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沪教版八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试重难点02列方程(组)解应用题(5种题型)(原卷版+解析)
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这是一份沪教版八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试重难点02列方程(组)解应用题(5种题型)(原卷版+解析)，共65页。试卷主要包含了增长率问题公式，工作效率问题，利润，行程问题，几何图形等内容，欢迎下载使用。
题型一：增长率问题
题型二：工作效率问题
题型三：利润问题
题型四：行程问题
题型五：几何图形问题
技巧方法
一、增长率问题公式：
其中a为初始值即变化前值，b为变化后值，x为增长率或者降低率．
二、工作效率问题：
工作总量=工作效率工作时间；
假设工作总量是1，则工作效率是．
三、利润：
单件利润=售价-成本； 总利润=单件利润销售件数．
四、行程问题：
行程问题中三个变量：路程、速度和时间，关系如下：
路程=速度时间
可以通过等式的相关计算推导出速度、和时间的相关计算公式．
五、几何图形：
1、关于线段长度类问题，主要列无理方程求解；
2、与面积相关的问题；
3、图形中的动点问题．
能力拓展
题型一：增长率问题
一、解答题
1．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）一种笔记本电脑，原来的售价是元，经过连续两年的降价，今年每台售价为元，每年降价的百分率相同．
(1)年降价的百分率是多少？
(2)小明是去年购买这种笔记本的，那么与今年的售价相比，他多付了多少元？
2．（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
3．（2022秋·上海·八年级校考期中）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
(2)去年，该商店月份的营业额为375万元，，月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与月份的营业额相等．求该商店去年，月份营业额的月增长率．
4．（2022秋·上海·八年级专题练习）某产品5月份时每件200元，在6、7月进行了两次提价，且每次提价的百分率相同，此时售价为288元，后因产品销售问题，8月选择降价，降价的百分率与之前每次提价的百分率相同，求8月份该产品的售价？
5．（2022春·上海·八年级专题练习）为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元．
（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；
（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？
6．（2022春·上海·八年级专题练习）经预算，某工厂从2022年1月份起，每月生产收入是22万元，但在生产过程中会引起环境污染，若再按现状生产，将会受到环境部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资85万元治理污染，治污系统可在2022年1月份启用，这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本，使1月至3月份的生产收入以相同的百分率逐月增长．经预算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，3月份的生产收入可达36万元．3月份以后，每月的生产收入稳定在3月份的水平．
（1）求出投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率；
（2）如果利润看作是生产累计收入减去治理污染的投资和环境部门的罚款，试问：治理污染多少个月后，所投资金开始见成效？即治污多少个月后所获利润不小于不治污情况下所获利润）
7．（2022春·上海·八年级专题练习）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省年公共充电桩的数量为万个，年公共充电桩的数量为万个．
（1）求年至年该省公共充电桩数量的年平均增长率；
（2）按照这样的增长速度，预计年该省将新增多少万个公共充电桩？
8．（2022春·上海·八年级专题练习）山清水秀的东至县三条岭已成为游客最喜欢的旅游地之一，其中“蔡岭”在2019年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2021年“五一”小长假期间，接待游客2.88万人次，在蔡岭，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2019至2021年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护东至县形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
9．（2022春·上海·八年级专题练习）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
10．（2021秋·上海·八年级期中）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
11.某工厂今年头三个月生产甲、乙两种产品，已知甲种产品1月份生产16件，以后每月比上月增长相同的百分率；乙种产品每月比上月增产10件．又知2月份的甲、乙两种产品的产量之比为2:3，且3月份的两种产品的产量之和为65件，求甲种产品每月的增长率和乙种产品1月份的产量．
题型二：工作效率问题
一、解答题
1．（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时．
2．（2022春·上海·八年级期末）某区招办处在中考招生录取工作时，为了防止数据输入出错，全区3600名学生的成绩数据分别由李某、王某两位同志进行操作，两人各自独立地输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知李某的输入速度是王某的2倍，结果李某比王某少用2小时输完．问李某、王某两人每分钟分别能输入多少名学生的成绩？
3．（2020春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考阶段练习）某校八（1）班和四川省某贫困县一所中学的八（2）班是牵手班级，八（1）班所有学生准备捐款3600元帮助小伙伴们来购置学习用品，在实际捐款中又有4名老师参加，如果总的捐款数不变，则参加捐款的每人平均少捐了10元，求这个班的人数．
4．（2021春·上海浦东新·八年级校联考期末）在疫情防控常态化背景下，每周需要对面积为4800平方米的仓库进行一次全面消毒工作．最初采用人工操作完成消毒任务．为提高效率采用机器人消毒，机器人消毒每分钟消毒面积比人工操作多60平方米，并且提前40分钟完成消毒任务．求人工操作每分钟消毒面积为多少平方米．
5．（2020春·上海浦东新·八年级统考期末）新冠肺炎疫情期间，工厂需加工一种口罩250万个，在加工了100万个后，采用了新技术，使每天比原来多加工2.5万个，结果提前了3天完成任务，求工厂原来每天加工多少万个口罩？
6．（2022春·上海·八年级专题练习）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？
7．（2022春·上海·八年级期中）为迎接线下开学，某学校决定对原有的排水系统进行改造，如果甲组先做5天后，剩下的工程由乙组单独承担，还需7.5天才能完工，为了早日完成工程，甲乙两组合作施工，6天完成了任务；甲乙两组单独完成此项工程各需要多少天？
8．（2020春·上海金山·八年级统考阶段练习）某街道1000米的路面下雨时经常严重积水．需改建排水系统．市政公司准备安排甲、乙两个工程队做这项工程，根据评估，有两个施工方案：
方案一：甲、乙两队合作施工，那么12天可以完成；
万案二：如果甲队先做10天，剩下的工程由乙队单独施工，还需15天才能完成．
（l）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）方案一中，甲、乙两队实际各施工了多少米？
9．（2022春·上海·八年级期中）某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，需缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．求原计划每天铺设多少米？
10.某工厂甲、乙两个车间各生产300个零件，按原来的工效，乙车间需要比甲车间多用一天的时间完成，现在甲、乙两车间都提高了工效，其中甲车间工效提高了20%，而乙车间提高了一倍，结果生产同样的300个零件，乙车间比甲车间少用了2天就可完成，问甲、乙两车间原来生产300个零件各需要多少天?
11.已知甲、乙、丙三人做某项工作，甲独做所需要的时间是乙、丙两人合做这件工作的a倍，乙独做需要的时间是甲、丙两人合做这件工作的b倍，求丙独做所用的时间是甲、乙两人合做此工作的几倍．
12.一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时，如果单独开放甲管10个小时后，加入乙管，需要6个小时把水池注满，那么单独开放一个水管，需要多少小时才可以把水池注满?
题型三：利润问题
一、解答题
1．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用3000元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用5400元购进第二批这种玩具，所购数量比第一批增加了30件，但每套进价多了10元．已知两次购入的玩具数都没有超过100件，求第一批玩具每套的进价．
2．（2022春·上海徐汇·八年级统考期末）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．某电器商行销售的某款激光电视去年销售总额为800万元，由于技术革新和成本降低，今年这款激光电视每台销售价比去年降低4000元，若要保持销售总额不变，今年这款激光电视的销售量要比去年多100台，今年这款激光电视每台的售价是多少元？
3．（2022春·上海·八年级专题练习）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
(1)这项工程的规定时间是多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
4．（2022春·上海·八年级专题练习）某校为了准备“迎新活动”，用900元购买了甲、乙两种礼品共240个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了180元．
（1）购买甲种礼品一共用去____________元；（请直接写出答案）
（2）如果甲种礼品的单价是乙种礼品单价的2倍，那么乙种礼品的单价是多少元？
5．（2021春·上海·八年级上海市第四中学校考期中）某商店第一次用600元购进某种型号的铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但每支的进价比第一次贵1元，所以购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价和购买的数量．
（2）若将这两次购买的铅笔按同一单价（元/支）全部销售完毕，并要求总利润不低于420元．求总利润（元）关于单价（元/支）的函数关系式及定义域．
6．（2020春·上海·八年级校联考期中）小明在普通商场中用96元购买了一种商品，后来他在网上发现完全相同的这一商品在网上购买比普通商场中每件少2元，他用90元在网上再次购买这一商品，比上次在普通商场中多买了3件．问小明在网上购买的这一商品每件几元？
7．（2021春·上海·八年级上海市西南模范中学校考期中）学校开展“书香校园”活动，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费了10000元，购买文学类图书花费了9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本，科普类图书平均每本的价格是多少元？
8．（2022春·上海·八年级期中）书店老板去图书批发市场购买某种图书. 第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了，他用1500元所购该书数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书. 试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
9．（2022春·上海·八年级专题练习）某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾分类垃圾桶，学校先用2700元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3600元购买了一批放在户久使用的大号垃圾桶，已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍，且购买的数量比小号垃圾桶少40个，求每个小号垃圾桶的价格是多少元？
10．（2019秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）某书店两次从图书批发市场购进某种图书，每次都用2000元，其中第二次购进这种书每本的批发价比第一次每本的批发价降低了2元，且比第一次购进的书多了50本，求第一次购书时每本的批发价.
11.某水果店在水果批发市场用100元购进一批甲种水果，再用100元购进一批乙种水果，已知购进的乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价低0.5元/千克．
（1）求甲乙两种水果各购进了多少千克?
（2）购进水货当天，甲乙两种水果都按照2.8元/千克出售，乙种水果很快售完，而甲种水果先售出剩余的按售价打5折出售，这一天的水果买卖是否赚钱?如果赚钱了，赚多少?如果不赚钱，那么赔了多少?
12.某中学库存960套旧课桌椅，准备修理后捐助给贫困山区学校，现在有甲乙两个木工小组都希望承揽这项业务，经协商研究得知：甲小组单独修理这批桌椅比乙小组单独修理要多用20天；乙小组每天比甲小组多修理8套；学校每天需要付甲乙小组修理费分别是80元和120元；
求甲乙两个小组每天各修理课桌椅多少套?
在修理桌椅的过程中，学校委派一名维修工进行质量监控，由学校每天发出10元钱作为生活补贴；现在有三种修理方案：方案一由甲单独修理；方案二由乙单独修理；方案三由甲乙共同修理；选择哪种方案，更省钱?
题型四：行程问题
一、解答题
1．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）若A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，且甲比乙早出发2小时．如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在AB中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？
2．（2022春·上海·八年级校考期中）甲乙两人分别从相距27公里的A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇，相遇后两人用原来的速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地快1小时21分钟，则甲乙两人的速度分别是多少？
3．（2022春·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）一列火车到达A站已经晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在B站正点到达，求火车原来行驶的速度．
4．（2022春·上海·八年级期末）甲、乙两辆客车分别从相距400千米的A、B两站同时出发，相向而行，相遇时乙车行驶了250千米，如果乙车每小时比甲车多走20千米，求甲、乙两车速度．
5．（2021春·上海松江·八年级校考期中）一列火车到达A站已经晚点6分钟，如果按原速度继续行驶20千米到达B站，也晚点6分钟，但如果从A站到B站将速度每小时加快10千米，那么可以在B站准点到达，求火车原来行驶的速度．
6．（2022春·上海·八年级校考期中）学校组织八年级部分学生乘坐甲、乙两辆大客车到洋山深水港参观，已知连接临港新城和深水港的东海大桥全长30千米，假设两车都匀速行驶，甲车比乙车早6分钟上桥，但由于乙车每小时比甲车多行10千米，所以甲、乙两车同时下桥，求甲车的速度．
7．（2022春·上海·八年级校考期中）2021年5月22日，“祝融号”火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测工作．着陆点附近的火星表面照片显示，最佳探测路线有两条，西线地势平坦，行程米，东线地势稍有起伏，行程米，走西线比走东线多用小时，走西线的速度比走东线的速度每小时快米．同时，为了确保安全，火星车的速度要小于米/小时，问走东线、走西线的速度各是多少？
8．（2021·上海·八年级期末）为庆祝建党100周年，某中学组织八年级学生进行徒步活动，从学校出发，步行至离校千米的红色基地，返回时，由于步行速度比去时每小时少千米，结果时间比去时多用了半小时，求学生返回时步行的速度．
9．（2019秋·上海·八年级校考阶段练习）两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早到达顶峰．
（1）两个小组的攀登速度各是多少？
（2）如果山高为，第一组的攀登速度是第二组的倍，并比第二组早到达顶峰，则两组的攀登速度各是多少？
10．（2022春·上海·八年级期末）八年级的学生去距学校10千米的科技馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟，其余的学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知每小时汽车的速度比骑自行车学生速度的2倍还多10千米，求骑车学生每小时行多少千米？
11．（2020春·上海松江·八年级统考期末）甲，乙两人同时从地出发，沿相同路线骑自行车前往距离地15千米的地，已知甲比乙平均每小时多骑1千米，但由于甲在路上修自行车耽搁了半小时，结果两人同时到达地，求甲，乙两人每小时各骑行多少千米？
12．（2021春·上海·八年级校考期中）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程的普通道路，路线包含快速通道，全程，走路线比走路线平均速度提高，时间节省，求走路线的平均速度．
13．（2020春·八年级校考课时练习）A、B两个码头相距6千米,一只船从A出发划船逆流而上用了1小时30分钟到达B．回来时，开始的路程划船前进，余下的路程让船顺水漂移到达A地，结果来去所用时间相同．求船在静水中的划行速度和水流速度．
14．（2023春·八年级单元测试）甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次乙车提速30千米/小时，结果比甲车早到20分钟， 求第一次甲、乙两车的速度各是多少？
15.甲、乙两人分别从相距27千米的A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇，随后两人按照原来的速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地少用1小时21分钟，求两人的速度．
题型五：几何图形问题
一、解答题
1．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）在中，，，射线上有一点分别为点P关于直线的对称点，连接
(1)如图1，当点P在线段 上时，则______，______．
(2)如图2，当点P在线段的延长线上时．根据题意补全图形，并探究是否存在点P，使得，若存在，直接写出满足条件时的长度；若不存在，说明理由．
2．（2022春·上海·八年级期中）在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少用1.5小时就跑完了全程．”
(1)若这段高速公路全程限速110千米/时，如若两人全程均匀速行驶，那么张师傅超速了吗？请说明理由．
(2)张师傅所行驶的车内油箱余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系如图所示，则行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油？
3．（2022春·上海宝山·八年级校考阶段练习）如图反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从地到地进行训练时行驶路程（千米）和行驶时间（小时）之间关系的部分图像，根据图像提供的信息，解答下列问题：
（1）求乙的行驶路程和行驶时间之间的函数解析式；
（2）如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行小时之后又以第小时的速度骑行，结果两人同时到达地，求、两地之间的距离．
4．（2019春·上海黄浦·八年级统考期中）在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少用1.5小时就跑完了全程．”
（1）若这段高速公路全程限速120千米/小时，两人全程均匀速行驶．那么张师傅超速了吗？请说明理由；
（2）张师傅所行驶的车内油箱余油量（升）与行驶时间（时）的函数关系如图所示，则行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油？
5．（2020春·上海静安·八年级校考期中）在创建文明城区的活动中，有两端长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工.如图是反映所铺设彩色道砖的长度（米）与施工时间（时）之间的关系的部分图像.请解答下列问题.
（1）甲队在的时段内的速度是 米/时.乙队在的时段内的速度是 米/时. 6小时甲队铺设彩色道砖的长度是 米，乙队铺设彩色道砖的长度是 米.
