人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积课堂检测

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知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：
知识点诠释：
求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．
知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．
1．圆柱的表面积
（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr．

（2）圆柱的表面积：．
2．圆锥的表面积
（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是．
（2）圆锥的表面积：S圆锥表=πr2+πr．

3．圆台的表面积
（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为π(r＇+r)，即圆台的侧面积为S圆台侧=π(r＇+r)．
（2）圆台的表面积：．
知识点诠释：
求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．
知识点三、柱体、锥体、台体的体积
1．柱体的体积公式
棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh．
圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．
综上，柱体的体积公式为V=Sh．
2．锥体的体积公式
棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积．
圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则．
综上，锥体的体积公式为．
3．台体的体积公式
棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是．
圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是
．
综上，台体的体积公式为．
知识点四、球的表面积和体积
1．球的表面积
（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积．
（2）球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积公式 S球=4πR2．
即球面面积等于它的大圆面积的四倍．
2．球的体积
设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．
球的体积公式为．
【典型例题】
类型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1．(2023·全国·高一）如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.
（1）求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；
（2）若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
解题技巧（求多面体表面积注意事项）
1．多面体的表面积转化为各面面积之和．
2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．
例2．(2023·全国·高三专题练习）如图所示，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为，点，，为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得，，重合，得到三棱锥，则当的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围.
例3．（2023·全国·高一课时练习）已知四面体S­ABC的棱长为a，各面均为等边三角形，求它的表面积．
例4．（2023·山东·枣庄八中高一期中）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3．说明过程，不要求严格证明，不考虑打印损耗的情况下，
（1）计算制作该模型所需原料的质量；
（2）计算该模型的表面积（精确到0.1）
参考数据：，，
类型二 棱柱、棱锥、棱台的体积
例5．（2023·全国·高一课时练习）已知一个六棱锥的高为10cm，底面是边长为6cm的正六边形，求这个六棱锥的体积．
解题技巧(求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项)
1．常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
2．求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
例6.（2023·安徽·安庆一中高一期中）已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.
例7．（2023·宁夏·青铜峡市高级中学高二阶段练习（理））如图所示，正方体的棱长为，连接，，，，，得到一个三棱锥．求：
（1）三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；
（2）三棱锥的体积．
例8.（2023·全国·高二课时练习）如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且△，△均为等边三角形，，，求该多面体的体积.
类型三 圆柱、圆锥、圆台的表面积
例9．（2023·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）如图，梯形满足，，，，，现将梯形绕所在直线旋转一周，所得几何体记为．求的表面积．
解题技巧（求旋转体表面积注意事项）
旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．
例10．（2023·陕西·西安市华山中学高一阶段练习）西安市建造圆锥形仓库用于储存粮食，已建的仓库底面直径为，高为.随着西安市经济的发展，粮食产量的增大，西安市拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的粮食.现有两种方案：一是新建的仓库底面半径比原来大（高不变）；二是高度增加（底面直径不变）.分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
例11．（2023·全国·高一课时练习）如图，直三棱柱的高为，底面三角形的边长分别为．以上、下底的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分形成的几何体的表面积．
类型四 圆柱、圆锥、圆台的体积
例12．（2023·全国·高一课时练习）如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为的圆柱．
（1）求出此圆锥的侧面积；
（2）用表示此圆柱的侧面积表达式；
（3）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．
解题技巧(求几何体积的常用方法)
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可．
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
例13．（2023·河北·邯山区新思路学本文化辅导学校高一阶段练习）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活.蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示.已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米.

图1 图2
（1）求该蒙古包的侧面积；
（2）求该蒙古包的体积.
例14．（2023·江西赣州·高二阶段练习（理））已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为2.
（1）求该圆锥的底面积；
（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求这个圆柱的体积.
例15．（2023·全国·高一课时练习）若圆锥的表面积是，侧面展开图的圆心角是，求圆锥的体积．
类型五 球的表面积与体积
例16．(2023·全国·高三专题练习）在中，，分别为中点，将沿折起得到三棱锥，三棱锥外接球的表面积为________.
