的表达式中即可求出的值．
【详解】解：方程两边同时乘以，
得：，
解得：，
当时，此方程无解，原分式方程也无解，解得：，
当时，
原分式方程无解，
，
或，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
综上，的值为或或．
【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的特点，并能分情况进行讨论是解题的关键．
13．（2023春·八年级单元测试）用换元法解方程：x2﹣x﹣=4．
【答案】
【分析】方程的两个部分是倒数关系，所以可设，可用换元法转化为关于y的分式方程，先求y，再求x，最后检验一下结果．
【详解】设，
则原方程变形为，
即，
解得，
当y=-2时，，
因为，所以此方程无实数根，
当y=6时，，
解方程得：，
检验：把分别代入原方程的分母，分母都不等于0，
所以原方程的根是：．
【点睛】换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
14．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）在中，，，射线上有一点分别为点P关于直线的对称点，连接
(1)如图1，当点P在线段 上时，则______，______．
(2)如图2，当点P在线段的延长线上时．根据题意补全图形，并探究是否存在点P，使得，若存在，直接写出满足条件时的长度；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)补全图形见解析，5
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，根据轴对称的性质可得∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABP=∠ABM，然后结合图形即可即可；
（2）先根据轴对称图形的特点补全图形；再根据轴对称的性质可得PB=BM，PC=CN，设，则或，，利用和线段的和差列出方程求解即可．
【详解】（1）解：，，
，
，分别为点关于直线，的对称点，
，，，
，
．
故答案为，．
（2）解：补全图形如图所示．
存在点P，使得．
设，则或，
，
或，
或5．
经检验或5为方程的解，
∵线段不可能为负
．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的特点、角度的计算、分式方程的应用等知识点，理解题意、熟练掌握运用轴对称图形的性质是解题关键．
15．（2022春·上海长宁·八年级校考期中）解方程：．
【答案】
【分析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】解：方程两边同时乘以，
得，
整理，得，
∴，．
经检验是增根，是原方程的解，
∴原方程的解为．
【点睛】本题主要考查了解可以化为一元二次方程的分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和一元二次方程的步骤和方法．
16．（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）解方程组：．
【答案】
【分析】将方程转化为或，再次联立方程，得到两个方程组，然后逐一求解，即可解决问题．
【详解】解：，
由得：或
原方程组化为或；
解得：，
原方程组的解是．
【点睛】本题考查了二元高次方程的求解问题；解题的一般策略是降次转化，化高次方程组为低次方程组，然后求解．
17．（2023春·八年级单元测试）解方程：
【答案】无解
【分析】通过去去分母把分式方程化成整式方程，再求解整式方程，最后把解代入最简公分母进行检验即可解答．
【详解】解：
两边同乘得：，
去括号得：，
移项合并得：，解得：．
检验：经检验是方程的增根，原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．求出解后的检验是本题的易错点．
18．（2023春·八年级单元测试）解方程：．
【答案】
【分析】移项得出＝1+，两边平方得出3x﹣5＝1+x+2+2，整理后得出2＝2x﹣8，再两边平方得出4（x+2）＝（2x﹣8）2，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：，
∴＝1+，
两边平方得：3x﹣5＝1+x+2+2，
整理得：2＝2x﹣8，
两边平方，得4（x+2）＝（2x﹣8）2，
整理，得x2﹣9x+14＝0，
解得：x＝2或7，
经检验x＝2不是原方程的解，x＝7是原方程的解，
所以原方程的解是x＝7．
【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
19．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）解方程：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)，；
(3)，，，．
【分析】（1）移项后两边平方得出，求出，再方程两边平方得出，求出，再进行检验即可；
（2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；
（3）令，则，代入原方程，得，所以，，然后分两种情况分别解方程即可．
【详解】（1）
解：移项得，，
两边平方得，，
合并同类项得，，
∴，
两边平方得，，
整理得，，
∴，
解得：，，
经检验，，不是原方程的解，
∴原方程的解为：．
（2）
解：方程两边同时乘以得，
整理得，，
解得，，
∴，，
经检验，，时，，
∴原方程的根为：，．
（3）
解：
令，代入原方程得，，
∴，
解得：，，
当时，，即： ，
∴，解得：，，
当时，，即： ，
∴，解得：，，
经检验都为原方程的解
∴原方程的解为：，，，．
【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键；还考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根．
20．（2022春·上海·八年级校考期中）解方程组：．
【答案】，，，
【分析】将原方程组转化为四个二元一次方程组，然后解方程组即可.
【详解】解： ，
由①，得，
∴③或④，
由②，得，
∴⑤或⑥，
由③⑤，③⑥，④⑤，④⑥组成方程组，
得，，，，
∴ ，，，．
所以原方程组的解为：，，，．
【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法．把原二元二次方程组降幂，转化为二元一次方程组是解题的关键．
21．（2022春·上海·八年级专题练习）关于x的方程：－＝1.
