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人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题02二次根式混合运算与化简求值重难点题型专训(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题02二次根式混合运算与化简求值重难点题型专训(原卷版+解析)，共51页。
题型一 二次根式混合运算20道
题型二 二次根式化简求值20道
【二次根式混合运算20道】
1．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）计算：
(1)×÷；
(2)（﹣）×；
(3)．
2．（2020秋·河南郑州·八年级校考期中）计算：
(1)．
(2)．
3．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考期中）计算：
(1)；
(2)．
4．（2023春·八年级单元测试）计算：
(1)；
(2)．
5．（2022春·八年级单元测试）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
6．（2023秋·山东济南·八年级山东省济南稼轩学校校考期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
7．（2021春·四川凉山·八年级校考期中）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
8．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）计算（写出详细的计算过程）
(1)
(2)
9．（2021春·广西南宁·八年级三美学校校考期中）计算：
(1)．
(2)．
10．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
11．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）计算：
(1)；
(2)．
12．（2022春·河南三门峡·八年级统考阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
13．（2022春·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
14．（2022秋·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
15．（2022秋·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
16．（2023·全国·九年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
17．（2022秋·八年级单元测试）计算下列各式．
(1)；
(2)．
18．（2022·全国·八年级专题练习）计算：．
19．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期中）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
20．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期中）计算下列各题：
(1)
(2)
(3)
(4)
【二次根式化简求值20道】
1．（2022春·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）（1）已知、为实数，且，求、的值．
（2）已知实数满足，求的值．
2．（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）已知，求下列各式的值；
(1)；
(2)．
3．（2021秋·陕西汉中·九年级统考期中）已知，，求代数式的值．
4．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）解答下列各题
(1)已知，．求的值．
(2)若，求的平方根．
5．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知，，求代数式的值．
6．（2022春·北京西城·八年级校考期中）已知：，，求代数式的值．
7．（2021春·辽宁葫芦岛·八年级校考阶段练习）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
8．（2022春·山东泰安·八年级校考期中）已知：a，b，求：
(1)；
(2)．
9．（2022春·江西新余·八年级新余市第一中学校考阶段练习）已知，求．
10．（2022春·安徽安庆·八年级安徽省安庆市外国语学校校考期中）已知，，求的值．
11．（2022春·重庆合川·八年级校考期中）先化简再求值：，其中．
12．（2021秋·山西运城·八年级校考阶段练习）（1）已知a＝（－1）（＋1）＋|1－|，b＝－，求b－a的算术平方根
（2）已知和互为相反数，且x－y＋4的平方根等于它本身，求x，y的值
13．（2022秋·八年级课时练习）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求值．
14．（2021春·湖北咸宁·八年级统考期末）阅读下面问题：
阅读理解：
应用计算：
（1）的值；
（2）（为正整数）的值．
归纳拓展：
（3）的值．
15．（2021春·广西百色·八年级统考期中）小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的：
∵．
∴．
∴，即．
∴，
∴．
请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题：
（1）分母有理化：______；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
16．（2023·全国·九年级专题练习）（1）已知x＝+2，y＝﹣2，求下列各式的值：
① ；
②x2﹣xy+y2；
（2）若＝8，则﹣＝ ．
17．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简
(2)若，
①求的值；
②直接写出代数式的值___________．
18．（2022秋·全国·八年级阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，将变成，即变成，从而使得以化简．
(1)例如，∵，
∴______，请完成填空．
(2)仿照上面的例子，请化简；
(3)利用上面的方法，设，，求A＋B的值．
19．（2020秋·湖南常德·八年级统考阶段练习）已知，求的值．小明同学是这样分析与解答的：
∵．
∴．
∴，即．
∴，
∴．
请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题：
(1)计算： ；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
20．（2022秋·四川内江·九年级校考期中）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
====．
再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）若，且a，m，n为正整数，求a的值．
专题02 二次根式混合运算与化简求值重难点题型专训
【题型目录】
题型一 二次根式混合运算20道
题型二 二次根式化简求值20道
【二次根式混合运算20道】
1．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）计算：
(1)×÷；
(2)（﹣）×；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次根式的乘除法计算，然后化成最简式子即可；
（2）先化简括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可；
（3）先化简，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）×÷
=
=
=4；
（2）()
=(3）
=6﹣6；
（3）
．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
2．（2020秋·河南郑州·八年级校考期中）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）逆用积的乘方法则，结合二次根式的性质进行计算即可；
（2）利用二次根式的性质化简，再进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：一般情况下先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据二次根式的四则混合运算，求解即可；
（2）根据乘方、绝对值、零指数幂等实数运算，求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
【点睛】此题考查了二次根式和实数的有关运算，涉及乘方，零指数幂等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
4．（2023春·八年级单元测试）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据二次根式的计算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题考查了二次根式的混合计算，掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并是关键．
5．（2022春·八年级单元测试）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先将二次根式化简，再进行二次根式的加减运算.
