【暑假衔接】新高三（高二升高三）暑假自学专题13三角恒等变换（教师版+学生版）

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基础知识复习
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β(C(α－β))
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β(S(α－β))
sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β(S(α＋β))
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)(T(α－β))
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)(T(α＋β))
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcs α；
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
【知识拓展】
1．降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
2．升幂公式：1＋cs 2α＝2cs2α，1－cs 2α＝2sin2α.
3．辅助角公式：asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)) .
典型习题强化
1．已知函数fx=sinx+acsxa>0的最大值为2，若方程fx=b在区间0,13π6内有三个实数根x1,x2,x3，且x1A．8π3B．10π3C．4πD．25π6
【答案】A
【解析】
f(x)=sinx+acsx=1+a2sin(x+φ)，由题知1+a2=2，且a>0，
解得a=3，于是f(x)=2sinx+π3．
方程f(x)=b在区间0， 13π6内的实数根，即为在区间0， 13π6内y=f(x)的图象与直线y=b的交点的横坐标，如图所示，
由f(x)图象的对称性可知，x1+x22=π6， x2+x32=7π6，即x1+x2=π3，x2+x3=7π3，所以x1+2x2+x3=(x1+x2)+(x2+x3)=8π3，
故选：A．
2．已知函数fx=sin4ωx2+cs4ωx2（ω>0），对任意的实数a，fx在（a，a+3）上的值域是[12，1]，则整数ω的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
由题意可得fx=sin2ωx2+cs2ωx22−2sin2ωx2cs2ωx2=1−12sin2ωx=34+14cs2ωx，
则fx的最小正周期T=2π2ω=πω，因为对任意的实数a，fx在a，a+3上的值域是[12，1]，所以T=πω<3，解得ω>π3，因为ω∈N，所以整数ω的最小值是2.
故选：B
3．已知a，β都是锐角，且csα+π3=13,sinβ−π3=−55，则csα+β=（ ）
A．25−21015B．25+21015
C．215−21015D．215+21015
【答案】B
【解析】
因为a是锐角，所以0<α<π2，所以π3<α+π3<5π6，
因为csα+π3=13>0，所以π3<α+π3<π2，所以sinα+π3=223，
因为β是锐角，所以0<β<π2，所以−π3<β−π3<π6，
因为sinβ−π3=−55<0，所以−π3<β−π3<0，所以csβ−π3=255，
因为α+π3+α−π3=α+β，所以 csα+β=csα+π3+β−π3=csα+π3csβ−π3−sinα+π3sinβ−π6=25+21015.
故选：B.
4．已知a=ln12,b=12−3,c=tan15°1−tan215°，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>cB．c>b>a
C．b>c>aD．a>c>b
【答案】C
【解析】
因为a=ln12=−ln2<0，b=12−3=8，c=tan15°1−tan215°=12tan30°=36<1
所以b>c>a.
故选：C.
5．已知α，β都是锐角，且csα+π3=1010， sinβ−π6=55，则csα−β=（ ）
A．−22B．22C．−7210D．7210
【答案】B
【解析】
因为α，β都是锐角，
所以π3<α+π3<5π6，−π6<β−π6<π3，
又csα+π3>0，sinβ−π6>0，
所以π3<α+π3<π2，0<β−π6<π3，
所以sinα+π3=1−cs2α+π3=31010，
csβ−π6=1−sin2β−π6=255，
所以sinα+π3−β−π6=sinα+π3csβ−π6−csα+π3sinβ−π6
所以sinα+π3−β−π6=31010×255−1010×55=22，
所以sinπ2+α−β=22，
所以csα−β=22，
故选：B.
6．已知α+β=15∘，则1+tanα+tanβ−tanαtanβ1−tanα−tanβ−tanαtanβ=（ ）
A．−33B．33C．1D．3
【答案】D
【解析】
因为tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ，所以tanα+tanβ=tanα+β1−tanαtanβ，
所以1+tanα+tanβ−tanαtanβ1−tanα−tanβ−tanαtanβ=1−tanαtanβ+tanα+β1−tanαtanβ1−tanαtanβ−tanα+β1−tanαtanβ
1+tanα+β1−tanαtanβ1−tanα+β1−tanαtanβ=1+tanα+β1−tanα+β=tan45∘+tan15∘1−tan45∘tan15∘=tan45∘+15∘=3.
