安徽省怀宁县新安中学2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷

这是一份安徽省怀宁县新安中学2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷，共14页。试卷主要包含了多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额（单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为（ ）（）
A．50天B．57天C．86天D．88天
2．等差数列的首项，且，则（ ）
A．4044B．4045C．4046D．4047
3．全国大中学生心理健康日主题活动将于2024年5月25日在京举行.现将3名心理健康专家和4名志愿者随机分配到3个不同的接待点服务，要求每个接待点至少有1名心理健康专家和1名志愿者，则共有多少种分法？（ ）
A．36B．72C．216D．256
4．如图，在正四面体中，取中点，连接，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．展开式中的系数为（ ）
A．90B．180C．270D．360
6．在6道试题中有4道概率题和2道导数题，若每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则第一次抽到概率题的条件下，第二次抽到导数题的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，下列关于的四个命题，其中是假命题是（ ）
A．函数在上是增函数
B．函数的最小值为0
C．如果时，，则的最小值为2
D．函数有2个零点
8．已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．若圆关于直线对称，则
B．的最小值为
C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点
D．若（为坐标原点）四点共圆，则
10．假定生男孩和生女孩是等可能的，已知一个家庭中共有3个孩子，用表示事件“该家庭中既有男孩又有女孩”，用表示事件“该家庭中最多有1个女孩”，则（ ）
A．B．
C．D．与相互独立
11．已知函数及其导函数的定义域均为，若均为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．B．的图象关于点对称
C．D．
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．函数的一条切线平分圆，则该切线的方程为 .
13．已知，函数恒成立，则的最大值为 .
14．甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．已知数列的前项和，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项乘积为，求的最小值.
16．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面.

(1)若，求；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线交椭圆于两点，且（其中为坐标原点），求的面积
18．为了了解某市市民平均每天体育锻炼的时间，在该市随机调查了位市民，将这位市民每天体育锻炼的时间（单位：分钟）分为五组，得到如图所示的频率分布直方图：

(1)求的值并估计该市市民每天体育锻炼时间的平均数；
(2)假设每天的体育锻炼时间达到60分钟及以上为“运动达人”.若从样本中随机抽取一位市民，设事件“抽到的市民是运动达人”，“抽到的市民是男性”，且.
（i）求和；
（ii）假设有的把握认为运动达人与性别有关，求这次至少调查了多少位市民？
附：
19．已知函数，其中.
(1)讨论在区间上的单调性；
(2)若，函数在区间内存在唯一的极值点，求实数的取值范围.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考答案：
1．B
2．B
3．C
4．C
5．D
6．A
7．D
对于A，因为，求导得，
当或时，，当时，，
故在和上单调递减，在上单调递增，故A正确；
对于B，当时，，当时，，
结合A选项得函数的最小值为0，故B正确；
对于C， 当时，，则的图像如下所示：
如果时，，由图可知的最小值为， 故C正确；
对于D， 由图可知只有一个零点，故D不正确.
8．A
当时，，，不符合题意；
设的图像与公切线的切点为，，
由，则切线斜率，
切线方程为，即，
又切线与，
联立，
可得，
即，
可得，
设，，
，，
又函数在上单调递减，且，
即有当时，，即，单调递增；
当时，，即，单调递减；
所以，
即，的最大值为，
9．BCD
A.若圆关于直线对称，则直线过圆的圆心，即，得，故A错误；
B. ，整理为，不管为何值，直线始终过点，当是线段的中点时，此时弦长最短，
圆，圆心是，半径，
圆心和点的距离是，所以最短弦长，故B正确；
C. 当时，直线，
曲线，即，
所以曲线为过直线与圆交点的曲线方程，故C正确；
D.若四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心，
的中点为，所以的垂直平分线方程为，所以，
圆的方程为，整理为，
直线是圆与圆的交线，圆与圆的方程相减得
所以直线的方程是，
将直线所过的定点坐标代入上式得，得，
所以直线，即直线的斜率为，即，则，故D正确.
故选：BCD
10．ACD
，故A正确.
，
所以，故B错误，C正确.
因为，所以与相互独立，故D正确.
故选：ACD.
11．ACD
对于A：因为为奇函数，则，
令，则可得，所以，故A正确；
对于B：因为为奇函数，所以，
所以，所以的图象关于点对称，故B错误；
对于C：由，可得，
所以，
由，两边求导数可得，
即，所以，
所以，所以，故C正确；
对于D：因为的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以是以4为周期的周期函数，
由，可得，
所以，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
12．
圆的圆心坐标为，
依题意该切线过圆心，
由，则，设切点为，
则，
所以切线方程为，
又，整理得，
令，则，当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以关于的方程有且仅有一个解，
所以切点为，切线的斜率为，
则切线方程为，即.
13．1
当a为正偶数时，不符合题意，当a为正奇数时，只需研究时，分离参数得恒成立，设，利用导数求的最小值即可求解.
【详解】当a为正偶数时， 当时，，显然不符合题意；
当a为正奇数时，则当时，恒成立，
因此只需研究时，恒成立即可，
当时，成立，
则当时，，因为此时小于0，所以恒成立，
当时，恒成立，
令，，则，
令，得，即，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以函数在上取得最小值，
要使时，恒成立，则，
又因为a为正奇数，所以a的最大值为1，
综上所述，a的最大值为1.
14．0.4
设甲获得冠军为事件A，比赛共进行了3局为事件B，
则AB表示在甲获得冠军的条件下，比赛共进行了3局，
，
，
所以.
15．（1）因为.
所以当时，
当时，，
两式相减得
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则数列通项公式为
（2）记数列的前项乘积为，
所以，由（1）可知
则
令，开口向上且对称轴为，
所以或8时，取最小值且最小值为.
所以的最小值为.
16．（1）由平面，平面，
.
，且平面，
所以平面.
而平面，.
四边形是正方形，与重合，
.
（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
.
设为平面的法向量，
则，即，
可取.
设为直线与平面所成的角，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.

17．（1）设椭圆的半焦距为，由得，，
过点，，又，
联立，解得，，，
所以椭圆方程为：.
（2）
由题意知，直线的斜率存在，设为，
又直线过点则直线的方程为，
设，，由得，
由，得，
，
又，有，即，
整理得，
所以，解得，满足，
又因为，点到直线的距离，
则，
即，
代入得，，
故的面积为.
18．（1），解得，
所以每天体育锻炼时间的平均数为.
（2）由频率分布直方图可知，所以，
因为，所以，，
所以，解得.
（ii）由（2）可得如下列联表：（其中）
所以，解得
所以取最小值15，
所以该样本至少有人.
19．（1）函数，求导得，
设，则.
而，则当时，，函数在上单调递减，
于是，所以函数在上单调递减.
（2）函数，求导得，
若，由（1）知在上恒成立，从而在内无极值点，不符合题意；
若，设，则，且，
设，则在上恒成立，因此在上单调递减，
若，即，则在上恒成立，因此在上单调递增，
则在上恒成立，从而单调递增，无极值点，不符合题意；
若，即，则在上存在零点，且在上单调递增，在上单调递减，
又，所以要使有极值点，必须有，即，
从而的取值范围是.
合计
合计