数学-秋季高三开学摸底考试卷（新高考专用）01

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（试卷满分150分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为
A．，B．，1，C．，1，2，D．，4，
2．复数的共轭复数为，则
A．B．C．6D．8
3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米小时的速度行驶小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
4．已知平面向量，，若，则实数
A．B．C．D．1
5．已知，，则
A． B．C．D．
6．在上学期期末考试中，，，，，，六名同学分别获得了语文、数学、英语、政治、历史、地理的单科第一名．在开学的表彰活动中，这6名同学排成一列依次上台领奖，在“同学不在开头且同学不在末尾”的条件下，同学在开头的概率为
A．B．C．D．
7．函数，，某相邻两支图象与坐标轴分别交于点，，，，则方程，，所有解的和为
A．B．C．D．
8．已知定义在上的函数的导函数为，且，为偶函数，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列关于函数，说法正确的是
A．函数的定义域为
B．不等式的解集为
C．方程有两个解
D．函数在上为增函数
10.如图所示，中，，，，点为线段中点，为线段的中点，延长交边于点，则下列结论正确的有
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
11.已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，与及其渐近线在第二象限的交点分别为，，则
A．
B．直线与相交
C．若，则的渐近线方程为
D．若，则的离心率为
12.已知函数，下列结论正确的是
A．当时，的图像关于轴对称
B．当时，的图像关于点中心对称
C．，使得为上的增函数
D．当时，若在，，上单调递增，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．在的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为 ．
14．若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是 ．
15．若圆与圆的公共弦的长为1，则直线恒过定点的坐标为 ．
16．已知、分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆在第一象限内一点，，且满足，则 ．
四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知数列满足，且．
（1）若，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．
18. 如图，在平面四边形中，．
（1）证明：；（2）记与的面积分别为和，求的最大值．
19．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
20．某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．
（Ⅰ）某校高二年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高二学生中抽取了90名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如表：
根据表中统计的数据填写下面列联表，并判断是否有的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”？
（Ⅱ）以（Ⅰ）中抽取的90名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高二学生中随机抽取4人．
求所选4人中恰有3人综合素质评价为“优秀”的概率；
记表示这4人中综合素质评价等级为“优秀”的人数，求的数学期望．
附：参考数据与公式
（1）临界值表：
（2）参考公式：，其中．
21．已知抛物线的焦点为，，是该抛物线上不重合的两个动点，为坐标原点，当点的横坐标为4时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）以为直径的圆经过点，点，都不与点重合，求的最小值．
22．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设函数有两个不同的零点，，
（ⅰ）求证；为自然对数的底数）；
（ⅱ）若，满足，求的最大值．
等级
优秀
合格
不合格
男生（人
30
8
女生（人
30
6
男生
女生
总计
优秀
非优秀
总计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828