故选：D.
7．已知(1,2)为角α终边上一点，关于x的函数f(x)=cs2xcsα−sin2xsinα有对称轴x=m，则tan2m=（ ）
A．−2B．2C．−12D．12
【答案】A
【解析】
因为(1,2)为角α终边上一点，所以tanα=2，
f(x)=cs(2x+α)，当x=m时，2m+α=kπk∈Z，2m=kπ−αk∈Z，
所以tan2m=tankπ−α=−tanα=−2.
故选：A.
8．若角α的终边经过点Psin70°,cs70°，且tanα+tan2α+mtanα⋅tan2α=3，则实数m的值为（ ）
A．−3B．−33C．33D．3
【答案】D
【解析】
∵sin70°=cs20°，cs70°=sin20°，∴Pcs20°,sin20°，故tanα=tan20°，tan2α=tan40°，又tan60°=tan20°+40°=tan20°+tan40°1−tan20°tan40°=3，即tan20°+tan40°+3tan20°⋅tan40°=3，∴m=3．
故选：D．
9．已知函数fx=cs2x+sin2x−π2，将函数fx的图象先向右平移π12个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数gx的图象，则函数gx图象的对称轴方程为（ ）
A．x=kπ+π12k∈ZB．x=kπ−π6k∈Z
C．x=kπ2−π12k∈ZD．x=kπ2+π12k∈Z
【答案】D
【解析】
fx=cs2x+sin2x−π2=2cs2x=1+cs2x
由题意可得gx=cs2x−π12=cs2x−π6
则2x−π6=kπk∈Z，解得x=kπ2+π12k∈Z
故选：D．
10．下列化简结果正确的个数为（ ）
①cs22∘sin52∘−sin22∘cs52∘=12 ②tan24∘+tan36∘1−tan24∘tan36∘=3
③cs15∘−sin15∘=22 ④sin15∘sin30∘sin75∘=14
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
cs22∘sin52∘−sin22∘cs52∘=sin(52∘−22∘)=sin30∘=12，①正确；
tan24∘+tan36∘1−tan24∘tan36∘=tan(24∘+36∘)=tan60∘=3，②正确；
cs15∘−sin15∘=2(cs45∘cs15∘−sin45∘sin15∘)=2cs(45∘+15∘)=22，③正确；
sin15∘sin30∘sin75∘=sin15∘sin30∘sin90∘−15∘=sin15∘cs15∘sin30∘=12sin30∘sin30∘=18，④错误；正确的有3个.
故选：C.
11．已知α∈π,2π，sinα=tanα2=tanβ2，则（ ）
A．tanα=3B．csα=12C．tanβ=43D．csβ=17
【答案】BD
【解析】
因为sinα=tanαcsα=tanα2，
所以csα=12，又 α∈π,2π，
所以sinα=−32，tanα=−3，故A错误，B正确．
tanβ2=−32，
所以tanβ=2tanβ21−tan2β2=−43，
csβ=cs2β2−sin2β2sin2β2+cs2β2=1−tan2β21+tan2β2=17，
故C错误，D正确．
故选：BD.
