人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题06求最短路径与线段长度最小值问题(40道)专训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题06求最短路径与线段长度最小值问题(40道)专训(原卷版+解析)，共65页。

1．（2022秋·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，长方体中，，，，一蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点处受食，则蚂蚁所行路程的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2020春·重庆璧山·八年级重庆市璧山中学校校考期中）如图，有一个长方体纸盒，底边AB长为3cm，宽BC长为2cm，高BF为5cm．在点A处有一只蚂蚁沿纸盒的外表面爬到G处，蚂蚁走的最短路径长为（ ）cm．
A．B．C．D．7.2
3．（2022秋·江苏·八年级统考期中）如图，圆柱形玻璃容器高20cm，底面圆的周长为48cm，在外侧距下底1cm的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度（ ）cm．
A．52B．C．60D．30
4．（2022春·湖南益阳·七年级统考期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（ ）（杯壁厚度不计）
A．B．C．D．
5．（2021春·重庆铜梁·八年级统考期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为（ ）
A．25B．C．D．
6．（2022秋·八年级单元测试）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，且，要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点P是上一点，且，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋·八年级课时练习）如图，矩形ABCD中，，，E为BC边上的动点，F为CD的中点，连接AE，EF，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．4
9．（2020秋·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期中）在中，，，若点P在边上移动，则的最小值是（ ）
A．4B．C．5D．
10．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在中，点D，E分别是边、上的两点，连接，，，已知，，则的最小值是（ ）
A．B．10C．9.6D．
11．（2022秋·全国·八年级期末）如图，在中，，，D为上一动点，，，则的最小值等于（ ）
A．4B．C．D．
12．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，以为边在外作 ，且，则的最小值是 （ ）
A．B．C．D．
13．（2022秋·福建宁德·八年级统考期中）如图，已知，P是线段上的任意一点，在的同侧分别以为边作等边三角形和等边三角形，则的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
14．（2022春·福建厦门·八年级统考期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是（ ）
A．B．8C．10D．34
15．（2022春·陕西西安·八年级校考阶段练习）在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出以下四个结论：当∠EPF在△ABC内绕P旋转时（点E不与A、B重合），①AE＝CF；②EF＝AP；③△EPF是等腰直角三角形；④；⑤EF的最小值为；⑥则正确结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
16．（2022春·广东江门·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，长为2的线段（点在点右侧）在轴上移动，，，连接，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
17．（2022秋·陕西榆林·八年级校考阶段练习）如图，一个长方体盒子，，则沿盒子表面从A点到D点的最短路程是_____．
18．（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为20cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm，则该圆柱底面周长为 _____．
19．（2022秋·辽宁丹东·八年级统考期末）如图所示的长方体，，，点F是DE的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面爬到点F，则蚂蚁爬行的最短距离为_____．
20．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘，点在上，．一名滑雪爱好者从点滑到点时，他滑行的最短路程约为______（取3）．
21．（2021秋·陕西渭南·八年级统考期中）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去受食，那么它爬行的最短路程是______．
22．（2022秋·陕西榆林·八年级统考期末）如图，长方体盒子的底面是边长为的正方形，高为，棱的中点O处有一只蚂蚁，它想吃到顶点B处的食物，则蚂蚁沿长方体表面爬行的最短路程是____________．（结果保留根号）
23．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）如图，中，，，点为边上一点，，点为边的中点，连接，点为线段上的动点，连接，，则的最小值为___________．
24．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，为等边三角形，平分，的面积为，点为上动点，连接，则的最小值为 __．
25．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在四边形中，，，，点P是线段上的动点，连接，，若周长的最小值为16，则的长为_________________．
26．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，菱形的边长为4，，点是边上一动点（不与，重合），点是边上一动点，，面积的最小值为______
27．（2021春·四川成都·八年级校考期中）如图，在中，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是_____________．
28．（2022·全国·八年级专题练习）如图，长方形中，，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为_______．
