【暑假衔接】新高三（高二升高三）暑假自学专题09导数与函数的单调性（教师版+学生版）

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基础知识复习
1．函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．函数的极值
(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【知识拓展】
1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
典型习题强化
1．已知偶函数f(x)的定义域为R，导函数为f'x，若对任意x∈0,+∞)，都有2fx+xf'x>0恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．f0<0B．9f−3f(−1）D．f1【答案】C
【解析】
令x=0，则2f(0)+0>0,∴f(0)>0，则A错误；
令g(x)=x2f(x)，则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)，
当x>0时，由2fx+xf'x>0，
∴2xf(x)+x2f'(x)>0，则gx在(0,+∞)上单调递增，
又因为偶函数f(x)的定义域为R，
∴g(x)=x2f(x)为偶函数，gx在(0,+∞)上单调递增，
∴g(−3)=g3>g(1)，9f(−3)>f(1)，故B错误；
∴g(2)>g(−1)，4f(2)>f(−1)，故C正确；
由题意，不妨假设f(x)=c>0(c为常数)符合题意，此时f1=f2=c，故D错误.
故选：C.
2．函数fx=x−12ex的单调减区间是（ ）
A．(−∞,ln2)B．(ln2,+∞)
C．(–∞,2)D．(2,+∞)
【答案】B
【解析】
f'(x)=1−12ex,
由f'(x)<0，得x>ln2，
所以f(x)的单调递减区间为(ln2,+∞).
故选：B
3．若函数f(x)=12sin2x+acsx在区间(0,π)上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−1]B．[−1,+∞)C．(−∞,−1)D．[1,+∞)
【答案】A
【解析】
解：∵f(x)=12sin2x+acsx在区间(0,π)上是增函数，
∴f'(x)=cs2x−asinx≥0在(0,π)上恒成立，
∴1−2sin2x−asinx≥0，因为x∈(0,π)，所以sinx∈0,1
令t=sinx，则t∈0,1，即−2t2−at+1≥0，t∈0,1，
∴a≤−2t+1t，令gt=−2t+1t，t∈0,1，则g't=−2−1t2<0，
∴gt在0,1上单调递减，∴a≤g1=−1，即a∈−∞,−1，
故选：A．
4．已知函数fx=mx3+3m−1x2−m2+1m>0的单调递减区间是0,4，则m=（ ）
A．3B．13C．2D．12
【答案】B
【解析】
函数fx=mx3+3m−1x2−m2+1m>0，则导数f'x=3mx2+6m−1x
令f'x<0，即3mx2+6m−1x<0，
∵m>0，fx的单调递减区间是0,4，
∴0，4是方程3mx2+6m−1x=0的两根，
∴0+4=21−mm，0×4=0，
∴m=13
故选：B.
5．已知函数fx的导函数f'x的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间−1,1上，fx是增函数B．在区间−3,−2上，fx是减函数
C．−2为fx的极小值点D．2为fx的极大值点
【答案】D
【解析】
由导函数f'x的图像可知，
在区间−1,0上为单调递减，在区间0,1上为单调递增，则选项A不正确；
在区间−3,−2上，f'x>0，则fx是增函数，则选项B不正确；
由图像可知f'−2=0，且−3,−2为单调递增区间，−2,0为单调递减区间，则−2为fx的极大值点，则选项C不正确；
由图像可知f'2=0，且1,2为单调递增区间，2,3为单调递减区间，则2为fx的极大值点，则选项D正确；
故选：D.
6．函数y=fx在定义域−32,3内可导，图像如图所示，记y=fx的导函数为y=f'x，则不等式f'x≥0的解集为（ ）
A．−13,1⋃2,3B．−1,12∪43,83
C．−32,−13∪1,2D．−32,−13∪43,83
【答案】C
【解析】
f'x≥0的解集即为y=fx单调递增区间
结合图像可得y=fx单调递增区间为−32,−13,1,2
则f'x≥0的解集为−32,−13∪1,2
故选：C．
7．已知函数fx=lnx+mx有最小值，且最小值为负数，则m的取值范围是（ ）
A．（0，1）B．0,1e
C．（0，e）D．（0，+∞）
【答案】B
【解析】
解：由题意可得f'x=1x−mx2=x−mx2．
当m≤0时，f'x>0恒成立，则f(x)在（0，+∞）上单调递增，从而f(x)没有最小值，故m≤0不符合题意；
当m>0时，由f'x>0，得x>m，由f'x<0，得0所以函数的增区间为(m,+∞)，减区间为(0,m)，
所以函数的最小值为f(m)=lnm+1<0
解得0故选：B
8．已知函数fx=lnx−ax−1−b−1a≠0,b∈R，若∀x>0,fx≤0恒成立，则ba的最小值是（ ）
A．1+eB．1−eC．1−e−1D．e−2
【答案】B
【解析】
解：由题意得：
∵f'x=1x−a
当a<0时，f'x=1x−a>0，函数fx在R上单调递增，无最大值，不符合题意；
当a>0时，令f'x=1x−a=0，解得x=1a，当x∈0,1a时，f'x>0，函数fx在0,1a上单调递增，当x∈1a,+∞时，f'x<0，函数fx在1a,+∞上单调递减，所以fxmax=f1a=−lna−a1a−1−b−1=−lna+a−b−2≤0.