解题技巧（与球有关问题的注意事项）
1．正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
2．球与正方体的各条棱相切
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝2a2 ，如图(2)．
3．长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝ a2+b2+c22 ，如图(3)．

4．正方体的外接球
正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝eq \r(3)a.
5．正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝eq \f(\r(6),2)a.
6、有关球的截面问题
常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.
例17．(2023·广东揭阳·高三期末）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．不能确定
例18.(2023·上海市杨浦高级中学高二期末）大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱(如图).以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积，则球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（ ）
A．B．C．D．
例19．（2023·全国·高三专题练习）正四面体的俯视图为边长为1的正方形（两条对角线一条是虚线一条是实线），则正四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例20．（2023·湖北孝感·高三期中）一个与球心距离为的平面截球所得的圆周长为，则球的表面积为___________.
例21．（2023·贵州师大附中高一阶段练习）在长方体中，AB=6，BC=8，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）在三棱柱内放一个体积为V的球，求V的最大值.
【同步练习】
一、单选题
1．(2023·浙江杭州·高二期末）如图所示，是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，其中，圆锥的底面和球的直径都是0.2m，圆锥的高是0.24m．要对1000个这样的台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，则共需胶（ ）克
A．340πB．440πC．4600πD．6600π
2．（2023·山东潍坊·高二期中）半径为 4 的半圆卷成一个圆锥， 则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·山东潍坊·高二期末）牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为和的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A，在内球表面上有一点B，连接AB，则线段AB长度的最小值是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．
4．(2023·广东湛江·高三阶段练习）圆柱容器内部盛有高度为的水，若放入一个圆锥（圆锥的底面与圆柱的底面正好重合）后，水恰好淹没圆锥的顶部，则圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·云南·高三期中（理））陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，已知该陀螺由密度为cm的木质材料做成，其总质量为，则此陀螺圆柱底面的面积为（ ）
A．10cmB．15cmC．16cmD．20cm
6．(2023·广东东莞·高三期末）“中国天眼”（如图1）是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高．若球面的半径是，球冠的高度是，则球冠的面积）．已知天眼的球冠的底的半径约为250米，天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为（ ）（参考数值）

A．52米B．104米C．130米D．156米
7．(2023·全国·高三专题练习）如图①，需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后的三视图均为图②所示，且平面A1BC1截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·广西·高二学业考试）我国南北朝时期的数学家祖冲之的儿子祖晦提出了著名的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是说，如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．根据这个原理，可推出球的体积公式为，其中是球的半径．已知球的半径等于3，那么它的体积等于（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·全国·高一）正三棱锥的外接球半径为2，底面边长为，则此三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知某圆锥的母线长为，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（ ）
A．圆锥的体积为
B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形
D．圆锥的内切球表面积为
11．（2023·全国·高一课时练习）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（ ）
A．正三棱锥高为3B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为D．正三棱锥的侧面积为
12．（2023·湖北·丹江口市第一中学高二阶段练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（ ）
A．该圆台轴截面面积为
B．该圆台的体积为
C．该圆台的母线与下底面所成的角为30°
D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
三、填空题
13．(2023·广西柳州·二模（文））阿基米德是伟大的古希腊哲学家､数学家和物理学家，他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且内切球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为___________.
14．(2023·新疆·高二期末）某学生到某工厂进行劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后的剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.（取）
15．(2023·河北深州市中学高三期末）四面体ABCD的顶点A，B，C，D在同一个球面上，．若该球的表面积为．则四面体ABCD体积的最大值为______．
16．(2023·全国·高三专题练习（理））四面ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为2，3，4．若四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为________．
四、解答题
17．(2023·上海浦东新·高二期末）已知某圆柱底面半径和母线长都是.
（1）求出该圆柱的表面积和体积；
（2）若圆锥与该圆柱底面半径､高都相等，求圆锥的侧面积.
18．（2023·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）如图为正四棱锥P - ABCD，PO⊥平面ABCD，BC = 3，PO = 2.
（1）求正四棱锥P - ABCD的体积；
（2）求正四棱锥P - ABCD的表面积.
