深圳外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份深圳外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
一、选择题（共10题，每题3分，共30分）
1．下列各式的计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放《开学第一课》B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是180°D．买一张彩票，一定不会中奖
3．“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值，苔花也被称为“坚韧之花”.袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.0000084m，将数据0.0000084用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，把一个含30°角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
5．弹簧挂上物体后伸长，已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如表，下列说法错误的是（ ）
A．在没挂物体时，弹簧的长度为10cm
B．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，物体的质量是因变量，弹簧的长度是自变量
C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧的长度就增加2.5cm
D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为4kg时，弹簧的长度为20cm
6．下列说法中正确的个数有（ ）
（1）两直线被第三条直线所截，内错角相等.
（2）钝角三角形三内角的平分线的交点不一定在三角形内部.
（3）相等的角是对顶角.
（4）锐角三角形的任意两个内角的和大于90°
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图，在中，，.按以下步骤尺规作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和的延长线于点，.②分别以，为圆心，同样的长为半径画弧，两弧交于点.③作射线.则的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
8．如图，在长方形中，动点从出发，以一定的速度，沿方向运动到点处停止（提示：当点在上运动时，点到的距离始终等于和）.设点运动的路程为，的面积为，如果与之间的关系如图所示，那么长方形的面积为（ ）
A．6B．9C．15D．18
9．小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在处接住她.若点距离地面的高度为1.5m，点到的距离为1.7m，点距离地面的高度是1.6m，，则点到的距离为（ ）
A．1mB．1.6mC．1.4mD．1.8m
10．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点.则下列说法正确的个数为（ ）
①；②，③若，则；④；⑤.
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11．如图所示的计算程序中，与之间的关系式是__________.
12．已知是一个完全平方式，则的值是：__________.
13．如图，，要利用“”得到，需要增加的一个条件是__________.
14．如图，在中，边上的高，点为上的点，且，若，则图中阴影部分面积为__________.
15．如图，点在线段上，于，于.，且cm，cm，点以2cm/s的速度沿向终点运动，同时点以3cm/s的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动.过，分别作的垂线，垂足为，.设运动时间为s，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为__________.
三、解答题（共7题，共55分）
16．（8分）（1）（4分）计算：；
（2）（4分）先化简，再求值：，其中，.
17．（7分）如图反映的是小华从家里跑步去体育馆，在那里锻炼了一段时间后又走到文具店去买笔，然后散步回家，其中（分）表示时间，（千米）表示小华离家的距离.根据图象回答下列问题：
（1）（2分）体育馆距离小华家__________千米，小华在体育馆锻炼了__________分钟；
（2）（2分）体育馆距离文具店__________千米，小华在文具店买笔用了__________分钟；
（3）（3分）小华从家跑步到体育馆，从文具店散步回家的速度分别是多少千米/小时？
18．（8分）如图，、在上，且，，，求证：与互相平分，且.补全下面的解题过程：
证明：，
__________＝__________，即，
在和中，
（__________________），
.
（__________________）.
在和中，
（__________________），
，，即与互相平分.
19．（6分）在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球3个，黑球2个，它们除了颜色外其他都相同.
（1）（2分）从袋中随机摸出1个球，摸出白球的概率是___________；
（2）（2分）从袋中随机摸出1个球，摸出黑球的概率是___________；
（3）（2分）向袋中加入___________个黑球，可以使摸出红球的概率变为.
20．（8分）如图，，，点在边上，，和相交于点.
（1）（4分）求证：；
（2）（4分）若，求的度数.
21．（8分）阅读下列材料，解决相应问题：
（1）（1分）36和84___________“友好数对”.（填“是”或“不是”）
（2）（4分）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，则，，，之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整；
解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为___________和___________.
因为它们是友好数对，所以___________.
即，，，的等量关系为：__________.
（3）（3分）若有一个两位数，十位数字为，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为.且这两个数为“友好数对”，求出这两个两位数.
22．（10分）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”.这个数学兴趣小组进行了如下操作：
（1）（2分）如图1，在和中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________.
（2）如图2，已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点.
①（4分）证明：且；
②（4分）若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长.
参考答案
一、选择题（共10小题）
1.解析：解：A、，故此选项错误；
B、，无法合并，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确；
故选：D.
2.解析：解：A、打开电视机，正在播放《开学第一课》，是随机事件，不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意；
D、买一张彩票，一定不会中奖，是随机事件，不符合题意；
故选：C.
3.解析：解：0.0000084用科学记数法表示为.
故选：B.
4.解析：解：直尺的对边平行，
，
.
故选：D.
5.解析：解：根据条件，可列关系式为：.
A.在没挂物体时，弹簧的长度为10cm，根据图表，当质量时，，故此选项正确，不符合题意；
B、反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量，故此选项错误，符合题意；
C.在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧的长度就增加2.5cm，故此选项正确，不符合题意；
D、由关系式m，解得，在弹簧的弹性范围内，故此选项正确，不符合题意；
故选：B.