12．下列等式成立的是（ ）
A．1−tan222.5°1+tan222.5°=22B．cs20°cs40°cs60°cs80°=18
C．tan22°+tan23°+tan22°tan23°=1D．sin40°tan10°−3=−2
【答案】AC
【解析】
解：对于A：1−tan222.5°1+tan222.5°=1−sin222.5°cs222.5°1+sin222.5°cs222.5°=cs222.5°−sin222.5°cs222.5°cs222.5°+sin222.5°cs222.5°
=cs222.5°−sin222.5°cs222.5°+sin222.5°=cs222.5°−sin222.5°=cs45°=22，故A正确；
对于B：cs20°cs40°cs60°cs80°
=sin20°cs20°cs40°cs60°cs80°sin20°
=12sin40°cs40°cs60°cs80°sin20°
=12×12sin80°cs60°cs80°sin20°
=12×12×12sin160°cs60°sin20°
=12×12×12sin20°cs60°sin20°=12×12×12cs60°=116，故B错误；
对于C：tan45°=tan22°+23°=tan22°+tan23°1−tan22°tan23°=1，
所以tan22°+tan23°=1−tan22°tan23°，
所以tan22°+tan23°+tan22°tan23°=1，故C正确；
对于D：sin40°tan10°−3
=sin40°sin10°−3cs10°cs10°
=sin40°⋅212sin10°−32cs10°cs10°
=sin40°⋅2sin10°−60°cs10°
=sin40°⋅−2sin50°cs10°
=−2sin40°cs40°cs10°
=−sin80°cs10°
=−cs10°cs10°=−1，故D错误；
故选：AC
13．已知函数fx=sinx+csx，则下列说法正确的是（ ）
A．π2是fx的周期
B．fx的最小值为22
C．fπ3−x=fx
D．fx=2在−5π12,0上有解
【答案】AD
【解析】
解：∵f(x+π2)=sinx+π2+csx+π2=csx+sinx=fx，
∴fx是以π2为周期的函数，当x∈0,π2时，f(x)=sinx+csx=sinx+csx=2sinx+π4，
则x+π4∈π4,3π4，∴1≤2sinx+π4≤2，
∴函数fx的最小正周期为π2，函数fx的最小值为1，故B错误，
由fπ3=sinπ3+csπ3=1+32≠f0=1，故C错误；
由f(−π4)=sin−π4+cs−π4=2，∴fx=2在−5π12,0上有解，故D正确.
故选：AD
14．若cs2αcsα+sinα=csπ+α，则tan2α=___________.
【答案】−43
【解析】
解：因为cs2αcsα+sinα=csπ+α，
所以cs2α−sin2αcsα+sinα=−csα，即csα+sinαcsα−sinαcsα+sinα=−csα，
所以csα−sinα=−csα，所以tanα=2，
所以tan2α=2tanα1−tan2α=2×21−22=−43；
故答案为：−43
15．已知α，β为锐角，sinα=45，csα+β=−55，则cs2β=______.
【答案】−35##−0.6
【解析】
解：因为α，β为锐角，
则α,β∈0,π2，则α+β∈0,π，
又sinα=45，csα+β=−55，
所以csα=35，sinα+β=255，
则sinβ=sinα+β−α=sinα+βcsα−csα+βsinα=255，
所以cs2β=1−2sin2β=−35.
故答案为：−35.
16．已知函数f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)给出下列四个结论：
①f(x)的值域是[−1,1]；
②f(x)在[0,π2]上单调递减：
③f(x)是周期为π的周期函数
④将f(x)的图象向左平移π2个单位长度后，可得一个奇函数的图象
其中所有正确结论的序号是___________．
【答案】②③
【解析】
f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)
=(22csx+22sinx)(22csx−22sinx)
=12cs2x−12sin2x
=12cs2x
所以f(x)的值域为[−12,12] ，故①错误；
令2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z ，∴kπ≤x≤π2+kπ,k∈Z
当k=0时，f(x)的一个单调递减区间为[0,π2]，故②正确；
f(x)的周期T=2πω=π ,故③正确
f(x)的图像向左平移π2个单位长度后得到的函数图像对应的解析式为g(x)=f(x+π2)=12cs[2(x+π2)]=−12cs2x ，是偶函数，故④错误
故答案为：②③
17．设函数f(x)=sinx⋅sinπ2+x+3cs2x−32.
(1)求函数f(x)的周期及f(x)图象的对称轴；
(2)在锐角△ABC中，若f(A)=0，且能盖住△ABC的最小圆的面积为π，求AB+AC的取值范围.
【答案】(1)周期是π，对称轴方程是x=kπ2+π12（k∈Z）.
(2)3,23
【解析】
(1)解：因为f(x)=sinxcsx+3cs2x−32=12sin2x+3×1+cs2x2−32=12sin2x+32cs2x=sin2x+π3，
所以函数f(x)的周期T=2π2=π，
令2x+π3=kπ+π2（k∈Z），解得x=kπ2+π12（k∈Z），
所以函数f(x)的周期是π，对称轴方程是x=kπ2+π12（k∈Z）；
(2)解：因为f(A)=0，所以sin2A+π3=0，
又因为△ABC为锐角三角形，所以0所以2A+π3=π，所以A=π3，
因为能盖住△ABC的最小圆为△ABC的外接圆，设半径为R，
所以πR2=π，得R=1，
因为由正弦定理有asinA=bsinB=csinC=2R=2，
所以b=2sinB，c=2sinC，
b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin2π3−B=3sinB+3csB=23sinB+π6，
因为△ABC为锐角三角形，所以π6所以π3所以3所以AB+AC的取值范围是3,23.