令ba=k，则b=ak，所以−lna+1−ka−2≤0，设φa=−lna+1−ka−2，则φ'a=−1a+1−k
若1−k≤0，即k≥1，则φ'a<0，此时φa单调递减，符合题意；
若k<1，由φ'a=0，得a=11−k，此时φamin=ln1−k−1≤0，解得k≥1−e，所以k的最小值为1−e.
故选：B
9．函数f(x)=2x3−ax+6的一个单调递增区间为[1，+∞)，则减区间是（ ）
A．(−∞,0)B．(−1,1)C．(0,1)D．(−∞,1)，(0,1)
【答案】B
【解析】
函数f(x)=2x3−ax+6，则f'(x)=6x2−a，
当a≤0时，f'(x)≥0恒成立，函数f(x)在其定义域内是递增．
当a>0时，令f'(x)=0，解得：x=±a6，
当x∈a6,+∞时，f'(x)>0，函数f(x)是递增．
∵函数f(x)的一个单调递增区间为1,+∞，故得：a6=1，解得：a=6，
∴x在(−1,1)时，f'(x)<0，函数f(x)是递减．
故选：B．
10．已知函数fx=(x+a)lnx，下列命题：（1）当a<0时，函数y=f(x)一定存在极小值；（2）当a>0时，方程fx=0有且只有一个零点（3）函数y=f(x)可能既有极小值，也有极大值；（4）函数y=f(x)可能为单调递增函数；则正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】
解：因为fx=(x+a)lnx，所以定义域为0,+∞，f'x=(x+a)'lnx+(x+a)lnx'=lnx+x+ax=xlnx+x+ax
（1）当a<0时f'x=xlnx+x+ax，令Fx=xlnx+x+a，则F'x=lnx+2，令F'x=0，解得x=e−2，所以x∈0,e−2时F'x<0，即Fx在0,e−2上单调递减，x∈e−2,+∞时F'x>0，即Fx在e−2,+∞上单调递增，当x→0+时Fx→a<0，Fe−2=−e−2+a<0，x→+∞时Fx→+∞，所以存在x0∈e−2,+∞，使得Fx0=0，所以fx在0,x0上单调递减，在x0,+∞上单调递增，即fx一点存在极小值fx0，故（1）正确；
（2）当a>0时fx=(x+a)lnx=0，所以x=1或x=−a，因为x>0且a>0，所以x=−a（舍去），所以方程fx=0有且只有一个零点，故（2）正确；
（3）因为Fx=xlnx+x+a是由gx=xlnx+x上（下）平移a个单位，由（1）可知gx=xlnx+x的图象如下所示，由图可知，当0（4）由（3）可知当−e−2+a>0，即a>e−2时，Fx=xlnx+x+a完全移至x轴上方，此时Fx>0恒成立，所以f'x>0恒成立，所以fx=(x+a)lnx在定义域上单调递增，故（4）正确；
故选：D
11．函数fx=ex−acsx，下列说法正确的是（ ）
A．当a=1时，fx在0,fx处的切线的斜率为1
B．当a=1时，fx在−π,+∞上单调递增
C．对任意a>0,f'x在−π,+∞上均存在零点
D．存在a<0,f'x在−π,+∞上有唯一零点
【答案】AD
【解析】
对于A，当a=1时，fx=ex−csx,f'x=ex+sinx，
f'0=1，故fx在0,fx处的切线的斜率为1，A正确；
对于B，当a=1时，fx=ex−csx,f'x=ex+sinx，
作出函数y=ex,y=−sinx 在x∈−π,+∞上的图象如图示，
可以看到y=ex,y=−sinx在x∈−π,0有两交点，
即f'x=ex+sinx有两个零点x1,x2 ，不妨假设x1当x∈−π,x1时，f'x>0，fx递增，当x∈x1,x2时，f'x<0，fx递减，当x∈x2,+∞时，f'x>0，fx递增，