（2）如果铺设的彩色道砖的总长度为150米，开挖6小时后，甲队、乙队均增加人手，提高了工作效率，此后乙队平均每小时比甲队多铺5米，结果乙反而比甲队提前1小时完成总铺设任务.求提高工作效率后甲队、乙队每小时铺设的长度分别为多少米？
A
B
C
D
E
6.如图，笔直公路上A、B两点相距10千米，C、D为两居民区，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=6千米，CB=8千米，现要在公路AB段上建一超市E，使C、D两居民区到E的距离相等，则超市E应建在离A处多远处．
7.有一块长x米，宽120米（x>120）的长方形，投资方计划将它分成甲乙丙三部分，其中甲和乙为正方形，甲为住宅区，乙为商场，丙为公司，若已知丙地的面积为3200米，求x的值．
甲
乙
丙
8.有一块长为80米，宽为50米的长方形绿地，其中有三条直路（图中的阴影部分，道路的一边AD与长方形绿地的一边平行，且道路的出入口AB、CD、EF、KI、GH、IJ的长度都相等，其余部分种植绿化）．已知道路的面积为352平方米，求道路出入口的边的长度
A
B
C
D
E
F
G
H
K
I
J
A
B
C
P
Q
R
9.等腰Rt△中，，动点从点出发，沿向点移动.通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于16cm2．
n
m
10.m、n为两条互相垂直的笔直公路，工厂A在公路n上，距公路m为1千米，B与工厂A在公路m的同侧，且距公路m为2千米，距公路n为3千米．现要在公路m上建造一个车站P，使它与A、B的距离之和为千米，求P的位置．
11.已知A（0，-1），B（0，4），点P在坐标轴上，且PA+PB=，求点P的坐标．
重难点02列方程（组）解应用题（5种题型）
目录
题型一：增长率问题
题型二：工作效率问题
题型三：利润问题
题型四：行程问题
题型五：几何图形问题
技巧方法
一、增长率问题公式：
其中a为初始值即变化前值，b为变化后值，x为增长率或者降低率．
二、工作效率问题：
工作总量=工作效率工作时间；
假设工作总量是1，则工作效率是．
三、利润：
单件利润=售价-成本； 总利润=单件利润销售件数．
四、行程问题：
行程问题中三个变量：路程、速度和时间，关系如下：
路程=速度时间
可以通过等式的相关计算推导出速度、和时间的相关计算公式．
五、几何图形：
1、关于线段长度类问题，主要列无理方程求解；
2、与面积相关的问题；
3、图形中的动点问题．
能力拓展
题型一：增长率问题
一、解答题
1．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）一种笔记本电脑，原来的售价是元，经过连续两年的降价，今年每台售价为元，每年降价的百分率相同．
(1)年降价的百分率是多少？
(2)小明是去年购买这种笔记本的，那么与今年的售价相比，他多付了多少元？
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的售价为元，第二次的降价后的售价为元，根据题意可列出方程，据此求解即可．
（2）用现价减去去年的价格即可求解．
【详解】（1）解：设每年降价的百分率是，根据题意可得：
，
解得，舍去
答：每年降价的百分率为．
（2）解：，
答：他多付了元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用—增长率问题，有理数的混合计算的应用，关键是会根据增长率列出式子，再找到等量关系列出方程．
2．（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
【答案】(1)四、五这两个月的月平均增长百分率为
(2)当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元
【分析】（1）利用平均增长率的等量关系：，列式计算即可；
（2）利用总利润＝单件利润×销售数量，列方程求解即可．
【详解】（1）解：设平均增长率为，由题意得：
，
解得：或（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为；
（2）解：设降价元，由题意得：
，
整理得：，
解得：或（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2022秋·上海·八年级校考期中）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
(2)去年，该商店月份的营业额为375万元，，月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与月份的营业额相等．求该商店去年，月份营业额的月增长率．
【答案】(1)540万元
(2)
【分析】（1）根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额=前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意，则
（万元），
∴该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为540万元；
（2）解：设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：
，
解得：或（舍去）；
∴该商店去年，月份营业额的月增长率为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2022秋·上海·八年级专题练习）某产品5月份时每件200元，在6、7月进行了两次提价，且每次提价的百分率相同，此时售价为288元，后因产品销售问题，8月选择降价，降价的百分率与之前每次提价的百分率相同，求8月份该产品的售价？
【答案】230.4元
【分析】设每次提价的百分率为x，由连续两次提价，且每次提价的百分率相同，此时售价为288元，列一元二次方程200（1﹣x）2＝288，再由直接开平方解答．
【详解】解：设每次提价的百分率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝288，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝2.2（不合题意，舍去），
∴288×（1﹣20%）＝230.4（元）．
答：8月份该产品的售价为230.4元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
5．（2022春·上海·八年级专题练习）为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元．
（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；
（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？
【答案】（1）我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%；（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元
【分析】（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x，利用2022年投资额＝2020年投资额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用这三年我校总共投资的金额＝2020年投资额+2020年投资额×（1+年平均增长率）+2022年投资额，即可求出结论．
【详解】解：（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x，
依题意得：110（1+x）2＝185.9，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
答：我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%．
（2）110+110×（1+30%）+185.9
＝110+143+185.9
＝438.9（万元）．
答：从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）经预算，某工厂从2022年1月份起，每月生产收入是22万元，但在生产过程中会引起环境污染，若再按现状生产，将会受到环境部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资85万元治理污染，治污系统可在2022年1月份启用，这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本，使1月至3月份的生产收入以相同的百分率逐月增长．经预算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，3月份的生产收入可达36万元．3月份以后，每月的生产收入稳定在3月份的水平．
（1）求出投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率；
（2）如果利润看作是生产累计收入减去治理污染的投资和环境部门的罚款，试问：治理污染多少个月后，所投资金开始见成效？即治污多少个月后所获利润不小于不治污情况下所获利润）
【答案】（1）投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率为20%；（2）治理污染7个月后，所投资金开始见成效
【分析】（1）设投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率为x，再根据1月份生产收入为25万元，3月份的生产收入可达36万元列出方程求解即可得到答案；
（2）设治理污染y个月后，所投资金开始见成效，先分别求出治理污染后2月份和3月份的收入，即可得到1-3月的总收入，然后判断前三个月的收入不能见效，最后根据题意列出不等式求解即可．
【详解】解：（1）设投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率为x，
由题意得：，
解得，
∴投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率为20%；
（2）设治理污染y个月后，所投资金开始见成效，
根据（1）所求可得治理污染后2月份的生产收入是 万元，
∴治理污染后3月份的生产收入是万元，
∴治理污染后，前三个月的总收入为万元，
∵，
∴，
解得，
∵y是整数，
∴治理污染7个月后，所投资金开始见成效，
答：治理污染7个月后，所投资金开始见成效．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键在于能够正确理解题意，列出式子求解．
7．（2022春·上海·八年级专题练习）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省年公共充电桩的数量为万个，年公共充电桩的数量为万个．
（1）求年至年该省公共充电桩数量的年平均增长率；
（2）按照这样的增长速度，预计年该省将新增多少万个公共充电桩？
【答案】（1）；（2）万个
【分析】（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为，根据该省2018年及2020年公共充电桩的数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据该省2021年公共充电桩数量该省2020年公共充电桩数量增长率，即可求出结论．
【详解】解：（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为．
（2）（万个）．
答：预计2021年该省将新增2.023万个公共充电桩．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
8．（2022春·上海·八年级专题练习）山清水秀的东至县三条岭已成为游客最喜欢的旅游地之一，其中“蔡岭”在2019年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2021年“五一”小长假期间，接待游客2.88万人次，在蔡岭，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2019至2021年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护东至县形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
【答案】（1）20%；（2）18元
【分析】（1）可设年平均增长率为x，根据等量关系：2019年五一长假期间，接待游客达209万人次，在2021年五一长假期间，接待游客将达2.88万人次，列出方程求解即可；
（2）可设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润600元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：（1）可设年平均增长率为x，依题意，得：
2（1＋x）2＝2.88，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：年平均增长率为20%；
（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润600元，依题意得：
（y﹣10）·[120﹣（y﹣15）]﹣168＝600，
解得：y1＝18，y2＝22，
∵每碗售价不得超过20元，
∴y＝18．
答：当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天利润600元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，正确列出方程是解答的关键．
9．（2022春·上海·八年级专题练习）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【答案】（1）504万元；（2）20%．
【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；
(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．
【详解】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)，
故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350(1+x)2=504，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2021秋·上海·八年级期中）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．
【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；
（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.
【详解】（1）设平均每次下调x%，则
7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．
11.某工厂今年头三个月生产甲、乙两种产品，已知甲种产品1月份生产16件，以后每月比上月增长相同的百分率；乙种产品每月比上月增产10件．又知2月份的甲、乙两种产品的产量之比为2:3，且3月份的两种产品的产量之和为65件，求甲种产品每月的增长率和乙种产品1月份的产量．
【难度】★★★
【答案】甲产品每月产量增长率是，乙产品1月份的产量为20件．
【解析】设甲种产品每月的增长率为，则甲2月份的产量为，3月份的产量为，
则乙3月份产量为，2月份的产量为，
依题意可得：，整理得，
解得：，（舍），即得甲产品每月产量增长率是，
乙产品1月份的产量为件．
【总结】考查降低（增长）率问题的应用，注意各个月份产量的表示．
题型二：工作效率问题
一、解答题
1．（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时．
【答案】八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时．
【分析】设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，根据“八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出九年级共青团员单独完成美化校园所用时间，再将其代入中可求出八年级共青团员单独完成美化校园所用时间．
【详解】解：设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，
依题意得：，
整理得：，
解得：，
经检验，是原方程的增根，舍去；是原方程的解，且符合题意，
∴，
∴八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2．（2022春·上海·八年级期末）某区招办处在中考招生录取工作时，为了防止数据输入出错，全区3600名学生的成绩数据分别由李某、王某两位同志进行操作，两人各自独立地输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知李某的输入速度是王某的2倍，结果李某比王某少用2小时输完．问李某、王某两人每分钟分别能输入多少名学生的成绩？
【答案】李某每分钟能输入30名学生的成绩，王某每分钟能输入15名学生的成绩．
【分析】有工作总量3600，求的是工作效率，那么一定是根据工作时间来列等量关系的．关键描述语是：“李某比王某少用2小时输完”，等量关系为：王某用的时间－2＝李某用的时间，据此列出方程并解方程即可．
【详解】解：设王某每分钟能输入名学生的成绩，则李某每分钟能输入名学生的成绩，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
所以，
答：李某每分钟能输入30名学生的成绩，王某每分钟能输入15名学生的成绩．
【点睛】本题主要考查分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的，注意：解分式方程一定要检验且要符合题意．找到合适的等量关系是解决问题的关键．
3．（2020春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考阶段练习）某校八（1）班和四川省某贫困县一所中学的八（2）班是牵手班级，八（1）班所有学生准备捐款3600元帮助小伙伴们来购置学习用品，在实际捐款中又有4名老师参加，如果总的捐款数不变，则参加捐款的每人平均少捐了10元，求这个班的人数．
【答案】36人
【分析】设这个班有人，根据题意即可列出分式方程，解即可求得．
【详解】解：设这个班有人，
根据题意得，．
整理得
解得 ，
经检验，，都是原方程得根，因为人数不能为负数，
所以
答：这个班级有36人．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，根据数量关系列出方程是解决问题的关键，注意分式方程要检验．
4．（2021春·上海浦东新·八年级校联考期末）在疫情防控常态化背景下，每周需要对面积为4800平方米的仓库进行一次全面消毒工作．最初采用人工操作完成消毒任务．为提高效率采用机器人消毒，机器人消毒每分钟消毒面积比人工操作多60平方米，并且提前40分钟完成消毒任务．求人工操作每分钟消毒面积为多少平方米．
【答案】60平方米
【分析】根据题意得出“人工操作所需的时间－机器从消毒所需的时间＝40分钟”，设人工操作每分钟消毒面积为x平方米，则机器人消毒每分钟消毒面积为（x＋60）平方米，则可列出方程，求解后即可．
【详解】解：设人工操作每分钟消毒面积为x平方米，则机器人消毒每分钟消毒面积为（x＋60）平方米，根据题意得：
，
则，
解得（不合题意，舍去），，
经检验，是原方程的解．
所以，人工操作每分钟消毒面积为60平方米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意找出等量关系，并列出方程进行求解是解题的关键．
5．（2020春·上海浦东新·八年级统考期末）新冠肺炎疫情期间，工厂需加工一种口罩250万个，在加工了100万个后，采用了新技术，使每天比原来多加工2.5万个，结果提前了3天完成任务，求工厂原来每天加工多少万个口罩？
【答案】该厂原来每天加工10万个口罩．
【分析】设该厂原来每天加工万个口罩，根据工厂需加工一种口罩250万个，在加工了100万个后，采用了新技术，使每天比原来多加工2.5万个，结果提前了3天完成任务，可列方程求解．
【详解】解：设原来每天加工万个口罩，采用了新技术后，每天加工（）万个口罩，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
经检验，均是原方程的解，
但不符合题意，舍去．
答：该厂原来每天加工10万个口罩．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，关键是以时间做为等量关系，根据天数=加工的个数除以每天加工的个数列方程求解即可．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？
【答案】实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米．
【分析】设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据“实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务”列出方程即可求解．
【详解】解：设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据题意，得：
，
解得：x=45，
经检验，x=45是原分式方程的解，
则2x=2×45=90．
答：实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意设出适当的未知数，找出等量关系，列方程求解，注意检验．
7．（2022春·上海·八年级期中）为迎接线下开学，某学校决定对原有的排水系统进行改造，如果甲组先做5天后，剩下的工程由乙组单独承担，还需7.5天才能完工，为了早日完成工程，甲乙两组合作施工，6天完成了任务；甲乙两组单独完成此项工程各需要多少天？
【答案】甲组单独完成此项工程需要10天，乙组单独完成此顶工程需要15天．
【分析】设甲组单独完成此项工程需要x天，则乙组单独完成此顶工程需要天．等量关系：甲组先做5天的工作量+乙做7.5天的工作量＝1．
【详解】设甲组单独完成此项工程需要x天，则乙组单独完成此顶工程需要天．
依题意得
解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
当x＝10时，＝＝15．
答：甲组单独完成此项工程需要10天，乙组单独完成此顶工程需要15天．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的公式：工作总量=工作时间×工效．
8．（2020春·上海金山·八年级统考阶段练习）某街道1000米的路面下雨时经常严重积水．需改建排水系统．市政公司准备安排甲、乙两个工程队做这项工程，根据评估，有两个施工方案：
方案一：甲、乙两队合作施工，那么12天可以完成；
万案二：如果甲队先做10天，剩下的工程由乙队单独施工，还需15天才能完成．
（l）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）方案一中，甲、乙两队实际各施工了多少米？
【答案】（1）甲队单独完成需20天，乙队单独完成需30天；（2）甲队实际施工600米，乙队实际施工400米
【分析】（1）本题有两个相等关系：甲、乙两队合作施工12天完成的工作量之和=1，甲队先做10天完成的工作量+乙队单独施工15天完成的工作量=1，据此设未知数列方程组解答即可；
（2）根据（1）题的结果列式计算即可．
【详解】解：（1）设甲队单独完成此项工程需x天，乙队单独完成此项工程需y天，根据题意，得：
，解得：，
经检验：是所列方程组的解，
答：甲队单独完成此项工程需20天，乙队单独完成此项工程需30天．
（2）方案一中：甲队实际施工=米，乙队实际施工=米．
答：方案一中，甲、乙两队实际各施工了600米、400米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
9．（2022春·上海·八年级期中）某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，需缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．求原计划每天铺设多少米？
【答案】原计划每天铺设60米．
【分析】设原计划每天铺设管道为xm，故实际施工每天铺设管道为1.2xm．等量关系为：原计划完成的天数-实际完成的天数=2，根据这个关系列出方程求解即可．
【详解】设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道1.2x米，
由题意，得
解得：x=60．
经检验，x=60是原方程的解．且符合题意．
答：原计划每天铺设管道60米．
【点睛】本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．期中找到合适的等量关系是解决问题的关键．
10.某工厂甲、乙两个车间各生产300个零件，按原来的工效，乙车间需要比甲车间多用一天的时间完成，现在甲、乙两车间都提高了工效，其中甲车间工效提高了20%，而乙车间提高了一倍，结果生产同样的300个零件，乙车间比甲车间少用了2天就可完成，问甲、乙两车间原来生产300个零件各需要多少天?