（2）直接化简二次根式，再利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
（3）先进行二次根式的除法运算，然后化简即可；
（4）按照二次根式的混合运算的顺序先乘方，再乘除，最后加减进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则是解题的关键．
6．（2023秋·山东济南·八年级山东省济南稼轩学校校考期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接化简二次根式，再合并同类二次根式得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则化简得出答案；
（3）直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、二次根式的乘法运算法则分别化简，进而得出答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
7．（2021春·四川凉山·八年级校考期中）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）先利用二次根式性质、绝对值的意义、负整数指数幂进行化简，然后在进行计算即可；
（2）先利用二次根式性质化简，然后再按照二次根式混合运算法则进行计算即可；
（3）借助平方差公式，利用二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，二次根式的性质，平方差公式，准确计算．
8．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）计算（写出详细的计算过程）
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据实数的混合计算法则和零指数幂计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，二次根式的混合计算，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
9．（2021春·广西南宁·八年级三美学校校考期中）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简二次根式、计算二次根式的乘法，再计算加减法即可得；
（2）先利用完全平方公式计算二次根式的乘法、计算负整数指数幂、化简绝对值，再计算加减法即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法与加减法、负整数指数幂，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
10．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)；
(2)1；
(3)0；
(4)．
【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（3）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（4）根据二次根式的分母有理化，混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算法则以及分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则以及分母有理化．
11．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)3
【分析】（1）先利用完全平方公式计算，然后利用平方差公式计算；
（2）先根据平方差公式和二次根式的乘除法则运算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
12．（2022春·河南三门峡·八年级统考阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据二次根式加减法的计算方法进行计算即可；
（2）利用二次根式乘除法的计算方法进行计算即可；
（3）利用二次根式混合运算的方法进行计算即可；
（4）利用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查平方差公式以及实数的运算，掌握平方差公式的结构特征以及实数运算方法是正确解答的前提．
13．（2022春·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先化简二次根式，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）根据平方差公式求解即可；
（3）先化简二次根式，然后根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（4）先化简二次根式，然后根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的性质化简，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
14．（2022秋·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）首先把除法转化为乘法，再根据乘法运算律，结合二次根式的乘法法则，计算即可；
（2）根据有理数的乘方、绝对值和去括号法则化简各式，然后合并即可；
（3）首先根据负整数指数幂的法则、二次根式的性质、绝对值的意义化简各式，然后利用平方差公式对分母有理化，再进行合并即可；
（4）根据平方差公式变形，然后再利用完全平方公式展开，再去括号计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、有理数的乘方、绝对值、完全平方公式、平方差公式，解本题的关键在熟练掌握二次根式的运算法则．
15．（2022秋·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）首先根据二次根式的加减法法则计算即可；
（2）首先根据二次根式的乘法运算法则计算即可；
（3）首先根据二次根式的乘法法则计算即可；
（4）根据二次根式的乘除法法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解本题的关键在熟练掌握二次根式的运算法则．
16．（2023·全国·九年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)4﹣2
(4)
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（3）先根据完全平方公式、平方差公式计算二次根式，然后再合并同类二次根式即可；
（4）先根据绝对值、分数次幂、分母有理化等知识点化简，然后再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
=
=．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式、绝对值、分数次幂、分母有理化等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．
17．（2022秋·八年级单元测试）计算下列各式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)6
(2)1
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（2022·全国·八年级专题练习）计算：．
【答案】
【分析】首先把每个式子分母有理化，化成根式的和、差形式即可化简求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确对二次根式进行分母有理化是解题的关键．
19．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期中）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)0
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由零指数幂的定义、二次根式的乘法法则解答；
（2）结合完全平方公式及二次根式的乘法法则解答；
（3）根据二次根式的性质计算，先乘除，再加减；
（4）先分母有理化，再合并同类二次根式．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及分母有理化、完全平方公式、零指数幂等指数，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
20．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期中）计算下列各题：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先化简各式，再进行加减计算即可；
（2）先将各式化简为最简二次根式，再进行加减计算即可；
（3）先将括号内各式化为最简二次根式，再进行乘法分配律计算即可；