29．（2022秋·河南驻马店·八年级校考期中）如图，一个长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的侧面从点A爬到点B那么需要爬行的最短距离是多少？
30．（2023春·八年级单元测试）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上．
(1)若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
(2)若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
31．（2023春·八年级单元测试）如图，，两个工厂位于一段直线形河的异侧，厂距离河边，B厂距离河边，经测量，现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理厂．
(1)设，请用的代数式表示的长；
(2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂的位置应怎样来确定此时需要管道多长？
(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？
32．（2022秋·陕西汉中·八年级统考期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
【知识运用】
(1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米．
(2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离．
(3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ．
33．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．
(2)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_____．
(3)问题解决：如图②，展开图中_____，_____．
(4)这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是_____．
34．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答：
(1)用语言叙述勾股定理；
(2)选择图1、图2、图3中一个图形来验证勾股定理；
(3)利用勾股定理来解决下列问题：
如图4，一个长方体的长为8，宽为3，高为5．在长方体的底面上一点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上A与点相对的B点处的食物，则蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少?（画出图形，并说明理由）
35．（2021秋·山东济南·八年级统考期中）在中，，，，的中垂线交于D，交于点E．
(1)如图1，连接，请求出的长；
(2)如图2，延长交的延长线于点F，连接，请求出的长；
(3)如图3，点P为直线上一动点，点Q为直线上一动点，则的最小值为 ．
36．（2023春·全国·八年级专题练习）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
【知识运用】
(1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米．
(2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离．
(3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ．
37．（2022秋·江苏·八年级专题练习）直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
(1)几何应用：如图2，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为___________；
(2)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点M、N使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．
38．（2022秋·重庆·八年级重庆市石柱中学校校考阶段练习）如图1，在中，，D、E在边上，连接．
(1)若，则=_____°；
(2)如图2，，F为上一点，连接，且，M为中点，连接，证明：．
(3)如图3，，F为的中点，连接，点M在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值．
39．（2022秋·江苏连云港·八年级连云港市新海实验中学校考期中）如图，长方形（对边平行且相等，四个角都是直角）中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．
(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，求周长的最小值．
40．（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图1，在直线l上找一点C，使最短，并在图中标出点C
【简单应用】
（1）如图2，在等边中，，E是的中点，M是上的一点，求的最小值，借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线对称，连接，的最小值就是线段 的长度，则的最小值是 ；
（2）如图3，在四边形中，，在上分别找一点M、N，当周长最小时， °．
【拓展应用】
如图4，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB＝30°，OA＝1千米，OB＝2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．
专题06 求最短路径与线段长度最小值问题（40道） 专训
【最短路径与线段长度最小值问题40道】
1．（2022秋·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，长方体中，，，，一蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点处受食，则蚂蚁所行路程的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．注意不同的展法，答案不同，需要分别分析．
【详解】解：如图将长方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线．
①如图1，
∵AB=3，BC=2，=1，
∴在中，AC=AB+BC=5，，
∴；
②如图2，
∵AB=3，BC=2，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴蚂蚁所行路程的最小值为．
故选：B．
【点睛】此题考查了最短路径问题．解决本题的关键是熟练掌握用勾股定理的应用，要注意数形结合思想的应用．