故当a=1时，fx在−π,+∞上不是单调递增函数，故B错误；
对于C，f'x=ex+asinx，x∈−π,0，
令f'x=ex+asinx=0，则−1a=sinxex ,
令F(x)=sinxex,x∈−π,0，F'(x)=csx−sinxex=−2sin(x−π4)ex ，
令F'(x)=0，得x=kπ+π4,k≥−1,k∈Z ，
故当x∈(π4+2kπ,5π4+2kπ)时，2sin(x−π4)>0,F'(x)<0，F(x)递减，
当x∈(5π4+2kπ,π4+2π+2kπ)时，2sin(x−π4)<0,F'(x)>0，F(x)递增，
所以当x=2kπ+5π4,k≥−1,k∈Z时，F(x)取到极小值，
即当x=−3π4,5π4,⋯时，F(x)取到极小值，
又sin(−3π4)e−3π4⋯ ，即F(−3π4)又因为在(−π,−3π4]上，F(x)递减，故F(x)≥F(−3π4)=−22e3π4，
当x=2kπ+π4,k≥0,k∈Z时，F(x)取到极大值，
即当x=π4,9π4,⋯时，F(x)取到极大值，
又sinπ4eπ4>sin9π4e9π4>⋯ ，即F(π4)>F(9π4)>⋯ ，故F(x)≤F(π4)=22eπ4，
当x∈−π,+∞时，−22e3π4≤F(x)≤22eπ4，
所以当−1a<−22e3π4即a<22e3π4，时，f'(x)在−π,+∞上无零点，故C错误；
当−1a=22eπ4，即a=−2eπ4时，y=−1a 与y=sinxex 的图象只有一个交点，
即存在a<0,f'x在−π,+∞上有唯一零点，故D正确，
故选：AD
12．下列命题为真命题的个数是（ ）
A．ln3<3ln2 B．lnπ<πe
C．215<15 D．3eln2<42
【答案】ACD
【解析】
设函数f(x)=lnxx,x>0 ，则f'(x)=x⋅1x−lnx⋅12xx=2−lnx2xx，
当00，当x>e2时，f'(x)<0，
故f(x)=lnxx,x>0在(0,e2) 上递增，在(e2,+∞) 上递减，
对于A，由3<4即 ln33<2ln22,ln3<3ln2，A正确；
对于B，e<π πe=πe，B错误；
对于C，16>15>e2 ，故f(16)故ln2对于D，8>e2 ，故f(8)即3eln2<42，D正确，
故选：ACD
13．已知f(x)=a2−1ex−1−12x2，若不等式f1lnx>f1x−1在(1,+∞)上恒成立，则a的值可以为（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【答案】AD
【解析】
设y=x−1−lnx(x>1)，则y'=1−1x>0，
所以y=x−1−lnx在(1,+∞)上单调递增，所以x−1−lnx>0，
所以lnx∴1lnx>1x−1>0．
又f1lnx>f1x−1在(1,+∞)上恒成立，
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以f'(x)=a2−1ex−1−x≥0对∀x∈(1,+∞)恒成立，即a2−1≥xex−1恒成立．
令g(x)=xex−1,g'(x)=1−xex−1，当x>1时，g'(x)<0，故g(x)∴a2−1≥1，解得a≥2或a≤−2，
所以a的值可以为−2，2，
故选：AD.
14．已知定义在区间(0,π)上的函数f(x)=xsinx+csx，则f(x)的单调递增区间是__________．
【答案】0,π2##0,π2
【解析】
对函数f(x)=xsinx+csx进行求导，f'(x)=sinx+xcsx−sinx=xcsx
当x∈0,π2，f'(x)>0，故f(x)的单调递增区间是0,π2.
故答案为：0,π2.