19．(2023·全国·高三专题练习）某同学使用某品牌暖水瓶，其内胆规格如图所示．若水瓶内胆壁厚不计，且内胆如图分为①②③④四个部分，它们分别为一个半球、一个大圆柱、一个圆台和一个小圆柱体．若其中圆台部分的体积为，且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出．记盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为，求及圆台部分的高．
20．（2023·全国·高一课时练习）有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺母共重．如图，每一个螺母的底面是正六边形，边长为，内孔直径为，高为，这堆螺母大约有多少个？（可用计算工具，取）
21．(2023·全国·高一）如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积（其中）及其体积．
22．(2023·全国·高一）如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为，两底面对角线的长分别为，水深为.
（1）求正四棱台的体积；
（2）将一根长的玻璃棒放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度.（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）
23．（2023·全国·高一课时练习）如图，圆锥底面半径为1，高为2.
（1）求圆锥内接圆柱（一底面在圆锥底面上，另一底面切于圆锥侧面）侧面积的最大值；
（2）圆锥内接圆柱的表面积是否存在最大值？说明理由；
（3）若圆锥的底面半径为a，高为b，试讨论圆锥内接圆柱的全面积是否存在最大.
项目
名称
底面
侧面
棱柱
平面多边形
平行四边形
面积=底·高
棱锥
平面多边形
三角形
面积=·底·高
棱台
平面多边形
梯形
面积=·（上底+下底）·高
8.3 简单几何体的表面积与体积
【知识点梳理】
知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：
知识点诠释：
求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．
知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．
1．圆柱的表面积
（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr．

（2）圆柱的表面积：．
2．圆锥的表面积
（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是．
（2）圆锥的表面积：S圆锥表=πr2+πr．

3．圆台的表面积
（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为π(r＇+r)，即圆台的侧面积为S圆台侧=π(r＇+r)．
（2）圆台的表面积：．
知识点诠释：
求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．
知识点三、柱体、锥体、台体的体积
1．柱体的体积公式
棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh．
圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．
综上，柱体的体积公式为V=Sh．
2．锥体的体积公式
棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积．
圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则．
综上，锥体的体积公式为．
3．台体的体积公式
棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是．
圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是
．
综上，台体的体积公式为．
知识点四、球的表面积和体积
1．球的表面积
（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积．
（2）球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积公式 S球=4πR2．
即球面面积等于它的大圆面积的四倍．
2．球的体积
设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．
球的体积公式为．
【典型例题】
类型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1．(2023·全国·高一）如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.
（1）求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；
（2）若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
【解析】
（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为，
所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为，
棱台的侧面积为，
所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比.
（2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm，
因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm，
所以大棱锥的侧面积为，
所以棱台的侧面积为，
棱台的上，下底面的面积和为，
所以棱台的表面积为.
解题技巧（求多面体表面积注意事项）
1．多面体的表面积转化为各面面积之和．
2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．
例2．(2023·全国·高三专题练习）如图所示，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为，点，，为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得，，重合，得到三棱锥，则当的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围.
【详解】
解：由题可知，等边三角形的中心为，圆的半径为6，
设三棱锥的底面边长为，即等边三角形的边长为，
如图，连接，交与点，由题意可知，，
则，，
可知，即，则，
，则，
三棱锥的底面积为：，
由题可知，全等，则面积相等，
三棱锥的侧面积为：
，
所以三棱锥的表面积为：，
，，即，
所以当的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围是.
例3．（2023·全国·高一课时练习）已知四面体S­ABC的棱长为a，各面均为等边三角形，求它的表面积．
【详解】
如图所示，
由等边三角形的面积计算公式可得：的面积．
四面体的表面积为．
例4．（2023·山东·枣庄八中高一期中）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3．说明过程，不要求严格证明，不考虑打印损耗的情况下，
（1）计算制作该模型所需原料的质量；
（2）计算该模型的表面积（精确到0.1）
参考数据：，，
【详解】
解：（1）因为E，F，G，H，分别为所在矩形各棱的中点，所以四边形EFGH为菱形．
由AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，得
又因为O为长方体的中心，所四棱锥O﹣EFGH的高．
，
．
∴该模型体积为：
cm3．
∵3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，
∴制作该模型所需原料的质量为：132×0.9＝118.8g．
（2）记面的中心为，连接，，，
则，，．
由题意，四棱锥O﹣EFGH的四个侧面为全等三角形．
在等腰中，取的中点，连接，
，
所以．
∴该模型表面积为：
cm3
cm2．
类型二 棱柱、棱锥、棱台的体积
例5．（2023·全国·高一课时练习）已知一个六棱锥的高为10cm，底面是边长为6cm的正六边形，求这个六棱锥的体积．
【详解】
正六边形可以分成6个相同的等边三角形，故.