【难度】★★★
【答案】甲车间原来生产300个零件需要7.5天，乙车间需要8.5天．
【解析】设甲原来需要天，则乙原来需要天，依题意可得：，
解得：，即甲车间原来生产300个零件需要7.5天，乙车间需要8.5天．
【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式．
11.已知甲、乙、丙三人做某项工作，甲独做所需要的时间是乙、丙两人合做这件工作的a倍，乙独做需要的时间是甲、丙两人合做这件工作的b倍，求丙独做所用的时间是甲、乙两人合做此工作的几倍．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】设甲、乙、丙需要的工作时间分别为，，，
依题意可得，，
分别整理可得，，
相加得，由此得．
【总结】考查工程问题的应用，注意找准字母之间的关系．
12.一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时，如果单独开放甲管10个小时后，加入乙管，需要6个小时把水池注满，那么单独开放一个水管，需要多少小时才可以把水池注满?
【难度】★★★
【答案】单独开放甲注水管需要20小时注满水池，单独开放乙注水管需要30小时注满水池．
【解析】设甲需要，则乙需要，依题意可得，
整理得，解得：，，
经检验均是原方程的解，但不符合题意，舍去，
故单独开放甲注水管需要20小时注满水池，单独开放乙注水管需要30小时注满水池．
【总结】考查工程问题的应用，合作加独做合为单位“1”，注意分式方程要检验．．
题型三：利润问题
一、解答题
1．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用3000元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用5400元购进第二批这种玩具，所购数量比第一批增加了30件，但每套进价多了10元．已知两次购入的玩具数都没有超过100件，求第一批玩具每套的进价．
【答案】50元
【分析】设第一批玩具每套的进价为x元，则第二批玩具每套的进价为（x＋10）元，根据数量＝总价÷单价，结合第二批比第一批多购进30套，解之经检验后即可得出x的值，再结合两次购入的玩具数都没有超过100套，即可确定x的值．
【详解】解：设第一批玩具每套的进价为x元，则第二批玩具每套的进价为元，
依题意得，整理得：，即，
解得：，，
经检验，，均为原方程的解，
又∵两次购入的玩具数都没有超过100套，进价为元时，第一批第二批购进玩具均超过100件，
不合题意，舍去．
答：第一批玩具每套的进价为50元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2．（2022春·上海徐汇·八年级统考期末）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．某电器商行销售的某款激光电视去年销售总额为800万元，由于技术革新和成本降低，今年这款激光电视每台销售价比去年降低4000元，若要保持销售总额不变，今年这款激光电视的销售量要比去年多100台，今年这款激光电视每台的售价是多少元？
【答案】今年这款激光电视每台的售价是16000元．
【分析】设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年这款激光电视每台的售价是（x+4000）元，利用数量＝总价÷单价，结合今年这款激光电视的销售量要比去年多100台，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年这款激光电视每台的售价是（x+4000）元，
依题意得： ，
整理得x2＋4000x－320000000＝0，
解得：x1＝16000，x2＝﹣20000，
经检验，x1＝16000，x2＝﹣20000均为原方程的解，x2＝﹣20000不符合题意，舍去．
∴x＝16000．
答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
3．（2022春·上海·八年级专题练习）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
(1)这项工程的规定时间是多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
【答案】(1)30天
(2)225000元
【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意列出方程，求解即可；
（2）先计算出甲乙两队合作的天数，再计算费用即可．
【详解】（1）解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
，
解得：x＝30．
经检验，x＝30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（天），
则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．
答：该工程的费用为225000元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．
4．（2022春·上海·八年级专题练习）某校为了准备“迎新活动”，用900元购买了甲、乙两种礼品共240个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了180元．
（1）购买甲种礼品一共用去____________元；（请直接写出答案）
（2）如果甲种礼品的单价是乙种礼品单价的2倍，那么乙种礼品的单价是多少元？
【答案】（1）360；（2）3元
【分析】（1）购买甲种礼品一共用去x元，则购买乙种礼品一共用去（180+x）元，然后根据一共花了900元，列出方程求解即可；
（2）设乙种礼品单价是y元，则甲种礼品单价是2y元，然后根据用900元购买了甲、乙两种礼品共240个，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）购买甲种礼品一共用去x元，则购买乙种礼品一共用去（180+x）元，
由题意得：x+180+x=900，
解得：x=360，
∴购买甲种礼品一共用去360元，
故答案为360；
（2）设乙种礼品单价是y元，则甲种礼品单价是2y元，
由题意得：，
解得：y＝3，
经检验，y＝3是原方程的根，并符合题意，
答：乙种礼品的单价是3元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意，列出方程求解．
5．（2021春·上海·八年级上海市第四中学校考期中）某商店第一次用600元购进某种型号的铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但每支的进价比第一次贵1元，所以购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价和购买的数量．
（2）若将这两次购买的铅笔按同一单价（元/支）全部销售完毕，并要求总利润不低于420元．求总利润（元）关于单价（元/支）的函数关系式及定义域．
【答案】（1）第一次每支铅笔的进价是4元，购进150支；（2）y＝270x−1200，定义域为x≥6
【分析】（1）利用第二次购进数量比第一次少了30支，进而得出关系式进而得出答案；
（2）利用（1）中所求，得出y＝（x−4）×150＋（x−5）×120从而列出不等式，求出x的范围即可．
【详解】解：（1）设第一次每支铅笔的进价为a元/支，
则据题意得： ，
∴a1＝4，a2＝−5（舍），
经检验：a=4是方程的解，且符合题意，
600÷4＝150，
答：第一次每支铅笔的进价是4元，购进150支；
（2）由题意得：y＝（x−4）×150＋（x−5）×120＝270x−1200，
∵y≥420，
∴270x−1200≥420，解得：x≥6，
即获利y（元）关于单价x（元/支）的函数关系为：y＝270x−1200，定义域为x≥6．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及分式方程的应用，利用第二次购进数量比第一次少了30支列出分式方程是解题关键．
6．（2020春·上海·八年级校联考期中）小明在普通商场中用96元购买了一种商品，后来他在网上发现完全相同的这一商品在网上购买比普通商场中每件少2元，他用90元在网上再次购买这一商品，比上次在普通商场中多买了3件．问小明在网上购买的这一商品每件几元？
【答案】小明在网上购买的这一商品每件6元
【分析】设小明在网上购买的这一商品每件x元，小明在普通商场中用96元购买了一种商品，后来他在网上发现完全相同的这一商品在网上购买比普通商场中每件少2元，他用90元在网上再次购买这一商品，比上次在普通商场中多买了3件根据此可列方程求解．
【详解】设小明在网上购买的这一商品每件x元．
，
x2+4x﹣60＝0，
x1＝﹣10，x2＝6．
经检验它们都是原方程的根，但x＝﹣10不符合题意．
答：小明在网上购买的这一商品每件6元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，设出价格，根据件数作为等量关系列方程求解．
7．（2021春·上海·八年级上海市西南模范中学校考期中）学校开展“书香校园”活动，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费了10000元，购买文学类图书花费了9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本，科普类图书平均每本的价格是多少元？
【答案】科普类图书平均每本的价格为20元．
【分析】设科普类图书平均每本的价格为x元，则文学类图书平均每本的价格为（x-5）元，根据数量=总价÷单价结合用10000元购买科普类图书比用9000元购买文学类图书数量少100本，可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【详解】解：设科普类图书平均每本的价格为x元，则文学类图书平均每本的价格为（x-5）元，
根据题意得：，化简得x2+5x-500=0，
解得：x=20或x=-25（舍去），
经检验，x=20是所列分式方程的解，且符合题意．
答：科普类图书平均每本的价格为20元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及解一元二次方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．（2022春·上海·八年级期中）书店老板去图书批发市场购买某种图书. 第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了，他用1500元所购该书数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书. 试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
【答案】该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．
【分析】设第一次购书的单价为元，第二次购书的单价为元,根据前后的数量关系可得,可求出单价.
【详解】解：设第一次购书的单价为元，第二次购书的单价为元．
根据题意得：
解得：.
经检验，是原方程的解.
所以第一次购书为（本）.
第二次购书为（本）.
第一次赚钱为（元）.
第二次赚钱为（元）.
所以两次共赚钱（元）
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．
【点睛】考核知识点：分式方程的应用.理解题意，弄清数量与单价关系是关键．
9．（2022春·上海·八年级专题练习）某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾分类垃圾桶，学校先用2700元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3600元购买了一批放在户久使用的大号垃圾桶，已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍，且购买的数量比小号垃圾桶少40个，求每个小号垃圾桶的价格是多少元？
【答案】45
【分析】设每个小号垃圾桶的价格是元，则每个大号垃圾桶的价格是元，由购买大号垃圾桶的数量比小号垃圾桶少40个列出方程解答即可；
【详解】设每个小号垃圾桶的价格是元，则每个大号垃圾桶的价格是元
依题意得：
解得：
经检验，是原方程的解
答：每个小号垃圾桶的价格是45元.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的相等关系，列方程求解．
10．（2019秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）某书店两次从图书批发市场购进某种图书，每次都用2000元，其中第二次购进这种书每本的批发价比第一次每本的批发价降低了2元，且比第一次购进的书多了50本，求第一次购书时每本的批发价.
【答案】第一次购书时每本的批发价为10元．
【分析】本题首先依题意可知等量关系为第一次购书的本数=第二次购书的本数-50，根据等量关系列出方程，最后求出结果检验并作答．
【详解】设第一次购书时每本的批发价为x元．根据题意得
，
化简方程得x2-2x-80=0，
解得x1=10，x2=-8．
经检验，x1=10，x2=-8都是方程的根，但x=-8不合题意，舍去．
答：第一次购书时每本的批发价为10元．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
11.某水果店在水果批发市场用100元购进一批甲种水果，再用100元购进一批乙种水果，已知购进的乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价低0.5元/千克．
（1）求甲乙两种水果各购进了多少千克?
（2）购进水货当天，甲乙两种水果都按照2.8元/千克出售，乙种水果很快售完，而甲种水果先售出剩余的按售价打5折出售，这一天的水果买卖是否赚钱?如果赚钱了，赚多少?如果不赚钱，那么赔了多少?
【难度】★★★
【答案】（1）甲种水果购进40千克，乙种水果购进50千克；（2）赚了29.6元
【解析】（1）设购进甲种水果x千克，乙种水果x+10千克，由题意得，
解得：x=40，经检验x=40是原方程的解，且符合题意，
故购进甲种水果是40千克，乙种水果是40+10=50千克；
（2）利润为：，故赚了29.6元．
【总结】本题主要考察了利润问题，找出题目中的等量关系再列方程．
12.某中学库存960套旧课桌椅，准备修理后捐助给贫困山区学校，现在有甲乙两个木工小组都希望承揽这项业务，经协商研究得知：甲小组单独修理这批桌椅比乙小组单独修理要多用20天；乙小组每天比甲小组多修理8套；学校每天需要付甲乙小组修理费分别是80元和120元；
求甲乙两个小组每天各修理课桌椅多少套?
在修理桌椅的过程中，学校委派一名维修工进行质量监控，由学校每天发出10元钱作为生活补贴；现在有三种修理方案：方案一由甲单独修理；方案二由乙单独修理；方案三由甲乙共同修理；选择哪种方案，更省钱?
【难度】★★★
【答案】（1）甲小组每天修理16套旧桌椅，则乙小组每天修理24套旧桌椅；（2）方案三．
【解析】（1）设甲小组每天修理套旧桌椅，则乙小组每天修理套旧桌椅，
依题意可得，整理得，解得：，，
经检验均是原方程的解，但不符合题意，舍去，
即得甲小组每天修理16套旧桌椅，则乙小组每天修理24套旧桌椅；
方案一需要的费用为元；
方案二需要的费用为元；
方案三需要的费用为元，可知方案三更省钱．
【总结】考查工程问题的应用，注意分式方程要检验．
题型四：行程问题
一、解答题
1．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）若A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，且甲比乙早出发2小时．如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在AB中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？
【答案】甲的速度是每小时3千米，乙的速度是每小时5千米．
【分析】设甲的速度是每小时x千米，则乙的速度是每小时（x＋2）千米，根据“行驶一半的路程甲所用时间比乙所用时间多2小时”列出方程求解即可．
【详解】解：设甲的速度是每小时x千米，则乙的速度是每小时（x＋2）千米，
根据题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
经检验：，都是原方程的解，但不符合题意，舍去，
∴原方程的解是x＝3，
则x＋2＝5，
答：甲的速度是每小时3千米，乙的速度是每小时5千米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解一元二次方程，关键是能够表示两人所用时间，然后根据题意列方程求解．
2．（2022春·上海·八年级校考期中）甲乙两人分别从相距27公里的A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇，相遇后两人用原来的速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地快1小时21分钟，则甲乙两人的速度分别是多少？
【答案】甲的速度是5公里/小时，则乙的速度为4公里/小时．
【分析】设甲的速度是x公里/小时，则乙的速度为（-x）公里/小时，根据到达B地比乙到达A地快1小时21分钟可得=，解出方程检验即可得答案．
【详解】解：设甲的速度是x公里/小时，则乙的速度为（-x）公里/小时，
根据题意得：=，
去分母化为整式方程得：x2+31x-180=0，
解得x=5或x=-36，
经检验，x=5和x=-36都是原方程的解，但x=-36不符合题意，舍去，
∴x=5，
∴-x=9-5=4，
答：甲的速度是5公里/小时，则乙的速度为4公里/小时．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
3．（2022春·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）一列火车到达A站已经晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在B站正点到达，求火车原来行驶的速度．
【答案】火车原来行驶的速度为40千米每小时
【分析】设货车原来的行驶速度为x千米每小时，然后根据将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在B站正点到达，列出方程求解即可．
【详解】解：设货车原来的行驶速度为x千米每小时，
由题意得：，
解得或（舍去），
经检验是原方程的解，
∴火车原来行驶的速度为40千米每小时．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键．
4．（2022春·上海·八年级期末）甲、乙两辆客车分别从相距400千米的A、B两站同时出发，相向而行，相遇时乙车行驶了250千米，如果乙车每小时比甲车多走20千米，求甲、乙两车速度．
【答案】甲车的速度是30千米/小时，乙车的速度是50千米/小时．
【分析】设甲车每小时行驶x千米，乙车每小时行驶（x+20）千米，根据两车行驶的时间相等列方程求解即可．
【详解】解：设甲车每小时行驶x千米，乙车每小时行驶（x+20）千米，
由题意：，
解得x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解且符合题意，
x+20＝50，
∴甲车的速度是30千米/小时，乙车的速度是50千米/小时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据两车行驶的时间相等列方程求解，解分式方程不要忘记检验．
5．（2021春·上海松江·八年级校考期中）一列火车到达A站已经晚点6分钟，如果按原速度继续行驶20千米到达B站，也晚点6分钟，但如果从A站到B站将速度每小时加快10千米，那么可以在B站准点到达，求火车原来行驶的速度．
【答案】40千米/小时
【分析】根据题意列出分式方程，然后解分式方程，根据分式方程和实际意义求出方程的解即可；
【详解】设火车原来的行驶速度为x千米/小时，则提速后火车的速度为千米/小时，
根据题意得：，
解得：x＝40或（舍去），
经检验，x＝40时原分式方程的解．
答：火车原来的行驶速度为40千米/小时．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意找到等量关系进行列方程是解题的关键．
6．（2022春·上海·八年级校考期中）学校组织八年级部分学生乘坐甲、乙两辆大客车到洋山深水港参观，已知连接临港新城和深水港的东海大桥全长30千米，假设两车都匀速行驶，甲车比乙车早6分钟上桥，但由于乙车每小时比甲车多行10千米，所以甲、乙两车同时下桥，求甲车的速度．
【答案】甲车的速度为50km/h
【分析】设甲车的速度的速度为，则乙车的速度为，根据甲的时间=乙的时间+，列方程即可解决．
【详解】解：设甲车的速度的速度为，则乙车的速度为.
