广西玉林市容县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份广西玉林市容县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了本考卷分试题卷和答题卡两部分等内容，欢迎下载使用。

（全卷满分120分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．本考卷分试题卷和答题卡两部分．请将答案填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．选择题每小题选出答案后，考生用2B铅笔把答案卡上对应题目的选项标号涂黑．
3．非选择题，考生用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）．
1. 式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x≥3B. x≤3C. x≥﹣3D. x≤﹣3
答案：C
2. 下列二次根式中能与合并的二次根式是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：A、 与不是同类二次根式，故A选项不符合题意；
B、与是同类二次根式，故B选项符合题意；
C、是整数与不能合并，故C选项不符合题意；
D、与不是同类二次根式，故D选项不符合题意．
故选：B．
3. 在矩形、菱形、正方形、等边三角形的轴对称图形中，对称轴条数最多的图形是（ ）
A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 等边三角形
答案：C
解析：解：A、矩形有两条对称轴；
B、菱形有两条对称轴；
C、正方形有四条对称轴；
D、等边三角形有三条对称轴．
所以对称轴条数最多的是正方形．
故选C．
4. 下面四组数据中，能构成直角三角形三条边长的是（ ）
A. 6，8，10B. 4，5，6C. ，，D. 9，10，11
答案：A
解析：解：A、，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
B、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
故选：A．
5. 直角三角形两条直角边的长分别为1，，则斜边的长为（ ）
A. B. C. D. 2
答案：D
解析：解：由勾股定理得：斜边的长为
．
故选：D
6. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解：A、∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
C、根据AB=CD，AD∥BC可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形ABCD是平行四边形，错误，故本选项正确；
D、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
故选：C．
7. 如图，菱形中，，的度数是度数的2倍，则对角线长为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：∵四边形是菱形
∴
∵的度数是度数的2倍
∴
∴
∴
故选：A
8. 如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：是正方形的对角线，
，
是菱形的对角线，
．
故选：B．
9. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形，若，则菱形的面积为（ ）
A. B. C. 4D. 8
答案：B
解析：解：由翻折的性质得，，，
在菱形中，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
或（舍去），
，
菱形的面积．
故选：B．
10. 如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（ ）
A. 18B. 20C. 22D. 24
答案：D
解析：解：连接，与交于点，如图，

，平分，
，，，
四边形为平行四边形，
∴，
，
，
，
而，
，
在中，，
．
故选：D．
11. 如图，将面积为的正方形绕点A逆时针旋转，得到正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：连接，如图所示：
由旋转的性质可知：，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
又∵正方形面积为，
∴，
∴，
解得：或 （舍去），
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
12. 如图，正方形的边长为，点E在边上，四边形也为正方形，的面积为S，则（ ）
A. B. C. D. S与的长度有关
答案：C
解析：解： 设正方形的边长为，
根据题意得：．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）．
13. 计算：____________
答案：
解析：解：，
故答案为：
14. 矩形的长和宽分别是3与2，则它的面积是__________．
答案：6
解析：解：由题意，矩形的面积为；
故答案为：6．
15. 如图，菱形中，其面积为，，则与间的距离是__________．
答案：
解析：解：设与间的距离为，依题意得，，
∴，
故答案为：．
16. 已知，，则______．
答案：
解析：解：∵，，
∴．
∴．
故答案是：．
17. 如图，已知矩形中，E、F、G、H分别是的中点，四边形的周长等于，则矩形的对角线长__________．
答案：
解析：解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵E、F、G、H分别是的中点，
∴，，
∴四边形的周长等于，
∴．
故答案为：．
18. 如图，点，是正方形的两个顶点，以它的对角线为一边作正方形，以正方形的对角线为一边作正方形，再以正方形的对角线为一边作正方形，…，依次进行下去，则点的坐标是__________．
答案：
解析：解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，
∵从B到经过了3次变化，
∵，．
∴点所在的正方形的边长为2，点位置在x轴正半轴．
∴点的坐标是；
可得出：点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
由规律可以发现，每经过8次变化后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
∵，
∴的纵横坐标符号与点的相同，横坐标是0，纵坐标为，
∴的坐标为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
19 计算：．
答案：0
解析：解：原式．
20. 先化简，再求值：，其中．
答案：，
解析：解：
，
当时，原式．
21. 如图，四边形是正方形，G是上的一点，，垂足为E，，垂足为F．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
答案：（1）证明见解析；
（2）0.8cm．
小问1解析：
证明：四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
小问2解析：
，
，，
，，
，
．
22. 如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，AD＝13m，求这块草坪的面积．
答案：这块草坪的面积为36平方厘米．
解析：试题分析：
如下图，连接AC，由已知条件根据勾股定理可得AC=5，结合CD=12，AD=13，由勾股定理逆定理可得∠ACD=90°，这样由四边形ABCD是由两个直角三角形构成的即可求出其面积了.
试题解析：
连接AC，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵（AC）2+（CD）2=25+144=169，（AD）2=（13）2=169
∴（AC）2+（CD）2=（AD）2，
∴∠ACD=90°，即△ACD是直角三角形，
∴草坪面积=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=6+30=36．
即这块草坪的面积为36平方厘米．
23. 如图，在中，，是一个外角，平分．根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）作线段的垂直平分线，与交于点F，与边交于点E，连接，；
（2）判断四边形的形状并证明．
答案：（1）见解析： （2）四边形为菱形，理由见解析．
小问1解析：
解：如图所示：
小问2解析：
解：四边形为菱形，理由如下：
，
，
平分，
，
而，
，
垂直平分，
，，
在和中
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形．
24. 已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
（1）四边形的形状是__________，证明你的结论．
（2）如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足__________条件时，四边形是正方形，证明你的结论．
答案：（1）平行四边形，证明见解析
（2）互相垂直且相等（且），证明见解析
小问1解析：
证明：四边形是平行四边形，证明如下；
如图1，连接，
点E、H分别是中点，
∴，，
同理，，，
∴，，
四边形是平行四边形；
小问2解析：
解：互相垂直且相等（且），证明如下；
如图2，连结，
同理（1）可知，四边形是平行四边形，
∵，
∴，
平行四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形．
25. 勾股定理神秘而美妙，它证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现；当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．
证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延线于点F，则DF＝EC＝b﹣a．
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DBC＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．
答案：见解析
解析：证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，可得BF=b-a
∵S四边形ADEB ，

S四边形ADEB
26. 阅读理解：德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
（1）如图，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．在图中，若，则__________（保留根号）．
（2）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调．匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：）
第一步 在矩形纸片一端，利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步 如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步 如图，折出内侧矩形的对角线，并把折到图中所示的处．
第四步 展平纸片，按所得的点折出，使，则图④中就出现黄金矩形．
问题解决：
①图中（保留根号）；
②请写出图中所有的黄金矩形：，并证明；
③请结合图，在矩形中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并证明．
答案：（1）；
（2）①；
②图4中的黄金矩形有：矩形、矩形；
③四边形为黄金矩形．
小问1解析：
解：根据定义可知，为线段的黄金分割点，则，
，
，
解得，
故答案为：；
小问2解析：
①如图3：
根据题意可得，
∴，
故答案为：，
②图4中的黄金矩形有：矩形、矩形，
，，
，
，
，
矩形是黄金矩形，
，，
，
，
矩形是黄金矩形．
③如图，在矩形上添加线段，使四边形为正方形，此时四边形为所要作的黄金矩形．
，，
，
，
四边形为黄金矩形．