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苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【2.4线段、角的轴对称性】(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【2.4线段、角的轴对称性】(原卷版+解析)，共58页。试卷主要包含了4 线段、角的轴对称性等内容，欢迎下载使用。
2.4 线段、角的轴对称性
必刷知识点
知识点01：线段的轴对称性
1.线段是 ，线段的 是它的对称轴.
2. 线段垂直平分线的性质定理：
3. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： ．
知识要点：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了 的方法，那就是遇见线段的 ，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造 创造条件.
三角形三边 交于一点，该点到 相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
知识点02：角的轴对称性
1.角的轴对称性
（1）角是轴对称图形， 是它的对称轴.
（2）角平分线上的点到 .
（3） 在角的平分线上.
知识点01：角平分线的性质
1．（2021八上·滨城期末）如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③点P到边AB，AC，BC的距离相等；④BD+CE＝BC；⑤ ，其中错误的个数是（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
2．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④B．①②③④C．②③④D．①③
3．（2021八上·江津期中）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
4．（2021八上·封开期末）如图：在中，，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，，则的面积为 .
5．（2021八上·江津期中）在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角 ∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB＝ ︒
6．（2021八上·广州期中）如图，在 中， 和 的平分线 、 相交于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，过点 作 于点 ，则下列三个结论：① ；②当 时， ；③若 ， ，则 ．其中正确的是 ．
7．（2021八上·南京期末）如图，是的角平分线，垂足为E，的面积为70，，，求的长.
8．（2021八上·红桥期末）如图，在和中，，，， ．
连接，交于点，连接．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求的大小；
（Ⅲ）求证：
9．（2021八上·红桥期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，．
（Ⅰ）若，求证：是的角平分线；
（Ⅱ）若是的角平分线，求证：．
10．如图，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作 ，交 于 ，交 于 ，若 ， ，试求 的值．
11．如图（a），∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°
（1）求证：AD∥CE
（2）如图（b），AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，BF∥AG交GC的延长线于F，判断∠ABC与∠F的数量关系，并证明；
（3）如图（c），AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，BQ∥AN，CM平分∠BCT交BQ的反向延长线于M，① 的值不变，② 的值不变；其中只有一个结论正确，请择一证明．
知识点02：线段垂直平分线的性质
12．（2021八上·南京期末）如图，点P在锐角 的内部，连接 ， ，点P关于 、 所在直线的对称点分别是 、 ，则 、 两点之间的距离可能是（ ）
A．8B．7C．6D．5
13．（2022八上·西湖期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O.若，则（ ）
A．50°B．80°C．90°D．100°
14．（2021八上·丰台期末）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．下列关于筝形的结论正确的是（ ）
A．对角线AC，BD互相垂直平分
B．对角线BD平分∠ABC，∠ADC
C．直线AC，BD是筝形的两条对称轴
D．筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积
15．（2021八上·鼓楼期末）如图，在中，，AB的垂直平分线交AB、AC于点D，E，若，，则的面积是 .
16．（2021八上·芜湖期末）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝37°，则∠AOC＝ ．
17．（2021八上·吉林期末）如图，在中，，．为边上的垂直平分线，若点D在直线上，连接，，则周长的最小值为 ．
18．（2021八上·延边期末）如图，中，边AC的垂直平分线与边BC交于点D．将沿AD折叠后，使点C与点E重合，且，若，则 度．
19．（2021八上·嵩明期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，．在第一象限内找一点横坐标、纵坐标均为整数的点C，使得点M是的三边垂直平分线的交点，则点C的坐标为 ．
20．（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中， ， ， 的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：
21．（2021八上·武昌期中）如图，已知△ABC中，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，有如下结论：①AO＝CI；②∠ABC+∠ACO＝90°；③∠BOI＝∠COI；④OI⊥BC.其中正确的结论是 .
22．（2021八上·姜堰月考）如图，在 中， ，以 为边，作 ，满足 ，E为 上一点，连接 ， ，连接 .下列结论中正确的是 （填序号）
① ；② ；③若 ，则 ；④ .
23．（2021八上·怀柔期末）如图，在ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E， 交AC于点D，连接BD．若∠A=100°，∠ABD=22°，求∠C的度数．
知识点03：作图—角的平分线
24．（2021八上·绿园期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD＝BD，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
25．（2021八上·鄞州期中）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（ ）
A．SSSB．HLC．AASD．SAS
26．（2021八上·鄞州期中）已知∠AOB，在射线OA，OB上分别截取OD=OE，分别以点D，E为圆心，以大于 DE且同样长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C，作射线OC，OC就是∠AOB的角平分线.作图依据是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．HL
27．（2020八上·西华期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3.
A．1B．2C．3D．4
28．（2021八上·汉寿期末）如图，在 中， ， ，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P.按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线AF.若AF与PQ的夹角为 ，则 °.
29．（2020八上·抚顺月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为 .
30．（2018八上·长春月考）如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°.按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,大于 EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG交BC边于点
D.则∠ADC的度数为 .
31．（2020八上·北京期中）如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且油库的位置到两条公路l1、l2的距离也相等．那么油库应该修建在什么位置？在图上标出它的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
32．两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
33．（2015八上·宜昌期中）作图题：已知：△ABC如图，求作一点P，使点P到AB，AC两边的距离相等，并且点P到A、B两点的距离也相等（保留作图痕迹）
34．（2019八上·西城期中）学农期间我们完成了每日一题，进一步研究了角的平分线. 工人师傅常用角尺平分一个任意角. 作法如下：
如图，∠AOB 是一个任意角，在边 OA、OB 上分别取 OM=ON， 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M、N 重合. 过角尺顶点 C 的射线 OC 便是∠AOB 的平分线. 我们发现利用 SSS 证明两个三角形全等，从而证明∠AOC=∠BOC．
学习了轴对称的知识后，我们知道角是轴对称图形，角平分线 所在直线就是它的对称轴，爱动脑筋的小慧同学利用轴对称图形的性质发现了一种画角平分线的方法.
方法如下：如图 1，将两个全等的三角形纸片△DEF 和△MNL 的一组对应边分别与∠AOB 的一边共线，同时这条边所对顶点落在∠AOB 的另一条边上，则△DEF 和△MNL 的另一组对应边的交点 P 在∠AOB 的平分线上.
（1）小慧的做法符合题意吗？说明理由：
小旭说：利用轴对称的性质，我只用刻度尺就可以画角平分线.（提示：刻度尺可以度量出相等的线段）
（2）请你和小旭一样，只用刻度尺画出图 2 中∠QRS 的角平分线.（保留作图痕迹，不写作法）
知识点04：作图—线段的垂直平分线
35．（2021八上·忠县期末）下列说法不正确的是（ ）
A．三角形的三条角平分线相交于一点，该点在三角形的内部
B．三角形的每一条中线都把三角形分成面积相等的两个三角形
C．正多边形的所有内角相等，所有边长也相等
D．三角形三边的垂直平分线的交点一定在三角形的外部
36．（2021八上·德江期末）如图，已知 ，用尺规在 上确定一点 ，使 .则下列四种不同方法的作图中准确的是（ ）
A．B．
C．D．
37．（2020八上·宽城期末）下面三个基本作图的作图痕迹．关于三条弧①，②，③，有以下三种说法，
⑴弧①是以点O为圆心，以任意长为半径所作的弧；
⑵弧②是以点A为圆心，以任意长为半径所作的弧；
⑶弧③是以点O为圆心，以大于 DE的长为半径所作的弧．
其中正确说法的个数为（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
38．（2019八上·上饶期中）如图，在 中， 垂直平分 ， ，则 的长为 ．
39．（2019八上·郑州开学考）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角度平分线；③做一条线段的垂直平分线；④过直线外一点作已知直线的垂线.则对应选项中做法错误的是 .
40．已知，在△ABC中，∠A＞∠B，分别以点A，C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧交于点P，点Q，作直线PQ交AB于点D，再分别以点B，D为圆心，大于 BD长为半径画弧，两弧交于点M，点N，作直线MN交BC于点E，若△CDE是等边三角形，则∠A= ．
41．（2019八上·天台月考）在等边△ABC所在平面内有点P，且使得△ABP，△ACP，△BCP均为等腰三角形，则符合条件的点P共有 个．
42．（2021八上·鼓楼期末）如图，已知.用三种不同的方法作等于.要求：尺规作图；保留作图痕迹，不写作法.
43．（2021八上·安丘期末）作图题：
（1）如图，已知直线l1∥l2，直线l3分别与l1、l2交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到l1、l2的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图，在7×7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1．请以AB为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．并计算你所画菱形的面积．
44．（2018八上·金东期末）已知线段a， 如图 ，求作等腰三角形ABC，使得底边 ，BC边上的高线长为 保留作图痕迹，不写作法
45．2008年，举世瞩目的第29届奥运盛会在北京举行．奥运五环，环环相扣，象征着全世界人民的大团结．五环图中五个圆环均相等，其中上排三个、下排两个，且上排的三个圆心在同一直线上；五环图是一个轴对称图形．
（1）请用尺规作图，在图1中补全奥运五环图，心怀奥运；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）五环图中五个圆心围一个等腰梯形．如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．假设BC=4，AD=8，∠A=45°，求梯形的面积．
46．（2017八上·崆峒期末）如图：求作一点P，使PM=PN，并且使点P到∠AOB的两边的距离相等．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第2章《轴对称图形》
2.4 线段、角的轴对称性
必刷知识点
知识点01：线段的轴对称性
1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
3. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
知识要点：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
知识点02：角的轴对称性
1.角的轴对称性
（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.
（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.
