【暑假衔接】新高三（高二升高三）暑假自学专题10导数与函数的极值、最值（教师版+学生版）

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基础知识复习
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3常用结论
1.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.
2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
典型习题强化
1．已知函数f(x)=xlnx，下列说法错误的是（ ）
A．f(x)在x=e处的切线方程为y=eB．函数f(x)的单调递减区间为(0,e)
C．f(x)的极小值为eD．方程f(x)=3有2个不同的解
【答案】B
【解析】
函数f(x)=xlnx定义域为(0,1)∪(1,+∞)，求导得：f'(x)=lnx−1(lnx)2，
对于A，f'(e)=0，而f(e)=e，则函数f(x)在x=e处的切线方程是y=e，A正确；
对于B，当012
故选：B
4．定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且xf'(x)的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f(x)在区间(−1,0)上单调递减B．函数f(x)在区间(−1,5)上单调递减
C．函数f(x)在x=5处取得极大值D．函数f(x)在x=−1处取得极小值
【答案】D
【解析】
由图像知：当x∈−∞,−1时，xf'(x)>0,f'(x)0，当x∈0,5∪5,10时，xf'(x)0；
∴fx在0,x1上单调递减，在x1,+∞上单调递增，
∴a=fxmin=fx1=x1ex1−lnx1−x1−2=1+x1−x1−2=−1；
g'x=x−1ex−2x2+1x−1=x−1ex−2−xx2；
令ℎx=ex−2−x，则ℎ'x=ex−2−1，令ℎ'x>0，解得：x>2，令ℎ'x0，
所以gx在0,+∞为增函数，即gx>g0=1.
所以ex3+x1的取值范围是1,+∞，
故选：B
10．已知函数fx=ex−1,x⩾0,x+1,x0，∴函数fx在0,e上单调递增，
当x>e时，f'xe时fx为单调递减函数，∴fπ0时，fx=lnxx，f'(x)=1−lnxx2，
令f'(x)=0，解得x=e，
当x∈(0,e)时，f'(x)>0，则f(x)为单调递增函数，
当x∈(e,+∞)时，f'(x)1，下列选项正确的是（ ）
A．点0,0是函数fx的零点
B．∃x1∈0,1,∃x2∈1,3，使fx1>fx2
C．函数fx的值域为−e−1,+∞
D．若关于x的方程fx2−2afx=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是0,+∞∪−12e
【答案】CD
【解析】
解：对于A，因为f0=0，所以x=0是函数fx的零点，故A错误；
对于C，当x≤1时，fx=xex，则f'x=x+1ex，
当x0，
所以函数fx在−∞,−1上递减，在−1,1上递增，
所以fxmin=f−1=−e−1，
又当x→−∞时，fx→0−，fe=e，
故当x≤1时，fx∈−e−1,e，
当x>1时，fx=exx，则fx=exx−1x2>0，
所以函数fx在1,+∞上递增，
故fx>f1=e，
故当x>1时，fx∈e,+∞，
综上所述，函数fx的值域为−e−1,+∞，故C正确；
对于B，由C可知，函数fx在0,1上递增，在1,3上递增，
则fx1e，
所以不存在x1∈0,1,∃x2∈1,3，使fx1>fx2，故B错误；
对于D，关于x的方程fx2−2afx=0有两个不相等的实数根，
即关于x的方程fxfx−2a=0有两个不相等的实数根，
所以fx=0或fx−2a=0，
由C知，方程fx=0只有一个实数根，
所以方程fx−2a=0也只有一个实数根，
即函数y=fx与函数y=2a的图象只有一个交点，
如图，画出函数y=fx的简图，
则2a=−1e或2a>0，
所以a=−12e或a>0，
所以实数a的取值范围是0,+∞∪−12e，故D正确.
故选：CD.
14．若函数fx=2x3−ax2−1a∈R在−∞,0内有且只有一个零点，则fx在−1,1上的最大值与最小值的和为_______．
【答案】3
【解析】
当x0 ，解得x>1或x1，即存在a∈0,+∞，使得函数fx有两个零点，故④正确.
当a∈(−∞,0)时，f'x>0恒成立，故f(x)是0,+∞上的增函数，故②错误；
因为ex>1，当01x+lnx恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)1
(2)12,+∞
【解析】
(1)当a=12时，f(x)=e1−x+12x2−1，
所以f'(x)=−e1−x+x，易知f'(x)单调递增，且f'(1)=0，
当x∈(−∞,1)时，f'(x)x>0，所以e1−x1时，g'(x)=−e1−x+2ax+1x2−1x>−1x+x+1x2−1x =x3−2x+1x2>x2−2x+1x2>0，
因此g(x)在(1,+∞)上单调递增．又g(1)=0，
所以当x>1时，g(x)>0．
综上，a的取值范围是12,+∞．
18．已知函数fx=ex−ax−1a∈R．
(1)当a=1时，求函数y=fx的极值；
(2)若函数g(x)=f(x)+lnx−e在1,+∞无零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)极小值为2，无极大值
(2)a∈−∞,e+1
【解析】
(1)由题知，当a=1时，f(x)=ex−(x−1)，x∈R
∴f'x=ex−1，令f'x=0，x=0．
∴x∈−∞,0时，f'x1；令ℎx=ex−a+1x，x>1
∴ℎ'x=ex−1x2，∵x>1，∴ℎ'x>0恒成立，
∴ℎx单调递增，即g'x单调递增．
①当a≤e+1时，∴g'x>g'1=e+1−a≥0，∴gx单调递增
∴gx>g1=0恒成立，即gx在1,+∞上无零点，∴a∈−∞,e+1．
②当a>e+1时，令g'x=0，x=x0，x0∈1,+∞，又g'x单调递增，
∴x∈1,x0时，g'x−1在x=−1处取得最小值，试求b的最大值.
【答案】(1)极大值为f−1=1，极小值为f13=−527
(2)答案见解析
(3)17−12
【解析】
(1)当a=1时，fx=x3+x2−x，则f'x=3x2+2x−1=3x−1x+1，
∴当x∈−∞,−1⋃13,+∞时，f'x>0；当x∈−1,13时，f'x0时，x10，当0