(1)当a＝3时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求a的值．
【答案】（1）x＝－2；（2）a＝－3.
【分析】（1）将a=3代入,求解－＝1的根,验根即可,
（2）先求出增根是x＝1，将分式化简为ax＋1＋2＝x－1，代入x＝1即可求出a的值.
【详解】解：(1)当a＝3时，原方程为－＝1,
方程两边同乘x－1，得3x＋1＋2＝x－1，
解这个整式方程得x＝－2，
检验：将x＝－2代入x－1＝－2－1＝－3≠0，
∴x＝－2是原分式方程的解．
(2)方程两边同乘x－1，得ax＋1＋2＝x－1，
若原方程有增根，则x－1＝0，解得x＝1，
将x＝1代入整式方程得a＋1＋2＝0，解得a＝－3.
【点睛】本题考查解分式方程,属于简单题,对分式方程的结果进行验根是解题关键.
考点一：高次方程
考点二：无理方程
考点三：分式方程的增根
考点四： 由实际问题抽象出分式方程
考点五：分式方程的应用
考点六：含字母系数的一元一次方程
考点七：二元二次方程组
考点考向
一、整式方程：
1字母系数：关于x的方程中，把用字母表示的已知数m、n、a、b、c叫做字母系数.
2.含字母系数的一元一次方程
定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程；
求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1；注意：系数化为1时视情况讨论！
3．含字母系数的一元二次方程
定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程；
解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论.
4.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式；
一元n次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n；其中n大于2的方程称为一元高次方程.
5.二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零. 一般形式为：
.
二项方程的解法：将方程变形为，当n为奇数时，；当n为偶数时，如果，；如果，那么方程没有实数根.
二、分式方程：
6.可化为一元二次方程的分式方程
解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解；
解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根.
三、无理方程
1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式；无理方程也叫根式方程.
2.无理方程、有理方程、代数方程三者之关系
有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程；
代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程.
3.无理方程的解法
（1）基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解；
（2）一般步骤：
四、二元二次方程组与列方程（组）解应用题
1.二元二次方程
2.二元二次方程组
3.二元二次方程组的解法
(1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次.
(2)题型一：解方程组即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.
方法：代入消元法；
一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解.
(3)题型二：解方程组（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式）
方法：因式分解法；
解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解.
4.列方程（组）解应用题
考点精讲
一．高次方程（共3小题）
1．（2022春•徐汇区校级期中）对于二项方程axn+b＝0（a≠0，b≠0），当n为偶数时，已知方程有两个实数根，那么ab一定（ ）
A．ab＜0B．ab＞0C．ab≥0D．ab≤0
2．（2022春•上海期中）下列方程中，二项方程是（ ）
A．x2+2x+1＝0B．x5+x2＝0C．x2＝1D．+x＝1
3．（2022春•青浦区校级期中）在实数范围内，方程x4﹣16＝0的实数根的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．无理方程（共4小题）
4．（2022秋•青浦区校级期末）下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2﹣x+2＝0B．＝C．＝﹣1D．x4﹣1＝0．
5．（2022春•杨浦区校级期中）方程（x﹣2）＝0的根是 ．
6．（2022春•杨浦区校级期中）解方程：+2x＝1．
7．（2022春•闵行区校级期末）解方程：．
三．分式方程的增根（共2小题）
8．（2022春•杨浦区校级期中）方程﹣3＝有增根，则m的值为（ ）
A．B．±3C．﹣3D．3
9．（2022春•杨浦区校级期中）已知关于x的分式方程＝有增根，则m＝ ．
四．由实际问题抽象出分式方程（共3小题）
10．（2022春•浦东新区校级期中）一项工程，甲单独完成比乙单独完成多用6天，若甲、乙合作3天后，乙需再用7天才能全部完成，若设甲单独完成此项工程需x天，则下列方程正确的是（ ）
A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1
11．（2022春•青浦区校级期中）今日，上海疫情防控形势严峻，某工厂计划生产1000套防护服，由于工人加班加点，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x套防护服，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022春•上海期中）某工人要完成1000个零件，起初机器出现故障，每分钟比原计划少加工4个零件，加工320个零件后，换了一台新机器，每分钟比原计划多加工8个零件．已知用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少6分钟，设原计划每分钟加工x个零件，则可列方程为： ．
五．分式方程的应用（共3小题）
13．（2022春•闵行区校级月考）上海市政府计划年内改造3.6万个分类垃圾箱房，把原有的分类垃圾箱房改造成可以投放“干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾”四类垃圾的新型环保垃圾箱房．环卫局原定每月改造相同数量的分类垃圾箱房，为确保在年底前顺利完成改造任务，环卫局决定每月多改造500个分类垃圾箱房，提前一个月完成任务，求环卫局每个月实际改造分类垃圾箱房的数量．