（4）利用完全平方公式和平方差公式计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及到完全平方公式和平方差公式，以及二次根式的性质和化简，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算法则和顺序．
【二次根式化简求值20道】
1．（2022春·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）（1）已知、为实数，且，求、的值．
（2）已知实数满足，求的值．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件先求出a的值，进而求出b的值即可；
（2）根据二次根式有意义的条件得到，由此化简绝对值得到，两边平方即可得到答案．
【详解】解：（1）∵要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，化简绝对值，代数式求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
2．（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）已知，求下列各式的值；
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出，再根据进行求解即可；
（2）根据进行求解即可．
【详解】（1）解；∵，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．（2021秋·陕西汉中·九年级统考期中）已知，，求代数式的值．
【答案】24
【分析】先计算出，，，再利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】∵，，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，代数式求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式化简二次根式．
4．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）解答下列各题
(1)已知，．求的值．
(2)若，求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求出，再代入到代数式求值即可；
（1）根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，求出的值，然后代值求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
，
∴；
（2）解：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查代数式求值．熟练掌握二次根式的性质，以及二次根式的运算法则，是解题的关键．
5．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知，，求代数式的值．
【答案】2015
【分析】直接利用分母有理化将原式化简，再将多项式变形，进而代入得出答案．
【详解】解：∵x，
y，
．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键．
6．（2022春·北京西城·八年级校考期中）已知：，，求代数式的值．
【答案】
【分析】直接利用乘法公式求出和的值，再整理变形后代入求值即可．
【详解】∵，
∴，
∴
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用乘法公式进行整体代入是解题关键．
7．（2021春·辽宁葫芦岛·八年级校考阶段练习）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)10
(2)10
【分析】（1）先求出xy及x+y的值，再将因式分解，最后再整体代入求值；
（2）先将通分，再通过完全平方公式变形，最后代入求值．
（1）
（2）
【点睛】本题考查与二次根式相关的代数式求值问题，解题的关键是整体思想的应用．
8．（2022春·山东泰安·八年级校考期中）已知：a，b，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算的值，将原式因式分解后代入即可求解；
（2）先计算，根据分式的加法运算化简，然后根据平方差公式因式分解，将，的值代入即可求解．
（1）
解：∵a，b
∴，，
∴
；
（2）
解：，b
∴，，
∴
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，因式分解的应用，正确的计算是解题的关键．
9．（2022春·江西新余·八年级新余市第一中学校考阶段练习）已知，求．
【答案】3
【分析】先根据所给的式子进行因式分解求出，然后代入所求式子进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
当时，可以得到所求式子无意义，应该舍去，
∴，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，二次根式的化简求值，正确求出是解题的关键．
10．（2022春·安徽安庆·八年级安徽省安庆市外国语学校校考期中）已知，，求的值．
【答案】18
【分析】先将条件变形为：，，然后将结论变形，最后将化简后的条件代入变形后的式子就可以求出其值．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴ab＝1，，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次根式的分母有理化，完全平方公式 的运用，正确求出，是解答本题的关键．
11．（2022春·重庆合川·八年级校考期中）先化简再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先将原式中二次根式化为最简二次根式再合并，根据二次根式被开方数为非负数的性质分别求出、，最后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
原式
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式有意义的条件．解题的关键是能熟练把二次根式化为最简二次根式．
12．（2021秋·山西运城·八年级校考阶段练习）（1）已知a＝（－1）（＋1）＋|1－|，b＝－，求b－a的算术平方根
（2）已知和互为相反数，且x－y＋4的平方根等于它本身，求x，y的值
【答案】（1）1；（2）y=3，x=-1
【分析】（1）利用平方差公式和绝对值的计算法则求出a的值，根据二次根式的混合运算，负指数幂求出b，即可求解；
（2）由相反数的概念求出y，再根据x－y＋4的平方根等于它本身求出x即可．
【详解】（1）
；
b＝－
；
；
（2）因为和互为相反数，
所以y-1+4-2y=0，所以y=3，
因为x-y+4的平方根是它本身，
所以x-y+4=0，
因为y=3，所以x=-1．
【点睛】本题考查了实数的运算，平方差公式，相反数的概念，解题关键是掌握相关知识．
13．（2022秋·八年级课时练习）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求值．
【答案】（1）；（2）11
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案．
（2）先由x与y的值计算出x﹣y和xy的值，再代入原式＝x2﹣2xy+y2+xy＝（x﹣y）2+xy计算可得．
【详解】解：（1）原式
，
当时，原式．
（2）∵，，
∴，
，
原式＝x2﹣2xy+y2+xy
＝（x﹣y）2+xy
＝（2）2﹣1
＝12﹣1
＝11．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．
14．（2021春·湖北咸宁·八年级统考期末）阅读下面问题：
阅读理解：
应用计算：
（1）的值；
（2）（为正整数）的值．
归纳拓展：
（3）的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】由阅读部分分析即发现利用平方差公式使分母有理化即可得出答案．由此（1）分子、分母都乘以，再利用平方差公式化简即可；
（2）分子、分母都乘以，再利用平方差公式化简即可；
（3）结合（1）（2）和阅读材料，根据分母有理化化简之后可出现互为相反数的项，根据合并同类二次根式，可得答案．
【详解】（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，解题关键是找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．
15．（2021春·广西百色·八年级统考期中）小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的：
∵．
∴．
∴，即．
∴，
∴．
请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题：
（1）分母有理化：______；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）分子与分母都乘以，再利用平方差公式计算即可得到答案；
（2）先把每一项都分母有理化，再合并同类二次根式即可得到答案；
（3）先求解 再变形可得： 再整体代入即可得到答案.
