安徽省怀宁县新安中学2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷

这是一份安徽省怀宁县新安中学2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷，共14页。试卷主要包含了二 册，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．己知，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数是关于的一元二次方程（，）的一个根，则（ ）
A．B．C．19D．31
3．已知，，且，，则（ ）
A．或B．或C．D．
4．若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥但不对立B．事件与对立
C．事件与相互独立D．事件与既互斥又相互独立
5．已知样本数据的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（ ）
A．18.2B．19.6C．19.8D．21.7
6．已知圆锥的底面圆周在球的表面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的半径为（ ）
A．B．C．2D．
7．如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．在中，，是的中点，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．连续地掷一枚质地均匀的股子两次，记录每次的点数，记事件为“第一次出现2点”，事件为“第二次的点数小于等于4点”，事件为“两次点数之和为奇数”，事件为“两次点数之和为9"，则下列说法正确的是（ ）
A．与不是互斥事件B．与相互独立
C．与相互独立D．与相互独立
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．的图象关于点中心对称
C．方程在上的所有解的和是
D．若，对任意的，，，恒成立，则的最大值是
11．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，，点C是圆周上异于A，B的任意一点，D，E分别是PA、PC的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．平面DEB
C．三棱锥外接球的表面积是
D．若，则直线BD与平面PAC所成角的余弦值为
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．已知，则 .
13．如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为 .
14．如图，正方体的棱长为2， E是棱的中点，平面截正方体所得截面图形的周长为 ，若F是侧面上的动点，且满足平面，则点F的轨迹长度为 .

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．已知函数.
(1)若，求的最大值及对应的的取值集合；
(2)若对任意的，，恒成立，求的取值范围.
16．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，D为BC边上的动点．
(1)若D为BC的中点，，，求边BC；
(2)若AD平分∠BAC，，，求△ABC的面积．
17．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的第75百分位数：
(2)在样本答卷成绩为的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？
(3)已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．
18．如图所示正四棱锥中，，，为侧棱上的点，且，为侧棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
19．如图所示，在四棱锥中，平面，，，为棱上一点，.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)求点到平面的距离.
参考答案：
1．C
2．C
3．D
4．C
5．C 由题意可知：，
可得，
且，解得，
所以新样本数据的方差为.
6．B
7．D 设，由，
又由，
所以，解得，可得，
因为，所以，所以.
8．C 因为，，在中，
由正弦定理可得，
则，
且是的中点，则，
又，则，则，又，则，所以，则，
即的取值范围为.
9．ACD
10．ACD
对于A，由题意可得
，
则，
由于，从而是偶函数，故A正确；
对于B，由（），得（），
则图象的对称中心为（），故B错误；
对于C，由，得，
，
所以的图象关于直线对称，
函数的图象也关于直线对称，如图，
在上有6个解，且在直线两侧各有3个解，
则它们所有解的和是，故C正确；
对于D，由对任意的，，且，恒成立，
得在上单调递增，令（），
得（），
因为，
所以当时，，此时的最大值是；
当时，，此时的最大值是，故D正确.
11．BC
对于选项A：因为平面，平面，则，
又因为D，E分别是PA、PC的中点，则∥，
假设，则，
且，平面，可知平面，
由平面，可得，这与题意不符，故A错误；
对于选项B：因为∥，平面DEB，平面DEB，
所以平面DEB，故B正确；
对于选项C：因为平面，平面，则，
由题意可知：，且，平面，
可知平面，由平面，可得，
由可知：三棱锥外接球的球心为的中点，
则三棱锥外接球的半径为，
所以三棱锥外接球的表面积为，故C正确；
对于选项D：连接，
因为平面，且，
可知直线BD与平面PAC所成角为，其余弦值为，故D错误；
12．
13．
14．
取CD中点G，连接BG、EG，
正方体中，，，四边形为平行四边形，则，
E是中点，G是CD中点，，则等腰梯形为截面，

而，，
故梯形的周长为；
取中点M，中点N，连接，
则，故四边形为平行四边形，
则得，而平面，平面，
故平面，同理平面，
而，平面，故平面平面，
∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为.
故答案为：；.
15．（1）解：当时，，
当时，即函数取得最大值，最大值为，
所以的最大值为3，此时的取值集合为.
（2）解：设，
则，故，
对任意的，恒成立，等价于对任意的，不等式恒成立，
即对任意的，，恒成立，
①当，即时，在上单调递增，
则，，
故.
由，可得，解得，
则，不符合题意；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，，
故.
由，得，
解得或，
因为，所以，符合题意；
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则，，
故，
由.得，
解得，且，
因为，所以，符合题意；
④当，即时，在上单调递减，
则，.
所以.
由，得，
解得，则，不符合题意.
综上可得，实数的取值范围是.
16．（1）因为，所以，
所以，，所以，所以，
∵为的中点，
∴，
平方得
又，
，，
由余弦定理得：，
∴；
（2）设，
∵平分，∴，
又，得，
∵平分，则，
所以，解得，则，，
在中，，则，
所以．
17．(1)；第75百分位数为84．
(2)5个
(3)总平均数，总方差．
（1）（1）由每组小矩形的面积之和为1得，
，所以．
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
显然第百分位数，由，
解得，所以第百分位数为．
（2）由频率分布直方图知，样本成绩为的三组答卷的市民有
个样本，
成绩在的市民人数为，
所以用分层抽样的方法应在答卷成绩为的中抽取市民人数为个.
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
所以总平均数，
由样本方差计算总体方差公式，得总方差为
．
18．（1）设，连接，
因为分别为的中点，则，
且平面，平面，
所以平面.
（2）在侧棱上存在一点，使平面，满足．理由如下：
因数中点为，，则，
过作的平行线交于，连接．
由于，即．则，
且平面，平面，所以平面，
由（1）可知：平面，
因为，平面，可得平面平面，
且平面，所以平面.
19．（1）连接交于点，连接.
在底面中，因为，且，
由，可得，
因为，即，
所以在中，，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）设的中点为，连接、，
因为，，所以为等边三角形，
所以，
又平面，平面，所以，，平面，
所以平面，平面，所以，
所以为二面角的平面角，
平面，平面，所以，
在中，，
所以，所以，
即二面角的大小为；
（3）因为，，所以，
所以，
在中，
，
，
所以，即，
所以，
设点到平面的距离为，则，
即，
即，
即点到平面的距离为.