14．（2022春•闵行区校级月考）若A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，且甲比乙早出发2小时，如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在AB中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？
15．（2022春•闵行区校级期末）某工程队承担了修建地铁两个站点间2400米的隧道工程任务，由于采用了新技术，现在每个月比原计划多掘进了180米，因而比原计划提前3个月完成任务．
（1）求完成此项工程原计划每个月掘进多少米？
（2）如果每天的施工费用为2.5万元，那么该工程队现在完成此项工程共需多少万元？（每个月按30天算）
六．含字母系数的一元一次方程（共1小题）
16．（2018春•浦东新区期末）如果是方程mx2+y2＝xy的一个解，那么m＝ ．
七．二元二次方程组（共4小题）
17．（2022春•长宁区校级期中）将方程组：转化成两个二元二次方程组分别是 和 ．
18．（2021春•闵行区期中）已知二元二次方程组有一组解是，写出一个符合上述条件的二元二次方程组为 ．
19．（2022春•上海期中）解方程组：．
20．（2022春•静安区校级期中）解方程组：
巩固提升
一、单选题
1．（2023春·八年级单元测试）以下方程是无理方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·八年级单元测试）已知方程：①，②，③，④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（2022春·上海·八年级专题练习）若关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．B．－1C．1D．
4．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）下列命题正确的是（ ）
A．B．与是同类二次根式
C．是分式方程的增根D．一元二次方程可能没有实根，可能有一个实根，可能有两个实根
二、填空题
5．（2023春·八年级单元测试）方程组的解是______．
6．（2023春·八年级单元测试）把方程化为两个二元一次方程，它们是_____和_____．
7．（2023春·八年级单元测试）解关于的方程有增根，则的值为___________
8．（2023春·八年级单元测试）下列方程：，，，无实数根的方程有________个．
三、解答题
9．（2023春·八年级单元测试）小李家离某书店12千米，他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了一小时，求小李去书店时的步行速度
10．（2023春·八年级单元测试）解方程组：
11．（2022春·上海·八年级专题练习）外出佩戴口罩可以有效防控新冠病毒，某药店用元购进若干包医用外科口罩很快售完，该店又用元钱购进第二批同种口罩，而且数量比第一批多，第二批每包的进价比第一批每包的进价多元，请解答下列问题：
(1)求购进的第一批医用口罩有多少包？
(2)政府采取限价措施，要求在这两批医用口罩的销售中售价保持不变，而且售完这两批口罩的总利润不高于元，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？
12．（2023春·八年级单元测试）若关于x的方程无解，求实数的值．
13．（2023春·八年级单元测试）用换元法解方程：x2﹣x﹣=4．
14．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）在中，，，射线上有一点分别为点P关于直线的对称点，连接
(1)如图1，当点P在线段 上时，则______，______．
(2)如图2，当点P在线段的延长线上时．根据题意补全图形，并探究是否存在点P，使得，若存在，直接写出满足条件时的长度；若不存在，说明理由．
15．（2022春·上海长宁·八年级校考期中）解方程：．
16．（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）解方程组：．
17．（2023春·八年级单元测试）解方程：
18．（2023春·八年级单元测试）解方程：．
19．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）解方程：
(1)；
(2)；
(3)
20．（2022春·上海·八年级校考期中）解方程组：．
21．（2022春·上海·八年级专题练习）关于x的方程：－＝1.
(1)当a＝3时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求a的值．
核心考点02 代数方程
目录
考点一：高次方程
考点二：无理方程
考点三：分式方程的增根
考点四： 由实际问题抽象出分式方程
考点五：分式方程的应用
考点六：含字母系数的一元一次方程
考点七：二元二次方程组
考点考向
一、整式方程：
1字母系数：关于x的方程中，把用字母表示的已知数m、n、a、b、c叫做字母系数.
2.含字母系数的一元一次方程
定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程；
求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1；注意：系数化为1时视情况讨论！
3．含字母系数的一元二次方程
定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程；
解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论.
4.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式；
一元n次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n；其中n大于2的方程称为一元高次方程.
5.二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零. 一般形式为：
.
二项方程的解法：将方程变形为，当n为奇数时，；当n为偶数时，如果，；如果，那么方程没有实数根.
二、分式方程：
6.可化为一元二次方程的分式方程
解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解；
解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根.
三、无理方程
1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式；无理方程也叫根式方程.
2.无理方程、有理方程、代数方程三者之关系
有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程；
代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程.
3.无理方程的解法
（1）基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解；
（2）一般步骤：
四、二元二次方程组与列方程（组）解应用题
1.二元二次方程
2.二元二次方程组
3.二元二次方程组的解法
(1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次.