2．（2020春·重庆璧山·八年级重庆市璧山中学校校考期中）如图，有一个长方体纸盒，底边AB长为3cm，宽BC长为2cm，高BF为5cm．在点A处有一只蚂蚁沿纸盒的外表面爬到G处，蚂蚁走的最短路径长为（ ）cm．
A．B．C．D．7.2
【答案】C
【分析】分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段AB的长度，再进行比较即可．
【详解】解：①如图1，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，
∵∠ACG=90°，AC=3+2=5(cm)，CG=5cm，
在Rt△ACG中，由勾股定理得：AG=(cm)；
②如图2，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，
∵∠ABG=90°，AB=3cm，BG=5+2=7(cm)，
在Rt△ACBG中，由勾股定理得：AG=(cm)；
③如图3，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，
∵∠AFG=90°，AF=5+3=8，FG=2，
在Rt△AFG中，由勾股定理得：AG=(cm)．
∵，
∴蚂蚁爬行的最短路程是cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．
3．（2022秋·江苏·八年级统考期中）如图，圆柱形玻璃容器高20cm，底面圆的周长为48cm，在外侧距下底1cm的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度（ ）cm．
A．52B．C．60D．30
【答案】D
【分析】先把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点，根据两点之间线段最短得到最短路线长度为 的长度，然后根据勾股定理计算的长即可．
【详解】解：把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点，
作BH⊥MN于H，BH=×48=24，MH=1， ，
∴，
在 中， =30cm．
故选D．
【点睛】此题考查平面展开-最短路径问题，画出正确的平面展开图，作出辅助线构造直角三角形利用勾股定理求解是解题关键．
4．（2022春·湖南益阳·七年级统考期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（ ）（杯壁厚度不计）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点，
连接，则即为最短距离，
在直角中，由勾股定理得
．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
5．（2021春·重庆铜梁·八年级统考期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为（ ）
A．25B．C．D．
【答案】A
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：将长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴；
将长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴；
将长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴AC=CD+AD=20+10=30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴；
∵25＜＜，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25，
故选：A．
【点睛】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理解三角形，解题关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
6．（2022秋·八年级单元测试）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，且，要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可．
【详解】解：如图所示：作A点关于直线MN的对称点，再连接，交直线MN于点P，
则此时最小，过点B作交延长线于点E，
∵AC=2km，BD=4km，CD=8km，
∴（km），=4km，
∴km，km，
在中，
（km），
则的最小值为：10 km．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．
7．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点P是上一点，且，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆柱的侧面展开可得AC=12cm，由PC=5BP求得PC，再利用勾股定理求得AP即可；
【详解】解：沿点A所在圆柱的高将圆柱展开可得：
∵BC=6cm，PC=5BP，
∴6BP=6cm
∴PC=5cm，
∵圆柱的底面周长为，AC是底面圆的直径，
∴AC=底面周长=12cm，
∴A点到P点的最短距离为线段AP的长，
Rt△ACP中，AP=cm
故选： D．
【点睛】本题考查了圆柱侧面展开，两点之间线段最短，勾股定理，掌握圆柱的侧面展开特征是解题关键．
8．（2022秋·八年级课时练习）如图，矩形ABCD中，，，E为BC边上的动点，F为CD的中点，连接AE，EF，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】由题意即可推出AE，CF，EC的长度，根据勾股定理即可推出AE，EF，AF的长度，即可推出△AEF为等腰直角三角形，进行解答即可．
【详解】解：∵矩形ABCD中，AB=2，AD=3，
∴CD=2，BC=3，
∵F为CD的中点，
∴DF=BE=1，
∴EC=2，CF=1，
∴AE2=5，EF2=5，AF2=10，
∴AE=EF，
∵AE2+EF2=AF2，
∴的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理，关键在于根据题意，推出AE=EF，AE2+EF2=AF2．
9．（2020秋·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期中）在中，，，若点P在边上移动，则的最小值是（ ）
A．4B．C．5D．
【答案】D
【分析】作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可．
【详解】解：作AD⊥BC于点D，如图，
∵，，
∴，，
根据垂线段最短可知：当时，最小，
则由，可得，解得；
即线段的最小值是．
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
10．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在中，点D，E分别是边、上的两点，连接，，，已知，，则的最小值是（ ）
A．B．10C．9.6D．
【答案】A