.
解题技巧(求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项)
1．常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
2．求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
例6.（2023·安徽·安庆一中高一期中）已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.
【详解】
如图所示，在三棱锥中，
、分别是上、下底面的中心，
、分别是、的中点，
连接、、、，
则、分别在、上，
则是三棱锥的高，记为，
是等腰梯形的高，也是三棱锥的斜高，记为，
所以；
上、下底面面积之和为，
由得：，即，
又，，
在直角梯形中，
，
则三棱锥的体积.
例7．（2023·宁夏·青铜峡市高级中学高二阶段练习（理））如图所示，正方体的棱长为，连接，，，，，得到一个三棱锥．求：
（1）三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；
（2）三棱锥的体积．
【详解】
（1）是正方体，
，
三棱锥的表面积为
而正方体的表面积为，
故三棱锥的表面积与正方体表面积的比值为
（2）三棱锥是完全一样的．
故
例8.（2023·全国·高二课时练习）如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且△，△均为等边三角形，，，求该多面体的体积.
【详解】
如图，分别过A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，，易得，
过点E作于点O，连接，易得，，
∴，
∴.
类型三 圆柱、圆锥、圆台的表面积
例9．（2023·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）如图，梯形满足，，，，，现将梯形绕所在直线旋转一周，所得几何体记为．求的表面积．
【详解】
几何体为圆柱与圆锥的组合体，圆锥和圆柱的底面半径为，圆锥的高为，圆柱的高，圆锥的母线长为
圆柱的侧面积为，
圆锥的侧面积为，
所以的表面积．
【点睛】
本题主要考查了旋转体的结构特征，表面积的计算，考查了学生的空间想象与计算能力，属于基础题．
解题技巧（求旋转体表面积注意事项）
旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．
例10．（2023·陕西·西安市华山中学高一阶段练习）西安市建造圆锥形仓库用于储存粮食，已建的仓库底面直径为，高为.随着西安市经济的发展，粮食产量的增大，西安市拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的粮食.现有两种方案：一是新建的仓库底面半径比原来大（高不变）；二是高度增加（底面直径不变）.分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
【详解】
（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成，半径为，
圆锥的母线长为（），
则仓库的表面积（），
如果按方案二，仓库的高变成，
圆锥的母线长为，
则仓库的表面积（）.
例11．（2023·全国·高一课时练习）如图，直三棱柱的高为，底面三角形的边长分别为．以上、下底的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分形成的几何体的表面积．
【详解】
因为，所以底面是直角三角形．
所以上、下底面内切圆半径．
所以，
类型四 圆柱、圆锥、圆台的体积
例12．（2023·全国·高一课时练习）如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为的圆柱．
（1）求出此圆锥的侧面积；
（2）用表示此圆柱的侧面积表达式；
（3）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．
【详解】
（1）圆锥的底面半径与高均为2，则圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为．
（2）设圆柱的半径为，
则，解得，且；
所以圆柱的侧面积为．
（3），；
当时，取得最大值为，
此时，圆柱的体积为．
解题技巧(求几何体积的常用方法)
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可．
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
例13．（2023·河北·邯山区新思路学本文化辅导学校高一阶段练习）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活.蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示.已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米.

图1 图2
（1）求该蒙古包的侧面积；
（2）求该蒙古包的体积.
【详解】
由题意可知米，米，米，米.
（1）圆锥部分的侧面积平方米.
圆柱部分的侧面积平方米.
故该蒙古包的侧面积平方米.
（2）圆锥部分的体积立方米，
圆柱部分的体积立方米.
故该蒙古包的体积立方米.
故答案为：（1）平方米；（2）立方米.
例14．（2023·江西赣州·高二阶段练习（理））已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为2.
（1）求该圆锥的底面积；
（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求这个圆柱的体积.