(2)题型一：解方程组即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.
方法：代入消元法；
一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解.
(3)题型二：解方程组（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式）
方法：因式分解法；
解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解.
4.列方程（组）解应用题
考点精讲
一．高次方程（共3小题）
1．（2022春•徐汇区校级期中）对于二项方程axn+b＝0（a≠0，b≠0），当n为偶数时，已知方程有两个实数根，那么ab一定（ ）
A．ab＜0B．ab＞0C．ab≥0D．ab≤0
【分析】根据偶数次方的非负性求解．
【解答】解：∵axn+b＝0（a≠0，b≠0），
∴xn＝﹣，
∵n为偶数时，已知方程有两个实数根，
∴﹣＞0，
∴ab＜0．
故选A．
【点评】本题考查高次方程的解，注意偶数次方的非负性是求解本题的关键．
2．（2022春•上海期中）下列方程中，二项方程是（ ）
A．x2+2x+1＝0B．x5+x2＝0C．x2＝1D．+x＝1
【分析】根据二项方程的定义判断求解．
【解答】解：∵x2+2x+1＝0有三项，不符合二项方程定义，
∴A不合题意．
∵x5+x2＝0左边是二项式，右边为0，不符合二项方程的定义．
∴B不符合题意，
∵x2＝1，可得x2﹣1＝0，符合二项方程定义．
∴C符合题意．
∵+x＝1是分式方程，
∴D不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二项方程的定义，掌握二项方程的定义是求解本题的关键．
3．（2022春•青浦区校级期中）在实数范围内，方程x4﹣16＝0的实数根的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先移项得出x4＝16，再根据四次方根的定义求出方程的解即可．
【解答】解：x4﹣16＝0，
x4＝16，
x＝＝±2，
即方程x4﹣16＝0的实数根的个数是2，
故选：B．
【点评】本题考查了解高次方程，能求出x＝±是解此题的关键．
二．无理方程（共4小题）
4．（2022秋•青浦区校级期末）下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2﹣x+2＝0B．＝C．＝﹣1D．x4﹣1＝0．
【分析】根据根的判别式即可判断选项A；方程两边乘x﹣1得出x＝1，即可判断选项B；根据算术平方根的非负性即可判断选项C；求出方程的解，即可判断选项D．
【解答】解：A．x2﹣x+2＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2＝1﹣8＝﹣7＜0，
所以此方程无实数根，故本选项不符合题意；
B．＝，
方程两边都乘x﹣1，得x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣1＝0，
所以x＝1是增根，
即原方程无实数根，故本选项不符合题意；
C．＝﹣1，
∵算术平方根是非负数，
∴此方程无实数根，故本选项不符合题意；
D．x4﹣1＝0，
x4＝1，
x＝±＝±1，
即方程有实数根，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，解分式方程，解无理方程，解高次方程等知识点，能熟记根的判别式的内容、把分式方程转化成整式方程、能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
5．（2022春•杨浦区校级期中）方程（x﹣2）＝0的根是 x＝1 ．
【分析】根据已知方程得出＝0或x﹣2＝0，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：∵（x﹣2）＝0，
∴＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2，
经检验x＝1是原方程的根，x＝2不是原方程的根，
即原方程的根是x＝1，
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
6．（2022春•杨浦区校级期中）解方程：+2x＝1．
【分析】移项后两边平方得出x+1＝1﹣4x+4x2，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：+2x＝1，
移项，得＝1﹣2x，
两边平方，得x+1＝1﹣4x+4x2，
解得：x1＝0，x2＝，
经检验x＝0是原方程的解，x＝不是原方程的解，
所以原方程的解是x＝0．
【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
7．（2022春•闵行区校级期末）解方程：．
【分析】通过方程两边分别平方，把无理方程转化为有理方程，再求解．
【解答】解：移项得：＝9﹣，
两边都平方得：x+2＝81﹣18+x﹣7，
移项合并同类项得：18＝72，
∴＝4，
两边再平方得：x﹣7＝16，
∴x＝23，
检验：当x＝23时，左边＝+＝5+4＝9＝右边，
所以x＝23是原方程的解，
【点评】本题考查了解无理方程，两边平方转化为有理方程是解题的关键．
三．分式方程的增根（共2小题）
8．（2022春•杨浦区校级期中）方程﹣3＝有增根，则m的值为（ ）
A．B．±3C．﹣3D．3
【分析】根据题意可得x＝3，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答．
【解答】解：﹣3＝，
x﹣3（x﹣3）＝m，
解得：x＝，
∵方程有增根，
∴x＝3，
把x＝3代入x＝中，
3＝，
解得：m＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
9．（2022春•杨浦区校级期中）已知关于x的分式方程＝有增根，则m＝ ﹣10 ．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣4＝0，得到x＝4，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘x﹣4，