【分析】过点A作，并使得，连接，构造，然后得到，进而得知，连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，最后利用勾股定理求得的值即可得到答案．
【详解】解：如图，过点A作，并使得，连接，则，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值是，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，解题的关键是会作常用辅助线构造全等三角形．
11．（2022秋·全国·八年级期末）如图，在中，，，D为上一动点，，，则的最小值等于（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【分析】过E作交的延长线于点F，作点A关于的对称点，连接和．依据轴对称的性质即可得到，再根据平移的性质即可得出，．当点C，点E，点在同一直线上时，的最小值等于的长，利用勾股定理求得的长即可．
【详解】解：如图所示，过E作交的延长线于点F，作点A关于的对称点，连接和，
∴，
∴，
由题可得，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴由平移的性质可得：，，
当点C，点E，点在同一直线上时，的最小值等于的长，如图所示．
此时，中，，
∴的最小值为，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了最短路径问题，平移的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
12．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，以为边在外作 ，且，则的最小值是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作直线，点B关于直线的对称点，连接与直线交于，此时有最小值，利用，得到直线到距离为，进而得到，最利用勾股定理即可得到的最小值．
【详解】解：如图，过点D作直线，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于，由两点间线段最短可知，当点D在位置时，有最小值，
设点到的距离为，
，
，
，即直线到距离为，
，
由勾股定理得：，
故选C．
【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离，勾股定理，作出辅助线是解题关键．
13．（2022秋·福建宁德·八年级统考期中）如图，已知，P是线段上的任意一点，在的同侧分别以为边作等边三角形和等边三角形，则的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】过点C作于E，过点D作于F，过点D作于G，根据勾股定理可以求得，从而可根据的取值范围求得的最小值，即可解题．
【详解】如图，过点C作于E，过点D作于F，过点D作于G．

∵和都为等边三角形，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴当时，有最小值，即此时P为中点，
∴，即长度的最小值是．
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理，等边三角形的性质．理解当时，有最小值，且此时P为中点是解题关键．
14．（2022春·福建厦门·八年级统考期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是（ ）
A．B．8C．10D．34
【答案】C
【分析】根据题中所给的思路，将可以可看作两直角边分别是和3的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接AB，则的最小值为AB，再利用勾股定理计算出AB即可．
【详解】解：如图：可以可看作两直角边分别是和3的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接AB，则的最小值为AB，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为10，
故选：C
【点睛】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答．
15．（2022春·陕西西安·八年级校考阶段练习）在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出以下四个结论：当∠EPF在△ABC内绕P旋转时（点E不与A、B重合），①AE＝CF；②EF＝AP；③△EPF是等腰直角三角形；④；⑤EF的最小值为；⑥则正确结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【分析】由题意易证，，从而即可证明AE＝CF，EP=FP，，，，即得出①③④正确；结合勾股定理可判断⑥正确；由，且EP的长度不是定值，的长度为定值，故可判断②错误；由，可知当EP最小时，EF的值最小．由当时，EP最短，即求出此时EP的长，即得出EF的最小值，可判断⑤正确．
【详解】∵在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点P是BC的中点，
∴，，
∴，即，
∴，
∴AE＝CF，EP=FP，
∴△EPF是等腰直角三角形，故①③正确；
∵EP的长度不是定值，而，
∴EF的长度也不是定值．
∵，为定值，
∴EF和AP不一定相等，故②错误；
由“ASA”同理可证，
即得出．
∵，
∴．
∵，
∴，故④正确；
∵，
∴当EP最小时，EF的值最小．
∵当时，EP最短，如图，
∴此时点E为AB中点，
∴，
∴，故⑤正确；
∵，
∴．
∵，
∴．
∵在中，，
∴，故⑥正确．
综上可知，共有5个正确．
故选D．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识．熟练掌握上述知识是解题关键．
16．（2022春·广东江门·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，长为2的线段（点在点右侧）在轴上移动，，，连接，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，则有，推出要求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到和的距离和最小，如图1中，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，求出即可解决问题．
【详解】解：设，
，
，
，，
，
要使的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到和的距离和最小，如图1,中，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，
，，
的最小值，
的最小值为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，坐标与图形的性质，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会利用转化的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