【详解】解：（1）
（2）由（1）的启示可得：
（3），
【点睛】本题考查的是分母有理化，构建整体代入求解代数式的值，熟练运算方法是解题的关键.
16．（2023·全国·九年级专题练习）（1）已知x＝+2，y＝﹣2，求下列各式的值：
① ；
②x2﹣xy+y2；
（2）若＝8，则﹣＝ ．
【答案】（1）①；②19；（2）±．
【分析】（1）①根据x＝＋2，y＝−2，可以得到xy、x＋y的值，然后即可求得所求式子的值；
②将所求式子变形，然后根据x＝＋2，y＝−2，可以得到xy、x＋y的值，从而可以求得所求式子的值；
（2）根据完全平方公式和换元法可以求得所求式子的值．
【详解】解：（1）①＝，
∵x＝＋2，y＝−2，
∴x＋y＝2，xy＝3，
当x＋y＝2，xy＝3时，原式＝；
②x2−xy＋y2＝（x＋y）2−3xy，
∵x＝＋2，y＝−2，
∴x＋y＝2，xy＝3，
当x＋y＝，xy＝3时，原式＝（2）2−3×3＝19；
（2）设＝x，＝y，则39−a2＝x2，5＋a2＝y2，
∴x2＋y2＝44，
∵＋＝8，
∴（x＋y）2＝64，
∴x2＋2xy＋y2＝64，
∴2xy＝64−（x2＋y2）＝64−44＝20，
∴（x−y）2＝x2−2xy＋y2＝44−20＝24，
∴x−y＝±，
即﹣＝±，
故答案为：±．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值、分式的加减法、平方差公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
17．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简
(2)若，
①求的值；
②直接写出代数式的值___________．
【答案】(1)5
(2)①5，②0
【分析】（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值；
（2）①先把a分母有理化可得到，从而得到，再把式子进行整理，将代入计算即可求出值；②将式子整理成，再代入，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴
．
故答案为：0
【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，正确读懂例题，对二次根式进行化简是关键．
18．（2022秋·全国·八年级阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，将变成，即变成，从而使得以化简．
(1)例如，∵，
∴______，请完成填空．
(2)仿照上面的例子，请化简；
(3)利用上面的方法，设，，求A＋B的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次根式的性质：，即可得出相应结果．
（2）根据（1）中“”，将代数式转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果．
（3）根据题意，首先把A式和B式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把A式和B式的结果分别算出，最后把A式和B式再代入A＋B中，求出A＋B的值．
【详解】（1）∵
∴
故答案为：
（2）∵
∴．
（3）∵
∴
∵
∴
∴把A式和B式的值代入A＋B中，得：
【点睛】本题考查二次根式的化简求值问题，完全平方公式．解本题的关键在熟练掌握二次根式的性质：和熟练运用完全平方公式．
19．（2020秋·湖南常德·八年级统考阶段练习）已知，求的值．小明同学是这样分析与解答的：
∵．
∴．
∴，即．
∴，
∴．
请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题：
(1)计算： ；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)9
(3)4
【分析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先利用a＝＋2得到a−2＝，两边平方得到a2−4a＝1，然后利用整体代入的方法计算．
（1）
解：；
（2）
解：原式=== ；
（3）
解：∵．
∴．
∴，即．
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
20．（2022秋·四川内江·九年级校考期中）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
====．
再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）若，且a，m，n为正整数，求a的值．
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【分析】根据题目给出的方法即可求出答案．
【详解】(1);
(2) ;
(3)∵，
∴，，
∴
又∵为正整数，
∴，或者，
∴当时，；
当时，，
【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
题型一 二次根式混合运算20道
题型二 二次根式化简求值20道
【二次根式混合运算20道】
1．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）计算：
(1)×÷；
(2)（﹣）×；
(3)．
2．（2020秋·河南郑州·八年级校考期中）计算：
(1)．
(2)．
3．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考期中）计算：
(1)；
(2)．
4．（2023春·八年级单元测试）计算：
(1)；
(2)．
5．（2022春·八年级单元测试）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
6．（2023秋·山东济南·八年级山东省济南稼轩学校校考期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
7．（2021春·四川凉山·八年级校考期中）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
8．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）计算（写出详细的计算过程）
(1)
(2)
9．（2021春·广西南宁·八年级三美学校校考期中）计算：
(1)．
(2)．
10．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
11．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）计算：
(1)；
(2)．
12．（2022春·河南三门峡·八年级统考阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
13．（2022春·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
14．（2022秋·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
15．（2022秋·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