由题意：，整理得，，
解得或-60，
经检验：或-60都是分式方程的解，
但是不符合实际意义，所以，
答：甲车的速度为50km/h．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，找等量关系是解应用题的关键，注意解分式方程时必须检验，列方程时注意时间单位是小时，属于常考题型．
7．（2022春·上海·八年级校考期中）2021年5月22日，“祝融号”火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测工作．着陆点附近的火星表面照片显示，最佳探测路线有两条，西线地势平坦，行程米，东线地势稍有起伏，行程米，走西线比走东线多用小时，走西线的速度比走东线的速度每小时快米．同时，为了确保安全，火星车的速度要小于米/小时，问走东线、走西线的速度各是多少？
【答案】东线米/小时，西线米/小时．
【分析】设走东线的速度为x米/小时，则走西线的速度为（x+60）米/小时，根据时间=距离÷速度可列分式方程，解方程并检验即可得走东线的速度，进而可得走西线的速度．
【详解】设走东线的速度为x米/小时，
∵走西线的速度比走东线的速度每小时快米，
∴走西线的速度为（x+60）米/小时，
∵走西线比走东线多用小时，
∴，
解得：，，
∵火星车的速度要小于米/小时，
∴，
经检验：是分式方程的解，
∴x+60=90，
答：走东线、走西线的速度分别为30米/小时，90米/小时．
【点睛】本题考查分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．注意：分式方程要验根，避免出现增根．
8．（2021·上海·八年级期末）为庆祝建党100周年，某中学组织八年级学生进行徒步活动，从学校出发，步行至离校千米的红色基地，返回时，由于步行速度比去时每小时少千米，结果时间比去时多用了半小时，求学生返回时步行的速度．
【答案】
【分析】设学生返回时步行的速度为x千米/时，则去时步行的速度为（x+1）千米/时，利用时间=路程÷速度，结合返回时比去时多用了半小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】设，
，
经检验，x1=3，x2=-4均为原方程的解，且x2=-4不符合题意，舍去．
返回时速度为．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，注意分式方程应用题要检验根是否符合原分式方程的解，还要检验是否符合实际意义是解题的关键．
9．（2019秋·上海·八年级校考阶段练习）两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早到达顶峰．
（1）两个小组的攀登速度各是多少？
（2）如果山高为，第一组的攀登速度是第二组的倍，并比第二组早到达顶峰，则两组的攀登速度各是多少？
【答案】（1）两个小组的速度分别是和；（2）两组速度分别是和
【分析】（1）设第二组速度为xm/min，则第一组速度为1.2xm/min，由题意可得关于x的分式方程，解方程即可得到问题解答；
（2）设第二组速度为ym/min，则第一组速度为aym/min，由题意可得关于y的分式方程，解方程即可得到问题解答．
【详解】解：（1）设第二组速度为
第一组速度为
则
方程两边同时乘得：
检验：当时，
且x的值符合题意，
∴原分式方程的解为
∴
答：两个小组的速度分别是和
（2）设第二组的速度为．则第一组速度为．（，）
∴
方程两边乘得
检验：当时
∵
∴且y的值符合题意，
∴原分式方程的解为
∴
答：两组速度分别是和．
【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意设定适当的未知数并列出正确的分式方程求解是解题关键．
10．（2022春·上海·八年级期末）八年级的学生去距学校10千米的科技馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟，其余的学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知每小时汽车的速度比骑自行车学生速度的2倍还多10千米，求骑车学生每小时行多少千米？
【答案】骑车学生每小时行15千米
【分析】先将25分钟化成小时为小时，再设骑车学生每小时走x千米，根据汽车所用的时间＝学生骑车时间﹣，列分式方程：，求出方程的解即可．
【详解】解：设骑车学生每小时走x千米，
据题意得：，
整理得：x2﹣7x﹣120＝0，
解得：x1＝15，x2＝﹣8，
经检验：x1＝15，x2＝﹣8是原方程的解，
因为x＝﹣8不符合题意，所以舍去，
答：骑车学生每小时行15千米．
【点睛】本题是分式方程的应用，找等量关系是本题的关键；这是一道行程问题，汽车和学生的路程、速度、时间三个量要准确把握，以走完全程的时间为依据列分式方程，注意单位要统一．
11．（2020春·上海松江·八年级统考期末）甲，乙两人同时从地出发，沿相同路线骑自行车前往距离地15千米的地，已知甲比乙平均每小时多骑1千米，但由于甲在路上修自行车耽搁了半小时，结果两人同时到达地，求甲，乙两人每小时各骑行多少千米？
【答案】甲每小时骑行6km，乙每小时骑行5km．
【分析】设乙每小时骑行xkm，则甲每小时骑行（x+1）km，根据乙所用时间﹣甲所用时间＝小时列出方程并解答．
【详解】解：设乙每小时骑行xkm，则甲每小时骑行（x+1）km，
根据题意，得﹣＝．
解得x1＝5，x2＝﹣6（舍负）．
经检验x＝5是所列方程的根．
所以x+1＝6．
答：甲每小时骑行6km，乙每小时骑行5km．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
12．（2021春·上海·八年级校考期中）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程的普通道路，路线包含快速通道，全程，走路线比走路线平均速度提高，时间节省，求走路线的平均速度．
【答案】75km/h
【分析】根据题意，设走线路A的平均速度为，则线路B的速度为，由等量关系列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设走线路A的平均速度为，则线路B的速度为，则
，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解；
∴走路线的平均速度为：（km/h）；
【点睛】本题考查分式方程的应用，以及理解题意的能力，解题的关键是以时间做为等量关系列方程求解．
13．（2020春·八年级校考课时练习）A、B两个码头相距6千米,一只船从A出发划船逆流而上用了1小时30分钟到达B．回来时，开始的路程划船前进，余下的路程让船顺水漂移到达A地，结果来去所用时间相同．求船在静水中的划行速度和水流速度．
【答案】船在静水中的划行速度为6千米/小时，水流速度2千米/小时．
【分析】设船在静水中的划行速度为x千米/小时，水流速度y千米/小时，根据题意列出方程组即可求解．
【详解】设船在静水中的划行速度为x千米/小时，水流速度y千米/小时，
根据题意得
解得或，
经检验，是方程组的解且符合实际，是方程组的解但不符合实际，
所以，
故船在静水中的划行速度为6千米/小时，水流速度2千米/小时．
【点睛】此题主要考查列方程组解应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程求解．
14．（2023春·八年级单元测试）甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次乙车提速30千米/小时，结果比甲车早到20分钟， 求第一次甲、乙两车的速度各是多少？
【答案】80千米/小时、60千米/小时.
【分析】设甲车、乙车的速度分别为x、y千米/小时，根据题意列方程组求解即可.
【详解】设甲车速度x千米/小时， 乙车y千米/小时，根据题意可得，
，
解得x=80千米/小时，y=60千米/小时，
答：第一次甲车的速度为80千米/小时，乙车的速度为60千米/小时.
【点睛】本题考查方程的应用，解题的关键是从题中找出等量关系列出方程组．
15.甲、乙两人分别从相距27千米的A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇，随后两人按照原来的速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地少用1小时21分钟，求两人的速度．
【难度】★★★
【答案】甲的速度为，乙的速度为．
【解析】设甲的速度为，乙的速度为．
依题意可得，解得：，经检验是原方程组的解，且符合题意，
故甲的速度为，乙的速度为．
【总结】考查行程问题的应用，，注意分式方程组要检验．
题型五：几何图形问题
一、解答题
1．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）在中，，，射线上有一点分别为点P关于直线的对称点，连接
(1)如图1，当点P在线段 上时，则______，______．
(2)如图2，当点P在线段的延长线上时．根据题意补全图形，并探究是否存在点P，使得，若存在，直接写出满足条件时的长度；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)补全图形见解析，5
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，根据轴对称的性质可得∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABP=∠ABM，然后结合图形即可即可；
（2）先根据轴对称图形的特点补全图形；再根据轴对称的性质可得PB=BM，PC=CN，设，则或，，利用和线段的和差列出方程求解即可．
【详解】（1）解：，，
，
，分别为点关于直线，的对称点，
，，，
，
．
故答案为，．
（2）解：补全图形如图所示．
存在点P，使得．
设，则或，
，
或，
或5．
经检验或5为方程的解，
∵线段不可能为负
．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的特点、角度的计算、分式方程的应用等知识点，理解题意、熟练掌握运用轴对称图形的性质是解题关键．
2．（2022春·上海·八年级期中）在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少用1.5小时就跑完了全程．”
(1)若这段高速公路全程限速110千米/时，如若两人全程均匀速行驶，那么张师傅超速了吗？请说明理由．
(2)张师傅所行驶的车内油箱余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系如图所示，则行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油？
【答案】(1)没有超速，理由见解析
(2)33升
【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题；
（2）根据函数图象可以求得张师傅每小时的耗油量，从而可以求得行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油．
(1)
解：张师傅没有超速，
理由：设张师傅的速度为x千米/时，
由题意得：，
解得：x1＝﹣80（舍去），x2＝100，
经检验，x＝100是原分式方程的解，
∵100＜110，
∴张师傅没有超速；
(2)
由函数图象可得，张师傅每小时耗油量为：44÷8＝5.5（升），
行驶完这段高速公路，张师傅至少需要：＝33（升），
答：行驶完这段高速公路，他至少需要33升油．
【点睛】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质解答问题．
3．（2022春·上海宝山·八年级校考阶段练习）如图反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从地到地进行训练时行驶路程（千米）和行驶时间（小时）之间关系的部分图像，根据图像提供的信息，解答下列问题：
（1）求乙的行驶路程和行驶时间之间的函数解析式；
（2）如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行小时之后又以第小时的速度骑行，结果两人同时到达地，求、两地之间的距离．
【答案】（1）；（2）千米
【分析】（1）观察图中乙图像，将（1，30）（3，50）代入一次函数表达式即可，
（2）根据图像求出甲，乙两人速度，按照关系式列方程求解即可．
【详解】（1）由图像设此函数表达式为，
把点（1，30）（3，50）代入一次函数表达式得：，
解得： ，
∴函数表达式为：，
即乙的行驶路程和行驶时间之间的函数解析式：，
（2）由图像可得：前一小时，乙的速度是30千米，1到3小时是（50-30）（3-1）=10千米，即速度是10千米，甲的速度始终为603=20千米；由题意设两地相距x千米，列方程得：
，
解方程检验得：x=80，
即A，B两地的距离为80千米．
【点睛】本题不仅考查一次函数图像，也考查分式方程的应用，知识面较广，难度一般．
4．（2019春·上海黄浦·八年级统考期中）在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少用1.5小时就跑完了全程．”
（1）若这段高速公路全程限速120千米/小时，两人全程均匀速行驶．那么张师傅超速了吗？请说明理由；
（2）张师傅所行驶的车内油箱余油量（升）与行驶时间（时）的函数关系如图所示，则行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油？
【答案】（1）没超速；理由见解析；（2）他至少需要33升油．
【分析】（1）设李师傅的速度为千米/小时，则张师傅的速度为千米/小时，根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题；
（2）根据函数图象可以求得张师傅每小时的耗油量，从而可以求得行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油．
【详解】（1）没超速．
设李师傅的速度为千米/小时，则张师傅的速度为千米/小时，
，
∴，∴，．
经检验，都为原方程的实数根，但不合题意，舍去，
∴张师傅速度为100千米/小时<120千米/小时，没有超速．
（2）∵，
∴（升）．
答：他至少需要33升油．
【点睛】本题考查分式方程的应用、从函数图像读取信息，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的分式方程解答问题．
5．（2020春·上海静安·八年级校考期中）在创建文明城区的活动中，有两端长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工.如图是反映所铺设彩色道砖的长度（米）与施工时间（时）之间的关系的部分图像.请解答下列问题.
（1）甲队在的时段内的速度是 米/时.乙队在的时段内的速度是 米/时. 6小时甲队铺设彩色道砖的长度是 米，乙队铺设彩色道砖的长度是 米.
（2）如果铺设的彩色道砖的总长度为150米，开挖6小时后，甲队、乙队均增加人手，提高了工作效率，此后乙队平均每小时比甲队多铺5米，结果乙反而比甲队提前1小时完成总铺设任务.求提高工作效率后甲队、乙队每小时铺设的长度分别为多少米？
【答案】（1）10， 5， 60， 50；（2）提高工作效率后甲队每小时铺设的长度分别为15米、乙队每小时铺设的长度为20米.
【分析】（1）根据函数图象，速度＝路程÷时间，即可解答；
（2）根据题意列方程解答即可．
【详解】解：（1）（1）由图象可得，
甲队在0≤x≤6的时段内的速度是：60÷6＝10（米/时）；
乙队在2≤x≤6的时段内的速度是：（50−30）÷（6−2）＝5（米/时）；
6小时甲队铺设彩色道砖的长度是60米，乙队铺设彩色道砖的长度是50米．
故答案为10；5；60；50；
（2）设提高工作效率后甲队每小时铺设的长度分别为米，由题意得：
，
整理得：，
解得： ，
经检验：，都是原方程的解，不合题意，舍去.
答：提高工作效率后甲队每小时铺设的长度分别为15米、乙队每小时铺设的长度为20米.