得m＝﹣6﹣x
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣4＝0，
解得x＝4，
当x＝4时，m＝﹣10，
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
四．由实际问题抽象出分式方程（共3小题）
10．（2022春•浦东新区校级期中）一项工程，甲单独完成比乙单独完成多用6天，若甲、乙合作3天后，乙需再用7天才能全部完成，若设甲单独完成此项工程需x天，则下列方程正确的是（ ）
A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1
【分析】设甲单独完成此项工程需x天，则乙单独完成此项工程需（x﹣6）天，根据“甲、乙合作3天后，乙需再用7天才能全部完成”，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设甲单独完成此项工程需x天，则乙单独完成此项工程需（x﹣6）天，
依题意得：+＝1，
即+＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11．（2022春•青浦区校级期中）今日，上海疫情防控形势严峻，某工厂计划生产1000套防护服，由于工人加班加点，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x套防护服，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设原计划每天制作x套防护服，则实际每天制作为（1+20%）x，根据结果比原计划提前2天完成任务，列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天制作x套防护服，
可列方程为：﹣＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
12．（2022春•上海期中）某工人要完成1000个零件，起初机器出现故障，每分钟比原计划少加工4个零件，加工320个零件后，换了一台新机器，每分钟比原计划多加工8个零件．已知用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少6分钟，设原计划每分钟加工x个零件，则可列方程为： ．
【分析】根据题意可知：用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少6分钟，即可列出相应的分式方程．
【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
五．分式方程的应用（共3小题）
13．（2022春•闵行区校级月考）上海市政府计划年内改造3.6万个分类垃圾箱房，把原有的分类垃圾箱房改造成可以投放“干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾”四类垃圾的新型环保垃圾箱房．环卫局原定每月改造相同数量的分类垃圾箱房，为确保在年底前顺利完成改造任务，环卫局决定每月多改造500个分类垃圾箱房，提前一个月完成任务，求环卫局每个月实际改造分类垃圾箱房的数量．
【分析】设环卫局每个月实际改造分类垃圾箱房的数量为x个，则环卫局每个月原定改造分类垃圾箱房的数量为（x﹣500）个，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前一个月完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设环卫局每个月实际改造分类垃圾箱房的数量为x个，则环卫局每个月原定改造分类垃圾箱房的数量为（x﹣500）个，
根据题意得：﹣＝1，
整理得：x2﹣500x﹣18000000＝0，
解得：x1＝4500，x2＝﹣4000，
经检验，x1＝4500，x2＝﹣4000均为所列分式方程的解，x2＝﹣4000不符合题意，舍去，
∴x＝4500．
答：环卫局每个月实际改造分类垃圾箱房的数量为4500个．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
14．（2022春•闵行区校级月考）若A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，且甲比乙早出发2小时，如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在AB中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？
【分析】设甲的速度是每小时x千米，则乙的速度是每小时（x+2）千米，由题意：甲比乙早出发2小时，两人恰好在AB中点相遇．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设甲的速度是每小时x千米，则乙的速度是每小时（x+2）千米，
根据题意，得：﹣＝2，
整理，得：x2+2x﹣15＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣5，
经检验：x1＝3，x2＝﹣5都是原方程的解，但x＝﹣5不符合题意，舍去．
∴原方程的解是x＝3，
则x+2＝5，
答：甲的速度是每小时3千米，乙的速度是每小时5千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
15．（2022春•闵行区校级期末）某工程队承担了修建地铁两个站点间2400米的隧道工程任务，由于采用了新技术，现在每个月比原计划多掘进了180米，因而比原计划提前3个月完成任务．
（1）求完成此项工程原计划每个月掘进多少米？
（2）如果每天的施工费用为2.5万元，那么该工程队现在完成此项工程共需多少万元？（每个月按30天算）
【分析】（1）设完成此项工程原计划每个月掘进x米，则现在每个月掘进（x+180）米．由题意：现在每个月比原计划多掘进了180米，因而比原计划提前3个月完成任务．列出分式方程，解方程即可；
（2）由每天的施工费用×天数，列式计算即可．
【解答】解：（1）设完成此项工程原计划每个月掘进x米，则现在每个月掘进（x+180）米．