17．（2022秋·陕西榆林·八年级校考阶段练习）如图，一个长方体盒子，，则沿盒子表面从A点到D点的最短路程是_____．
【答案】
【分析】分三种情况把长方体展开，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，把正面和左面展开，形成一个平面，两点之间线段最短．
即；
如图，把正上面和上面展开，形成一个平面，两点之间线段最短．
即；
如图，把右面和上面展开，形成一个平面，两点之间线段最短．
故从A点到D点的最短路程为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理—最短路径问题，正确利用分类讨论的思想将长方体按照不同的方式展开是解题的关键．
18．（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为20cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm，则该圆柱底面周长为 _____．
【答案】30cm
【分析】将容器的侧面展开，建立点A关于的对称点A′，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】将圆柱的侧面展开， 为上底面圆周长的一半，作点A关于的对称点，连接交于点F，
则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF，
即 m，
延长，过作于点D，
∵cm，
∴BD＝20cm，
中，
由勾股定理可得cm
则该圆柱底面周长为30cm．
故答案为：30cm．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题关键．
19．（2022秋·辽宁丹东·八年级统考期末）如图所示的长方体，，，点F是DE的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面爬到点F，则蚂蚁爬行的最短距离为_____．
【答案】
【分析】按照不同的展开图计算，比较确定答案即可．
【详解】如图，得到如下展开图：
取的中点M，连接，
则四边形是矩形，
此时，
所以；
取的中点N，连接，
则四边形是矩形，
此时，
所以；
因为，
所以最短距离为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何体展开图上的最短距离计算，正确把握展开图是解题的关键．
20．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘，点在上，．一名滑雪爱好者从点滑到点时，他滑行的最短路程约为______（取3）．
【答案】15
【分析】要使滑行的距离最短，则沿着的线段滑行，先将半圆展开为长方形，展开后，A、D、E三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，求出和的长，再根据勾股定理求出的长度即可．
【详解】解：将半圆面展开可得，如图所示：
∵滑行部分的斜面是半径为3的半圆
∴，
∵， ，
∴，
在中，
．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用和两点之间线段最短，解题关键是把U型池的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，再利用勾股定理求解．
21．（2021秋·陕西渭南·八年级统考期中）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去受食，那么它爬行的最短路程是______．
【答案】
【分析】将台阶展开，得到一直角边长为，另一直角边为的直角三角形，求其斜边即可．
【详解】将台阶展开，得到一直角边长为，另一直角边为的直角三角形，
所以最短距离为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，勾股定理，熟练掌握展开图，勾股定理是解题的关键．
22．（2022秋·陕西榆林·八年级统考期末）如图，长方体盒子的底面是边长为的正方形，高为，棱的中点O处有一只蚂蚁，它想吃到顶点B处的食物，则蚂蚁沿长方体表面爬行的最短路程是____________．（结果保留根号）
【答案】
【分析】分2种情况，画出图形求解即可.
【详解】解：如图1，
∵底面是边长为的正方形，高为，点O是棱的中点,
∴，
∴；
如图2，
∵底面是边长为的正方形，高为，点O是棱的中点,
∴，
∴，
∴；
∵，
∴蚂蚁沿长方体表面爬行的最短路程是.
故答案为：.
【点睛】此题主要考查了勾股定理，平面展开图－最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间线段最短，在平面图形上构造直角三角形解决问题．
23．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）如图，中，，，点为边上一点，，点为边的中点，连接，点为线段上的动点，连接，，则的最小值为___________．
【答案】5
【分析】连接，交于点，连接，首先证明为线段的垂直平分线，即有点、关于对称，，此时，的值最小，再利用勾股定理解得，由，即可确定的最小值．
【详解】解：如下图，连接，交于点，连接，
∵，点为边的中点，
∴，即为线段的垂直平分线，
∴点、关于对称，，
此时，的值最小，
∵，，
∴在中，，
∴，
即的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了最短路径、勾股定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，利用轴对称的性质确定取最小值时的位置是解题关键．
24．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，为等边三角形，平分，的面积为，点为上动点，连接，则的最小值为 __．
【答案】
【分析】过A作于，过点作于，根据等边三角形及含30度角的直角三角形的性质得出， 确定最小值为AF，再由勾股定理及三角形面积公式即可求解．
【详解】解：过A作于，过点作于，
为等边三角形，平分，
，，
，
，
的面积为，，
∴
∴
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】题目主要考查等边三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，找出最短距离是解题关键．
25．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在四边形中，，，，点P是线段上的动点，连接，，若周长的最小值为16，则的长为_________________．
【答案】6
【分析】作点关于的对称点，连接交于，则，设，则，依据中，，即可得到，进而得出的长．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接交于，
则，
设，则，
∵，，
∴，
∴中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查勾股定理的应用和三角形的周长，解题的关键是掌握勾股定理的应用和三角形的周长的计算．
26．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，菱形的边长为4，，点是边上一动点（不与，重合），点是边上一动点，，面积的最小值为______