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
A
B
C
D
E
6.如图，笔直公路上A、B两点相距10千米，C、D为两居民区，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=6千米，CB=8千米，现要在公路AB段上建一超市E，使C、D两居民区到E的距离相等，则超市E应建在离A处多远处．
【难度】★★
【答案】离A处处
【解析】设，则，
依题意可得，解得：，
经检验是原方程的解，
故超市应建在离A处处．
【总结】考查根据勾股定理确定相应长度表示进行求解．
7.有一块长x米，宽120米（x>120）的长方形，投资方计划将它分成甲乙丙三部分，其中甲和乙为正方形，甲为住宅区，乙为商场，丙为公司，若已知丙地的面积为3200米，求x的值．
【难度】★★
【答案】160或200．
甲
乙
丙
【解析】依题意可得，整理得，
解得：，，即的值为160或200．
【总结】考查根据面积的相应表示进行列方程求解．
8.有一块长为80米，宽为50米的长方形绿地，其中有三条直路（图中的阴影部分，道路的一边AD与长方形绿地的一边平行，且道路的出入口AB、CD、EF、KI、GH、IJ的长度都相等，其余部分种植绿化）．已知道路的面积为352平方米，求道路出入口的边的长度
A
B
C
D
E
F
G
H
K
I
J
【难度】★★
【答案】
【解析】设边的长度为，依题意可得，
整理得，解得：，（舍），
即得路宽为．
【总结】考查根据面积的相应表示进行列方程求解．
A
B
C
P
Q
R
9.等腰Rt△中，，动点从点出发，沿向点移动.通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于16cm2．
【难度】★★
【答案】
【解析】设，则，由题意可知和
均为等腰直角三角形，依题意可得，
解得：，即长为．
【总结】考查动点问题的应用求解．
n
m
10.m、n为两条互相垂直的笔直公路，工厂A在公路n上，距公路m为1千米，B与工厂A在公路m的同侧，且距公路m为2千米，距公路n为3千米．现要在公路m上建造一个车站P，使它与A、B的距离之和为千米，求P的位置．
【难度】★★★
【答案】点P在两道路交点上下方或处．
【解析】以公路、分别为、轴建立平面直角坐标系，
依题意得，或，设，
依题意可得或，
整理得或，
解得：，，，，
经检验均是原方程的解，但，不符合题意，故舍去，
所以点P在两道路交点上下方或处．
【总结】考查根据题目条件建立平面直角坐标系进行点坐标的确定进而确定相应位置．
11.已知A（0，-1），B（0，4），点P在坐标轴上，且PA+PB=，求点P的坐标．
【难度】★★★
【答案】，，，．
【解析】当P在轴上时，设，依题意可得，
解得：，，即得，；
当P在轴上时，设，依题意可得，
解得：，，即得，．
【总结】考查根据题目条件进行相应作设求解，注意分类讨论．
题型一：增长率问题
题型二：工作效率问题
题型三：利润问题
题型四：行程问题
题型五：几何图形问题
技巧方法
一、增长率问题公式：
其中a为初始值即变化前值，b为变化后值，x为增长率或者降低率．
二、工作效率问题：
工作总量=工作效率工作时间；
假设工作总量是1，则工作效率是．
三、利润：
单件利润=售价-成本； 总利润=单件利润销售件数．
四、行程问题：
行程问题中三个变量：路程、速度和时间，关系如下：
路程=速度时间
可以通过等式的相关计算推导出速度、和时间的相关计算公式．
五、几何图形：
1、关于线段长度类问题，主要列无理方程求解；
2、与面积相关的问题；
3、图形中的动点问题．
能力拓展
题型一：增长率问题
一、解答题
1．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）一种笔记本电脑，原来的售价是元，经过连续两年的降价，今年每台售价为元，每年降价的百分率相同．
(1)年降价的百分率是多少？
(2)小明是去年购买这种笔记本的，那么与今年的售价相比，他多付了多少元？
2．（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
3．（2022秋·上海·八年级校考期中）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
(2)去年，该商店月份的营业额为375万元，，月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与月份的营业额相等．求该商店去年，月份营业额的月增长率．
4．（2022秋·上海·八年级专题练习）某产品5月份时每件200元，在6、7月进行了两次提价，且每次提价的百分率相同，此时售价为288元，后因产品销售问题，8月选择降价，降价的百分率与之前每次提价的百分率相同，求8月份该产品的售价？
5．（2022春·上海·八年级专题练习）为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元．
（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；
（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？
6．（2022春·上海·八年级专题练习）经预算，某工厂从2022年1月份起，每月生产收入是22万元，但在生产过程中会引起环境污染，若再按现状生产，将会受到环境部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资85万元治理污染，治污系统可在2022年1月份启用，这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本，使1月至3月份的生产收入以相同的百分率逐月增长．经预算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，3月份的生产收入可达36万元．3月份以后，每月的生产收入稳定在3月份的水平．
（1）求出投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率；
（2）如果利润看作是生产累计收入减去治理污染的投资和环境部门的罚款，试问：治理污染多少个月后，所投资金开始见成效？即治污多少个月后所获利润不小于不治污情况下所获利润）
7．（2022春·上海·八年级专题练习）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省年公共充电桩的数量为万个，年公共充电桩的数量为万个．
（1）求年至年该省公共充电桩数量的年平均增长率；
（2）按照这样的增长速度，预计年该省将新增多少万个公共充电桩？
8．（2022春·上海·八年级专题练习）山清水秀的东至县三条岭已成为游客最喜欢的旅游地之一，其中“蔡岭”在2019年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2021年“五一”小长假期间，接待游客2.88万人次，在蔡岭，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2019至2021年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护东至县形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
9．（2022春·上海·八年级专题练习）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
10．（2021秋·上海·八年级期中）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
11.某工厂今年头三个月生产甲、乙两种产品，已知甲种产品1月份生产16件，以后每月比上月增长相同的百分率；乙种产品每月比上月增产10件．又知2月份的甲、乙两种产品的产量之比为2:3，且3月份的两种产品的产量之和为65件，求甲种产品每月的增长率和乙种产品1月份的产量．
题型二：工作效率问题
一、解答题
1．（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时．
2．（2022春·上海·八年级期末）某区招办处在中考招生录取工作时，为了防止数据输入出错，全区3600名学生的成绩数据分别由李某、王某两位同志进行操作，两人各自独立地输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知李某的输入速度是王某的2倍，结果李某比王某少用2小时输完．问李某、王某两人每分钟分别能输入多少名学生的成绩？
3．（2020春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考阶段练习）某校八（1）班和四川省某贫困县一所中学的八（2）班是牵手班级，八（1）班所有学生准备捐款3600元帮助小伙伴们来购置学习用品，在实际捐款中又有4名老师参加，如果总的捐款数不变，则参加捐款的每人平均少捐了10元，求这个班的人数．
4．（2021春·上海浦东新·八年级校联考期末）在疫情防控常态化背景下，每周需要对面积为4800平方米的仓库进行一次全面消毒工作．最初采用人工操作完成消毒任务．为提高效率采用机器人消毒，机器人消毒每分钟消毒面积比人工操作多60平方米，并且提前40分钟完成消毒任务．求人工操作每分钟消毒面积为多少平方米．
5．（2020春·上海浦东新·八年级统考期末）新冠肺炎疫情期间，工厂需加工一种口罩250万个，在加工了100万个后，采用了新技术，使每天比原来多加工2.5万个，结果提前了3天完成任务，求工厂原来每天加工多少万个口罩？
6．（2022春·上海·八年级专题练习）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？
7．（2022春·上海·八年级期中）为迎接线下开学，某学校决定对原有的排水系统进行改造，如果甲组先做5天后，剩下的工程由乙组单独承担，还需7.5天才能完工，为了早日完成工程，甲乙两组合作施工，6天完成了任务；甲乙两组单独完成此项工程各需要多少天？
8．（2020春·上海金山·八年级统考阶段练习）某街道1000米的路面下雨时经常严重积水．需改建排水系统．市政公司准备安排甲、乙两个工程队做这项工程，根据评估，有两个施工方案：
方案一：甲、乙两队合作施工，那么12天可以完成；
万案二：如果甲队先做10天，剩下的工程由乙队单独施工，还需15天才能完成．
（l）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）方案一中，甲、乙两队实际各施工了多少米？
9．（2022春·上海·八年级期中）某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，需缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．求原计划每天铺设多少米？
10.某工厂甲、乙两个车间各生产300个零件，按原来的工效，乙车间需要比甲车间多用一天的时间完成，现在甲、乙两车间都提高了工效，其中甲车间工效提高了20%，而乙车间提高了一倍，结果生产同样的300个零件，乙车间比甲车间少用了2天就可完成，问甲、乙两车间原来生产300个零件各需要多少天?
11.已知甲、乙、丙三人做某项工作，甲独做所需要的时间是乙、丙两人合做这件工作的a倍，乙独做需要的时间是甲、丙两人合做这件工作的b倍，求丙独做所用的时间是甲、乙两人合做此工作的几倍．
12.一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时，如果单独开放甲管10个小时后，加入乙管，需要6个小时把水池注满，那么单独开放一个水管，需要多少小时才可以把水池注满?
题型三：利润问题
一、解答题
1．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用3000元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用5400元购进第二批这种玩具，所购数量比第一批增加了30件，但每套进价多了10元．已知两次购入的玩具数都没有超过100件，求第一批玩具每套的进价．
2．（2022春·上海徐汇·八年级统考期末）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．某电器商行销售的某款激光电视去年销售总额为800万元，由于技术革新和成本降低，今年这款激光电视每台销售价比去年降低4000元，若要保持销售总额不变，今年这款激光电视的销售量要比去年多100台，今年这款激光电视每台的售价是多少元？
3．（2022春·上海·八年级专题练习）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
(1)这项工程的规定时间是多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
4．（2022春·上海·八年级专题练习）某校为了准备“迎新活动”，用900元购买了甲、乙两种礼品共240个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了180元．
（1）购买甲种礼品一共用去____________元；（请直接写出答案）
（2）如果甲种礼品的单价是乙种礼品单价的2倍，那么乙种礼品的单价是多少元？
5．（2021春·上海·八年级上海市第四中学校考期中）某商店第一次用600元购进某种型号的铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但每支的进价比第一次贵1元，所以购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价和购买的数量．
（2）若将这两次购买的铅笔按同一单价（元/支）全部销售完毕，并要求总利润不低于420元．求总利润（元）关于单价（元/支）的函数关系式及定义域．
6．（2020春·上海·八年级校联考期中）小明在普通商场中用96元购买了一种商品，后来他在网上发现完全相同的这一商品在网上购买比普通商场中每件少2元，他用90元在网上再次购买这一商品，比上次在普通商场中多买了3件．问小明在网上购买的这一商品每件几元？
7．（2021春·上海·八年级上海市西南模范中学校考期中）学校开展“书香校园”活动，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费了10000元，购买文学类图书花费了9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本，科普类图书平均每本的价格是多少元？
8．（2022春·上海·八年级期中）书店老板去图书批发市场购买某种图书. 第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了，他用1500元所购该书数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书. 试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
9．（2022春·上海·八年级专题练习）某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾分类垃圾桶，学校先用2700元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3600元购买了一批放在户久使用的大号垃圾桶，已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍，且购买的数量比小号垃圾桶少40个，求每个小号垃圾桶的价格是多少元？
10．（2019秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）某书店两次从图书批发市场购进某种图书，每次都用2000元，其中第二次购进这种书每本的批发价比第一次每本的批发价降低了2元，且比第一次购进的书多了50本，求第一次购书时每本的批发价.
11.某水果店在水果批发市场用100元购进一批甲种水果，再用100元购进一批乙种水果，已知购进的乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价低0.5元/千克．
（1）求甲乙两种水果各购进了多少千克?
（2）购进水货当天，甲乙两种水果都按照2.8元/千克出售，乙种水果很快售完，而甲种水果先售出剩余的按售价打5折出售，这一天的水果买卖是否赚钱?如果赚钱了，赚多少?如果不赚钱，那么赔了多少?
12.某中学库存960套旧课桌椅，准备修理后捐助给贫困山区学校，现在有甲乙两个木工小组都希望承揽这项业务，经协商研究得知：甲小组单独修理这批桌椅比乙小组单独修理要多用20天；乙小组每天比甲小组多修理8套；学校每天需要付甲乙小组修理费分别是80元和120元；
求甲乙两个小组每天各修理课桌椅多少套?
在修理桌椅的过程中，学校委派一名维修工进行质量监控，由学校每天发出10元钱作为生活补贴；现在有三种修理方案：方案一由甲单独修理；方案二由乙单独修理；方案三由甲乙共同修理；选择哪种方案，更省钱?
题型四：行程问题
一、解答题
1．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）若A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，且甲比乙早出发2小时．如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在AB中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？
2．（2022春·上海·八年级校考期中）甲乙两人分别从相距27公里的A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇，相遇后两人用原来的速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地快1小时21分钟，则甲乙两人的速度分别是多少？
3．（2022春·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）一列火车到达A站已经晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在B站正点到达，求火车原来行驶的速度．
4．（2022春·上海·八年级期末）甲、乙两辆客车分别从相距400千米的A、B两站同时出发，相向而行，相遇时乙车行驶了250千米，如果乙车每小时比甲车多走20千米，求甲、乙两车速度．
5．（2021春·上海松江·八年级校考期中）一列火车到达A站已经晚点6分钟，如果按原速度继续行驶20千米到达B站，也晚点6分钟，但如果从A站到B站将速度每小时加快10千米，那么可以在B站准点到达，求火车原来行驶的速度．
6．（2022春·上海·八年级校考期中）学校组织八年级部分学生乘坐甲、乙两辆大客车到洋山深水港参观，已知连接临港新城和深水港的东海大桥全长30千米，假设两车都匀速行驶，甲车比乙车早6分钟上桥，但由于乙车每小时比甲车多行10千米，所以甲、乙两车同时下桥，求甲车的速度．
7．（2022春·上海·八年级校考期中）2021年5月22日，“祝融号”火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测工作．着陆点附近的火星表面照片显示，最佳探测路线有两条，西线地势平坦，行程米，东线地势稍有起伏，行程米，走西线比走东线多用小时，走西线的速度比走东线的速度每小时快米．同时，为了确保安全，火星车的速度要小于米/小时，问走东线、走西线的速度各是多少？
8．（2021·上海·八年级期末）为庆祝建党100周年，某中学组织八年级学生进行徒步活动，从学校出发，步行至离校千米的红色基地，返回时，由于步行速度比去时每小时少千米，结果时间比去时多用了半小时，求学生返回时步行的速度．
9．（2019秋·上海·八年级校考阶段练习）两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早到达顶峰．
（1）两个小组的攀登速度各是多少？
（2）如果山高为，第一组的攀登速度是第二组的倍，并比第二组早到达顶峰，则两组的攀登速度各是多少？
10．（2022春·上海·八年级期末）八年级的学生去距学校10千米的科技馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟，其余的学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知每小时汽车的速度比骑自行车学生速度的2倍还多10千米，求骑车学生每小时行多少千米？
11．（2020春·上海松江·八年级统考期末）甲，乙两人同时从地出发，沿相同路线骑自行车前往距离地15千米的地，已知甲比乙平均每小时多骑1千米，但由于甲在路上修自行车耽搁了半小时，结果两人同时到达地，求甲，乙两人每小时各骑行多少千米？
12．（2021春·上海·八年级校考期中）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程的普通道路，路线包含快速通道，全程，走路线比走路线平均速度提高，时间节省，求走路线的平均速度．
13．（2020春·八年级校考课时练习）A、B两个码头相距6千米,一只船从A出发划船逆流而上用了1小时30分钟到达B．回来时，开始的路程划船前进，余下的路程让船顺水漂移到达A地，结果来去所用时间相同．求船在静水中的划行速度和水流速度．
14．（2023春·八年级单元测试）甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次乙车提速30千米/小时，结果比甲车早到20分钟， 求第一次甲、乙两车的速度各是多少？
15.甲、乙两人分别从相距27千米的A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇，随后两人按照原来的速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地少用1小时21分钟，求两人的速度．
题型五：几何图形问题
一、解答题
1．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）在中，，，射线上有一点分别为点P关于直线的对称点，连接
(1)如图1，当点P在线段 上时，则______，______．
(2)如图2，当点P在线段的延长线上时．根据题意补全图形，并探究是否存在点P，使得，若存在，直接写出满足条件时的长度；若不存在，说明理由．
2．（2022春·上海·八年级期中）在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少用1.5小时就跑完了全程．”
(1)若这段高速公路全程限速110千米/时，如若两人全程均匀速行驶，那么张师傅超速了吗？请说明理由．
(2)张师傅所行驶的车内油箱余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系如图所示，则行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油？
3．（2022春·上海宝山·八年级校考阶段练习）如图反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从地到地进行训练时行驶路程（千米）和行驶时间（小时）之间关系的部分图像，根据图像提供的信息，解答下列问题：
（1）求乙的行驶路程和行驶时间之间的函数解析式；
（2）如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行小时之后又以第小时的速度骑行，结果两人同时到达地，求、两地之间的距离．
4．（2019春·上海黄浦·八年级统考期中）在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少用1.5小时就跑完了全程．”
（1）若这段高速公路全程限速120千米/小时，两人全程均匀速行驶．那么张师傅超速了吗？请说明理由；
（2）张师傅所行驶的车内油箱余油量（升）与行驶时间（时）的函数关系如图所示，则行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油？
5．（2020春·上海静安·八年级校考期中）在创建文明城区的活动中，有两端长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工.如图是反映所铺设彩色道砖的长度（米）与施工时间（时）之间的关系的部分图像.请解答下列问题.
（1）甲队在的时段内的速度是 米/时.乙队在的时段内的速度是 米/时. 6小时甲队铺设彩色道砖的长度是 米，乙队铺设彩色道砖的长度是 米.