【详解】
（1）沿母线剪开，侧面展开图是以为半径的半圆，
设，在半圆中，，弧长为，
圆锥的底面周长，所以，所以，
故圆锥的底面积为.
（2）设圆柱的高，，在，，
因为，所以，即，，
圆柱侧面积，
对称轴，开口向下，取值最大值，此时，
所以当，时，圆柱的侧面积最大，
此时.
例15．（2023·全国·高一课时练习）若圆锥的表面积是，侧面展开图的圆心角是，求圆锥的体积．
【详解】
解：设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，
因为圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，则，所以．
又因为圆锥底面积，圆锥侧面积，
所以圆锥表面积，所以，
又因为，所以，
所以圆锥的体积为．
类型五 球的表面积与体积
例16．(2023·全国·高三专题练习）在中，，分别为中点，将沿折起得到三棱锥，三棱锥外接球的表面积为________.
答案：
【详解】
因为在中，，分别为中点，将沿折起得到三棱锥，
所以，
所以棱锥外接球可以转化为分别以六条棱为面对角线的长方体的外接球，设长方体的长宽高分别为，则，
即，
即长方体的外接球半径满足：，
故三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
解题技巧（与球有关问题的注意事项）
1．正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
2．球与正方体的各条棱相切
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝2a2 ，如图(2)．
3．长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝ a2+b2+c22 ，如图(3)．

4．正方体的外接球
正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝eq \r(3)a.
5．正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝eq \f(\r(6),2)a.
6、有关球的截面问题
常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.
例17．(2023·广东揭阳·高三期末）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．不能确定
答案：A
【详解】
因为圆柱的轴截面为正方形，设圆柱底面圆的半径为，其高，其外接球的半径，则圆柱的表面积，球的表面积，则圆柱的表面积与球的表面积之比为，
故选：.
例18.(2023·上海市杨浦高级中学高二期末）大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱(如图).以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积，则球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】
设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为
所以球的体积为, 表面积为.
圆柱的体积为：,所以其体积之比为：
圆柱的侧面积为：, 圆柱的表面积为：
所以其表面积之比为：
故选：C
例19．（2023·全国·高三专题练习）正四面体的俯视图为边长为1的正方形（两条对角线一条是虚线一条是实线），则正四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】
如图，该正四面体可以看成棱长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体，
所以正四面体的外接球，即为边长为1的正方体的外接球，
所以外接球的半径为，
则该外接球的表面积为，
故选：C.
例20．（2023·湖北孝感·高三期中）一个与球心距离为的平面截球所得的圆周长为，则球的表面积为___________.
答案：36π
【详解】
因为截面圆的周长为，
所以截面圆的半径为：,
又因为球心到截面的距离为，
所以球的半径为：，
所以球的表面积为，
故答案为：36π
例21．（2023·贵州师大附中高一阶段练习）在长方体中，AB=6，BC=8，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）在三棱柱内放一个体积为V的球，求V的最大值.
【详解】
（1）由长方体的几何特征知，到平面的距离为,
又,所以；
（2）设球的半径为R，若该球与三棱柱的三个侧面均相切，
则R为的内切圆的半径，则,
又，此时；
若该球与三棱柱的上下底面均相切，此时,;
所以在三棱柱内放一个体积为V的球，该球半径最大为2，
.
【同步练习】
一、单选题
1．(2023·浙江杭州·高二期末）如图所示，是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，其中，圆锥的底面和球的直径都是0.2m，圆锥的高是0.24m．要对1000个这样的台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，则共需胶（ ）克
A．340πB．440πC．4600πD．6600π
答案：C
分析：
求出圆锥的侧面积和半球面的面积后，然后乘以100，再乘以1000可得．
【详解】
由题意圆锥的母线长为，
所以台灯表面积为，
需胶重量为（克）．
故选：C．
2．（2023·山东潍坊·高二期中）半径为 4 的半圆卷成一个圆锥， 则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
根据圆锥的体积公式，结合半圆与圆锥展开图的关系进行求解即可.