（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
知识点01：角平分线的性质
1．（2021八上·滨城期末）如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③点P到边AB，AC，BC的距离相等；④BD+CE＝BC；⑤ ，其中错误的个数是（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【完整解答】解：∵BE、CD平分∠ABC、∠ACB，∠BAC=60°，
∴ ，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=120°，故①符合题意；
如图，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵BE、CD平分∠ABC、∠ACB，
∴PH=PF，PH=PG，
∴PF=PG，
∴AP平分∠BAC，故②符合题意；
∴PF=PG=PH，
∴点P到边AB，AC，BC的距离相等，故③符合题意；
∵∠BAC=60°，∠AFP=∠AGP=90°，
∴∠FPG=120°，
∴∠DPF=∠EPG，
∵PF=PG
∴△PFD≌△PGE，
∴PD=PE，
∵BP=BP，
∴Rt△BHP≌Rt△BFP，
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH=BD+DF，CH=CE-GE，
两式相加得，BH+CH=BD+DF+CE-GE，
∵DF=EG，
∴BC=BD+CE，④符合题意；
∵∠BAC=60°，AP平分∠BAC，
∴∠DAP=∠EAP=30°，
∴PF=12AP，PG=12AP ，
∴ ，
同理 ，
∵DF=EG，
∴AD+AE=AF+DF+AG-EG=AF+AG，
∴ ，故⑤符合题意，
所以，错误的有0个．
故答案为：A
【思路引导】利用角平分线的性质和三角形全等的判定及性质等逐项判断即可。
2．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④B．①②③④C．②③④D．①③
【答案】A
【完整解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【思路引导】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
3．（2021八上·江津期中）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【完整解答】解：∵AD平分 ，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，故①正确；
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∵AD平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∠BDC＝∠BAC，
∴ ，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故答案为：D.
【思路引导】由角平分线的性质可得DE=DF，根据HL证明，可得CE=AF， ，根据HL证明，可得，从而得出，据此判断①②；在△AOB和△DOC中，，∠AOB=∠DOC，可得∠BDC＝∠BAC，据此判断③；利用三角形的内角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB
，从而得出∠DAF＝∠CBD，据此判断④.
4．（2021八上·封开期末）如图：在中，，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，，则的面积为 .
【答案】6
【完整解答】解：作于Q．
由作图知是的平分线，
∵
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【思路引导】作于Q．根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式可得答案。
5．（2021八上·江津期中）在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角 ∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB＝ ︒
【答案】25
【完整解答】解：如图示：
过点 ，分别作 交 于点 ， 交 于点 ， ，交 延长线于点 ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴
在 和 中，
∴ ，
故答案为：25.
【思路引导】过点E，分别作 EF⊥BD于点E， EG⊥AC于点G，EH⊥AB交AB延长线于点H ，由角平分线上的点到角两边的距离相等得EH=EF=EG，根据三角形外角的性质得∠HAC=∠ABC+∠ACB=112°，由角平分线的定义得∠EAO=∠HAC，∠EBC=∠ABC在S△AOE和△BOC中， 由∠AEB=∠OBC+∠OCB-∠OAE即可求解.
6．（2021八上·广州期中）如图，在 中， 和 的平分线 、 相交于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，过点 作 于点 ，则下列三个结论：① ；②当 时， ；③若 ， ，则 ．其中正确的是 ．
【答案】①②
【完整解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝ ∠CBA，∠OAB＝ ∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣ ∠CBA﹣ ∠CAB＝180°﹣ （180°﹣∠C）＝90°+ ∠C，①符合题意；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝ （∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②符合题意；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝ ×AB×OM+ ×AC×OH+ ×BC×OD＝ （AB+AC+BC）•a＝ab，③不符合题意．
故答案为：①②．
【思路引导】由角平分线的定义，结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO（SAS），得出∠HBO＝∠EBO，再证得△HBO≌△EBO（ASA），得出AF＝AH，进而判定②；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③。
7．（2021八上·南京期末）如图，是的角平分线，垂足为E，的面积为70，，，求的长.
【答案】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
S△ABC=×16⋅DE+×12⋅DF=70，
所以，14×DE=70，
解得DE=5.
【思路引导】过点D作DF⊥BC于F，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得DE=DF，再利用△ABC的面积=△ABD的面积+△BDC的面积，利用三角形的面积公式建立关于DE的方程，解方程求出DE的长.
8．（2021八上·红桥期末）如图，在和中，，，， ．
连接，交于点，连接．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求的大小；
（Ⅲ）求证：
【答案】解：（Ⅰ）证明∵，
∴，即．
∵，，
∴≌．∴
（Ⅱ）如图，由（Ⅰ）可得．
∵，∴．
∴．
（Ⅲ）证明：如图，过分别作，，垂足分别为点，．
∵≌，∴．∴．
∵，∴．
∴ 点在的平分线上．∴．
【思路引导】（Ⅰ）先利用“SAS”证明≌，再利用全等的性质可得AC=BD；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论可得，再利用角的运算及等量代换可得；
（Ⅲ）根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的面积可得，即可得到，即可证明 点在的平分线上，即可得到。
9．（2021八上·红桥期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，．
（Ⅰ）若，求证：是的角平分线；
（Ⅱ）若是的角平分线，求证：．
【答案】解：（Ⅰ）证明：∵是的中点，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴≌（HL)．
∴．
∴ 点在的平分线上．
∴是的角平分线．
（Ⅱ）∵是的角平分线，，，
∴，．
∵是的中点，
∴．
∴≌（HL)．
∴．
【思路引导】（Ⅰ）先利用“HL”证明≌，可得DE=DF，再利用角平分线的判定证明即可；
（Ⅱ）根据“HL”证明≌，即可得到BE=CF。
10．如图，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作 ，交 于 ，交 于 ，若 ， ，试求 的值．
【答案】解：∵ 平分 ，∴
平分 ，∴
又 ，∴
，∴
，∴
∵ ，∴ ，∴
【思路引导】根据角平分线的性质以及平行线的性质，即可得到∠OBE=∠EOB，∠OCF=∠COF，根据等角对等边即可得到线段的相等，利用等量代换求出EF=BE+CF即可。
11．如图（a），∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°
（1）求证：AD∥CE
（2）如图（b），AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，BF∥AG交GC的延长线于F，判断∠ABC与∠F的数量关系，并证明；
（3）如图（c），AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，BQ∥AN，CM平分∠BCT交BQ的反向延长线于M，① 的值不变，② 的值不变；其中只有一个结论正确，请择一证明．
【答案】（1）解：过B作BF∥AD，
则∠DAB+∠ABF=180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴∠FBC+∠BCE=360°﹣180°=180°，
∴BF∥CE，
∴AD∥CE.
（2）解：∠ABC=2∠F
证明：过点G作GH∥AD，
则GH∥AD∥CE，
∴∠DAG=∠AGH，∠HGC=∠GCE，
∵AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，
∴∠AGC= （∠DAB+∠BCE），
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴ （∠DAB+∠ABC+∠BCE）=180°，
即∠AGC+ ∠ABC=180°，
∵AG∥BF，
∴∠F+∠AGC=180°，
∴∠ABC=2∠F.
（3）解：② 的值不变．
证明：由上面结论可得，∠ABC=∠HAB+∠TCB，
又∵AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，CM平分∠BCT，
∴∠ABP=∠NAB+∠MCB，
∵BQ∥AN，
∴∠NAB=∠ABQ，
∴∠QBP= ∠ABP= ∠CBP= ∠BCT=∠MCB，
∵∠QBC是△BCM的外角，
∴∠QBC=∠M+∠MCB，
∴∠M=∠QBC﹣∠MCB=∠QBC﹣∠QBP=∠PBC= ∠ABC，
即 的值为 ．
【思路引导】（1）根据同旁内角的和等于180°可得出两条线为平行线。
（2）根据角平分线的性质，通过角的运算，得出∠ABC=2∠F。
（3）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和以及角平分线的性质，得出结论。
知识点02：线段垂直平分线的性质
12．（2021八上·南京期末）如图，点P在锐角 的内部，连接 ， ，点P关于 、 所在直线的对称点分别是 、 ，则 、 两点之间的距离可能是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】D
【完整解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，
∵点P关于直线OA，OB的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1=OP=3，OP=OP2=3， OP1+OP2＞P1P2， 0＜P1P2＜6，
所以A，B，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【思路引导】连接OP1，OP2，P1P2，利用轴对称的性质和垂直平分线的性质，可证得OP1=OP=3，OP=OP2=3，再利用三角形三边关系定理，可求出0＜P1P2＜6，由此可得答案.
13．（2022八上·西湖期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O.若，则（ ）
A．50°B．80°C．90°D．100°
【答案】B
【完整解答】解：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线，相交于点O，，分别与AB，BC交于D，E，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＋∠ABC＝180°，
∵∠DOE＋∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝40°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A＋∠ABO，∠COP＝∠C＋∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP＋∠COP＝∠A＋∠ABC＋∠C＝2∠ABC=2×40°＝80°；
故答案为：B.
【思路引导】连接BO，并延长BO到P，根据垂直平分线的性质可得AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，则∠DOE＋∠ABC＝180°，结合邻补角的性质可得∠ABC＝∠1＝40°，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，然后结合外角的性质进行计算.
14．（2021八上·丰台期末）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．下列关于筝形的结论正确的是（ ）
A．对角线AC，BD互相垂直平分
B．对角线BD平分∠ABC，∠ADC
C．直线AC，BD是筝形的两条对称轴
D．筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积
【答案】B
【完整解答】解： 四边形中，，，
是的垂直平分线，
而不一定是的垂直平分线，故A不符合题意；
，，
对角线BD平分∠ABC，∠ADC，故B符合题意；
直线BD是筝形的两条对称轴，故C不符合题意；
如图，记对角线的交点为
筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积的一半，故D不符合题意；
故答案为：B
【思路引导】由线段垂直平分线的判定可判断A选项；通过证明得出 可判断B选项；根据轴对称性质可判断C选项；利用三角形的面积可判断D选项。
15．（2021八上·鼓楼期末）如图，在中，，AB的垂直平分线交AB、AC于点D，E，若，，则的面积是 .
【答案】
【完整解答】解：连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，AD=DB=5，
∵∠C=90°，AC=8，BD=5，
∴AB=2BD=10，
由勾股定理得，BC==6，
则CE=8-AE=8-EB，
在Rt△CBE中，BE2=CE2+BC2，即BE2=（8-BE）2+36，
解得，BE=，则AE=，
∴S△ABE=AE×BC=××6=，
∴△ADE的面积是S△ABE=.
故答案为：.
【思路引导】连接BE，利用垂直平分线的性质可证得EA=EB，AE=DB=5，从而可求出AB的长；再利用勾股定理求出BC的长，可得到CE=8-EB；然后利用勾股定理可得到关于BE的方程，解方程求出BE的长；然后利用三角形的面积公式可求出△ABE的面积.