16．（2023·全国·九年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
17．（2022秋·八年级单元测试）计算下列各式．
(1)；
(2)．
18．（2022·全国·八年级专题练习）计算：．
19．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期中）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
20．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期中）计算下列各题：
(1)
(2)
(3)
(4)
【二次根式化简求值20道】
1．（2022春·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）（1）已知、为实数，且，求、的值．
（2）已知实数满足，求的值．
2．（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）已知，求下列各式的值；
(1)；
(2)．
3．（2021秋·陕西汉中·九年级统考期中）已知，，求代数式的值．
4．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）解答下列各题
(1)已知，．求的值．
(2)若，求的平方根．
5．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知，，求代数式的值．
6．（2022春·北京西城·八年级校考期中）已知：，，求代数式的值．
7．（2021春·辽宁葫芦岛·八年级校考阶段练习）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
8．（2022春·山东泰安·八年级校考期中）已知：a，b，求：
(1)；
(2)．
9．（2022春·江西新余·八年级新余市第一中学校考阶段练习）已知，求．
10．（2022春·安徽安庆·八年级安徽省安庆市外国语学校校考期中）已知，，求的值．
11．（2022春·重庆合川·八年级校考期中）先化简再求值：，其中．
12．（2021秋·山西运城·八年级校考阶段练习）（1）已知a＝（－1）（＋1）＋|1－|，b＝－，求b－a的算术平方根
（2）已知和互为相反数，且x－y＋4的平方根等于它本身，求x，y的值
13．（2022秋·八年级课时练习）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求值．
14．（2021春·湖北咸宁·八年级统考期末）阅读下面问题：
阅读理解：
应用计算：
（1）的值；
（2）（为正整数）的值．
归纳拓展：
（3）的值．
15．（2021春·广西百色·八年级统考期中）小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的：
∵．
∴．
∴，即．
∴，
∴．
请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题：
（1）分母有理化：______；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
16．（2023·全国·九年级专题练习）（1）已知x＝+2，y＝﹣2，求下列各式的值：
① ；
②x2﹣xy+y2；
（2）若＝8，则﹣＝ ．
17．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简
(2)若，
①求的值；
②直接写出代数式的值___________．
18．（2022秋·全国·八年级阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，将变成，即变成，从而使得以化简．
(1)例如，∵，
∴______，请完成填空．
(2)仿照上面的例子，请化简；
(3)利用上面的方法，设，，求A＋B的值．
19．（2020秋·湖南常德·八年级统考阶段练习）已知，求的值．小明同学是这样分析与解答的：
∵．
∴．
∴，即．
∴，
∴．
请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题：
(1)计算： ；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
20．（2022秋·四川内江·九年级校考期中）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
====．
再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）若，且a，m，n为正整数，求a的值．
专题02 二次根式混合运算与化简求值重难点题型专训
【题型目录】
题型一 二次根式混合运算20道
题型二 二次根式化简求值20道
【二次根式混合运算20道】
1．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）计算：
(1)×÷；
(2)（﹣）×；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次根式的乘除法计算，然后化成最简式子即可；
（2）先化简括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可；
（3）先化简，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）×÷
=
=
=4；
（2）()
=(3）
=6﹣6；
（3）
．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
2．（2020秋·河南郑州·八年级校考期中）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）逆用积的乘方法则，结合二次根式的性质进行计算即可；
（2）利用二次根式的性质化简，再进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：一般情况下先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据二次根式的四则混合运算，求解即可；
（2）根据乘方、绝对值、零指数幂等实数运算，求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
【点睛】此题考查了二次根式和实数的有关运算，涉及乘方，零指数幂等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
4．（2023春·八年级单元测试）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据二次根式的计算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题考查了二次根式的混合计算，掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并是关键．
5．（2022春·八年级单元测试）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先将二次根式化简，再进行二次根式的加减运算.