15．若函数fx=x2+ax+5ex在12，32上单调递增，则实数a的取值范围是____
【答案】a≥−4
【解析】
解：f'x=x2+ax+5'ex+x2+ax+5ex'=x2+2+ax+5+aex，
要使函数fx=x2+ax+5ex在区间12,32上单调递增，需f'(x)≥0在12,32上恒成立；
即x2+2+ax+5+aex≥0在12,32上恒成立，即x2+2+ax+5+a≥0在12,32上恒成立，
即a≥−x2−2x−51+x在12,32上恒成立，
而−x2−2x−51+x=−x+12−41+x
=−1+x−41+x=−1+x+41+x≤−21+x⋅41+x=−4，
当且仅当1+x=41+x，即x=1时等号成立，此时符合题意.
即a≥−4.
故答案为：a≥−4
16．已知f(x)=|x|ex，则下列说法正确的有______________
①函数y=f(x)有唯一零点x=0
②函数y=f(x)的单调递减区间为(−∞,−1)和(1,+∞)
③函数y=f(x)有极大值点1,1e
④若关于x的方程f(x)=a有三个不同的根，则实数a的取值范围是0,1e
【答案】①④
【解析】
由f(x)=0得：|x|=0，即x=0，故函数f(x)有唯一零点x=0，故①正确；
由题意可知：f(x)=xex=xex,x≥0−xex,x<0，
当x≥0时，f(x)=xex，则f'(x)=1−xex，
当0≤x<1时，f'(x)>0，f(x)递增；当x>1时，f'(x)<0，f(x)递减，
则此时f(x)的极大值为f(1)=1e；
当x<0时，f(x)=−xex>0，f'(x)=x−1ex<0，f(x)=−xex在(−∞,0)上单调递减，
由此可作出y=f(x)的图象如下：
观察图象可得函数y=f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，(1,+∞)，②错，
函数y=f(x)在x=1时有极大值，即函数y=f(x)有极大值点为1，③错误，
若关于x的方程f(x)=a有三个不同的根，则实数a的取值范围是(0,1e)，④正确，
故答案为：①④．
17．已知函数ℎx=xex−mx,gx=lnx+x+1.
(1)当m=1时，求函数ℎx的单调区间：
(2)若ℎx⩾gx在x∈0,+∞恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)−∞,0
【解析】
(1)当m=1时ℎx=xex−x,ℎ'x=x+1ex−1
设μx=ℎ'x=x+1ex−1，则μ'x=x+2ex≥0⇒x≥−2
μ'x=x+2ex<0⇒x<−2
∴μx即ℎ'x在−∞,−2递减，在−2,+∞递增，
当x∈−∞,−2,ℎ'x=x+1⋅ex−1<0，当x∈−2,0,ℎ'x<ℎ'0=0
而当x∈0,+∞,ℎ'x≥ℎ'0=0所以当x∈−∞,0,ℎ'x<0,ℎx递减；
x∈0,+∞,ℎ'x≥0,ℎx递增.
故函数增区间为0,+∞，减区间为−∞,0
(2)m+1≤ex−lnxx−1x=xex−lnx−1x，x∈0,+∞
令fx=xex−lnx−1x,f'x=x2ex+lnxx2,x∈0,+∞
令px=x2ex+lnx,p'x=exx2+2x+1x>0,x∈0,+∞
∴px在0,+∞递增，而p1e=e1e−2−1<0,p1>0，
∴∃x1∈1e,1，使px1=0，即x12ex1+lnx1=0∗
当x∈0,x1时，f'x<0,fx在0,x1递减，当x∈x1,+∞时，f'x>0,fx在x1,+∞递增
∴f(x)min=fx1=ex1−lnx1x1−1x1
因为x12ex1+lnx1=0∗可变形为x1ex1=−1x1lnx1=1x1ln1x1=eln1x1ln1x1∗∗
又∵y=xex,y'=x+1ex>0,∴y=xex在0,+∞递增，
由（**）可得x1=ln1x1=−lnx1,ex1=1x1
∴f(x)min=fx1=ex1−lnx1x1−1x1=1x1+1−1x1=1∴m+1≤1∴m≤0
故m取值范围为−∞,0
18．已知函数fx=xsinx+csx+12ax2,x∈0,π.
(1)当a=0时，求fx的单调区间；
(2)当a>0时，讨论fx的零点个数.
【答案】(1)单调增区间为0,π2，单调减区间为π2,π
(2)答案见解析
【解析】
(1)解：当a=0时，函数fx=xsinx+csx,x∈0,π，
可得f'x=sinx+xcsx−sinx=xcsx.
当x在区间0,π上变化时，f'x，f（x）的变化如下表：
所以fx的单调增区间为0,π2；fx的单调减区间为π2,π.