16．（2021八上·芜湖期末）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝37°，则∠AOC＝ ．
【答案】76°
【完整解答】解：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＋∠ABC＝180°，
∵∠DOE＋∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝38°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A＋∠ABO，∠COP＝∠C＋∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP＋∠COP＝∠A＋∠ABC＋∠C＝2×38°＝76°；
故答案为：76°．
【思路引导】先求出∠DOE＋∠ABC＝180°，再求出∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，最后计算求解即可。
17．（2021八上·吉林期末）如图，在中，，．为边上的垂直平分线，若点D在直线上，连接，，则周长的最小值为 ．
【答案】12
【完整解答】解：连接CD，如图，
∵为边上的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴周长＝AB+BD+AD＝AB+CD+AD，
∴当AD+CD有最小值时，周长的最小，
当A、D、C在一条直线上时，AD+CD有最小值，此时AD+CD最小值为AC的长，
∴周长的最小值为AB+AC的值，
∵，，
∴周长的最小值为5+7＝12．
故答案为：12．
【思路引导】利用线段垂直平分线的性质，最短距离问题即可得出答案。
18．（2021八上·延边期末）如图，中，边AC的垂直平分线与边BC交于点D．将沿AD折叠后，使点C与点E重合，且，若，则 度．
【答案】35
【完整解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠可知，，，
∵边AC的垂直平分线与边BC交于点D．
∴ ，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【思路引导】由折叠可知，，，再根据线段垂直平分线的性质即可得出答案。
19．（2021八上·嵩明期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，．在第一象限内找一点横坐标、纵坐标均为整数的点C，使得点M是的三边垂直平分线的交点，则点C的坐标为 ．
【答案】（4，5）或（6，1）或（6，3）
【完整解答】如图，连接MA，MB，
根据图可知．
∵点M是△ABC的三边垂直平分线的交点，
∴．
设C点坐标为．
根据题意可知，且都为整数．
∴，即，且，．
∵，
∴或或或，
解得：或（舍）或或．
∴C点坐标为(4，5)或(6，1)或(6，3)．
故答案为：(4，5)或(6，1)或(6，3)．
【思路引导】设C点坐标为．再利用两点之间的距离公式可得，再求解即可。
20．（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中， ， ， 的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：
【答案】①
【完整解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF= ∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°， ②不符合题意；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【思路引导】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
21．（2021八上·武昌期中）如图，已知△ABC中，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，有如下结论：①AO＝CI；②∠ABC+∠ACO＝90°；③∠BOI＝∠COI；④OI⊥BC.其中正确的结论是 .
【答案】②③④
【完整解答】解： OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，
设①AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，
这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，
故①错误，
，
，
，
∴2∠ABO+2∠OBC+2∠OCA=180°，
∴∠ABO+∠OBC+∠OCA=90°，
∠ABC+∠ACO =90°，
故②正确；
过点I作 ，
分别是 的角平分线，
是 的角平分线
∠BOI＝∠COI，
故③④正确.
故答案为：②③④.
【思路引导】由垂直平分线的性质可得AO=BO，AO=CO，则BO=CO，若AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，据此判断①；由等腰三角形的性质可得∠ABO=∠BAO，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，结合内角和定理可得∠ABC+∠ACO =90°，据此判断②；过点I作IP⊥BO，IQ⊥OC，IR⊥BC，由角平分线的性质可得PI=RI，QI=RI，则PI=QI，由BO=CO可知OI是∩BOC的角平分线，据此判断③④.
22．（2021八上·姜堰月考）如图，在 中， ，以 为边，作 ，满足 ，E为 上一点，连接 ， ，连接 .下列结论中正确的是 （填序号）
① ；② ；③若 ，则 ；④ .
【答案】②③④
【完整解答】解：如图，延长EB至E'，使BE=BE'，连接 ；
∵∠ABC=90°，
∴AB垂直平分EE＇，
∴AE=AE'，
∴∠1=∠2，∠3=∠5，
∵∠1= ，
∴∠E'AE=2∠1=∠CAD，
∴∠E'AC=∠EAD，
又∵AD=AC，
∴ ，
∴∠5=∠4，∠ADE=∠ACB（即②正确），
∴∠3=∠4；
当∠6=∠1时，∠4+∠6=∠3+∠1=90°，
此时，∠AME=180°－（∠4+∠6）=90°，
当∠6≠∠1时，∠4+∠6≠∠3+∠1，∠4+∠6≠90°，
此时，∠AME≠90°，
∴①不正确；
若CD∥AB，
则∠7=∠BAC，
∵AD=AC，
∴∠7=∠ADC，
∵∠CAD+∠7+∠ADC=180°，
∴ ，
∴∠1+∠7=90°，
∴∠2+∠7=90°，
∴∠2+∠BAC=90°，
即∠E'AC=90°，
由 ，
∴∠EAD=∠CAE'=90°，E'C=DE，
∴AE⊥AD（即③正确），DE=E'B+BE+CE=2BE+CE（即④正确）.
故答案为：②③④.
【思路引导】延长EB至E′，使BE=BE′，连接AE′，由垂直平分线的性质可得AE=AE′，由等腰三角形的性质可得∠1=∠2，∠3=∠5，结合已知条件得∠E′AE=2∠1=∠CAD，推出∠E′AC=∠EAD，证△DAE≌△CAE，据此判断②；当∠6=∠1时，∠4+∠6=∠3+∠1=90°，利用内角和求出∠AME的度数；当∠6≠∠1时，∠4+∠6≠∠3+∠1，∠4+∠6≠90°，此时∠AME≠90°，据此判断①；若CD∥AB，由平行线的性质可得∠7=∠BAC，由等腰三角形的性质可得∠7=∠ADC，在△ACD中，应用内角和定理可得∠1+∠7=90°，推出∠E′AC=90°，由全等三角形的性质可得∠EAD=∠CAE′=90°，E′C=DE，据此判断③④.
23．（2021八上·怀柔期末）如图，在ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E， 交AC于点D，连接BD．若∠A=100°，∠ABD=22°，求∠C的度数．
【答案】解：∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC ．
∴∠DBC=∠C ．
∵∠A=100°，∠ABD=22°．
∴∠BDC=∠A+∠ABD=122°．
∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，
∴∠C=．
【思路引导】先求出 DB=DC，再求出∠BDC=122°，最后计算求解即可。
知识点03：作图—角的平分线
24．（2021八上·绿园期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD＝BD，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【完整解答】解：A、由作图可知AD是△ABC的垂线，推不出AD＝BD，本选项不符合题意．
B、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出AD＝BD，本选项不符合题意．
C、由作图可知DA=CD，推不出AD＝BD，本选项不符合题意．
D、由作图可知作的是线段AB的垂直平分线，能推出AD＝BD，本选项符合题意．
故答案为：D．
【思路引导】A、由作图痕迹可知AD是△ABC的垂线，推不出AD＝BD；
B、由作图痕迹可知AD是△ABC的角平分线，推不出AD＝BD；
C、由作图痕迹可知CD=CA，推不出AD＝BD；
D、由作图痕迹可知作的是线段AB的垂直平分线，利用线段的垂直平分线即可解答.
25．（2021八上·鄞州期中）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（ ）
A．SSSB．HLC．AASD．SAS
【答案】B
【完整解答】解：在Rt△PMO和Rt△PNO中，
OM=ONOP=OP，
∴△POM≌△PON （HL）.
故答案为：B.
【思路引导】根据作法可知，OM=ON，OP是公共边，由于PM垂直OA，PN垂直OB，则可利用HL证明△POM≌△PON .
26．（2021八上·鄞州期中）已知∠AOB，在射线OA，OB上分别截取OD=OE，分别以点D，E为圆心，以大于 DE且同样长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C，作射线OC，OC就是∠AOB的角平分线.作图依据是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．HL
【答案】C
【完整解答】解：如图，连接OC，CD和CE，
由作法可知，OD=OE，CD=CE，
在△COD和△COE中，
OD=OECD=CEOC=OC，
∴△COD≌△COE（SSS），
∴∠COD=∠COE，
即 OC就是∠AOB的角平分线.
故答案为：C.
【思路引导】先作图，然后根据作法得出有关线段相等，再利用SSS证明△COD≌△COE，得出∠COD=∠COE，即OC就是∠AOB的角平分线，则可作答.
27．（2020八上·西华期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3.
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【完整解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①正确；
②如图，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°，故②正确；
③∵∠1=∠B=30°，∴AD=B，.∴点D在AB的中垂线上，故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD= AD.
∴BC=CD+BD= AD+AD= AD，S△DAC= AC•CD= AC•AD.
∴S△ABC= AC•BC= AC•A D= AC•AD.
∴S△DAC：S△ABC 。故④正确；
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个.
故答案为：D.
【思路引导】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线，可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比.
28．（2021八上·汉寿期末）如图，在 中， ， ，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P.按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线AF.若AF与PQ的夹角为 ，则 °.
【答案】56
【完整解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，
∴∠BAC＝90°−∠B＝90°−22°＝68°，
由作图知：AM是∠BAC的平分线，
∴∠BAM＝ ∠BAC＝34°，
∵PQ是AB的垂直平分线，
∴△AMQ是直角三角形，
∴∠AMQ＋∠BAM＝90°，
∴∠AMQ＝90°−∠BAM＝90°−34°＝56°，
∴α＝∠AMQ＝56°.
故答案为：56.
【思路引导】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAM＝34°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠AMQ＋∠BAM＝90°，即可求出α.
29．（2020八上·抚顺月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为 .
【答案】2
【完整解答】解：如图，作DP′⊥AB于P′，
则此时DP′最小，即PD最小，
由尺规作图可知，AD平分∠CAB，又∠C＝90°，DP′⊥AB，
∴DP′＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故答案为：2.
【思路引导】作DP′⊥AB于P′，根据垂线段最短得到此时PD最小，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等解答即可.
30．（2018八上·长春月考）如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°.按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,大于 EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG交BC边于点
D.则∠ADC的度数为 .
【答案】65°
【完整解答】有作图的步骤可知：AG为∠CAB角平分线，所以∠CAD=∠BAD=25°，
∠ADC=90°-25°=65°.