（2）直接化简二次根式，再利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
（3）先进行二次根式的除法运算，然后化简即可；
（4）按照二次根式的混合运算的顺序先乘方，再乘除，最后加减进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则是解题的关键．
6．（2023秋·山东济南·八年级山东省济南稼轩学校校考期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接化简二次根式，再合并同类二次根式得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则化简得出答案；
（3）直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、二次根式的乘法运算法则分别化简，进而得出答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
7．（2021春·四川凉山·八年级校考期中）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）先利用二次根式性质、绝对值的意义、负整数指数幂进行化简，然后在进行计算即可；
（2）先利用二次根式性质化简，然后再按照二次根式混合运算法则进行计算即可；
（3）借助平方差公式，利用二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，二次根式的性质，平方差公式，准确计算．
8．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）计算（写出详细的计算过程）
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据实数的混合计算法则和零指数幂计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，二次根式的混合计算，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
9．（2021春·广西南宁·八年级三美学校校考期中）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简二次根式、计算二次根式的乘法，再计算加减法即可得；
（2）先利用完全平方公式计算二次根式的乘法、计算负整数指数幂、化简绝对值，再计算加减法即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法与加减法、负整数指数幂，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
10．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)；
(2)1；
(3)0；
(4)．
【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（3）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（4）根据二次根式的分母有理化，混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算法则以及分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则以及分母有理化．
11．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)3
【分析】（1）先利用完全平方公式计算，然后利用平方差公式计算；
（2）先根据平方差公式和二次根式的乘除法则运算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
12．（2022春·河南三门峡·八年级统考阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据二次根式加减法的计算方法进行计算即可；
（2）利用二次根式乘除法的计算方法进行计算即可；
（3）利用二次根式混合运算的方法进行计算即可；
（4）利用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查平方差公式以及实数的运算，掌握平方差公式的结构特征以及实数运算方法是正确解答的前提．
13．（2022春·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先化简二次根式，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）根据平方差公式求解即可；
（3）先化简二次根式，然后根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（4）先化简二次根式，然后根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的性质化简，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
14．（2022秋·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）首先把除法转化为乘法，再根据乘法运算律，结合二次根式的乘法法则，计算即可；
（2）根据有理数的乘方、绝对值和去括号法则化简各式，然后合并即可；
（3）首先根据负整数指数幂的法则、二次根式的性质、绝对值的意义化简各式，然后利用平方差公式对分母有理化，再进行合并即可；
（4）根据平方差公式变形，然后再利用完全平方公式展开，再去括号计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、有理数的乘方、绝对值、完全平方公式、平方差公式，解本题的关键在熟练掌握二次根式的运算法则．
15．（2022秋·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）首先根据二次根式的加减法法则计算即可；
（2）首先根据二次根式的乘法运算法则计算即可；
（3）首先根据二次根式的乘法法则计算即可；
（4）根据二次根式的乘除法法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解本题的关键在熟练掌握二次根式的运算法则．
16．（2023·全国·九年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)4﹣2
(4)
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（3）先根据完全平方公式、平方差公式计算二次根式，然后再合并同类二次根式即可；
（4）先根据绝对值、分数次幂、分母有理化等知识点化简，然后再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
=
=．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式、绝对值、分数次幂、分母有理化等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．
17．（2022秋·八年级单元测试）计算下列各式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)6
(2)1
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（2022·全国·八年级专题练习）计算：．
【答案】
【分析】首先把每个式子分母有理化，化成根式的和、差形式即可化简求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确对二次根式进行分母有理化是解题的关键．
19．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期中）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)0
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由零指数幂的定义、二次根式的乘法法则解答；
（2）结合完全平方公式及二次根式的乘法法则解答；
（3）根据二次根式的性质计算，先乘除，再加减；
（4）先分母有理化，再合并同类二次根式．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及分母有理化、完全平方公式、零指数幂等指数，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
20．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期中）计算下列各题：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先化简各式，再进行加减计算即可；
（2）先将各式化简为最简二次根式，再进行加减计算即可；
（3）先将括号内各式化为最简二次根式，再进行乘法分配律计算即可；