18．已知：函数fx=2sinxcsx+3cs2x．
(1)求fx的最小正周期；
(2)求fx的单调递减区间；
(3)若函数gx=fx−k在0,π4上有两个不同的零点，写出实数k的取值范围．（只写结论）
【答案】(1)π
(2)kπ+π12,kπ+7π12，k∈Z．
(3)3,2
【解析】
(1)解：因为fx=2sinxcsx+3cs2x
=sin2x+3cs2x=2(12sin2x+32cs2x)=2sin(2x+π3)，
即fx=2sin2x+π3
所以f(x)的最小正周期T=2π2=π．
(2)解：令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z，
解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z，
所以f(x)的单调递减区间为kπ+π12,kπ+7π12，k∈Z．
(3)解：由x∈[0,π4]，可得2x+π3∈π3,5π6，
而函数f(x)在0,π12上单调递增，所以f(x)∈3,2，在π12,π4上单调递减，f(x)∈1,2，
所以若函数g(x)=f(x)−k在0,π4上有两个不同的零点，即y=k与y=f(x)有两个交点，
所以k∈3,2．
19．已知向量a=sinx,3，b=(1,csx)．
(1)若a⊥b，求sin2x的值；
(2)令f(x)=a⋅b，把函数f(x)的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），再把所得的图像沿x轴向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在0,π2上的最大值和最小值．
【答案】(1)−32
(2)最大值3，有最小值−2．
【解析】
(1)因为a⊥b，所以a⋅b=sinx,3⋅1,csx=sinx+3csx=0，
所以tanx=−3，所以sin2x=2tanx1+tan2x=−32．
(2)由题可得f(x)=a⋅b=sinx,3⋅1,csx=sinx+3csx=2sinx+π3
则g(x)=2sin2x+2π3
当x∈0,π2时，2π3≤2x+2π3≤5π3，当2x+2π3=2π3时g(x)有最大值3，
当2x+2π3=3π2时g(x)有最小值−2．
20．设O为坐标原点，定义非零向量OM=a,b的“相伴函数”为fx=asinx+bcsxx∈R，向量OM=a,b称为函数fx=asinx+bcsx的“相伴向量”.
(1)设函数ℎx=2sinπ3−x−csπ6+x，求ℎx的“相伴向量”；
(2)记OM=0,2的“相伴函数”为fx，若函数gx=fx+23sinx−1，x∈0,2π与直线y=k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；
(3)已知点Ma,b满足3a2−4ab+b2<0，向量OM的“相伴函数”fx在x=x0处取得最大值.当点M运动时，求tan2x0的取值范围.
【答案】(1)OM=−12,32
(2)1,3
(3)−∞,−34
【解析】
(1)解：ℎ(x)=232csx−12sinx−32csx−12sinx=32csx−12sinx
∴ℎx的“相伴向量”为OM=−12,32.
(2)解：由题知：f(x)=0⋅sinx+2⋅csx=2csx.
g(x)=2csx+23sinx−1=4sinx+π6−1,0⩽x⩽π4csx+π3−1,π可求得g(x)在0，π3单调递增，π3，π单调递减，π，5π3单调递增，53π，2π单调递减且g(0)=1,gπ3=3,g(π)=−3,g53π=3,g(2π)=1
∵g(x)图像与y=k有且仅有四个不同的交点
∴1≤k<3
所以，实数k的取值范围为1,3
(3)解：f(x)=asinx+bcsx=a2+b2sin(x+φ)
其中csφ=aα2+b2，sinφ=bα2+b2，tanφ=ba
∵x∈R
∴当x+φ=π2+2kπ,k∈Z即x0=π2−φ+2kπ时，f(x)取得最大值.
此时tan2x0=tan(π−2φ)=−tan2φ=−2tanφ1−tan2φ
令tanφ=ba=m，则由a2−4ab+3b2<0知：3m2−4m+1<0，解之得13tan2x0=−2m1−m2=2m−1m，
因为y=m−1m在m∈(13,1)上单调递增，
所以tan2x0=−2m1−m2=2m−1m在m∈(13,1)上单调递减，
从而tan2x0∈−∞,−34