【详解】
设圆锥的底面半径为，母线为，高为，
因为圆锥是由半径为 4 的半圆卷成，
所以，由，
由勾股定理可得：，
所以圆锥的体积为：，
故选：C
3．(2023·山东潍坊·高二期末）牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为和的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A，在内球表面上有一点B，连接AB，则线段AB长度的最小值是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．
答案：A
分析：
利用球的表面积公式分别求的外球和内球的半径，两半径之差即为所求.
【详解】
设外球和内球的半径分别为和,则,解得,
当B在大球的过A的半径上时AB的长最小，
∴AB长度的最小值是,
故选：A
4．(2023·广东湛江·高三阶段练习）圆柱容器内部盛有高度为的水，若放入一个圆锥（圆锥的底面与圆柱的底面正好重合）后，水恰好淹没圆锥的顶部，则圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
设圆柱的底面半径为r，圆锥的高为，根据体积关系列方程求解即可.
【详解】
设圆柱的底面半径为r，圆锥的高为，有，
解得.
故选:C.
5．（2023·云南·高三期中（理））陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，已知该陀螺由密度为cm的木质材料做成，其总质量为，则此陀螺圆柱底面的面积为（ ）
A．10cmB．15cmC．16cmD．20cm
答案：B
分析：
由密度、体积与质量的关系求体积，再应用圆柱、圆锥的体积公式列方程求底面面积.
【详解】
由题意，该陀螺的总体积为，
设底面半径为，则，解得，
故选：B．
6．(2023·广东东莞·高三期末）“中国天眼”（如图1）是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高．若球面的半径是，球冠的高度是，则球冠的面积）．已知天眼的球冠的底的半径约为250米，天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为（ ）（参考数值）

A．52米B．104米C．130米D．156米
答案：C
分析：
由，结合求解.
【详解】
由题意得：，则，
则，
所以，
所以，
故选：C
7．(2023·全国·高三专题练习）如图①，需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后的三视图均为图②所示，且平面A1BC1截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：
依题意可知，平面A1BC1截得小球的截面是三角形A1BC1的内切圆，通过截面面积即可求解小球的半径，则体积可求.
【详解】
设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，平面A1BC1截正方体，得边长为2a的正三角形，且球与以点B1为公共点的三个面的切点恰为△A1BC1三边的中点，则所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积.
如图，设△A1BC1的内切圆的圆心为O，A1C1的中点为M，则由图得∠OA1M＝30°，A1M＝a，△A1BC1的内切圆的半径OM＝a×tan 30°＝a，则所求的截面圆的面积是×a×a＝a2＝，解得a＝1.
所以小球的体积V＝×13＝.
故选：B.
8．（2023·广西·高二学业考试）我国南北朝时期的数学家祖冲之的儿子祖晦提出了著名的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是说，如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．根据这个原理，可推出球的体积公式为，其中是球的半径．已知球的半径等于3，那么它的体积等于（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
根据球的体积公式，将半径直接代入即可求解.
【详解】
解：.
故选：C.
二、多选题
9．(2023·全国·高一）正三棱锥的外接球半径为2，底面边长为，则此三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
答案：AB
分析：
首先设三棱锥的外接球的球心为，三角形的中心为，得到，再分类讨论求解三棱锥体积即可。
【详解】
设三棱锥的外接球的球心为，三角形的中心为，
由题知：，解得.
当外接球球心在线段上时，如图所示：
，，
所以.
当外接球球心在线段的延长线上时，如图所示：
，，
所以.
故选：AB
10．（2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知某圆锥的母线长为，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（ ）
A．圆锥的体积为
B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形
D．圆锥的内切球表面积为
答案：ACD
分析：
根据勾股定理求出圆锥的底面半径，再由圆锥的体积公式以及表面积公式可判断A、B、C；根据球的表面积公式可判断D.
【详解】
由题意圆锥的底面半径，圆锥的高，
所以圆锥的体积，故A正确；
圆锥的表面积，故B错误；
圆锥的侧面展开图是圆心角，故C正确；
，
作出圆锥内切球的轴截面，设圆锥的内切球半径为，
四边形为正方形，
所以，解得，
圆锥的内切球表面积，故D正确.
故选：ACD
11．（2023·全国·高一课时练习）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（ ）
A．正三棱锥高为3B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为D．正三棱锥的侧面积为
答案：ABD
分析：
先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的正误.