（4）利用完全平方公式和平方差公式计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及到完全平方公式和平方差公式，以及二次根式的性质和化简，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算法则和顺序．
【二次根式化简求值20道】
1．（2022春·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）（1）已知、为实数，且，求、的值．
（2）已知实数满足，求的值．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件先求出a的值，进而求出b的值即可；
（2）根据二次根式有意义的条件得到，由此化简绝对值得到，两边平方即可得到答案．
【详解】解：（1）∵要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，化简绝对值，代数式求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
2．（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）已知，求下列各式的值；
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出，再根据进行求解即可；
（2）根据进行求解即可．
【详解】（1）解；∵，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．（2021秋·陕西汉中·九年级统考期中）已知，，求代数式的值．
【答案】24
【分析】先计算出，，，再利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】∵，，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，代数式求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式化简二次根式．
4．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）解答下列各题
(1)已知，．求的值．
(2)若，求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求出，再代入到代数式求值即可；
（1）根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，求出的值，然后代值求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
，
∴；
（2）解：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查代数式求值．熟练掌握二次根式的性质，以及二次根式的运算法则，是解题的关键．
5．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知，，求代数式的值．
【答案】2015
【分析】直接利用分母有理化将原式化简，再将多项式变形，进而代入得出答案．
【详解】解：∵x，
y，
．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键．
6．（2022春·北京西城·八年级校考期中）已知：，，求代数式的值．
【答案】
【分析】直接利用乘法公式求出和的值，再整理变形后代入求值即可．
【详解】∵，
∴，
∴
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用乘法公式进行整体代入是解题关键．
7．（2021春·辽宁葫芦岛·八年级校考阶段练习）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)10
(2)10
【分析】（1）先求出xy及x+y的值，再将因式分解，最后再整体代入求值；
（2）先将通分，再通过完全平方公式变形，最后代入求值．
（1）
（2）
【点睛】本题考查与二次根式相关的代数式求值问题，解题的关键是整体思想的应用．
8．（2022春·山东泰安·八年级校考期中）已知：a，b，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算的值，将原式因式分解后代入即可求解；
（2）先计算，根据分式的加法运算化简，然后根据平方差公式因式分解，将，的值代入即可求解．
（1）
解：∵a，b
∴，，
∴
；
（2）
解：，b
∴，，
∴
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，因式分解的应用，正确的计算是解题的关键．
9．（2022春·江西新余·八年级新余市第一中学校考阶段练习）已知，求．
【答案】3
【分析】先根据所给的式子进行因式分解求出，然后代入所求式子进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
当时，可以得到所求式子无意义，应该舍去，
∴，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，二次根式的化简求值，正确求出是解题的关键．
10．（2022春·安徽安庆·八年级安徽省安庆市外国语学校校考期中）已知，，求的值．
【答案】18
【分析】先将条件变形为：，，然后将结论变形，最后将化简后的条件代入变形后的式子就可以求出其值．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴ab＝1，，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次根式的分母有理化，完全平方公式 的运用，正确求出，是解答本题的关键．
11．（2022春·重庆合川·八年级校考期中）先化简再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先将原式中二次根式化为最简二次根式再合并，根据二次根式被开方数为非负数的性质分别求出、，最后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
原式
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式有意义的条件．解题的关键是能熟练把二次根式化为最简二次根式．
12．（2021秋·山西运城·八年级校考阶段练习）（1）已知a＝（－1）（＋1）＋|1－|，b＝－，求b－a的算术平方根
（2）已知和互为相反数，且x－y＋4的平方根等于它本身，求x，y的值
【答案】（1）1；（2）y=3，x=-1
【分析】（1）利用平方差公式和绝对值的计算法则求出a的值，根据二次根式的混合运算，负指数幂求出b，即可求解；
（2）由相反数的概念求出y，再根据x－y＋4的平方根等于它本身求出x即可．
【详解】（1）
；
b＝－
；
；
（2）因为和互为相反数，
所以y-1+4-2y=0，所以y=3，
因为x-y+4的平方根是它本身，
所以x-y+4=0，
因为y=3，所以x=-1．
【点睛】本题考查了实数的运算，平方差公式，相反数的概念，解题关键是掌握相关知识．
13．（2022秋·八年级课时练习）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求值．
【答案】（1）；（2）11
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案．
（2）先由x与y的值计算出x﹣y和xy的值，再代入原式＝x2﹣2xy+y2+xy＝（x﹣y）2+xy计算可得．
【详解】解：（1）原式
，
当时，原式．
（2）∵，，
∴，
，
原式＝x2﹣2xy+y2+xy
＝（x﹣y）2+xy
＝（2）2﹣1
＝12﹣1
＝11．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．
14．（2021春·湖北咸宁·八年级统考期末）阅读下面问题：
阅读理解：
应用计算：
（1）的值；
（2）（为正整数）的值．
归纳拓展：
（3）的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】由阅读部分分析即发现利用平方差公式使分母有理化即可得出答案．由此（1）分子、分母都乘以，再利用平方差公式化简即可；
（2）分子、分母都乘以，再利用平方差公式化简即可；
（3）结合（1）（2）和阅读材料，根据分母有理化化简之后可出现互为相反数的项，根据合并同类二次根式，可得答案．
【详解】（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，解题关键是找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．
15．（2021春·广西百色·八年级统考期中）小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的：
∵．
∴．
∴，即．
∴，
∴．
请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题：
（1）分母有理化：______；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）分子与分母都乘以，再利用平方差公式计算即可得到答案；
（2）先把每一项都分母有理化，再合并同类二次根式即可得到答案；
（3）先求解 再变形可得： 再整体代入即可得到答案.