【思路引导】根据角平分线的作法可知，AG是∠CAB角平分线，由 ∠CAB=50° ，根据角平分线的性质可得，∠CAD=∠CBA=25°，然后再根据直角三角形的性质可得，∠ADC=90°-25°=65°.
31．（2020八上·北京期中）如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且油库的位置到两条公路l1、l2的距离也相等．那么油库应该修建在什么位置？在图上标出它的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】解：连接 ，作 的垂直平分线，再作 的平分线，
垂直平分线与角平分线的交点即为
P为油库所在地，如图所示.
【思路引导】连接 AB ，作 AB 的垂直平分线，再作 的平分线，垂直平分线与角平分线的交点即为油库的所在地．
32．两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
【答案】解：作出线段AB的垂直平分线；作出l1 l2和夹角的角的平分线。它们的交点即为所求作的点C（2个）。
【完整解答】到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C。由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个。
33．（2015八上·宜昌期中）作图题：已知：△ABC如图，求作一点P，使点P到AB，AC两边的距离相等，并且点P到A、B两点的距离也相等（保留作图痕迹）
【答案】解：如图所示：
．
P点即为所求．
【思路引导】首先作出AB的垂直平分线，再作出∠BAC的角平分线，两线的交点就是P点位置．
34．（2019八上·西城期中）学农期间我们完成了每日一题，进一步研究了角的平分线. 工人师傅常用角尺平分一个任意角. 作法如下：
如图，∠AOB 是一个任意角，在边 OA、OB 上分别取 OM=ON， 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M、N 重合. 过角尺顶点 C 的射线 OC 便是∠AOB 的平分线. 我们发现利用 SSS 证明两个三角形全等，从而证明∠AOC=∠BOC．
学习了轴对称的知识后，我们知道角是轴对称图形，角平分线 所在直线就是它的对称轴，爱动脑筋的小慧同学利用轴对称图形的性质发现了一种画角平分线的方法.
方法如下：如图 1，将两个全等的三角形纸片△DEF 和△MNL 的一组对应边分别与∠AOB 的一边共线，同时这条边所对顶点落在∠AOB 的另一条边上，则△DEF 和△MNL 的另一组对应边的交点 P 在∠AOB 的平分线上.
（1）小慧的做法符合题意吗？说明理由：
小旭说：利用轴对称的性质，我只用刻度尺就可以画角平分线.（提示：刻度尺可以度量出相等的线段）
（2）请你和小旭一样，只用刻度尺画出图 2 中∠QRS 的角平分线.（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）解：符合题意.理由如下
∵
∴∠DEF=∠MNL，DE=NM
∴180°-∠DEF=180°-∠MNL
即∠OED=∠ONM
在三角形OED与三角形ONM中
∠OED=∠ONM∠EOD=∠NOMDE=NM
∴ (AAS)
∴ON=OE，OD=OM，∠ODE=∠OMN
∴DO-ON=OM-OE
即DN=ME
在三角形NKD与三角形EKM中
∠ODE=∠OMN∠NKD=∠EKMDN=EM
∴ (AAS)
∴NK=EK
在三角形ONK与三角形OEK中
ON=OE∠ONK=∠OEKKN=EK
∴ (SAS)
∴∠NOK=∠EOK
即OK为∠LOF 的角平分线.
（2）解：
如图量RA=RA，RQ=RC，连接AD=BC.
则在三角形RAD与三角形RBC中
RA=RB∠DRA=∠CRBRD=RC
∴ （SAS）
∴∠RDA=∠RCB
在三角形BDK与三角形ACK中
∠RDA=∠RCB∠BKD=∠AKCBD=AC
∴ （AAS）
∴BK=AK
在三角形RBK与三角形RAK中
RB=RABK=AKRK=RK
∴ (SSS)
∴∠BRK=∠ARK
故RK为角平分线.
【思路引导】（1）说法符合题意，可通过用AAS证明三角形OED与三角形OME全等得到ON=OE，OD=OM，∠ODE=∠ONM，再根据DO-ON=OM-OE，得到DN=ME，再根据AAS证明三角形NKD与三角形EKM全等，得到NK=EK,再根据SAS证明三角形ONK与三角形OEK全等，从而得到对应角∠NOK=∠EOK，即可证明角平分线.（2）根据（1）可知，作三角形RAD与三角形RBC全等，过R点作与BC与AD的交点的射线即为角平分线.
知识点04：作图—线段的垂直平分线
35．（2021八上·忠县期末）下列说法不正确的是（ ）
A．三角形的三条角平分线相交于一点，该点在三角形的内部
B．三角形的每一条中线都把三角形分成面积相等的两个三角形
C．正多边形的所有内角相等，所有边长也相等
D．三角形三边的垂直平分线的交点一定在三角形的外部
【答案】D
【完整解答】解：A、三角形的三条角平分线相交于一点，该点在三角形的内部，故此选项正确；
B、三角形的每一条中线都把三角形分成等底等高的两个三角形，则这两个三角形的面积相等，故此选项正确；
C、根据正多边形的定义知，正多边形的所有内角相等，所有边长也相等，故此选项正确；
D、三角形三边的垂直平分线的交点可以在三角形的外部，也可以在三角形的内部，也可以在三角形的边上，故此选项错误.
故答案为：D.
【思路引导】根据三角形的角平分线的概念可判断A；根据三角形的面积公式以及中线的概念可判断B；根据正多边形的性质可判断C；三角形三边的垂直平分线的交点可以在三角形的外部、内部、三角形的边上，据此判断D.
36．（2021八上·德江期末）如图，已知 ，用尺规在 上确定一点 ，使 .则下列四种不同方法的作图中准确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【完整解答】解：用尺规在BC上确定一点P，使得 ，如图所示：
，
先做出AB的垂直平分线，即可得出AP=PB，即可得出 .
故答案为：D.
【思路引导】根据图的构成可知：PB+PC=BC， 而题目要求在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，故点P满足PA=PB即可，由于线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，所以作出AB的垂直平分线，该线与BC的交点就是所求的点.
37．（2020八上·宽城期末）下面三个基本作图的作图痕迹．关于三条弧①，②，③，有以下三种说法，
⑴弧①是以点O为圆心，以任意长为半径所作的弧；
⑵弧②是以点A为圆心，以任意长为半径所作的弧；
⑶弧③是以点O为圆心，以大于 DE的长为半径所作的弧．
其中正确说法的个数为（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】C
【完整解答】解：（1）弧①是以点O为圆心，以任意长为半径所作的弧，符合题意．
（2）②是以点A为圆心，以任意长为半径所作的弧，不符合题意，应该是②是以点A为圆心，大于 AB长为半径所作的弧．
（3）弧③是以点O为圆心，以大于 DE的长为半径所作的弧，不符合题意，应该是弧③是以点E为圆心，以大于 DE的长为半径所作的弧，
故答案为：C．
【思路引导】根据所作的图判断求解即可。
38．（2019八上·上饶期中）如图，在 中， 垂直平分 ， ，则 的长为 ．
【答案】6
【完整解答】解： 垂直平分 ，
，
故答案为：6
【思路引导】线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，参照图形结合垂直平分线的性质，可得 ，即可得 的长.
39．（2019八上·郑州开学考）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角度平分线；③做一条线段的垂直平分线；④过直线外一点作已知直线的垂线.则对应选项中做法错误的是 .
【答案】③
【完整解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确.
故答案为：③.
【思路引导】根据基本作图的方法依次进行判断即可.
40．已知，在△ABC中，∠A＞∠B，分别以点A，C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧交于点P，点Q，作直线PQ交AB于点D，再分别以点B，D为圆心，大于 BD长为半径画弧，两弧交于点M，点N，作直线MN交BC于点E，若△CDE是等边三角形，则∠A= ．
【答案】45°
【完整解答】解：如图，由作法得PQ垂直平分AC，MN垂直平分BD，
∴DA=DC，EB=ED，
∴∠A=∠DCA，∠EDB=∠B，
∵△CDE为等边三角形，
∴∠CDE=∠DEC=60°，
而∠DEC=∠EDB+∠B，
∴∠EDB= ×60°=30°，
∴∠CDB=90°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠A=45°．
故答案为45°．
【思路引导】如图，由作法得PQ垂直平分AC，MN垂直平分BD，利用线段垂直平分线的性质得到DA=DC，EB=ED，则∠A=∠DCA，∠EDB=∠B，再利用等边三角形的性质和三角形外角性质计算出∠EDB=30°，则可判断△ACD为等腰直角三角形，从而得到∠A=45°．
41．（2019八上·天台月考）在等边△ABC所在平面内有点P，且使得△ABP，△ACP，△BCP均为等腰三角形，则符合条件的点P共有 个．
【答案】10
【完整解答】解：①作三边的垂直平分线必在三角形内交于一点，即三角形的外心，这点就是符合要求的P点；
②作BC的垂直平分线，以B点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，其中一点是点A，另一点为符合要求的P点；以A点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，其中一点为B，另一点是符合要求的P点，∴BC垂直平分线上符合要求的共有四点，除去外心，还要三个点；
③同理AB和AC的垂直平分线也有符合条件的三点；
综上符合条件的P点共有：3×3+1=10个.
故答案为：10.
【思路引导】三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，符合条件；每条边的垂直平分线和以每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径画弧的交点也符合条件；因为等边三角形的三条边的情况是相同的，求出一边符合条件的个数，则总数可求.
42．（2021八上·鼓楼期末）如图，已知.用三种不同的方法作等于.要求：尺规作图；保留作图痕迹，不写作法.
【答案】解：如图①、②、③，即为所求.
，
【思路引导】利用作一个角等于已知角的方法，作出∠BAC=∠α；或由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，及等边对等角作出∠BAC=∠α；或利用等腰三角形的性质：等边对等角，作出∠BAC=∠α.