(2)解：由题意，函数fx=xsinx+csx+12ax2,x∈0,π，
可得f'x=ax+xcsx=xa+csx
当a≥1时，a+csx≥0在[0,π]上恒成立，
所以x∈[0,π]时，f'x≥0，所以fx在[0,π]上单调递增.
又因为f0=1，所以f（x）在[0,π]上有0个零点.
当0由−1<−a<0可知存在唯一的x0∈π2,π使得csx0=−a，
所以当x∈[0,x0)时，f'x≥0，fx单调递增；
当x∈x0,π时，f'x<0，fx单调递减，
因为f0=1，f(x0)>1，fπ=12aπ2−1，
①当12aπ2−1>0，即2π2②当12aπ2−1≤0，即0综上可得，当02π2时，fx有0个零点.
19．已知函数fx=ax2−1lnx，其图象在x=e处的切线过点2e,2e2．
(1)求a的值；
(2)讨论fx的单调性；
(3)若λ>0，关于x的不等式λxfx≤e2λx−1在区间[1,+∞)上恒成立，求λ的取值范围．
【答案】(1)1
(2)fx在0,1上递增，在1,+∞上递增；
(3)[1e,+∞)
【解析】
(1)解：因为函数fx=ax2−1lnx，
所以fe=ae2−1，f'x=2axlnx−ax2−11xlnx2，
则f'e=ae+1e，
所以函在x=e处的切线方程为y−ae2−1=ae+1ex−e，
又因为切线过点2e,2e2，
所以2e2−ae2−1=ae+1e2e−e，
即2ae2=2e2，解得a=1；
(2)由（1）知；fx=x2−1lnx，则f'x=2x2lnx−x2+1xlnx2，
令gx=2x2lnx−x2+1，则g'x=4xlnx，
当01时，g'x>0，
所以gx>g1=0
即当00，当x>1时，f'x>0，
所以fx在0,1上递增，在1,+∞上递增；
(3)因为x的不等式λxfx≤e2λx−1在区间[1,+∞)上恒成立，
所以e2λx−1λx≥x2−1lnx在区间[1,+∞)上恒成立，
即feλx≥fx在区间[1,+∞)上恒成立，
因为fx在1,+∞上递增，
所以eλx≥x在区间[1,+∞)上恒成立，
即λ≥lnxx在区间[1,+∞)上恒成立，
令ℎx=lnxx，则ℎ'x=1−lnxx2，
当00，当x>e时，ℎ'x<0，
所以当x=e时，ℎx取得最大值ℎe=1e，
所以λ≥1e.
20．已知f'x是函数fx=ex+ax2的导函数.
(1)试讨论f'x的单调性；
(2)当x≥0时，fx≥12x3+x+1，求a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)7−e24,+∞
【解析】
(1)f'x=ex+2ax，f''x=ex+2a
当a≥0时，f''x>0，f'x在−∞,+∞上单调递增，
当a<0时，由f''x=ex+2a=0得x=ln−2a，
当x>ln(−2a)时，f''x>0，当x所以f'x在−∞,ln−2a上单调递减，在ln−2a,+∞上单调递增，
综上所述，a≥0时，f'x在−∞,+∞上单调递增，
a<0时，f'x在−∞,ln−2a上单调递减，在ln−2a,+∞上单调递增.
(2)①当x=0时，a∈R，
②当x>0时，fx≥12x3+x+1，ex+ax2≥12x3+x+1即a≥12x3+x+1−exx2，
令ℎx=12x3+x+1−exx2，其定义域为0,+∞，ℎx=2−xex−12x2−x−1x3，
记mx=ex−12x2−x−1，m'x=ex−x−1，
令qx=ex−x−1，∵x>0，∴q'x=ex−1>0，
∴qx在0,+∞上单调递增，即qx>q0=0，即m'x>0
∴m'x在0,+∞上单调递增，即mx>m0=0.
故当x∈0,2时，ℎ'x>0，ℎx在0,2上单调递增，
当x∈2,+∞时，ℎ'x<0，ℎx在2,+∞上单调递减，
∴ℎx在x=2处取得极大值也是最大值，∴ℎxmax=ℎx=7−e24，∴a≥7−e24，
综上可知，实数a的取值范围是7−e24,+∞.
x
0
0,π2
π2
π2,π
π
f'x
0
+
0
-
f（x）
极小值1
↗
极大值π2
↘
-1