【详解】
设为等边三角形的中心，为的中点，连接，
则为正三棱锥的高，为斜高，
又，，故,
故AB正确.
而正三棱锥的体积为，侧面积为，
故C错误，D正确.
故选：ABD.
12．（2023·湖北·丹江口市第一中学高二阶段练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（ ）
A．该圆台轴截面面积为
B．该圆台的体积为
C．该圆台的母线与下底面所成的角为30°
D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
答案：ABD
分析：
求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断A；由台体的体积公式可判断B；由台体的母线与高可判断C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取的中点为，连接，可判断D.
【详解】
解：由，且，
可得，高，
则圆台轴截面面积为，故A正确；
圆台的体积为，故B正确；
圆台的母线与下底面所成的角为，其正弦值为，
所以，故C错误；
由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，
侧面展开图的圆心角为，
设的中点为，连接，
可得，，，
则，所以沿着该圆台表面，
从点到中点的最短距离为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．(2023·广西柳州·二模（文））阿基米德是伟大的古希腊哲学家､数学家和物理学家，他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且内切球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为___________.
答案：
分析：
先根据圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，求得其底面半径和高，进而求得圆柱的体积求解.
【详解】
设圆柱的底面半径为r，高为h，
因为圆柱的轴截面为正方形，
所以h=2r，
又因为其表面积为，
所以，
解得，，
所以圆柱的体积为，
所以该圆柱的内切球体积为，
故答案为：
14．(2023·新疆·高二期末）某学生到某工厂进行劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后的剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.（取）
答案：4500
分析：
根据题意可知大圆柱的底面圆的半径，两圆柱的高，设小圆柱的底面圆的半径为，再根据小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，求出小圆柱的底面圆的半径，然后求出该模型的体积，从而可得出答案.
【详解】
解：根据题意可知大圆柱的底面圆的半径，两圆柱的高，
设小圆柱的底面圆的半径为，
则有，即，解得，
所以该模型的体积为，
所以制作该模型所需原料的质量为.
故答案为：4500.
15．(2023·河北深州市中学高三期末）四面体ABCD的顶点A，B，C，D在同一个球面上，．若该球的表面积为．则四面体ABCD体积的最大值为______．
答案：
分析：
先由球的表面积为，求得球的半径，进而求得三棱锥的高，然后由四面体的高最大为求解.
【详解】
因为球的表面积为，
所以，
解得球的半径，
因为，
所以ABC的高为，
记四面体ABCD外接球球心为O，
则三棱锥的高为，
所以四面体ABCD体积的最大值为．
故答案为：
16．(2023·全国·高三专题练习（理））四面ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为2，3，4．若四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为________．
答案：29
分析：
四面体可以补形为一个长方体，长方体的对角线就是外接球的直径，求得外接球半径后可得表面积．
【详解】
依题意，原几何体是一个三棱锥，可以看作一条棱与底面垂直且其长度为4，底面是一个直角三角形，两直角边长分别为2，3，这个几何体可以看作是长、宽、高分别为2，3，4的长方体的一部分，则其外接球的半径为，
故这个球的表面积为S＝R2＝．
故答案为：．
四、解答题
17．(2023·上海浦东新·高二期末）已知某圆柱底面半径和母线长都是.
（1）求出该圆柱的表面积和体积；
（2）若圆锥与该圆柱底面半径､高都相等，求圆锥的侧面积.
答案：
（1）；
（2）
分析：
（1）、根据圆柱的表面积和体积公式计算即可；
（2）、先求出圆锥母线长，再根据圆锥侧面积公式计算即可.
（1）
圆柱底面半径和母线长都是,
；；
（2）
由题意可知圆锥底面半径､高为，
圆锥母线长为
.
18．（2023·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）如图为正四棱锥P - ABCD，PO⊥平面ABCD，BC = 3，PO = 2.
（1）求正四棱锥P - ABCD的体积；
（2）求正四棱锥P - ABCD的表面积.
答案：
（1）6；
（2）24.
分析：
（1）根据题意，结合锥体体积公式，即可求解；
（2）根据题意，结合棱锥表面积求法，即可求解.
（1）
根据题意，得.