43．（2021八上·安丘期末）作图题：
（1）如图，已知直线l1∥l2，直线l3分别与l1、l2交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到l1、l2的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图，在7×7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1．请以AB为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．并计算你所画菱形的面积．
【答案】（1）解：如图，点P为所作．
（2）解：如图所示：
四边形ABCD即为所画菱形，（答案不唯一，画出一个即可）．
图1菱形面积S＝×2×6＝6，
图2菱形面积S＝4×4-×1×3×4-2=8，
图3菱形面积S＝4×4-×1×3×4=10．
【思路引导】做线段AB的垂直平分线得出线段AB的中点，则中点为P点。
44．（2018八上·金东期末）已知线段a， 如图 ，求作等腰三角形ABC，使得底边 ，BC边上的高线长为 保留作图痕迹，不写作法
【答案】解：如图所示： 即为所求．
【思路引导】首先作线段 ，再作BC的垂直平分线，然后在NM上截取 ．
45．2008年，举世瞩目的第29届奥运盛会在北京举行．奥运五环，环环相扣，象征着全世界人民的大团结．五环图中五个圆环均相等，其中上排三个、下排两个，且上排的三个圆心在同一直线上；五环图是一个轴对称图形．
（1）请用尺规作图，在图1中补全奥运五环图，心怀奥运；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）五环图中五个圆心围一个等腰梯形．如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．假设BC=4，AD=8，∠A=45°，求梯形的面积．
【答案】（1）解：如图．
（2）解：过B作BE⊥AD于E，
则AE=BE= （AD﹣BC）
= （8﹣4）=2，
S梯形= （AD+BC）•BE= （8+4）×2=12
【思路引导】（1）先利用尺规找出最上面两圆连心线的中点，再以该点为圆心即可补全；
（2）先利用等腰梯形的性质求出高长，再根据梯形面积公式即可计算。
46．（2017八上·崆峒期末）如图：求作一点P，使PM=PN，并且使点P到∠AOB的两边的距离相等．
【答案】解：如图，点P即为所求．
①作∠AOB 的平分线OC；
②连结MN，并作MN 的垂直平分线EF，交OC于P，连结PM、PN，
则P点即为所求．
【解析】（1）作∠AOB 的平分线OC；（2）连结MN，并作MN 的垂直平分线EF，交OC于P，连结PM、PN，则P点即为所求．
2.4 线段、角的轴对称性
必刷知识点
知识点01：线段的轴对称性
1.线段是 ，线段的 是它的对称轴.
2. 线段垂直平分线的性质定理：
3. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： ．
知识要点：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了 的方法，那就是遇见线段的 ，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造 创造条件.
三角形三边 交于一点，该点到 相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
知识点02：角的轴对称性
1.角的轴对称性
（1）角是轴对称图形， 是它的对称轴.
（2）角平分线上的点到 .
（3） 在角的平分线上.
知识点01：角平分线的性质
1．（2021八上·滨城期末）如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③点P到边AB，AC，BC的距离相等；④BD+CE＝BC；⑤ ，其中错误的个数是（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
2．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④B．①②③④C．②③④D．①③
3．（2021八上·江津期中）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
4．（2021八上·封开期末）如图：在中，，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，，则的面积为 .
5．（2021八上·江津期中）在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角 ∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB＝ ︒
6．（2021八上·广州期中）如图，在 中， 和 的平分线 、 相交于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，过点 作 于点 ，则下列三个结论：① ；②当 时， ；③若 ， ，则 ．其中正确的是 ．
7．（2021八上·南京期末）如图，是的角平分线，垂足为E，的面积为70，，，求的长.
8．（2021八上·红桥期末）如图，在和中，，，， ．
连接，交于点，连接．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求的大小；
（Ⅲ）求证：
9．（2021八上·红桥期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，．
（Ⅰ）若，求证：是的角平分线；
（Ⅱ）若是的角平分线，求证：．
10．如图，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作 ，交 于 ，交 于 ，若 ， ，试求 的值．
11．如图（a），∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°
（1）求证：AD∥CE
（2）如图（b），AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，BF∥AG交GC的延长线于F，判断∠ABC与∠F的数量关系，并证明；
（3）如图（c），AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，BQ∥AN，CM平分∠BCT交BQ的反向延长线于M，① 的值不变，② 的值不变；其中只有一个结论正确，请择一证明．
知识点02：线段垂直平分线的性质
12．（2021八上·南京期末）如图，点P在锐角 的内部，连接 ， ，点P关于 、 所在直线的对称点分别是 、 ，则 、 两点之间的距离可能是（ ）
A．8B．7C．6D．5
13．（2022八上·西湖期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O.若，则（ ）
A．50°B．80°C．90°D．100°
14．（2021八上·丰台期末）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．下列关于筝形的结论正确的是（ ）
A．对角线AC，BD互相垂直平分
B．对角线BD平分∠ABC，∠ADC
C．直线AC，BD是筝形的两条对称轴
D．筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积
15．（2021八上·鼓楼期末）如图，在中，，AB的垂直平分线交AB、AC于点D，E，若，，则的面积是 .
16．（2021八上·芜湖期末）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝37°，则∠AOC＝ ．
17．（2021八上·吉林期末）如图，在中，，．为边上的垂直平分线，若点D在直线上，连接，，则周长的最小值为 ．
18．（2021八上·延边期末）如图，中，边AC的垂直平分线与边BC交于点D．将沿AD折叠后，使点C与点E重合，且，若，则 度．
19．（2021八上·嵩明期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，．在第一象限内找一点横坐标、纵坐标均为整数的点C，使得点M是的三边垂直平分线的交点，则点C的坐标为 ．
20．（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中， ， ， 的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：
21．（2021八上·武昌期中）如图，已知△ABC中，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，有如下结论：①AO＝CI；②∠ABC+∠ACO＝90°；③∠BOI＝∠COI；④OI⊥BC.其中正确的结论是 .
22．（2021八上·姜堰月考）如图，在 中， ，以 为边，作 ，满足 ，E为 上一点，连接 ， ，连接 .下列结论中正确的是 （填序号）
① ；② ；③若 ，则 ；④ .
23．（2021八上·怀柔期末）如图，在ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E， 交AC于点D，连接BD．若∠A=100°，∠ABD=22°，求∠C的度数．
知识点03：作图—角的平分线
24．（2021八上·绿园期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD＝BD，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
25．（2021八上·鄞州期中）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（ ）
A．SSSB．HLC．AASD．SAS
26．（2021八上·鄞州期中）已知∠AOB，在射线OA，OB上分别截取OD=OE，分别以点D，E为圆心，以大于 DE且同样长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C，作射线OC，OC就是∠AOB的角平分线.作图依据是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．HL
27．（2020八上·西华期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3.
A．1B．2C．3D．4
28．（2021八上·汉寿期末）如图，在 中， ， ，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P.按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线AF.若AF与PQ的夹角为 ，则 °.
29．（2020八上·抚顺月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为 .
30．（2018八上·长春月考）如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°.按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,大于 EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG交BC边于点
D.则∠ADC的度数为 .
31．（2020八上·北京期中）如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且油库的位置到两条公路l1、l2的距离也相等．那么油库应该修建在什么位置？在图上标出它的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
32．两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
33．（2015八上·宜昌期中）作图题：已知：△ABC如图，求作一点P，使点P到AB，AC两边的距离相等，并且点P到A、B两点的距离也相等（保留作图痕迹）
34．（2019八上·西城期中）学农期间我们完成了每日一题，进一步研究了角的平分线. 工人师傅常用角尺平分一个任意角. 作法如下：
如图，∠AOB 是一个任意角，在边 OA、OB 上分别取 OM=ON， 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M、N 重合. 过角尺顶点 C 的射线 OC 便是∠AOB 的平分线. 我们发现利用 SSS 证明两个三角形全等，从而证明∠AOC=∠BOC．
学习了轴对称的知识后，我们知道角是轴对称图形，角平分线 所在直线就是它的对称轴，爱动脑筋的小慧同学利用轴对称图形的性质发现了一种画角平分线的方法.
方法如下：如图 1，将两个全等的三角形纸片△DEF 和△MNL 的一组对应边分别与∠AOB 的一边共线，同时这条边所对顶点落在∠AOB 的另一条边上，则△DEF 和△MNL 的另一组对应边的交点 P 在∠AOB 的平分线上.
（1）小慧的做法符合题意吗？说明理由：
小旭说：利用轴对称的性质，我只用刻度尺就可以画角平分线.（提示：刻度尺可以度量出相等的线段）
（2）请你和小旭一样，只用刻度尺画出图 2 中∠QRS 的角平分线.（保留作图痕迹，不写作法）
知识点04：作图—线段的垂直平分线
35．（2021八上·忠县期末）下列说法不正确的是（ ）
A．三角形的三条角平分线相交于一点，该点在三角形的内部
B．三角形的每一条中线都把三角形分成面积相等的两个三角形
C．正多边形的所有内角相等，所有边长也相等
D．三角形三边的垂直平分线的交点一定在三角形的外部
36．（2021八上·德江期末）如图，已知 ，用尺规在 上确定一点 ，使 .则下列四种不同方法的作图中准确的是（ ）
A．B．
C．D．
37．（2020八上·宽城期末）下面三个基本作图的作图痕迹．关于三条弧①，②，③，有以下三种说法，
⑴弧①是以点O为圆心，以任意长为半径所作的弧；
⑵弧②是以点A为圆心，以任意长为半径所作的弧；
⑶弧③是以点O为圆心，以大于 DE的长为半径所作的弧．
其中正确说法的个数为（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
38．（2019八上·上饶期中）如图，在 中， 垂直平分 ， ，则 的长为 ．
39．（2019八上·郑州开学考）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角度平分线；③做一条线段的垂直平分线；④过直线外一点作已知直线的垂线.则对应选项中做法错误的是 .
40．已知，在△ABC中，∠A＞∠B，分别以点A，C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧交于点P，点Q，作直线PQ交AB于点D，再分别以点B，D为圆心，大于 BD长为半径画弧，两弧交于点M，点N，作直线MN交BC于点E，若△CDE是等边三角形，则∠A= ．
41．（2019八上·天台月考）在等边△ABC所在平面内有点P，且使得△ABP，△ACP，△BCP均为等腰三角形，则符合条件的点P共有 个．
42．（2021八上·鼓楼期末）如图，已知.用三种不同的方法作等于.要求：尺规作图；保留作图痕迹，不写作法.