（2）如果铺设的彩色道砖的总长度为150米，开挖6小时后，甲队、乙队均增加人手，提高了工作效率，此后乙队平均每小时比甲队多铺5米，结果乙反而比甲队提前1小时完成总铺设任务.求提高工作效率后甲队、乙队每小时铺设的长度分别为多少米？
A
B
C
D
E
6.如图，笔直公路上A、B两点相距10千米，C、D为两居民区，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=6千米，CB=8千米，现要在公路AB段上建一超市E，使C、D两居民区到E的距离相等，则超市E应建在离A处多远处．
7.有一块长x米，宽120米（x>120）的长方形，投资方计划将它分成甲乙丙三部分，其中甲和乙为正方形，甲为住宅区，乙为商场，丙为公司，若已知丙地的面积为3200米，求x的值．
甲
乙
丙
8.有一块长为80米，宽为50米的长方形绿地，其中有三条直路（图中的阴影部分，道路的一边AD与长方形绿地的一边平行，且道路的出入口AB、CD、EF、KI、GH、IJ的长度都相等，其余部分种植绿化）．已知道路的面积为352平方米，求道路出入口的边的长度
A
B
C
D
E
F
G
H
K
I
J
A
B
C
P
Q
R
9.等腰Rt△中，，动点从点出发，沿向点移动.通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于16cm2．
n
m
10.m、n为两条互相垂直的笔直公路，工厂A在公路n上，距公路m为1千米，B与工厂A在公路m的同侧，且距公路m为2千米，距公路n为3千米．现要在公路m上建造一个车站P，使它与A、B的距离之和为千米，求P的位置．
11.已知A（0，-1），B（0，4），点P在坐标轴上，且PA+PB=，求点P的坐标．
重难点02列方程（组）解应用题（5种题型）
目录
题型一：增长率问题
题型二：工作效率问题
题型三：利润问题
题型四：行程问题
题型五：几何图形问题
技巧方法
一、增长率问题公式：
其中a为初始值即变化前值，b为变化后值，x为增长率或者降低率．
二、工作效率问题：
工作总量=工作效率工作时间；
假设工作总量是1，则工作效率是．
三、利润：
单件利润=售价-成本； 总利润=单件利润销售件数．
四、行程问题：
行程问题中三个变量：路程、速度和时间，关系如下：
路程=速度时间
可以通过等式的相关计算推导出速度、和时间的相关计算公式．
五、几何图形：
1、关于线段长度类问题，主要列无理方程求解；
2、与面积相关的问题；
3、图形中的动点问题．
能力拓展
题型一：增长率问题
一、解答题
1．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）一种笔记本电脑，原来的售价是元，经过连续两年的降价，今年每台售价为元，每年降价的百分率相同．
(1)年降价的百分率是多少？
(2)小明是去年购买这种笔记本的，那么与今年的售价相比，他多付了多少元？
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的售价为元，第二次的降价后的售价为元，根据题意可列出方程，据此求解即可．
（2）用现价减去去年的价格即可求解．
【详解】（1）解：设每年降价的百分率是，根据题意可得：
，
解得，舍去
答：每年降价的百分率为．
（2）解：，
答：他多付了元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用—增长率问题，有理数的混合计算的应用，关键是会根据增长率列出式子，再找到等量关系列出方程．
2．（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
【答案】(1)四、五这两个月的月平均增长百分率为
(2)当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元
【分析】（1）利用平均增长率的等量关系：，列式计算即可；
（2）利用总利润＝单件利润×销售数量，列方程求解即可．
【详解】（1）解：设平均增长率为，由题意得：
，
解得：或（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为；
（2）解：设降价元，由题意得：
，
整理得：，
解得：或（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2022秋·上海·八年级校考期中）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
(2)去年，该商店月份的营业额为375万元，，月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与月份的营业额相等．求该商店去年，月份营业额的月增长率．
【答案】(1)540万元
(2)
【分析】（1）根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额=前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意，则
（万元），
∴该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为540万元；
（2）解：设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：
，
解得：或（舍去）；
∴该商店去年，月份营业额的月增长率为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2022秋·上海·八年级专题练习）某产品5月份时每件200元，在6、7月进行了两次提价，且每次提价的百分率相同，此时售价为288元，后因产品销售问题，8月选择降价，降价的百分率与之前每次提价的百分率相同，求8月份该产品的售价？
【答案】230.4元
【分析】设每次提价的百分率为x，由连续两次提价，且每次提价的百分率相同，此时售价为288元，列一元二次方程200（1﹣x）2＝288，再由直接开平方解答．
【详解】解：设每次提价的百分率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝288，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝2.2（不合题意，舍去），
∴288×（1﹣20%）＝230.4（元）．
答：8月份该产品的售价为230.4元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
5．（2022春·上海·八年级专题练习）为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元．
（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；
（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？
【答案】（1）我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%；（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元
【分析】（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x，利用2022年投资额＝2020年投资额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用这三年我校总共投资的金额＝2020年投资额+2020年投资额×（1+年平均增长率）+2022年投资额，即可求出结论．
【详解】解：（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x，
依题意得：110（1+x）2＝185.9，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
答：我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%．
（2）110+110×（1+30%）+185.9
＝110+143+185.9
＝438.9（万元）．
答：从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）经预算，某工厂从2022年1月份起，每月生产收入是22万元，但在生产过程中会引起环境污染，若再按现状生产，将会受到环境部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资85万元治理污染，治污系统可在2022年1月份启用，这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本，使1月至3月份的生产收入以相同的百分率逐月增长．经预算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，3月份的生产收入可达36万元．3月份以后，每月的生产收入稳定在3月份的水平．
（1）求出投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率；
（2）如果利润看作是生产累计收入减去治理污染的投资和环境部门的罚款，试问：治理污染多少个月后，所投资金开始见成效？即治污多少个月后所获利润不小于不治污情况下所获利润）
【答案】（1）投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率为20%；（2）治理污染7个月后，所投资金开始见成效
【分析】（1）设投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率为x，再根据1月份生产收入为25万元，3月份的生产收入可达36万元列出方程求解即可得到答案；
（2）设治理污染y个月后，所投资金开始见成效，先分别求出治理污染后2月份和3月份的收入，即可得到1-3月的总收入，然后判断前三个月的收入不能见效，最后根据题意列出不等式求解即可．
【详解】解：（1）设投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率为x，
由题意得：，
解得，
∴投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率为20%；
（2）设治理污染y个月后，所投资金开始见成效，
根据（1）所求可得治理污染后2月份的生产收入是 万元，
∴治理污染后3月份的生产收入是万元，
∴治理污染后，前三个月的总收入为万元，
∵，
∴，
解得，
∵y是整数，
∴治理污染7个月后，所投资金开始见成效，
答：治理污染7个月后，所投资金开始见成效．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键在于能够正确理解题意，列出式子求解．
7．（2022春·上海·八年级专题练习）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省年公共充电桩的数量为万个，年公共充电桩的数量为万个．
（1）求年至年该省公共充电桩数量的年平均增长率；
（2）按照这样的增长速度，预计年该省将新增多少万个公共充电桩？
【答案】（1）；（2）万个
【分析】（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为，根据该省2018年及2020年公共充电桩的数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据该省2021年公共充电桩数量该省2020年公共充电桩数量增长率，即可求出结论．
【详解】解：（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为．
（2）（万个）．
答：预计2021年该省将新增2.023万个公共充电桩．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
8．（2022春·上海·八年级专题练习）山清水秀的东至县三条岭已成为游客最喜欢的旅游地之一，其中“蔡岭”在2019年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2021年“五一”小长假期间，接待游客2.88万人次，在蔡岭，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2019至2021年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护东至县形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
【答案】（1）20%；（2）18元
【分析】（1）可设年平均增长率为x，根据等量关系：2019年五一长假期间，接待游客达209万人次，在2021年五一长假期间，接待游客将达2.88万人次，列出方程求解即可；
（2）可设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润600元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：（1）可设年平均增长率为x，依题意，得：
2（1＋x）2＝2.88，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：年平均增长率为20%；
（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润600元，依题意得：
（y﹣10）·[120﹣（y﹣15）]﹣168＝600，
解得：y1＝18，y2＝22，
∵每碗售价不得超过20元，
∴y＝18．
答：当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天利润600元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，正确列出方程是解答的关键．
9．（2022春·上海·八年级专题练习）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【答案】（1）504万元；（2）20%．
【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；
(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．
【详解】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)，
故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350(1+x)2=504，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2021秋·上海·八年级期中）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．
【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；
（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.
【详解】（1）设平均每次下调x%，则
7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．
11.某工厂今年头三个月生产甲、乙两种产品，已知甲种产品1月份生产16件，以后每月比上月增长相同的百分率；乙种产品每月比上月增产10件．又知2月份的甲、乙两种产品的产量之比为2:3，且3月份的两种产品的产量之和为65件，求甲种产品每月的增长率和乙种产品1月份的产量．
【难度】★★★
【答案】甲产品每月产量增长率是，乙产品1月份的产量为20件．
【解析】设甲种产品每月的增长率为，则甲2月份的产量为，3月份的产量为，
则乙3月份产量为，2月份的产量为，
依题意可得：，整理得，
解得：，（舍），即得甲产品每月产量增长率是，
乙产品1月份的产量为件．
【总结】考查降低（增长）率问题的应用，注意各个月份产量的表示．
题型二：工作效率问题
一、解答题
1．（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时．
【答案】八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时．
【分析】设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，根据“八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出九年级共青团员单独完成美化校园所用时间，再将其代入中可求出八年级共青团员单独完成美化校园所用时间．
【详解】解：设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，
依题意得：，
整理得：，
解得：，
经检验，是原方程的增根，舍去；是原方程的解，且符合题意，
∴，
∴八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2．（2022春·上海·八年级期末）某区招办处在中考招生录取工作时，为了防止数据输入出错，全区3600名学生的成绩数据分别由李某、王某两位同志进行操作，两人各自独立地输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知李某的输入速度是王某的2倍，结果李某比王某少用2小时输完．问李某、王某两人每分钟分别能输入多少名学生的成绩？
【答案】李某每分钟能输入30名学生的成绩，王某每分钟能输入15名学生的成绩．
【分析】有工作总量3600，求的是工作效率，那么一定是根据工作时间来列等量关系的．关键描述语是：“李某比王某少用2小时输完”，等量关系为：王某用的时间－2＝李某用的时间，据此列出方程并解方程即可．
【详解】解：设王某每分钟能输入名学生的成绩，则李某每分钟能输入名学生的成绩，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
所以，
答：李某每分钟能输入30名学生的成绩，王某每分钟能输入15名学生的成绩．
【点睛】本题主要考查分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的，注意：解分式方程一定要检验且要符合题意．找到合适的等量关系是解决问题的关键．
3．（2020春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考阶段练习）某校八（1）班和四川省某贫困县一所中学的八（2）班是牵手班级，八（1）班所有学生准备捐款3600元帮助小伙伴们来购置学习用品，在实际捐款中又有4名老师参加，如果总的捐款数不变，则参加捐款的每人平均少捐了10元，求这个班的人数．
【答案】36人
【分析】设这个班有人，根据题意即可列出分式方程，解即可求得．
【详解】解：设这个班有人，
根据题意得，．
整理得
解得 ，
经检验，，都是原方程得根，因为人数不能为负数，
所以
答：这个班级有36人．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，根据数量关系列出方程是解决问题的关键，注意分式方程要检验．
4．（2021春·上海浦东新·八年级校联考期末）在疫情防控常态化背景下，每周需要对面积为4800平方米的仓库进行一次全面消毒工作．最初采用人工操作完成消毒任务．为提高效率采用机器人消毒，机器人消毒每分钟消毒面积比人工操作多60平方米，并且提前40分钟完成消毒任务．求人工操作每分钟消毒面积为多少平方米．
【答案】60平方米
【分析】根据题意得出“人工操作所需的时间－机器从消毒所需的时间＝40分钟”，设人工操作每分钟消毒面积为x平方米，则机器人消毒每分钟消毒面积为（x＋60）平方米，则可列出方程，求解后即可．
【详解】解：设人工操作每分钟消毒面积为x平方米，则机器人消毒每分钟消毒面积为（x＋60）平方米，根据题意得：
，
则，
解得（不合题意，舍去），，
经检验，是原方程的解．
所以，人工操作每分钟消毒面积为60平方米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意找出等量关系，并列出方程进行求解是解题的关键．
5．（2020春·上海浦东新·八年级统考期末）新冠肺炎疫情期间，工厂需加工一种口罩250万个，在加工了100万个后，采用了新技术，使每天比原来多加工2.5万个，结果提前了3天完成任务，求工厂原来每天加工多少万个口罩？
【答案】该厂原来每天加工10万个口罩．
【分析】设该厂原来每天加工万个口罩，根据工厂需加工一种口罩250万个，在加工了100万个后，采用了新技术，使每天比原来多加工2.5万个，结果提前了3天完成任务，可列方程求解．
【详解】解：设原来每天加工万个口罩，采用了新技术后，每天加工（）万个口罩，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
经检验，均是原方程的解，
但不符合题意，舍去．
答：该厂原来每天加工10万个口罩．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，关键是以时间做为等量关系，根据天数=加工的个数除以每天加工的个数列方程求解即可．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？
【答案】实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米．
【分析】设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据“实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务”列出方程即可求解．
【详解】解：设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据题意，得：
，
解得：x=45，
经检验，x=45是原分式方程的解，
则2x=2×45=90．
答：实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意设出适当的未知数，找出等量关系，列方程求解，注意检验．
7．（2022春·上海·八年级期中）为迎接线下开学，某学校决定对原有的排水系统进行改造，如果甲组先做5天后，剩下的工程由乙组单独承担，还需7.5天才能完工，为了早日完成工程，甲乙两组合作施工，6天完成了任务；甲乙两组单独完成此项工程各需要多少天？
【答案】甲组单独完成此项工程需要10天，乙组单独完成此顶工程需要15天．
【分析】设甲组单独完成此项工程需要x天，则乙组单独完成此顶工程需要天．等量关系：甲组先做5天的工作量+乙做7.5天的工作量＝1．
【详解】设甲组单独完成此项工程需要x天，则乙组单独完成此顶工程需要天．
依题意得
解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
当x＝10时，＝＝15．
答：甲组单独完成此项工程需要10天，乙组单独完成此顶工程需要15天．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的公式：工作总量=工作时间×工效．
8．（2020春·上海金山·八年级统考阶段练习）某街道1000米的路面下雨时经常严重积水．需改建排水系统．市政公司准备安排甲、乙两个工程队做这项工程，根据评估，有两个施工方案：
方案一：甲、乙两队合作施工，那么12天可以完成；
万案二：如果甲队先做10天，剩下的工程由乙队单独施工，还需15天才能完成．
（l）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）方案一中，甲、乙两队实际各施工了多少米？
【答案】（1）甲队单独完成需20天，乙队单独完成需30天；（2）甲队实际施工600米，乙队实际施工400米
【分析】（1）本题有两个相等关系：甲、乙两队合作施工12天完成的工作量之和=1，甲队先做10天完成的工作量+乙队单独施工15天完成的工作量=1，据此设未知数列方程组解答即可；
（2）根据（1）题的结果列式计算即可．
【详解】解：（1）设甲队单独完成此项工程需x天，乙队单独完成此项工程需y天，根据题意，得：
，解得：，
经检验：是所列方程组的解，
答：甲队单独完成此项工程需20天，乙队单独完成此项工程需30天．
（2）方案一中：甲队实际施工=米，乙队实际施工=米．
答：方案一中，甲、乙两队实际各施工了600米、400米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
9．（2022春·上海·八年级期中）某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，需缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．求原计划每天铺设多少米？
【答案】原计划每天铺设60米．
【分析】设原计划每天铺设管道为xm，故实际施工每天铺设管道为1.2xm．等量关系为：原计划完成的天数-实际完成的天数=2，根据这个关系列出方程求解即可．
【详解】设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道1.2x米，
由题意，得
解得：x=60．
经检验，x=60是原方程的解．且符合题意．
答：原计划每天铺设管道60米．
【点睛】本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．期中找到合适的等量关系是解决问题的关键．
10.某工厂甲、乙两个车间各生产300个零件，按原来的工效，乙车间需要比甲车间多用一天的时间完成，现在甲、乙两车间都提高了工效，其中甲车间工效提高了20%，而乙车间提高了一倍，结果生产同样的300个零件，乙车间比甲车间少用了2天就可完成，问甲、乙两车间原来生产300个零件各需要多少天?