（2）
如图所示，作的中点，连接，，
则，
故正四棱锥P - ABCD的表面积.
19．(2023·全国·高三专题练习）某同学使用某品牌暖水瓶，其内胆规格如图所示．若水瓶内胆壁厚不计，且内胆如图分为①②③④四个部分，它们分别为一个半球、一个大圆柱、一个圆台和一个小圆柱体．若其中圆台部分的体积为，且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出．记盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为，求及圆台部分的高．
答案：；
分析：
利用球、圆柱、圆台的体积公式即可求解.
【详解】
依题意可得，球的半径为，
体积，
大圆柱的体积，
小圆柱的体积，
所以盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为，
设圆台部分的高为，
则，
解得.
所以圆台的体积为，圆台部分的高为.
20．（2023·全国·高一课时练习）有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺母共重．如图，每一个螺母的底面是正六边形，边长为，内孔直径为，高为，这堆螺母大约有多少个？（可用计算工具，取）
答案：
分析：
计算出每个螺母的体积、质量，由此计算出螺母的个数.
【详解】
每个螺母的体积为：立方毫米，
所以每个螺母的质量为千克，
所以螺母个数个.
21．(2023·全国·高一）如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积（其中）及其体积．
答案：，
分析：
阴影部分旋转后，可看作是球体中间去掉两个同底的圆锥体，其表面积为外侧球体的表面积加上两个圆锥的侧面积，其体积为球体体积减掉两个圆锥的体积，计算求解即可.
【详解】
过O作几何体的截面如图所示，过C作于点，由题意得，
，，
，，.
，，，
.
又，
，
，
.
22．(2023·全国·高一）如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为，两底面对角线的长分别为，水深为.
（1）求正四棱台的体积；
（2）将一根长的玻璃棒放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度.（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）
答案：
（1）
（2）
分析：
（1）根据题意，结合台体的体积公式，即可求出结果.
（2）设玻璃棒在上的点为，玻璃棒与水面的交点为，过点作，交于点，过点作，交于点，推导出为等腰梯形，求出，，由正弦定理求出，由此能求出玻璃棒没入水中部分的长度．
（1）
解：由题意可知，下底面正方形的边长为，上底面正方形的边长为，
所以下底面面积为，上底面的面积，
又台体的高为，
所以正四棱台的体积
（2）
解：设玻璃棒在上的点为，则，玻璃棒与水面的交点为，在平面中，过点作，交于点，过点作，交于点，
∵为正四棱台，
∴，，
∴为等腰梯形，画出平面的平面图，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
，
根据正弦定理得：，
，
，
．
∴玻璃棒没入水中部分的长度为．
23．（2023·全国·高一课时练习）如图，圆锥底面半径为1，高为2.
（1）求圆锥内接圆柱（一底面在圆锥底面上，另一底面切于圆锥侧面）侧面积的最大值；
（2）圆锥内接圆柱的表面积是否存在最大值？说明理由；
（3）若圆锥的底面半径为a，高为b，试讨论圆锥内接圆柱的全面积是否存在最大.
答案：
（1）
（2）不存在，理由见解析
（3）存在最大值
分析：
（1）依题意作出圆锥的轴截面，设内接圆柱底面半径为，高为h，利用三角形相似得到，再利用基本不等式求出面积的最大值；
（2）由（1）可得，根据二次函数的性质判断可得；
（3）依题意可得，根据二次函数的性质计算可得；
（1）
解：作出轴截面如下图所示，
设内接圆柱底面半径为，高为h，，由，所以，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，此时侧面积最大；
（2）
解：由（1）可得
，而，故不存在最大值；
（3）
解：设圆柱底面半径为，高h，由，所以，所以
所以
当，即，二次函数开口向上，在内无最大值
当，即，一次函数在内也无最大值
当，即，二次函数开口向下，若区间内存在最大值，则对称轴
所以，综上当且仅当（圆锥高大于底面半径）时，圆锥的内接圆柱的全面积存在最大值；
项目
名称
底面
侧面
棱柱
平面多边形
平行四边形
面积=底·高
棱锥
平面多边形
三角形
面积=·底·高
棱台
平面多边形
梯形
面积=·（上底+下底）·高