43．（2021八上·安丘期末）作图题：
（1）如图，已知直线l1∥l2，直线l3分别与l1、l2交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到l1、l2的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图，在7×7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1．请以AB为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．并计算你所画菱形的面积．
44．（2018八上·金东期末）已知线段a， 如图 ，求作等腰三角形ABC，使得底边 ，BC边上的高线长为 保留作图痕迹，不写作法
45．2008年，举世瞩目的第29届奥运盛会在北京举行．奥运五环，环环相扣，象征着全世界人民的大团结．五环图中五个圆环均相等，其中上排三个、下排两个，且上排的三个圆心在同一直线上；五环图是一个轴对称图形．
（1）请用尺规作图，在图1中补全奥运五环图，心怀奥运；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）五环图中五个圆心围一个等腰梯形．如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．假设BC=4，AD=8，∠A=45°，求梯形的面积．
46．（2017八上·崆峒期末）如图：求作一点P，使PM=PN，并且使点P到∠AOB的两边的距离相等．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第2章《轴对称图形》
2.4 线段、角的轴对称性
必刷知识点
知识点01：线段的轴对称性
1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
3. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
知识要点：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
知识点02：角的轴对称性
1.角的轴对称性
（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.
（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.
（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
知识点01：角平分线的性质
1．（2021八上·滨城期末）如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③点P到边AB，AC，BC的距离相等；④BD+CE＝BC；⑤ ，其中错误的个数是（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【完整解答】解：∵BE、CD平分∠ABC、∠ACB，∠BAC=60°，
∴ ，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=120°，故①符合题意；
如图，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵BE、CD平分∠ABC、∠ACB，
∴PH=PF，PH=PG，
∴PF=PG，
∴AP平分∠BAC，故②符合题意；
∴PF=PG=PH，
∴点P到边AB，AC，BC的距离相等，故③符合题意；
∵∠BAC=60°，∠AFP=∠AGP=90°，
∴∠FPG=120°，
∴∠DPF=∠EPG，
∵PF=PG
∴△PFD≌△PGE，
∴PD=PE，
∵BP=BP，
∴Rt△BHP≌Rt△BFP，
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH=BD+DF，CH=CE-GE，
两式相加得，BH+CH=BD+DF+CE-GE，
∵DF=EG，
∴BC=BD+CE，④符合题意；
∵∠BAC=60°，AP平分∠BAC，
∴∠DAP=∠EAP=30°，
∴PF=12AP，PG=12AP ，
∴ ，
同理 ，
∵DF=EG，
∴AD+AE=AF+DF+AG-EG=AF+AG，
∴ ，故⑤符合题意，
所以，错误的有0个．
故答案为：A
【思路引导】利用角平分线的性质和三角形全等的判定及性质等逐项判断即可。
2．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④B．①②③④C．②③④D．①③
【答案】A
【完整解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【思路引导】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
3．（2021八上·江津期中）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【完整解答】解：∵AD平分 ，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，故①正确；
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∵AD平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∠BDC＝∠BAC，
∴ ，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故答案为：D.
【思路引导】由角平分线的性质可得DE=DF，根据HL证明，可得CE=AF， ，根据HL证明，可得，从而得出，据此判断①②；在△AOB和△DOC中，，∠AOB=∠DOC，可得∠BDC＝∠BAC，据此判断③；利用三角形的内角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB
，从而得出∠DAF＝∠CBD，据此判断④.
4．（2021八上·封开期末）如图：在中，，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，，则的面积为 .
【答案】6
【完整解答】解：作于Q．
由作图知是的平分线，
∵
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【思路引导】作于Q．根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式可得答案。
5．（2021八上·江津期中）在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角 ∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB＝ ︒
【答案】25
【完整解答】解：如图示：
过点 ，分别作 交 于点 ， 交 于点 ， ，交 延长线于点 ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴
在 和 中，
∴ ，
故答案为：25.
【思路引导】过点E，分别作 EF⊥BD于点E， EG⊥AC于点G，EH⊥AB交AB延长线于点H ，由角平分线上的点到角两边的距离相等得EH=EF=EG，根据三角形外角的性质得∠HAC=∠ABC+∠ACB=112°，由角平分线的定义得∠EAO=∠HAC，∠EBC=∠ABC在S△AOE和△BOC中， 由∠AEB=∠OBC+∠OCB-∠OAE即可求解.
6．（2021八上·广州期中）如图，在 中， 和 的平分线 、 相交于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，过点 作 于点 ，则下列三个结论：① ；②当 时， ；③若 ， ，则 ．其中正确的是 ．
【答案】①②
【完整解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝ ∠CBA，∠OAB＝ ∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣ ∠CBA﹣ ∠CAB＝180°﹣ （180°﹣∠C）＝90°+ ∠C，①符合题意；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝ （∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②符合题意；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝ ×AB×OM+ ×AC×OH+ ×BC×OD＝ （AB+AC+BC）•a＝ab，③不符合题意．
故答案为：①②．
【思路引导】由角平分线的定义，结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO（SAS），得出∠HBO＝∠EBO，再证得△HBO≌△EBO（ASA），得出AF＝AH，进而判定②；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③。
7．（2021八上·南京期末）如图，是的角平分线，垂足为E，的面积为70，，，求的长.
【答案】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
S△ABC=×16⋅DE+×12⋅DF=70，
所以，14×DE=70，
解得DE=5.
【思路引导】过点D作DF⊥BC于F，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得DE=DF，再利用△ABC的面积=△ABD的面积+△BDC的面积，利用三角形的面积公式建立关于DE的方程，解方程求出DE的长.
8．（2021八上·红桥期末）如图，在和中，，，， ．
连接，交于点，连接．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求的大小；
（Ⅲ）求证：
【答案】解：（Ⅰ）证明∵，
∴，即．
∵，，
∴≌．∴
（Ⅱ）如图，由（Ⅰ）可得．
∵，∴．
∴．
（Ⅲ）证明：如图，过分别作，，垂足分别为点，．
∵≌，∴．∴．
∵，∴．
∴ 点在的平分线上．∴．
【思路引导】（Ⅰ）先利用“SAS”证明≌，再利用全等的性质可得AC=BD；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论可得，再利用角的运算及等量代换可得；
（Ⅲ）根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的面积可得，即可得到，即可证明 点在的平分线上，即可得到。
9．（2021八上·红桥期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，．
（Ⅰ）若，求证：是的角平分线；
（Ⅱ）若是的角平分线，求证：．
【答案】解：（Ⅰ）证明：∵是的中点，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴≌（HL)．
∴．
∴ 点在的平分线上．
∴是的角平分线．
（Ⅱ）∵是的角平分线，，，
∴，．
∵是的中点，
∴．
∴≌（HL)．
∴．
【思路引导】（Ⅰ）先利用“HL”证明≌，可得DE=DF，再利用角平分线的判定证明即可；
（Ⅱ）根据“HL”证明≌，即可得到BE=CF。
10．如图，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作 ，交 于 ，交 于 ，若 ， ，试求 的值．
【答案】解：∵ 平分 ，∴
平分 ，∴
又 ，∴
，∴
，∴
∵ ，∴ ，∴
【思路引导】根据角平分线的性质以及平行线的性质，即可得到∠OBE=∠EOB，∠OCF=∠COF，根据等角对等边即可得到线段的相等，利用等量代换求出EF=BE+CF即可。
11．如图（a），∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°
（1）求证：AD∥CE
（2）如图（b），AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，BF∥AG交GC的延长线于F，判断∠ABC与∠F的数量关系，并证明；
（3）如图（c），AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，BQ∥AN，CM平分∠BCT交BQ的反向延长线于M，① 的值不变，② 的值不变；其中只有一个结论正确，请择一证明．
【答案】（1）解：过B作BF∥AD，
则∠DAB+∠ABF=180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴∠FBC+∠BCE=360°﹣180°=180°，
∴BF∥CE，
∴AD∥CE.
（2）解：∠ABC=2∠F
证明：过点G作GH∥AD，
则GH∥AD∥CE，
∴∠DAG=∠AGH，∠HGC=∠GCE，
∵AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，
∴∠AGC= （∠DAB+∠BCE），
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴ （∠DAB+∠ABC+∠BCE）=180°，
即∠AGC+ ∠ABC=180°，
∵AG∥BF，
∴∠F+∠AGC=180°，
∴∠ABC=2∠F.
（3）解：② 的值不变．
证明：由上面结论可得，∠ABC=∠HAB+∠TCB，
又∵AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，CM平分∠BCT，
∴∠ABP=∠NAB+∠MCB，
∵BQ∥AN，
∴∠NAB=∠ABQ，
∴∠QBP= ∠ABP= ∠CBP= ∠BCT=∠MCB，
∵∠QBC是△BCM的外角，
∴∠QBC=∠M+∠MCB，
∴∠M=∠QBC﹣∠MCB=∠QBC﹣∠QBP=∠PBC= ∠ABC，
即 的值为 ．
【思路引导】（1）根据同旁内角的和等于180°可得出两条线为平行线。
（2）根据角平分线的性质，通过角的运算，得出∠ABC=2∠F。
（3）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和以及角平分线的性质，得出结论。
知识点02：线段垂直平分线的性质
12．（2021八上·南京期末）如图，点P在锐角 的内部，连接 ， ，点P关于 、 所在直线的对称点分别是 、 ，则 、 两点之间的距离可能是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】D
【完整解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，
∵点P关于直线OA，OB的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1=OP=3，OP=OP2=3， OP1+OP2＞P1P2， 0＜P1P2＜6，
所以A，B，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【思路引导】连接OP1，OP2，P1P2，利用轴对称的性质和垂直平分线的性质，可证得OP1=OP=3，OP=OP2=3，再利用三角形三边关系定理，可求出0＜P1P2＜6，由此可得答案.
13．（2022八上·西湖期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O.若，则（ ）
A．50°B．80°C．90°D．100°
【答案】B
【完整解答】解：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线，相交于点O，，分别与AB，BC交于D，E，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＋∠ABC＝180°，
∵∠DOE＋∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝40°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A＋∠ABO，∠COP＝∠C＋∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP＋∠COP＝∠A＋∠ABC＋∠C＝2∠ABC=2×40°＝80°；
故答案为：B.
【思路引导】连接BO，并延长BO到P，根据垂直平分线的性质可得AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，则∠DOE＋∠ABC＝180°，结合邻补角的性质可得∠ABC＝∠1＝40°，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，然后结合外角的性质进行计算.