【难度】★★★
【答案】甲车间原来生产300个零件需要7.5天，乙车间需要8.5天．
【解析】设甲原来需要天，则乙原来需要天，依题意可得：，
解得：，即甲车间原来生产300个零件需要7.5天，乙车间需要8.5天．
【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式．
11.已知甲、乙、丙三人做某项工作，甲独做所需要的时间是乙、丙两人合做这件工作的a倍，乙独做需要的时间是甲、丙两人合做这件工作的b倍，求丙独做所用的时间是甲、乙两人合做此工作的几倍．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】设甲、乙、丙需要的工作时间分别为，，，
依题意可得，，
分别整理可得，，
相加得，由此得．
【总结】考查工程问题的应用，注意找准字母之间的关系．
12.一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时，如果单独开放甲管10个小时后，加入乙管，需要6个小时把水池注满，那么单独开放一个水管，需要多少小时才可以把水池注满?
【难度】★★★
【答案】单独开放甲注水管需要20小时注满水池，单独开放乙注水管需要30小时注满水池．
【解析】设甲需要，则乙需要，依题意可得，
整理得，解得：，，
经检验均是原方程的解，但不符合题意，舍去，
故单独开放甲注水管需要20小时注满水池，单独开放乙注水管需要30小时注满水池．
【总结】考查工程问题的应用，合作加独做合为单位“1”，注意分式方程要检验．．
题型三：利润问题
一、解答题
1．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用3000元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用5400元购进第二批这种玩具，所购数量比第一批增加了30件，但每套进价多了10元．已知两次购入的玩具数都没有超过100件，求第一批玩具每套的进价．
【答案】50元
【分析】设第一批玩具每套的进价为x元，则第二批玩具每套的进价为（x＋10）元，根据数量＝总价÷单价，结合第二批比第一批多购进30套，解之经检验后即可得出x的值，再结合两次购入的玩具数都没有超过100套，即可确定x的值．
【详解】解：设第一批玩具每套的进价为x元，则第二批玩具每套的进价为元，
依题意得，整理得：，即，
解得：，，
经检验，，均为原方程的解，
又∵两次购入的玩具数都没有超过100套，进价为元时，第一批第二批购进玩具均超过100件，
不合题意，舍去．
答：第一批玩具每套的进价为50元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2．（2022春·上海徐汇·八年级统考期末）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．某电器商行销售的某款激光电视去年销售总额为800万元，由于技术革新和成本降低，今年这款激光电视每台销售价比去年降低4000元，若要保持销售总额不变，今年这款激光电视的销售量要比去年多100台，今年这款激光电视每台的售价是多少元？
【答案】今年这款激光电视每台的售价是16000元．
【分析】设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年这款激光电视每台的售价是（x+4000）元，利用数量＝总价÷单价，结合今年这款激光电视的销售量要比去年多100台，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年这款激光电视每台的售价是（x+4000）元，
依题意得： ，
整理得x2＋4000x－320000000＝0，
解得：x1＝16000，x2＝﹣20000，
经检验，x1＝16000，x2＝﹣20000均为原方程的解，x2＝﹣20000不符合题意，舍去．
∴x＝16000．
答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
3．（2022春·上海·八年级专题练习）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
(1)这项工程的规定时间是多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
【答案】(1)30天
(2)225000元
【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意列出方程，求解即可；
（2）先计算出甲乙两队合作的天数，再计算费用即可．
【详解】（1）解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
，
解得：x＝30．
经检验，x＝30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（天），
则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．
答：该工程的费用为225000元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．
4．（2022春·上海·八年级专题练习）某校为了准备“迎新活动”，用900元购买了甲、乙两种礼品共240个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了180元．
（1）购买甲种礼品一共用去____________元；（请直接写出答案）
（2）如果甲种礼品的单价是乙种礼品单价的2倍，那么乙种礼品的单价是多少元？
【答案】（1）360；（2）3元
【分析】（1）购买甲种礼品一共用去x元，则购买乙种礼品一共用去（180+x）元，然后根据一共花了900元，列出方程求解即可；
（2）设乙种礼品单价是y元，则甲种礼品单价是2y元，然后根据用900元购买了甲、乙两种礼品共240个，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）购买甲种礼品一共用去x元，则购买乙种礼品一共用去（180+x）元，
由题意得：x+180+x=900，
解得：x=360，
∴购买甲种礼品一共用去360元，
故答案为360；
（2）设乙种礼品单价是y元，则甲种礼品单价是2y元，
由题意得：，
解得：y＝3，
经检验，y＝3是原方程的根，并符合题意，
答：乙种礼品的单价是3元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意，列出方程求解．
5．（2021春·上海·八年级上海市第四中学校考期中）某商店第一次用600元购进某种型号的铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但每支的进价比第一次贵1元，所以购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价和购买的数量．
（2）若将这两次购买的铅笔按同一单价（元/支）全部销售完毕，并要求总利润不低于420元．求总利润（元）关于单价（元/支）的函数关系式及定义域．
【答案】（1）第一次每支铅笔的进价是4元，购进150支；（2）y＝270x−1200，定义域为x≥6
【分析】（1）利用第二次购进数量比第一次少了30支，进而得出关系式进而得出答案；
（2）利用（1）中所求，得出y＝（x−4）×150＋（x−5）×120从而列出不等式，求出x的范围即可．
【详解】解：（1）设第一次每支铅笔的进价为a元/支，
则据题意得： ，
∴a1＝4，a2＝−5（舍），
经检验：a=4是方程的解，且符合题意，
600÷4＝150，
答：第一次每支铅笔的进价是4元，购进150支；
（2）由题意得：y＝（x−4）×150＋（x−5）×120＝270x−1200，
∵y≥420，
∴270x−1200≥420，解得：x≥6，
即获利y（元）关于单价x（元/支）的函数关系为：y＝270x−1200，定义域为x≥6．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及分式方程的应用，利用第二次购进数量比第一次少了30支列出分式方程是解题关键．
6．（2020春·上海·八年级校联考期中）小明在普通商场中用96元购买了一种商品，后来他在网上发现完全相同的这一商品在网上购买比普通商场中每件少2元，他用90元在网上再次购买这一商品，比上次在普通商场中多买了3件．问小明在网上购买的这一商品每件几元？
【答案】小明在网上购买的这一商品每件6元
【分析】设小明在网上购买的这一商品每件x元，小明在普通商场中用96元购买了一种商品，后来他在网上发现完全相同的这一商品在网上购买比普通商场中每件少2元，他用90元在网上再次购买这一商品，比上次在普通商场中多买了3件根据此可列方程求解．
【详解】设小明在网上购买的这一商品每件x元．
，
x2+4x﹣60＝0，
x1＝﹣10，x2＝6．
经检验它们都是原方程的根，但x＝﹣10不符合题意．
答：小明在网上购买的这一商品每件6元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，设出价格，根据件数作为等量关系列方程求解．
7．（2021春·上海·八年级上海市西南模范中学校考期中）学校开展“书香校园”活动，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费了10000元，购买文学类图书花费了9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本，科普类图书平均每本的价格是多少元？
【答案】科普类图书平均每本的价格为20元．
【分析】设科普类图书平均每本的价格为x元，则文学类图书平均每本的价格为（x-5）元，根据数量=总价÷单价结合用10000元购买科普类图书比用9000元购买文学类图书数量少100本，可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【详解】解：设科普类图书平均每本的价格为x元，则文学类图书平均每本的价格为（x-5）元，
根据题意得：，化简得x2+5x-500=0，
解得：x=20或x=-25（舍去），
经检验，x=20是所列分式方程的解，且符合题意．
答：科普类图书平均每本的价格为20元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及解一元二次方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．（2022春·上海·八年级期中）书店老板去图书批发市场购买某种图书. 第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了，他用1500元所购该书数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书. 试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
【答案】该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．
【分析】设第一次购书的单价为元，第二次购书的单价为元,根据前后的数量关系可得,可求出单价.
【详解】解：设第一次购书的单价为元，第二次购书的单价为元．
根据题意得：
解得：.
经检验，是原方程的解.
所以第一次购书为（本）.
第二次购书为（本）.
第一次赚钱为（元）.
第二次赚钱为（元）.
所以两次共赚钱（元）
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．
【点睛】考核知识点：分式方程的应用.理解题意，弄清数量与单价关系是关键．
9．（2022春·上海·八年级专题练习）某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾分类垃圾桶，学校先用2700元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3600元购买了一批放在户久使用的大号垃圾桶，已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍，且购买的数量比小号垃圾桶少40个，求每个小号垃圾桶的价格是多少元？
【答案】45
【分析】设每个小号垃圾桶的价格是元，则每个大号垃圾桶的价格是元，由购买大号垃圾桶的数量比小号垃圾桶少40个列出方程解答即可；
【详解】设每个小号垃圾桶的价格是元，则每个大号垃圾桶的价格是元
依题意得：
解得：
经检验，是原方程的解
答：每个小号垃圾桶的价格是45元.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的相等关系，列方程求解．
10．（2019秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）某书店两次从图书批发市场购进某种图书，每次都用2000元，其中第二次购进这种书每本的批发价比第一次每本的批发价降低了2元，且比第一次购进的书多了50本，求第一次购书时每本的批发价.
【答案】第一次购书时每本的批发价为10元．
【分析】本题首先依题意可知等量关系为第一次购书的本数=第二次购书的本数-50，根据等量关系列出方程，最后求出结果检验并作答．
【详解】设第一次购书时每本的批发价为x元．根据题意得
，
化简方程得x2-2x-80=0，
解得x1=10，x2=-8．
经检验，x1=10，x2=-8都是方程的根，但x=-8不合题意，舍去．
答：第一次购书时每本的批发价为10元．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
11.某水果店在水果批发市场用100元购进一批甲种水果，再用100元购进一批乙种水果，已知购进的乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价低0.5元/千克．
（1）求甲乙两种水果各购进了多少千克?
（2）购进水货当天，甲乙两种水果都按照2.8元/千克出售，乙种水果很快售完，而甲种水果先售出剩余的按售价打5折出售，这一天的水果买卖是否赚钱?如果赚钱了，赚多少?如果不赚钱，那么赔了多少?
【难度】★★★
【答案】（1）甲种水果购进40千克，乙种水果购进50千克；（2）赚了29.6元
【解析】（1）设购进甲种水果x千克，乙种水果x+10千克，由题意得，
解得：x=40，经检验x=40是原方程的解，且符合题意，
故购进甲种水果是40千克，乙种水果是40+10=50千克；
（2）利润为：，故赚了29.6元．
【总结】本题主要考察了利润问题，找出题目中的等量关系再列方程．
12.某中学库存960套旧课桌椅，准备修理后捐助给贫困山区学校，现在有甲乙两个木工小组都希望承揽这项业务，经协商研究得知：甲小组单独修理这批桌椅比乙小组单独修理要多用20天；乙小组每天比甲小组多修理8套；学校每天需要付甲乙小组修理费分别是80元和120元；
求甲乙两个小组每天各修理课桌椅多少套?
在修理桌椅的过程中，学校委派一名维修工进行质量监控，由学校每天发出10元钱作为生活补贴；现在有三种修理方案：方案一由甲单独修理；方案二由乙单独修理；方案三由甲乙共同修理；选择哪种方案，更省钱?
【难度】★★★
【答案】（1）甲小组每天修理16套旧桌椅，则乙小组每天修理24套旧桌椅；（2）方案三．
【解析】（1）设甲小组每天修理套旧桌椅，则乙小组每天修理套旧桌椅，
依题意可得，整理得，解得：，，
经检验均是原方程的解，但不符合题意，舍去，
即得甲小组每天修理16套旧桌椅，则乙小组每天修理24套旧桌椅；
方案一需要的费用为元；
方案二需要的费用为元；
方案三需要的费用为元，可知方案三更省钱．
【总结】考查工程问题的应用，注意分式方程要检验．
题型四：行程问题
一、解答题
1．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）若A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，且甲比乙早出发2小时．如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在AB中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？
【答案】甲的速度是每小时3千米，乙的速度是每小时5千米．
【分析】设甲的速度是每小时x千米，则乙的速度是每小时（x＋2）千米，根据“行驶一半的路程甲所用时间比乙所用时间多2小时”列出方程求解即可．
【详解】解：设甲的速度是每小时x千米，则乙的速度是每小时（x＋2）千米，
根据题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
经检验：，都是原方程的解，但不符合题意，舍去，
∴原方程的解是x＝3，
则x＋2＝5，
答：甲的速度是每小时3千米，乙的速度是每小时5千米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解一元二次方程，关键是能够表示两人所用时间，然后根据题意列方程求解．
2．（2022春·上海·八年级校考期中）甲乙两人分别从相距27公里的A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇，相遇后两人用原来的速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地快1小时21分钟，则甲乙两人的速度分别是多少？
【答案】甲的速度是5公里/小时，则乙的速度为4公里/小时．
【分析】设甲的速度是x公里/小时，则乙的速度为（-x）公里/小时，根据到达B地比乙到达A地快1小时21分钟可得=，解出方程检验即可得答案．
【详解】解：设甲的速度是x公里/小时，则乙的速度为（-x）公里/小时，
根据题意得：=，
去分母化为整式方程得：x2+31x-180=0，
解得x=5或x=-36，
经检验，x=5和x=-36都是原方程的解，但x=-36不符合题意，舍去，
∴x=5，
∴-x=9-5=4，
答：甲的速度是5公里/小时，则乙的速度为4公里/小时．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
3．（2022春·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）一列火车到达A站已经晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在B站正点到达，求火车原来行驶的速度．
【答案】火车原来行驶的速度为40千米每小时
【分析】设货车原来的行驶速度为x千米每小时，然后根据将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在B站正点到达，列出方程求解即可．
【详解】解：设货车原来的行驶速度为x千米每小时，
由题意得：，
解得或（舍去），
经检验是原方程的解，
∴火车原来行驶的速度为40千米每小时．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键．
4．（2022春·上海·八年级期末）甲、乙两辆客车分别从相距400千米的A、B两站同时出发，相向而行，相遇时乙车行驶了250千米，如果乙车每小时比甲车多走20千米，求甲、乙两车速度．
【答案】甲车的速度是30千米/小时，乙车的速度是50千米/小时．
【分析】设甲车每小时行驶x千米，乙车每小时行驶（x+20）千米，根据两车行驶的时间相等列方程求解即可．
【详解】解：设甲车每小时行驶x千米，乙车每小时行驶（x+20）千米，
由题意：，
解得x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解且符合题意，
x+20＝50，
∴甲车的速度是30千米/小时，乙车的速度是50千米/小时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据两车行驶的时间相等列方程求解，解分式方程不要忘记检验．
5．（2021春·上海松江·八年级校考期中）一列火车到达A站已经晚点6分钟，如果按原速度继续行驶20千米到达B站，也晚点6分钟，但如果从A站到B站将速度每小时加快10千米，那么可以在B站准点到达，求火车原来行驶的速度．
【答案】40千米/小时
【分析】根据题意列出分式方程，然后解分式方程，根据分式方程和实际意义求出方程的解即可；
【详解】设火车原来的行驶速度为x千米/小时，则提速后火车的速度为千米/小时，
根据题意得：，
解得：x＝40或（舍去），
经检验，x＝40时原分式方程的解．
答：火车原来的行驶速度为40千米/小时．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意找到等量关系进行列方程是解题的关键．
6．（2022春·上海·八年级校考期中）学校组织八年级部分学生乘坐甲、乙两辆大客车到洋山深水港参观，已知连接临港新城和深水港的东海大桥全长30千米，假设两车都匀速行驶，甲车比乙车早6分钟上桥，但由于乙车每小时比甲车多行10千米，所以甲、乙两车同时下桥，求甲车的速度．
【答案】甲车的速度为50km/h
【分析】设甲车的速度的速度为，则乙车的速度为，根据甲的时间=乙的时间+，列方程即可解决．
【详解】解：设甲车的速度的速度为，则乙车的速度为.