根据题意，得：﹣＝3，
整理，得：x2+180x﹣144000＝0．
解得：x1＝﹣480，x2＝300．
经检验：x1＝﹣480，x2＝300都是原方程的解，但x1＝﹣480不符合题意，舍去．
答：完成此项工程原计划每个月掘进300米．
（2）×2.5×30＝375（万元）．
答：该工程队现在完成此项工程共需375万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
六．含字母系数的一元一次方程（共1小题）
16．（2018春•浦东新区期末）如果是方程mx2+y2＝xy的一个解，那么m＝ ﹣ ．
【分析】依据方程的解概念，将方程的解代入方程进行计算，即可得到m的值．
【解答】解：把方程的解代入方程mx2+y2＝xy，可得
4m+1＝﹣2，
∴4m＝﹣3，
解得m＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，方程的解就是满足方程的未知数的值，把解代入方程即可．
七．二元二次方程组（共4小题）
17．（2022春•长宁区校级期中）将方程组：转化成两个二元二次方程组分别是 和 ．
【分析】方程组中，方程x2﹣5xy+6y2＝0的左边可因式分解，根据：两个因式的积为0，则其中至少有一个因式为0，将原方程组转化为两个二元二次方程组．
【解答】解：由方程x2﹣5xy+6y2＝0得（x﹣2y）（x﹣3y）＝0，
即x﹣2y＝0或x﹣3y＝0，
所以，原方程组可化为，，
故答案为：，．
【点评】本题考查了二元二次方程组的定义．关键是将方程组中的某个方程左边因式分解，使其积为0，可将较复杂的高次方程组转化为简单的高次方程组．
18．（2021春•闵行区期中）已知二元二次方程组有一组解是，写出一个符合上述条件的二元二次方程组为 ．
【分析】分别列两个方程代入x，y的值就可以．
【解答】解：把x，y的值代入符合要求；
故答案为：．
【点评】考察二元一次方程组定义，方程组得解，解题关键x，y都能使两个方程左右值相等．
19．（2022春•上海期中）解方程组：．
【分析】由第一个方程可得y＝，然后再代入到第二个方程中，进行计算求出一元二次方程的解，从而求出y的值，即可解答．
【解答】解：，
由①得：
2y＝4﹣x，
y＝③，
把③代入②得：
x2﹣2x•＝0，
x2﹣x（4﹣x）＝0，
x2﹣4x+x2＝0，
2x2﹣4x＝0，
x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或x＝2，
把x＝0代入③得：y＝2，
把x＝2代入③得：y＝1，
∴原方程组的解为：或．
【点评】本题考查了解二元二次方程组，把二元二次方程转化为一元二次方程是解题的关键．
20．（2022春•静安区校级期中）解方程组：
【分析】把原方程组转化为两个二元一次方程组，再利用加减消原法求解即可．
【解答】解：原方程组可化为或，
②﹣①，得5y＝2，
解得y＝，
把y＝代入①，得x＝，
所以；
③﹣④，得4y＝2，
解得y＝，
把y＝代入③，得x＝，
所以
综上所述，或．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
巩固提升
一、单选题
1．（2023春·八年级单元测试）以下方程是无理方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】无理方程就是根号下含有未知数的方程．
【详解】解：根据无理方程的概念可知：选项D为无理方程，
故选：D．
【点睛】本题考查无理方程的概念，解题的关键是正确理解无理方程的概念，本题属于基础题型．
2．（2023春·八年级单元测试）已知方程：①，②，③，④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】利用分式方程的定义判断即可．
【详解】解：①，是分式方程；
②，是分式方程；
③，是分式方程；
④，不是分式方程，
则分式方程的个数是3．
故选：B．
【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键．
3．（2022春·上海·八年级专题练习）若关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．B．－1C．1D．
【答案】D
【分析】先令分母为零求增根，在把分式方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程即可求出答案．
【详解】解： 分式方程无解
解得
原方程化为：
把 代入得
解得
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的增根，掌握增根产生的原因并求出增根，把分式方程转化为整式方程是解题的关键．
4．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）下列命题正确的是（ ）
A．B．与是同类二次根式
C．是分式方程的增根D．一元二次方程可能没有实根，可能有一个实根，可能有两个实根
【答案】B
【分析】根据二次根式、分式增根以及一元二次方程的知识，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A，当，时，，选项错误，不符合题意；
B、，，被开方数相同，是同类二次根式
选项正确，符合题意；
C、将转化为整式方程为
化简可得：
不是方程的根，
∴也不是的增根，选项错误，不符合题意；
D、一元二次方程可能没有实根，可能有两个相等的实根，可能有两个不相等的实根，说法错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了二次根式运算、同类二次根式、分式增根以及一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
二、填空题
5．（2023春·八年级单元测试）方程组的解是______．
【答案】
【分析】由得出，代入得到方程，求出方程的解，，将的值分别代入求出即可．
【详解】，
由得：，
把代入得：，
即，
，
解得：，，
代入得：，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了高次方程和解一元二次方程的应用，解此题的关键是把方程组转化成解一元二次方程，题型较好，难度适中．