【答案】
【分析】连接，首先证明，得到，，然后证明是等边三角形，当时面积最小，根据勾股定理求出，上的高为，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】连接，
∵菱形边长为4，，
∴与为正三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴当时，的面积最小，
∵
∴
∴
∴，
∴同理可得边上的高为，
∴面积的最小值．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是作出辅助线，证明是等边三角形．
27．（2021春·四川成都·八年级校考期中）如图，在中，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是_____________．
【答案】
【分析】作点Q关于的对称点，连接，推出当，点P为与的交点时，取得最小值，最小值为，利用，求出的值，进而求出的最小值．
【详解】作点Q关于的对称点，连接，
∴点在直线上，
∴当，点P为与的交点时，取得最小值，最小值为，
∵在中，
∴根据勾股定理得：
∵在中，
即 ，
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查直角三角形中等积法、轴对称中的最短路线问题，解题的关键是找出点P、Q的位置．
28．（2022·全国·八年级专题练习）如图，长方形中，，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】取，作关于的对称点，连接，得出四边形是平行四边形，继而可得，当三点共线时，最小，最小值为，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，取，作关于的对称点，连接，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，最小值为，
此时，
在中，,
即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称求线段和的最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．
29．（2022秋·河南驻马店·八年级校考期中）如图，一个长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的侧面从点A爬到点B那么需要爬行的最短距离是多少？
【答案】25cm
【分析】画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
，
蚂蚁爬行的最短距离是25．
【点睛】本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键．
30．（2023春·八年级单元测试）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上．
(1)若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
(2)若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
【答案】(1)25
(2)
【分析】（1）根据题意画出图形，在Rt中，再根据勾股定理求解即可；
（2）在Rt中根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，
在Rt中，，，
（尺）
答：葛藤长为25尺．
故答案为：25；
（2）解：在Rt中，，，
（尺），
答：葛藤长为尺．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面展开—最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造出直角三角形是解决问题的关键．
31．（2023春·八年级单元测试）如图，，两个工厂位于一段直线形河的异侧，厂距离河边，B厂距离河边，经测量，现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理厂．
(1)设，请用的代数式表示的长；
(2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂的位置应怎样来确定此时需要管道多长？
(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？
【答案】(1)
(2)连接与的交点就是污水处理厂的位置，此时最少需要管道
(3)的最小值为
【分析】（1）在和中，根据勾股定理可得，的长，进而即可求解；
（2）连接与的交点就是污水处理厂的位置，过点作⊥于，在△中，勾股定理即可求解；
（3）当、、共线时，求出的值即为原式的最小值，在△中，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：在和中，根据勾股定理可得，，
∴，
（2）根据两点之间线段最短可知，连接与的交点就是污水处理厂的位置．
过点作⊥于，则有，．
．
在△中，，
此时最少需要管道．
（3）根据以上推理，可作出下图，
设，，，，
当、、共线时，求出的值即为原式的最小值．
在△中，，，
由勾股定理可得：，
的最小值为．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
32．（2022秋·陕西汉中·八年级统考期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
【知识运用】
(1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米．
(2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离．
(3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ．
【答案】(1)；
(2)P点的位置见解析，的距离为16千米；
(3)15．
【分析】（1）连接，作于点E，根据，得到，，由平行线间的距离处处相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD两地之间的距离；
（2）连接，作的垂直平分线交于P，根据线段垂直平分线的性质可得，点P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后根据建立方程，解方程即可；
（3）如图3，，，，，，设，
则，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可．
【详解】（1）解：如图1，连接，作于点E，
∵，，
∴，，
∴千米，千米，
∴千米，
∴（千米），
即两个村庄的距离为千米，
故答案为：；
（2）解：如图2，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求，
设千米，则千米，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
即的距离为16千米；
（3）解：如图3，，，，，，设，
则，
作点C关于的对称点F，连接，过点F作于E，
则是的最小值，即代数式的最小值，