【详解】解：（1）
（2）由（1）的启示可得：
（3），
【点睛】本题考查的是分母有理化，构建整体代入求解代数式的值，熟练运算方法是解题的关键.
16．（2023·全国·九年级专题练习）（1）已知x＝+2，y＝﹣2，求下列各式的值：
① ；
②x2﹣xy+y2；
（2）若＝8，则﹣＝ ．
【答案】（1）①；②19；（2）±．
【分析】（1）①根据x＝＋2，y＝−2，可以得到xy、x＋y的值，然后即可求得所求式子的值；
②将所求式子变形，然后根据x＝＋2，y＝−2，可以得到xy、x＋y的值，从而可以求得所求式子的值；
（2）根据完全平方公式和换元法可以求得所求式子的值．
【详解】解：（1）①＝，
∵x＝＋2，y＝−2，
∴x＋y＝2，xy＝3，
当x＋y＝2，xy＝3时，原式＝；
②x2−xy＋y2＝（x＋y）2−3xy，
∵x＝＋2，y＝−2，
∴x＋y＝2，xy＝3，
当x＋y＝，xy＝3时，原式＝（2）2−3×3＝19；
（2）设＝x，＝y，则39−a2＝x2，5＋a2＝y2，
∴x2＋y2＝44，
∵＋＝8，
∴（x＋y）2＝64，
∴x2＋2xy＋y2＝64，
∴2xy＝64−（x2＋y2）＝64−44＝20，
∴（x−y）2＝x2−2xy＋y2＝44−20＝24，
∴x−y＝±，
即﹣＝±，
故答案为：±．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值、分式的加减法、平方差公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
17．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简
(2)若，
①求的值；
②直接写出代数式的值___________．
【答案】(1)5
(2)①5，②0
【分析】（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值；
（2）①先把a分母有理化可得到，从而得到，再把式子进行整理，将代入计算即可求出值；②将式子整理成，再代入，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴
．
故答案为：0
【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，正确读懂例题，对二次根式进行化简是关键．
18．（2022秋·全国·八年级阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，将变成，即变成，从而使得以化简．
(1)例如，∵，
∴______，请完成填空．
(2)仿照上面的例子，请化简；
(3)利用上面的方法，设，，求A＋B的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次根式的性质：，即可得出相应结果．
（2）根据（1）中“”，将代数式转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果．
（3）根据题意，首先把A式和B式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把A式和B式的结果分别算出，最后把A式和B式再代入A＋B中，求出A＋B的值．
【详解】（1）∵
∴
故答案为：
（2）∵
∴．
（3）∵
∴
∵
∴
∴把A式和B式的值代入A＋B中，得：
【点睛】本题考查二次根式的化简求值问题，完全平方公式．解本题的关键在熟练掌握二次根式的性质：和熟练运用完全平方公式．
19．（2020秋·湖南常德·八年级统考阶段练习）已知，求的值．小明同学是这样分析与解答的：
∵．
∴．
∴，即．
∴，
∴．
请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题：
(1)计算： ；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)9
(3)4
【分析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先利用a＝＋2得到a−2＝，两边平方得到a2−4a＝1，然后利用整体代入的方法计算．
（1）
解：；
（2）
解：原式=== ；
（3）
解：∵．
∴．
∴，即．
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
20．（2022秋·四川内江·九年级校考期中）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
====．
再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）若，且a，m，n为正整数，求a的值．
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【分析】根据题目给出的方法即可求出答案．
【详解】(1);
(2) ;
(3)∵，
∴，，
∴
又∵为正整数，
∴，或者，
∴当时，；
当时，，
【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
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