14．（2021八上·丰台期末）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．下列关于筝形的结论正确的是（ ）
A．对角线AC，BD互相垂直平分
B．对角线BD平分∠ABC，∠ADC
C．直线AC，BD是筝形的两条对称轴
D．筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积
【答案】B
【完整解答】解： 四边形中，，，
是的垂直平分线，
而不一定是的垂直平分线，故A不符合题意；
，，
对角线BD平分∠ABC，∠ADC，故B符合题意；
直线BD是筝形的两条对称轴，故C不符合题意；
如图，记对角线的交点为
筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积的一半，故D不符合题意；
故答案为：B
【思路引导】由线段垂直平分线的判定可判断A选项；通过证明得出 可判断B选项；根据轴对称性质可判断C选项；利用三角形的面积可判断D选项。
15．（2021八上·鼓楼期末）如图，在中，，AB的垂直平分线交AB、AC于点D，E，若，，则的面积是 .
【答案】
【完整解答】解：连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，AD=DB=5，
∵∠C=90°，AC=8，BD=5，
∴AB=2BD=10，
由勾股定理得，BC==6，
则CE=8-AE=8-EB，
在Rt△CBE中，BE2=CE2+BC2，即BE2=（8-BE）2+36，
解得，BE=，则AE=，
∴S△ABE=AE×BC=××6=，
∴△ADE的面积是S△ABE=.
故答案为：.
【思路引导】连接BE，利用垂直平分线的性质可证得EA=EB，AE=DB=5，从而可求出AB的长；再利用勾股定理求出BC的长，可得到CE=8-EB；然后利用勾股定理可得到关于BE的方程，解方程求出BE的长；然后利用三角形的面积公式可求出△ABE的面积.
16．（2021八上·芜湖期末）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝37°，则∠AOC＝ ．
【答案】76°
【完整解答】解：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＋∠ABC＝180°，
∵∠DOE＋∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝38°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A＋∠ABO，∠COP＝∠C＋∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP＋∠COP＝∠A＋∠ABC＋∠C＝2×38°＝76°；
故答案为：76°．
【思路引导】先求出∠DOE＋∠ABC＝180°，再求出∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，最后计算求解即可。
17．（2021八上·吉林期末）如图，在中，，．为边上的垂直平分线，若点D在直线上，连接，，则周长的最小值为 ．
【答案】12
【完整解答】解：连接CD，如图，
∵为边上的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴周长＝AB+BD+AD＝AB+CD+AD，
∴当AD+CD有最小值时，周长的最小，
当A、D、C在一条直线上时，AD+CD有最小值，此时AD+CD最小值为AC的长，
∴周长的最小值为AB+AC的值，
∵，，
∴周长的最小值为5+7＝12．
故答案为：12．
【思路引导】利用线段垂直平分线的性质，最短距离问题即可得出答案。
18．（2021八上·延边期末）如图，中，边AC的垂直平分线与边BC交于点D．将沿AD折叠后，使点C与点E重合，且，若，则 度．
【答案】35
【完整解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠可知，，，
∵边AC的垂直平分线与边BC交于点D．
∴ ，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【思路引导】由折叠可知，，，再根据线段垂直平分线的性质即可得出答案。
19．（2021八上·嵩明期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，．在第一象限内找一点横坐标、纵坐标均为整数的点C，使得点M是的三边垂直平分线的交点，则点C的坐标为 ．
【答案】（4，5）或（6，1）或（6，3）
【完整解答】如图，连接MA，MB，
根据图可知．
∵点M是△ABC的三边垂直平分线的交点，
∴．
设C点坐标为．
根据题意可知，且都为整数．
∴，即，且，．
∵，
∴或或或，
解得：或（舍）或或．
∴C点坐标为(4，5)或(6，1)或(6，3)．
故答案为：(4，5)或(6，1)或(6，3)．
【思路引导】设C点坐标为．再利用两点之间的距离公式可得，再求解即可。
20．（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中， ， ， 的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：
【答案】①
【完整解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF= ∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°， ②不符合题意；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【思路引导】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
21．（2021八上·武昌期中）如图，已知△ABC中，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，有如下结论：①AO＝CI；②∠ABC+∠ACO＝90°；③∠BOI＝∠COI；④OI⊥BC.其中正确的结论是 .
【答案】②③④
【完整解答】解： OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，
设①AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，
这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，
故①错误，
，
，
，
∴2∠ABO+2∠OBC+2∠OCA=180°，
∴∠ABO+∠OBC+∠OCA=90°，
∠ABC+∠ACO =90°，
故②正确；
过点I作 ，
分别是 的角平分线，
是 的角平分线
∠BOI＝∠COI，
故③④正确.
故答案为：②③④.
【思路引导】由垂直平分线的性质可得AO=BO，AO=CO，则BO=CO，若AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，据此判断①；由等腰三角形的性质可得∠ABO=∠BAO，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，结合内角和定理可得∠ABC+∠ACO =90°，据此判断②；过点I作IP⊥BO，IQ⊥OC，IR⊥BC，由角平分线的性质可得PI=RI，QI=RI，则PI=QI，由BO=CO可知OI是∩BOC的角平分线，据此判断③④.
22．（2021八上·姜堰月考）如图，在 中， ，以 为边，作 ，满足 ，E为 上一点，连接 ， ，连接 .下列结论中正确的是 （填序号）
① ；② ；③若 ，则 ；④ .
【答案】②③④
【完整解答】解：如图，延长EB至E'，使BE=BE'，连接 ；
∵∠ABC=90°，
∴AB垂直平分EE＇，
∴AE=AE'，
∴∠1=∠2，∠3=∠5，
∵∠1= ，
∴∠E'AE=2∠1=∠CAD，
∴∠E'AC=∠EAD，
又∵AD=AC，
∴ ，
∴∠5=∠4，∠ADE=∠ACB（即②正确），
∴∠3=∠4；
当∠6=∠1时，∠4+∠6=∠3+∠1=90°，
此时，∠AME=180°－（∠4+∠6）=90°，
当∠6≠∠1时，∠4+∠6≠∠3+∠1，∠4+∠6≠90°，
此时，∠AME≠90°，
∴①不正确；
若CD∥AB，
则∠7=∠BAC，
∵AD=AC，
∴∠7=∠ADC，
∵∠CAD+∠7+∠ADC=180°，
∴ ，
∴∠1+∠7=90°，
∴∠2+∠7=90°，
∴∠2+∠BAC=90°，
即∠E'AC=90°，
由 ，
∴∠EAD=∠CAE'=90°，E'C=DE，
∴AE⊥AD（即③正确），DE=E'B+BE+CE=2BE+CE（即④正确）.
故答案为：②③④.
【思路引导】延长EB至E′，使BE=BE′，连接AE′，由垂直平分线的性质可得AE=AE′，由等腰三角形的性质可得∠1=∠2，∠3=∠5，结合已知条件得∠E′AE=2∠1=∠CAD，推出∠E′AC=∠EAD，证△DAE≌△CAE，据此判断②；当∠6=∠1时，∠4+∠6=∠3+∠1=90°，利用内角和求出∠AME的度数；当∠6≠∠1时，∠4+∠6≠∠3+∠1，∠4+∠6≠90°，此时∠AME≠90°，据此判断①；若CD∥AB，由平行线的性质可得∠7=∠BAC，由等腰三角形的性质可得∠7=∠ADC，在△ACD中，应用内角和定理可得∠1+∠7=90°，推出∠E′AC=90°，由全等三角形的性质可得∠EAD=∠CAE′=90°，E′C=DE，据此判断③④.
23．（2021八上·怀柔期末）如图，在ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E， 交AC于点D，连接BD．若∠A=100°，∠ABD=22°，求∠C的度数．
【答案】解：∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC ．
∴∠DBC=∠C ．
∵∠A=100°，∠ABD=22°．
∴∠BDC=∠A+∠ABD=122°．
∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，
∴∠C=．
【思路引导】先求出 DB=DC，再求出∠BDC=122°，最后计算求解即可。
知识点03：作图—角的平分线
24．（2021八上·绿园期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD＝BD，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【完整解答】解：A、由作图可知AD是△ABC的垂线，推不出AD＝BD，本选项不符合题意．
B、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出AD＝BD，本选项不符合题意．
C、由作图可知DA=CD，推不出AD＝BD，本选项不符合题意．
D、由作图可知作的是线段AB的垂直平分线，能推出AD＝BD，本选项符合题意．
故答案为：D．
【思路引导】A、由作图痕迹可知AD是△ABC的垂线，推不出AD＝BD；
B、由作图痕迹可知AD是△ABC的角平分线，推不出AD＝BD；
C、由作图痕迹可知CD=CA，推不出AD＝BD；
D、由作图痕迹可知作的是线段AB的垂直平分线，利用线段的垂直平分线即可解答.
25．（2021八上·鄞州期中）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（ ）
A．SSSB．HLC．AASD．SAS
【答案】B
【完整解答】解：在Rt△PMO和Rt△PNO中，
OM=ONOP=OP，
∴△POM≌△PON （HL）.
故答案为：B.
【思路引导】根据作法可知，OM=ON，OP是公共边，由于PM垂直OA，PN垂直OB，则可利用HL证明△POM≌△PON .
26．（2021八上·鄞州期中）已知∠AOB，在射线OA，OB上分别截取OD=OE，分别以点D，E为圆心，以大于 DE且同样长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C，作射线OC，OC就是∠AOB的角平分线.作图依据是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．HL
【答案】C
【完整解答】解：如图，连接OC，CD和CE，
由作法可知，OD=OE，CD=CE，
在△COD和△COE中，
OD=OECD=CEOC=OC，
∴△COD≌△COE（SSS），
∴∠COD=∠COE，
即 OC就是∠AOB的角平分线.
故答案为：C.
【思路引导】先作图，然后根据作法得出有关线段相等，再利用SSS证明△COD≌△COE，得出∠COD=∠COE，即OC就是∠AOB的角平分线，则可作答.
27．（2020八上·西华期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3.
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【完整解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①正确；
②如图，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°，故②正确；
③∵∠1=∠B=30°，∴AD=B，.∴点D在AB的中垂线上，故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD= AD.
∴BC=CD+BD= AD+AD= AD，S△DAC= AC•CD= AC•AD.
∴S△ABC= AC•BC= AC•A D= AC•AD.