6.解析：解：（1）两平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故该说法不正确；
（2）钝角三角形三内角的平分线的交点一定在三角形内部，故该说法不正确；
（3）相等的角不一定是对顶角，故该说法不正确；
（4）锐角三角形的任意两个内角的和大于90°，故该说法正确.
故选：A.
7.解析：解：，，
，
由尺规作图可知，为的平分线，
.
故选：A.
8.解析：解：由题意可知，当点从点运动到点时，的面积不变，结合图象可知，当点从点运动到点时，的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知，
长方形的面积为：.
故选：D.
9.解析：解：点距离地面的高度为1.5m，点距离地面的高度是1.6m，
点距离地面的高度为1.5m，点距离地面的高度是1.6m，
（m），
，
，
，
又由题意可知，，
，
m，，
（m），
点到的距离为1.8m，
故选：D.
10.解析：解：①在中，，
，
平分，平分，
，，
，故①正确；
②当是的中线时，，
而平分，故②错误；
③如图，延长至，使，连接，
，
，
，
，
，，
为角平分线，
，
，
，
，
，故③正确；
④如图，作的平分线交于点.
由①得，
，
，
，
，，
，，
，，
，故④正确；
⑤过作，于点，，
由④知，为的角平分线，
，
，
，，
，故⑤正确.
综上所述：正确的有①③④⑤，共4个，
故选：C.
二、填空题（共5小题）
11.解析：根据图示可知，与之间的函数关系为：，
故答案为：.
12.解析：解：是一个完全平方式，
，
，
故答案为：4.
13.解析：需要增加的一个条件是.
，
，
即，
在和中，
.
故答案为：.
14.答案：20.
解析：解：，
，
故答案为：20.
15.1或.
解析：解：当点在上，点在上时，以，，为顶点的三角形与全等，
，
，
，
当点在上，点第一次从点返回时，以，，为顶点的三角形与全等，
，
，
，
综上所述，的值为1或.
16.（1）解析：解：原式；
（2）解析：解：原式.
当、时，
原式
.
17.（1）（2分）体育馆距离小华家2.5千米，小华在体育馆锻炼了15分钟；
（2）（2分）体育馆距离文具店1千米，小华在文具店买笔用了20分钟；
（3）（3分）小华从家跑步到体育馆，从文具店散步回家的速度分别是多少千米/小时？
解析：解：（1）由纵坐标看出体育馆距离小华家2.5千米，由横坐标看出小华在体育馆锻炼了15分钟；
故答案为：2.5；15.
（2）由纵坐标看出体育馆距离文具店（千米），由横坐标看出小华在文具店买笔用了（分）.
故答案为：1：20.
（3）小华从家跑步到体育馆的速度为（千米小时），
小华从文具店散步回家的平均速度是（千米/小时）.
答：小华从家跑步到体育场的速度为10千米/小时；小华从文具店散步回家的速度为千米/小时.
（两个算式各1分，答1分）
18.解析：证明：，
即，
在和中，
，
.
在和中，
，
，，
即与互相平分.
19.
解析：（每空2分）解：（1）根据题意，小球共个，
从袋中随机地摸出1个球，共8种情况，
白球3个，
从袋中随机地摸出1个球，摸出白球的概率；
（2）结合（1）的结论，得：从袋中随机地摸出1个球，共8种情况，
黑球2个，
从袋中随机地摸出1个球，摸出黑球的概率；
（3）设向袋中加黑球的数量为，
从袋中随机地摸出1个球，共种情况，
摸出红球的概率为，且红球3个，
，
，
时，，
是方程的解，
向袋中加4个黑球，可以使摸出红球的概率变为.
20.答案：见试题解答内容
解析：（1）证明：和相交于点，
.
在和中，
，.
又，
，
.
在和中，
.
（2），
，.
在中，
，，
，
.
21.（1）（1分）36和84是“友好数对”.（填“是”或“不是”）
（2）（4分）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，则，，，之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整；
解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为和.
因为它们是友好数对，所以.
即，，，的等量关系为：.
（3）（3分）若有一个两位数，十位数字为，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为.且这两个数为“友好数对”，求出这两个两位数.
解析：解：（1），，
，
和84是友好数对.
故答案为：是.
（2）一个数的十位数字为，个位数字为；另一个数的十位数字为，个位数字为，
交换后十位数字为，个位数字为，另一个的十位数字为，个位数字为，
两个数依次表示为，，
这两个数是友好数对，
，
化简得：.
故答案为：，，，.
（3）由（2）得：，
解得：，
两个两位数为：31和39.
22.解析：（1）如图1中，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：，40°；
（2）①和均为等腰直角三角形，，
，，
，
，
在和中，
，
，，
②和的面积之和为20，和均为等腰直角三角形，
，，，，，
，
，
，
,
，
，
，
，
，
的面积为6，，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
.物体的质量（kg）
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度（cm）
10
12.5
15
17.5
20
22.5
“友好数对”
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”.例如，所以43和68与34和86都是“友好数对”.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
D
B
A
A
D
D
C