∵，，，
∴代数式最小值为：，
故答案为：15．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题等知识，（3）中构造出是解本题的难点．
33．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．
(2)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_____．
(3)问题解决：如图②，展开图中_____，_____．
(4)这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是_____．
【答案】(1)见解析；
(2)两点之间线段最短；
(3)120cm，50cm；
(4)130cm
【分析】（1）根据题意画出三角锥木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可；
（2）根据题（1）即可求解；
（3）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和两个三角形边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽；
（4）根据勾股定理计算的长即可求解．
【详解】（1）如图所示即为所求：
（2）线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（3）根据题意可得：展开图中的cm，cm．
故答案为：120cm，50cm；
（4）由题（1）可得：在Rt中，
由勾股定理可得：cm，
故答案为：130cm．
【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．
34．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答：
(1)用语言叙述勾股定理；
(2)选择图1、图2、图3中一个图形来验证勾股定理；
(3)利用勾股定理来解决下列问题：
如图4，一个长方体的长为8，宽为3，高为5．在长方体的底面上一点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上A与点相对的B点处的食物，则蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少?（画出图形，并说明理由）
【答案】(1)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方
(2)见解析
(3)
【分析】（1）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；
（2）利用等面积建立等式进行解答；
（3）把长方体表面展开，转化为平面图形，当长、宽、高互不相等时，要分三种情况，根据勾股定理分别求出即可．
【详解】（1）解：勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．
（2）解：若选图1，则由图形可知：，
整理得：；
选择图2，则由图形可知：．
整理，得；
若选图3，则由图形可知：，
整理得：．
（3）解：把长方体表面展开，转化为平面图形，当长、宽、高互不相等时，要分三种情况，根据勾股定理分别求出．
当展开图形为①：当展开图为②：当展开图为③：
①②
③
∵，
∴蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明与应用．解答该题时，利用“数形结合”的数学思想是解答关键．
35．（2021秋·山东济南·八年级统考期中）在中，，，，的中垂线交于D，交于点E．
(1)如图1，连接，请求出的长；
(2)如图2，延长交的延长线于点F，连接，请求出的长；
(3)如图3，点P为直线上一动点，点Q为直线上一动点，则的最小值为 ．
【答案】(1)
(2)5
(3)
【详解】（1）∵是的中垂线，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即
（2）∵是的中垂线，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的长为5；
（3）的最小值为
理由：连接，过B作于M，交直线于，过作于，如图3所示：
∵是的中垂线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
则点M与关于对称，此时，
即的值最小＝，
由（2）得，，
∴，
∵，
∴的面积，
∴
即的最小值为
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、轴对称的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键．
36．（2023春·全国·八年级专题练习）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
【知识运用】
(1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米．
(2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离．
(3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ．
【答案】(1)41；
(2)见解析，的距离为16千米；
(3)15．
【分析】（1）连接，作于点E，根据，得到，，由平行线间的距离处处相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD两地之间的距离；
（2）连接，作的垂直平分线交于P，根据线段垂直平分线的性质可得，点P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后根据建立方程，解方程即可；
（3）如图3，，，，，，设，
则，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可．
【详解】（1）解：如图1，连接，作于点E，
∵，，
∴，，
∴千米，千米，
∴千米，
∴（千米），
即两个村庄的距离为41千米，
故答案为：41；
（2）解：如图2，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求，
设千米，则千米，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
即的距离为16千米；
（3）解：如图3，，，，，，设，
则，
作点C关于的对称点F，连接，过点F作于E，则是的最小值，即代数式的最小值，
∵，，，
∴代数式最小值为：，
故答案为：15．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题等知识，（3）中构造出是解本题的难点．
37．（2022秋·江苏·八年级专题练习）直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
(1)几何应用：如图2，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为___________；