由题意：，整理得，，
解得或-60，
经检验：或-60都是分式方程的解，
但是不符合实际意义，所以，
答：甲车的速度为50km/h．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，找等量关系是解应用题的关键，注意解分式方程时必须检验，列方程时注意时间单位是小时，属于常考题型．
7．（2022春·上海·八年级校考期中）2021年5月22日，“祝融号”火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测工作．着陆点附近的火星表面照片显示，最佳探测路线有两条，西线地势平坦，行程米，东线地势稍有起伏，行程米，走西线比走东线多用小时，走西线的速度比走东线的速度每小时快米．同时，为了确保安全，火星车的速度要小于米/小时，问走东线、走西线的速度各是多少？
【答案】东线米/小时，西线米/小时．
【分析】设走东线的速度为x米/小时，则走西线的速度为（x+60）米/小时，根据时间=距离÷速度可列分式方程，解方程并检验即可得走东线的速度，进而可得走西线的速度．
【详解】设走东线的速度为x米/小时，
∵走西线的速度比走东线的速度每小时快米，
∴走西线的速度为（x+60）米/小时，
∵走西线比走东线多用小时，
∴，
解得：，，
∵火星车的速度要小于米/小时，
∴，
经检验：是分式方程的解，
∴x+60=90，
答：走东线、走西线的速度分别为30米/小时，90米/小时．
【点睛】本题考查分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．注意：分式方程要验根，避免出现增根．
8．（2021·上海·八年级期末）为庆祝建党100周年，某中学组织八年级学生进行徒步活动，从学校出发，步行至离校千米的红色基地，返回时，由于步行速度比去时每小时少千米，结果时间比去时多用了半小时，求学生返回时步行的速度．
【答案】
【分析】设学生返回时步行的速度为x千米/时，则去时步行的速度为（x+1）千米/时，利用时间=路程÷速度，结合返回时比去时多用了半小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】设，
，
经检验，x1=3，x2=-4均为原方程的解，且x2=-4不符合题意，舍去．
返回时速度为．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，注意分式方程应用题要检验根是否符合原分式方程的解，还要检验是否符合实际意义是解题的关键．
9．（2019秋·上海·八年级校考阶段练习）两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早到达顶峰．
（1）两个小组的攀登速度各是多少？
（2）如果山高为，第一组的攀登速度是第二组的倍，并比第二组早到达顶峰，则两组的攀登速度各是多少？
【答案】（1）两个小组的速度分别是和；（2）两组速度分别是和
【分析】（1）设第二组速度为xm/min，则第一组速度为1.2xm/min，由题意可得关于x的分式方程，解方程即可得到问题解答；
（2）设第二组速度为ym/min，则第一组速度为aym/min，由题意可得关于y的分式方程，解方程即可得到问题解答．
【详解】解：（1）设第二组速度为
第一组速度为
则
方程两边同时乘得：
检验：当时，
且x的值符合题意，
∴原分式方程的解为
∴
答：两个小组的速度分别是和
（2）设第二组的速度为．则第一组速度为．（，）
∴
方程两边乘得
检验：当时
∵
∴且y的值符合题意，
∴原分式方程的解为
∴
答：两组速度分别是和．
【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意设定适当的未知数并列出正确的分式方程求解是解题关键．
10．（2022春·上海·八年级期末）八年级的学生去距学校10千米的科技馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟，其余的学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知每小时汽车的速度比骑自行车学生速度的2倍还多10千米，求骑车学生每小时行多少千米？
【答案】骑车学生每小时行15千米
【分析】先将25分钟化成小时为小时，再设骑车学生每小时走x千米，根据汽车所用的时间＝学生骑车时间﹣，列分式方程：，求出方程的解即可．
【详解】解：设骑车学生每小时走x千米，
据题意得：，
整理得：x2﹣7x﹣120＝0，
解得：x1＝15，x2＝﹣8，
经检验：x1＝15，x2＝﹣8是原方程的解，
因为x＝﹣8不符合题意，所以舍去，
答：骑车学生每小时行15千米．
【点睛】本题是分式方程的应用，找等量关系是本题的关键；这是一道行程问题，汽车和学生的路程、速度、时间三个量要准确把握，以走完全程的时间为依据列分式方程，注意单位要统一．
11．（2020春·上海松江·八年级统考期末）甲，乙两人同时从地出发，沿相同路线骑自行车前往距离地15千米的地，已知甲比乙平均每小时多骑1千米，但由于甲在路上修自行车耽搁了半小时，结果两人同时到达地，求甲，乙两人每小时各骑行多少千米？
【答案】甲每小时骑行6km，乙每小时骑行5km．
【分析】设乙每小时骑行xkm，则甲每小时骑行（x+1）km，根据乙所用时间﹣甲所用时间＝小时列出方程并解答．
【详解】解：设乙每小时骑行xkm，则甲每小时骑行（x+1）km，
根据题意，得﹣＝．
解得x1＝5，x2＝﹣6（舍负）．
经检验x＝5是所列方程的根．
所以x+1＝6．
答：甲每小时骑行6km，乙每小时骑行5km．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
12．（2021春·上海·八年级校考期中）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程的普通道路，路线包含快速通道，全程，走路线比走路线平均速度提高，时间节省，求走路线的平均速度．
【答案】75km/h
【分析】根据题意，设走线路A的平均速度为，则线路B的速度为，由等量关系列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设走线路A的平均速度为，则线路B的速度为，则
，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解；
∴走路线的平均速度为：（km/h）；
【点睛】本题考查分式方程的应用，以及理解题意的能力，解题的关键是以时间做为等量关系列方程求解．
13．（2020春·八年级校考课时练习）A、B两个码头相距6千米,一只船从A出发划船逆流而上用了1小时30分钟到达B．回来时，开始的路程划船前进，余下的路程让船顺水漂移到达A地，结果来去所用时间相同．求船在静水中的划行速度和水流速度．
【答案】船在静水中的划行速度为6千米/小时，水流速度2千米/小时．
【分析】设船在静水中的划行速度为x千米/小时，水流速度y千米/小时，根据题意列出方程组即可求解．
【详解】设船在静水中的划行速度为x千米/小时，水流速度y千米/小时，
根据题意得
解得或，
经检验，是方程组的解且符合实际，是方程组的解但不符合实际，
所以，
故船在静水中的划行速度为6千米/小时，水流速度2千米/小时．
【点睛】此题主要考查列方程组解应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程求解．
14．（2023春·八年级单元测试）甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次乙车提速30千米/小时，结果比甲车早到20分钟， 求第一次甲、乙两车的速度各是多少？
【答案】80千米/小时、60千米/小时.
【分析】设甲车、乙车的速度分别为x、y千米/小时，根据题意列方程组求解即可.
【详解】设甲车速度x千米/小时， 乙车y千米/小时，根据题意可得，
，
解得x=80千米/小时，y=60千米/小时，
答：第一次甲车的速度为80千米/小时，乙车的速度为60千米/小时.
【点睛】本题考查方程的应用，解题的关键是从题中找出等量关系列出方程组．
15.甲、乙两人分别从相距27千米的A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇，随后两人按照原来的速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地少用1小时21分钟，求两人的速度．
【难度】★★★
【答案】甲的速度为，乙的速度为．
【解析】设甲的速度为，乙的速度为．
依题意可得，解得：，经检验是原方程组的解，且符合题意，
故甲的速度为，乙的速度为．
【总结】考查行程问题的应用，，注意分式方程组要检验．
题型五：几何图形问题
一、解答题
1．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）在中，，，射线上有一点分别为点P关于直线的对称点，连接
(1)如图1，当点P在线段 上时，则______，______．
(2)如图2，当点P在线段的延长线上时．根据题意补全图形，并探究是否存在点P，使得，若存在，直接写出满足条件时的长度；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)补全图形见解析，5
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，根据轴对称的性质可得∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABP=∠ABM，然后结合图形即可即可；
（2）先根据轴对称图形的特点补全图形；再根据轴对称的性质可得PB=BM，PC=CN，设，则或，，利用和线段的和差列出方程求解即可．
【详解】（1）解：，，
，
，分别为点关于直线，的对称点，
，，，
，
．
故答案为，．
（2）解：补全图形如图所示．
存在点P，使得．
设，则或，
，
或，
或5．
经检验或5为方程的解，
∵线段不可能为负
．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的特点、角度的计算、分式方程的应用等知识点，理解题意、熟练掌握运用轴对称图形的性质是解题关键．
2．（2022春·上海·八年级期中）在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少用1.5小时就跑完了全程．”
(1)若这段高速公路全程限速110千米/时，如若两人全程均匀速行驶，那么张师傅超速了吗？请说明理由．
(2)张师傅所行驶的车内油箱余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系如图所示，则行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油？
【答案】(1)没有超速，理由见解析
(2)33升
【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题；
（2）根据函数图象可以求得张师傅每小时的耗油量，从而可以求得行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油．
(1)
解：张师傅没有超速，
理由：设张师傅的速度为x千米/时，
由题意得：，
解得：x1＝﹣80（舍去），x2＝100，
经检验，x＝100是原分式方程的解，
∵100＜110，
∴张师傅没有超速；
(2)
由函数图象可得，张师傅每小时耗油量为：44÷8＝5.5（升），
行驶完这段高速公路，张师傅至少需要：＝33（升），
答：行驶完这段高速公路，他至少需要33升油．
【点睛】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质解答问题．
3．（2022春·上海宝山·八年级校考阶段练习）如图反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从地到地进行训练时行驶路程（千米）和行驶时间（小时）之间关系的部分图像，根据图像提供的信息，解答下列问题：
（1）求乙的行驶路程和行驶时间之间的函数解析式；
（2）如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行小时之后又以第小时的速度骑行，结果两人同时到达地，求、两地之间的距离．
【答案】（1）；（2）千米
【分析】（1）观察图中乙图像，将（1，30）（3，50）代入一次函数表达式即可，
（2）根据图像求出甲，乙两人速度，按照关系式列方程求解即可．
【详解】（1）由图像设此函数表达式为，
把点（1，30）（3，50）代入一次函数表达式得：，
解得： ，
∴函数表达式为：，
即乙的行驶路程和行驶时间之间的函数解析式：，
（2）由图像可得：前一小时，乙的速度是30千米，1到3小时是（50-30）（3-1）=10千米，即速度是10千米，甲的速度始终为603=20千米；由题意设两地相距x千米，列方程得：
，
解方程检验得：x=80，
即A，B两地的距离为80千米．
【点睛】本题不仅考查一次函数图像，也考查分式方程的应用，知识面较广，难度一般．
4．（2019春·上海黄浦·八年级统考期中）在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少用1.5小时就跑完了全程．”
（1）若这段高速公路全程限速120千米/小时，两人全程均匀速行驶．那么张师傅超速了吗？请说明理由；
（2）张师傅所行驶的车内油箱余油量（升）与行驶时间（时）的函数关系如图所示，则行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油？
【答案】（1）没超速；理由见解析；（2）他至少需要33升油．
【分析】（1）设李师傅的速度为千米/小时，则张师傅的速度为千米/小时，根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题；
（2）根据函数图象可以求得张师傅每小时的耗油量，从而可以求得行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油．
【详解】（1）没超速．
设李师傅的速度为千米/小时，则张师傅的速度为千米/小时，
，
∴，∴，．
经检验，都为原方程的实数根，但不合题意，舍去，
∴张师傅速度为100千米/小时<120千米/小时，没有超速．
（2）∵，
∴（升）．
答：他至少需要33升油．
【点睛】本题考查分式方程的应用、从函数图像读取信息，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的分式方程解答问题．
5．（2020春·上海静安·八年级校考期中）在创建文明城区的活动中，有两端长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工.如图是反映所铺设彩色道砖的长度（米）与施工时间（时）之间的关系的部分图像.请解答下列问题.
（1）甲队在的时段内的速度是 米/时.乙队在的时段内的速度是 米/时. 6小时甲队铺设彩色道砖的长度是 米，乙队铺设彩色道砖的长度是 米.
（2）如果铺设的彩色道砖的总长度为150米，开挖6小时后，甲队、乙队均增加人手，提高了工作效率，此后乙队平均每小时比甲队多铺5米，结果乙反而比甲队提前1小时完成总铺设任务.求提高工作效率后甲队、乙队每小时铺设的长度分别为多少米？
【答案】（1）10， 5， 60， 50；（2）提高工作效率后甲队每小时铺设的长度分别为15米、乙队每小时铺设的长度为20米.
【分析】（1）根据函数图象，速度＝路程÷时间，即可解答；
（2）根据题意列方程解答即可．
【详解】解：（1）（1）由图象可得，
甲队在0≤x≤6的时段内的速度是：60÷6＝10（米/时）；
乙队在2≤x≤6的时段内的速度是：（50−30）÷（6−2）＝5（米/时）；
6小时甲队铺设彩色道砖的长度是60米，乙队铺设彩色道砖的长度是50米．
故答案为10；5；60；50；
（2）设提高工作效率后甲队每小时铺设的长度分别为米，由题意得：
，
整理得：，
解得： ，
经检验：，都是原方程的解，不合题意，舍去.
答：提高工作效率后甲队每小时铺设的长度分别为15米、乙队每小时铺设的长度为20米.
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
A
B
C
D
E
6.如图，笔直公路上A、B两点相距10千米，C、D为两居民区，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=6千米，CB=8千米，现要在公路AB段上建一超市E，使C、D两居民区到E的距离相等，则超市E应建在离A处多远处．
【难度】★★
【答案】离A处处
【解析】设，则，
依题意可得，解得：，
经检验是原方程的解，
故超市应建在离A处处．
【总结】考查根据勾股定理确定相应长度表示进行求解．
7.有一块长x米，宽120米（x>120）的长方形，投资方计划将它分成甲乙丙三部分，其中甲和乙为正方形，甲为住宅区，乙为商场，丙为公司，若已知丙地的面积为3200米，求x的值．
【难度】★★
【答案】160或200．
甲
乙
丙
【解析】依题意可得，整理得，
解得：，，即的值为160或200．
【总结】考查根据面积的相应表示进行列方程求解．
8.有一块长为80米，宽为50米的长方形绿地，其中有三条直路（图中的阴影部分，道路的一边AD与长方形绿地的一边平行，且道路的出入口AB、CD、EF、KI、GH、IJ的长度都相等，其余部分种植绿化）．已知道路的面积为352平方米，求道路出入口的边的长度
A
B
C
D
E
F
G
H
K
I
J
【难度】★★
【答案】
【解析】设边的长度为，依题意可得，
整理得，解得：，（舍），
即得路宽为．
【总结】考查根据面积的相应表示进行列方程求解．
A
B
C
P
Q
R
9.等腰Rt△中，，动点从点出发，沿向点移动.通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于16cm2．
【难度】★★
【答案】
【解析】设，则，由题意可知和
均为等腰直角三角形，依题意可得，
解得：，即长为．
【总结】考查动点问题的应用求解．
n
m
10.m、n为两条互相垂直的笔直公路，工厂A在公路n上，距公路m为1千米，B与工厂A在公路m的同侧，且距公路m为2千米，距公路n为3千米．现要在公路m上建造一个车站P，使它与A、B的距离之和为千米，求P的位置．
【难度】★★★
【答案】点P在两道路交点上下方或处．
【解析】以公路、分别为、轴建立平面直角坐标系，
依题意得，或，设，
依题意可得或，
整理得或，
解得：，，，，
经检验均是原方程的解，但，不符合题意，故舍去，
所以点P在两道路交点上下方或处．
【总结】考查根据题目条件建立平面直角坐标系进行点坐标的确定进而确定相应位置．
11.已知A（0，-1），B（0，4），点P在坐标轴上，且PA+PB=，求点P的坐标．
【难度】★★★
【答案】，，，．
【解析】当P在轴上时，设，依题意可得，
解得：，，即得，；
当P在轴上时，设，依题意可得，
解得：，，即得，．
【总结】考查根据题目条件进行相应作设求解，注意分类讨论．
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