6．（2023春·八年级单元测试）把方程化为两个二元一次方程，它们是_____和_____．
【答案】
【分析】先把方程左边分解得到，则原方程可转化为或．
【详解】解：∵，
∴，
∴或．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法，解题的关键是通常利用换元法或因式分解法把高次方程化为一元二次方程求解．
7．（2023春·八年级单元测试）解关于的方程有增根，则的值为___________
【答案】##
【分析】根据分式方程增根的产生，即使其最简公分母为0，但适合其转化为的整式方程进行求解．
【详解】解：根据题意，得
该分式方程的增根是，
该分式方程转化为整式方程，得，
把代入，得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，即适合分式方程转化为整式方程，但却使分式方程的最简公分母为0．
8．（2023春·八年级单元测试）下列方程：，，，无实数根的方程有________个．
【答案】3
【分析】根据二次根式有意义的条件判断；移项后得出方程，根据算术平方根的非负性即可判断；两边平方，求出方程的解，再进行检验即可判断；
【详解】解：，
由二次根式有意义条件得：，
解得：不等式组无解，
∴此方程无实数根；
，
移项得：，
∵不论x为何值，
的值不能为负数，
∴此方程无实数根；
，
方程两边平方，得，
解得：x=1，
经检验x=1不是原方程的解，
∴此方程无实数根；
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解无理方等知识点，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
三、解答题
9．（2023春·八年级单元测试）小李家离某书店12千米，他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了一小时，求小李去书店时的步行速度
【答案】小李去书店时的速度为4千米/小时．
【分析】设小李去书店时的速度为每小时x千米，根据他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了1小时列方程求解即可．
【详解】解：设小李去书店时的速度为每小时x千米，根据题意得
整理得
解得，（不合题意舍去）
经检验是原方程的根且符合题意
答：小李去书店时的速度为4千米/小时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，设出速度，以时间作为等量关系列方程求解．
10．（2023春·八年级单元测试）解方程组：
【答案】方程组的解为：或．
【分析】先把方程①变形可得或，再把原方程组化为两个二元一次方程组，再解两个二元一次方程组即可．
【详解】解：，
由①得：，
∴或，
∴原方程组化为：或，
由可得：，
由可得：，
∴方程组的解为：或．
【点睛】本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握“把二元二次方程组化为二元一次方程组的方法解题”是解本题的关键．
11．（2022春·上海·八年级专题练习）外出佩戴口罩可以有效防控新冠病毒，某药店用元购进若干包医用外科口罩很快售完，该店又用元钱购进第二批同种口罩，而且数量比第一批多，第二批每包的进价比第一批每包的进价多元，请解答下列问题：
(1)求购进的第一批医用口罩有多少包？
(2)政府采取限价措施，要求在这两批医用口罩的销售中售价保持不变，而且售完这两批口罩的总利润不高于元，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？
【答案】(1)购进的第一批医用口罩有包
(2)该药店销售该医用口罩每包最高售价为元
【分析】（1）设购进的第一批医用口罩有包，根据题意列出方程求解即可；
（2）设该医用口罩每包的售价为元，根据利润不高于3500元，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设购进的第一批医用口罩有包，
根据题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：购进的第一批医用口罩有包．
（2）解：设该医用口罩每包的售价为元，
由题意得：第一次进价为元每包，第二次进价为元每包，购进的第二批医用口罩为包 ，
根据题意得：，
解得：
答：该药店销售该医用口罩每包最高售价为元．
【点睛】此题主要考查分式方程和一元一次不等式解应用题，理解题意，找出实际问题中的等量关系和不等关系是解题关键．
12．（2023春·八年级单元测试）若关于x的方程无解，求实数的值．
【答案】或或
【分析】方程去分母转化为整式方程，求出的表达式，根据分式方程无解可得或或的表达式中分母为0，再代入的表达式中即可求出的值．
【详解】解：方程两边同时乘以，
得：，
解得：，
当时，此方程无解，原分式方程也无解，解得：，
当时，
原分式方程无解，
，
或，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
综上，的值为或或．
【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的特点，并能分情况进行讨论是解题的关键．
13．（2023春·八年级单元测试）用换元法解方程：x2﹣x﹣=4．
【答案】
【分析】方程的两个部分是倒数关系，所以可设，可用换元法转化为关于y的分式方程，先求y，再求x，最后检验一下结果．
【详解】设，
则原方程变形为，
即，
解得，
当y=-2时，，
因为，所以此方程无实数根，
当y=6时，，
解方程得：，
检验：把分别代入原方程的分母，分母都不等于0，
所以原方程的根是：．
【点睛】换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
14．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）在中，，，射线上有一点分别为点P关于直线的对称点，连接
(1)如图1，当点P在线段 上时，则______，______．