(2)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点M、N使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．
【答案】(1)
(2)图见解析，
【分析】（1）作点A关于的对称点，连接交于P，此时的值最小．连接，先根据勾股定理求出的长，再判断出，根据勾股定理即可得出结论；
（2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，此时最小为的长，根据等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）解：如图2所示，作点A关于的对称点，连接交于P，此时的值最小．连接，
由勾股定理得，，
∵是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴的最小值为．
故答案为：；

（2）解：如图3，作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，则，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．
38．（2022秋·重庆·八年级重庆市石柱中学校校考阶段练习）如图1，在中，，D、E在边上，连接．
(1)若，则=_____°；
(2)如图2，，F为上一点，连接，且，M为中点，连接，证明：．
(3)如图3，，F为的中点，连接，点M在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值．
【答案】(1)40；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可求的度数，即可求解；
（2）“边角边”可证，可得；
（3）由“边角边”可证，可得，由周长＝＝，则当点M，点A，点H三点共线，有最小值为的长，即可求解．
【详解】（1）（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：40；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
如图，延长至H，使，连接，
∵点M为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：如图3，分别取，的中点G，H，连接、、，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵点F是的中点，点G是的中点，点H是的中点，
∴，，，，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵周长＝＝ ，
∴当点M，点A，点H三点共线，有最小值为的长，
∴周长的最小值为．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
39．（2022秋·江苏连云港·八年级连云港市新海实验中学校考期中）如图，长方形（对边平行且相等，四个角都是直角）中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．
(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，求周长的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)①证明见解析，；②周长的最小值为12．
【分析】（1）根据长方形的性质得，可得，利用即可得出结论；
（2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出，等角对等边即可得，设，在中，由勾股定理求即可解；
②可得的周长，当点恰好位于对角线AC上时，最小，在中，由勾股定理得，据此求解即可得周长的最小值．
【详解】（1）证明：∵长方形中，
∴，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
∴；
（2）解：①∵长方形中，
∴，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
长方形中，，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
由折叠得，，，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，即；
②由折叠得，，
∴的周长，
连接，
∵，
∴当点B′恰好位于对角线上时，最小，
在中，，
∴，
∴CB′的最小值，
∴周长的最小值．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键．
40．（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图1，在直线l上找一点C，使最短，并在图中标出点C
【简单应用】
（1）如图2，在等边中，，E是的中点，M是上的一点，求的最小值，借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线对称，连接，的最小值就是线段 的长度，则的最小值是 ；
（2）如图3，在四边形中，，在上分别找一点M、N，当周长最小时， °．
【拓展应用】
如图4，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB＝30°，OA＝1千米，OB＝2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．
【答案】画图见解析；简单应用：（1）；；（2）；拓展应用：画图见解析，货船行驶的最短路程为千米
【分析】直接作A关于直线l的对称点D，连接交直线l于C，点C即为所求；
简单应用：（1）根据B与C关于直线对称，则，则的最小值即为线段的长，利用勾股定理求出的长即可；
（2）如图所示，分别作A关于的对称点，根据轴对称的性质推出当四点共线时，的值最小，最小为线段，即此时的周长最小，根据三角形内角和定理得到，再证明即可得到答案；
拓展应用：分别作A关于的对称点，电B关于的对称点，连接，根据轴对称的性质推出当四点共线时，有最小值，最小值为线段的长，即此时货船行驶的水路最短，再证明，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，点C即为所求；
简单应用：（1）∵是等边三角形，是的中点，
∴B与C关于直线对称，，
∴
∴，
∴当B、E、M三点共线时，有最小值，即线段的长，即有最小值，即线段的长，
∵E是的中点，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
故答案为：；；
（2）如图所示，分别作A关于的对称点，
∴，
∴，
∴当四点共线时，的值最小，最小为线段，即此时的周长最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：80；
拓展应用：如图所示，分别作A关于的对称点，电B关于的对称点，连接，
∴，
∴，
∴当四点共线时，有最小值，最小值为线段的长，即此时货船行驶的水路最短，
由轴对称的性质可知，，
∴，
∴在中由勾股定理得：，
∴货船行驶的最短路程为千米；
【点睛】本题主要考查了轴对称|—最短路径问题，勾股定理，等边三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．