(2)如图2，当点P在线段的延长线上时．根据题意补全图形，并探究是否存在点P，使得，若存在，直接写出满足条件时的长度；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)补全图形见解析，5
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，根据轴对称的性质可得∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABP=∠ABM，然后结合图形即可即可；
（2）先根据轴对称图形的特点补全图形；再根据轴对称的性质可得PB=BM，PC=CN，设，则或，，利用和线段的和差列出方程求解即可．
【详解】（1）解：，，
，
，分别为点关于直线，的对称点，
，，，
，
．
故答案为，．
（2）解：补全图形如图所示．
存在点P，使得．
设，则或，
，
或，
或5．
经检验或5为方程的解，
∵线段不可能为负
．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的特点、角度的计算、分式方程的应用等知识点，理解题意、熟练掌握运用轴对称图形的性质是解题关键．
15．（2022春·上海长宁·八年级校考期中）解方程：．
【答案】
【分析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】解：方程两边同时乘以，
得，
整理，得，
∴，．
经检验是增根，是原方程的解，
∴原方程的解为．
【点睛】本题主要考查了解可以化为一元二次方程的分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和一元二次方程的步骤和方法．
16．（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）解方程组：．
【答案】
【分析】将方程转化为或，再次联立方程，得到两个方程组，然后逐一求解，即可解决问题．
【详解】解：，
由得：或
原方程组化为或；
解得：，
原方程组的解是．
【点睛】本题考查了二元高次方程的求解问题；解题的一般策略是降次转化，化高次方程组为低次方程组，然后求解．
17．（2023春·八年级单元测试）解方程：
【答案】无解
【分析】通过去去分母把分式方程化成整式方程，再求解整式方程，最后把解代入最简公分母进行检验即可解答．
【详解】解：
两边同乘得：，
去括号得：，
移项合并得：，解得：．
检验：经检验是方程的增根，原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．求出解后的检验是本题的易错点．
18．（2023春·八年级单元测试）解方程：．
【答案】
【分析】移项得出＝1+，两边平方得出3x﹣5＝1+x+2+2，整理后得出2＝2x﹣8，再两边平方得出4（x+2）＝（2x﹣8）2，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：，
∴＝1+，
两边平方得：3x﹣5＝1+x+2+2，
整理得：2＝2x﹣8，
两边平方，得4（x+2）＝（2x﹣8）2，
整理，得x2﹣9x+14＝0，
解得：x＝2或7，
经检验x＝2不是原方程的解，x＝7是原方程的解，
所以原方程的解是x＝7．
【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
19．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）解方程：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)，；
(3)，，，．
【分析】（1）移项后两边平方得出，求出，再方程两边平方得出，求出，再进行检验即可；
（2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；
（3）令，则，代入原方程，得，所以，，然后分两种情况分别解方程即可．
【详解】（1）
解：移项得，，
两边平方得，，
合并同类项得，，
∴，
两边平方得，，
整理得，，
∴，
解得：，，
经检验，，不是原方程的解，
∴原方程的解为：．
（2）
解：方程两边同时乘以得，
整理得，，
解得，，
∴，，
经检验，，时，，
∴原方程的根为：，．
（3）
解：
令，代入原方程得，，
∴，
解得：，，
当时，，即： ，
∴，解得：，，
当时，，即： ，
∴，解得：，，
经检验都为原方程的解
∴原方程的解为：，，，．
【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键；还考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根．
20．（2022春·上海·八年级校考期中）解方程组：．
【答案】，，，
【分析】将原方程组转化为四个二元一次方程组，然后解方程组即可.
【详解】解： ，
由①，得，
∴③或④，
由②，得，
∴⑤或⑥，
由③⑤，③⑥，④⑤，④⑥组成方程组，
得，，，，
∴ ，，，．
所以原方程组的解为：，，，．
【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法．把原二元二次方程组降幂，转化为二元一次方程组是解题的关键．
21．（2022春·上海·八年级专题练习）关于x的方程：－＝1.
(1)当a＝3时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求a的值．
【答案】（1）x＝－2；（2）a＝－3.
【分析】（1）将a=3代入,求解－＝1的根,验根即可,
（2）先求出增根是x＝1，将分式化简为ax＋1＋2＝x－1，代入x＝1即可求出a的值.
【详解】解：(1)当a＝3时，原方程为－＝1,
方程两边同乘x－1，得3x＋1＋2＝x－1，
解这个整式方程得x＝－2，
检验：将x＝－2代入x－1＝－2－1＝－3≠0，
∴x＝－2是原分式方程的解．
(2)方程两边同乘x－1，得ax＋1＋2＝x－1，
若原方程有增根，则x－1＝0，解得x＝1，
将x＝1代入整式方程得a＋1＋2＝0，解得a＝－3.
【点睛】本题考查解分式方程,属于简单题,对分式方程的结果进行验根是解题关键.
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