∴S△DAC：S△ABC 。故④正确；
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个.
故答案为：D.
【思路引导】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线，可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比.
28．（2021八上·汉寿期末）如图，在 中， ， ，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P.按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线AF.若AF与PQ的夹角为 ，则 °.
【答案】56
【完整解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，
∴∠BAC＝90°−∠B＝90°−22°＝68°，
由作图知：AM是∠BAC的平分线，
∴∠BAM＝ ∠BAC＝34°，
∵PQ是AB的垂直平分线，
∴△AMQ是直角三角形，
∴∠AMQ＋∠BAM＝90°，
∴∠AMQ＝90°−∠BAM＝90°−34°＝56°，
∴α＝∠AMQ＝56°.
故答案为：56.
【思路引导】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAM＝34°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠AMQ＋∠BAM＝90°，即可求出α.
29．（2020八上·抚顺月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为 .
【答案】2
【完整解答】解：如图，作DP′⊥AB于P′，
则此时DP′最小，即PD最小，
由尺规作图可知，AD平分∠CAB，又∠C＝90°，DP′⊥AB，
∴DP′＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故答案为：2.
【思路引导】作DP′⊥AB于P′，根据垂线段最短得到此时PD最小，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等解答即可.
30．（2018八上·长春月考）如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°.按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,大于 EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG交BC边于点
D.则∠ADC的度数为 .
【答案】65°
【完整解答】有作图的步骤可知：AG为∠CAB角平分线，所以∠CAD=∠BAD=25°，
∠ADC=90°-25°=65°.
【思路引导】根据角平分线的作法可知，AG是∠CAB角平分线，由 ∠CAB=50° ，根据角平分线的性质可得，∠CAD=∠CBA=25°，然后再根据直角三角形的性质可得，∠ADC=90°-25°=65°.
31．（2020八上·北京期中）如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且油库的位置到两条公路l1、l2的距离也相等．那么油库应该修建在什么位置？在图上标出它的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】解：连接 ，作 的垂直平分线，再作 的平分线，
垂直平分线与角平分线的交点即为
P为油库所在地，如图所示.
【思路引导】连接 AB ，作 AB 的垂直平分线，再作 的平分线，垂直平分线与角平分线的交点即为油库的所在地．
32．两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
【答案】解：作出线段AB的垂直平分线；作出l1 l2和夹角的角的平分线。它们的交点即为所求作的点C（2个）。
【完整解答】到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C。由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个。
33．（2015八上·宜昌期中）作图题：已知：△ABC如图，求作一点P，使点P到AB，AC两边的距离相等，并且点P到A、B两点的距离也相等（保留作图痕迹）
【答案】解：如图所示：
．
P点即为所求．
【思路引导】首先作出AB的垂直平分线，再作出∠BAC的角平分线，两线的交点就是P点位置．
34．（2019八上·西城期中）学农期间我们完成了每日一题，进一步研究了角的平分线. 工人师傅常用角尺平分一个任意角. 作法如下：
如图，∠AOB 是一个任意角，在边 OA、OB 上分别取 OM=ON， 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M、N 重合. 过角尺顶点 C 的射线 OC 便是∠AOB 的平分线. 我们发现利用 SSS 证明两个三角形全等，从而证明∠AOC=∠BOC．
学习了轴对称的知识后，我们知道角是轴对称图形，角平分线 所在直线就是它的对称轴，爱动脑筋的小慧同学利用轴对称图形的性质发现了一种画角平分线的方法.
方法如下：如图 1，将两个全等的三角形纸片△DEF 和△MNL 的一组对应边分别与∠AOB 的一边共线，同时这条边所对顶点落在∠AOB 的另一条边上，则△DEF 和△MNL 的另一组对应边的交点 P 在∠AOB 的平分线上.
（1）小慧的做法符合题意吗？说明理由：
小旭说：利用轴对称的性质，我只用刻度尺就可以画角平分线.（提示：刻度尺可以度量出相等的线段）
（2）请你和小旭一样，只用刻度尺画出图 2 中∠QRS 的角平分线.（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）解：符合题意.理由如下
∵
∴∠DEF=∠MNL，DE=NM
∴180°-∠DEF=180°-∠MNL
即∠OED=∠ONM
在三角形OED与三角形ONM中
∠OED=∠ONM∠EOD=∠NOMDE=NM
∴ (AAS)
∴ON=OE，OD=OM，∠ODE=∠OMN
∴DO-ON=OM-OE
即DN=ME
在三角形NKD与三角形EKM中
∠ODE=∠OMN∠NKD=∠EKMDN=EM
∴ (AAS)
∴NK=EK
在三角形ONK与三角形OEK中
ON=OE∠ONK=∠OEKKN=EK
∴ (SAS)
∴∠NOK=∠EOK
即OK为∠LOF 的角平分线.
（2）解：
如图量RA=RA，RQ=RC，连接AD=BC.
则在三角形RAD与三角形RBC中
RA=RB∠DRA=∠CRBRD=RC
∴ （SAS）
∴∠RDA=∠RCB
在三角形BDK与三角形ACK中
∠RDA=∠RCB∠BKD=∠AKCBD=AC
∴ （AAS）
∴BK=AK
在三角形RBK与三角形RAK中
RB=RABK=AKRK=RK
∴ (SSS)
∴∠BRK=∠ARK
故RK为角平分线.
【思路引导】（1）说法符合题意，可通过用AAS证明三角形OED与三角形OME全等得到ON=OE，OD=OM，∠ODE=∠ONM，再根据DO-ON=OM-OE，得到DN=ME，再根据AAS证明三角形NKD与三角形EKM全等，得到NK=EK,再根据SAS证明三角形ONK与三角形OEK全等，从而得到对应角∠NOK=∠EOK，即可证明角平分线.（2）根据（1）可知，作三角形RAD与三角形RBC全等，过R点作与BC与AD的交点的射线即为角平分线.
知识点04：作图—线段的垂直平分线
35．（2021八上·忠县期末）下列说法不正确的是（ ）
A．三角形的三条角平分线相交于一点，该点在三角形的内部
B．三角形的每一条中线都把三角形分成面积相等的两个三角形
C．正多边形的所有内角相等，所有边长也相等
D．三角形三边的垂直平分线的交点一定在三角形的外部
【答案】D
【完整解答】解：A、三角形的三条角平分线相交于一点，该点在三角形的内部，故此选项正确；
B、三角形的每一条中线都把三角形分成等底等高的两个三角形，则这两个三角形的面积相等，故此选项正确；
C、根据正多边形的定义知，正多边形的所有内角相等，所有边长也相等，故此选项正确；
D、三角形三边的垂直平分线的交点可以在三角形的外部，也可以在三角形的内部，也可以在三角形的边上，故此选项错误.
故答案为：D.
【思路引导】根据三角形的角平分线的概念可判断A；根据三角形的面积公式以及中线的概念可判断B；根据正多边形的性质可判断C；三角形三边的垂直平分线的交点可以在三角形的外部、内部、三角形的边上，据此判断D.
36．（2021八上·德江期末）如图，已知 ，用尺规在 上确定一点 ，使 .则下列四种不同方法的作图中准确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【完整解答】解：用尺规在BC上确定一点P，使得 ，如图所示：
，
先做出AB的垂直平分线，即可得出AP=PB，即可得出 .
故答案为：D.
【思路引导】根据图的构成可知：PB+PC=BC， 而题目要求在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，故点P满足PA=PB即可，由于线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，所以作出AB的垂直平分线，该线与BC的交点就是所求的点.
37．（2020八上·宽城期末）下面三个基本作图的作图痕迹．关于三条弧①，②，③，有以下三种说法，
⑴弧①是以点O为圆心，以任意长为半径所作的弧；
⑵弧②是以点A为圆心，以任意长为半径所作的弧；
⑶弧③是以点O为圆心，以大于 DE的长为半径所作的弧．
其中正确说法的个数为（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】C
【完整解答】解：（1）弧①是以点O为圆心，以任意长为半径所作的弧，符合题意．
（2）②是以点A为圆心，以任意长为半径所作的弧，不符合题意，应该是②是以点A为圆心，大于 AB长为半径所作的弧．
（3）弧③是以点O为圆心，以大于 DE的长为半径所作的弧，不符合题意，应该是弧③是以点E为圆心，以大于 DE的长为半径所作的弧，
故答案为：C．
【思路引导】根据所作的图判断求解即可。
38．（2019八上·上饶期中）如图，在 中， 垂直平分 ， ，则 的长为 ．
【答案】6
【完整解答】解： 垂直平分 ，
，
故答案为：6
【思路引导】线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，参照图形结合垂直平分线的性质，可得 ，即可得 的长.
39．（2019八上·郑州开学考）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角度平分线；③做一条线段的垂直平分线；④过直线外一点作已知直线的垂线.则对应选项中做法错误的是 .
【答案】③
【完整解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确.
故答案为：③.
【思路引导】根据基本作图的方法依次进行判断即可.
40．已知，在△ABC中，∠A＞∠B，分别以点A，C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧交于点P，点Q，作直线PQ交AB于点D，再分别以点B，D为圆心，大于 BD长为半径画弧，两弧交于点M，点N，作直线MN交BC于点E，若△CDE是等边三角形，则∠A= ．
【答案】45°
【完整解答】解：如图，由作法得PQ垂直平分AC，MN垂直平分BD，
∴DA=DC，EB=ED，
∴∠A=∠DCA，∠EDB=∠B，
∵△CDE为等边三角形，
∴∠CDE=∠DEC=60°，
而∠DEC=∠EDB+∠B，
∴∠EDB= ×60°=30°，
∴∠CDB=90°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠A=45°．
故答案为45°．
【思路引导】如图，由作法得PQ垂直平分AC，MN垂直平分BD，利用线段垂直平分线的性质得到DA=DC，EB=ED，则∠A=∠DCA，∠EDB=∠B，再利用等边三角形的性质和三角形外角性质计算出∠EDB=30°，则可判断△ACD为等腰直角三角形，从而得到∠A=45°．
41．（2019八上·天台月考）在等边△ABC所在平面内有点P，且使得△ABP，△ACP，△BCP均为等腰三角形，则符合条件的点P共有 个．
【答案】10
【完整解答】解：①作三边的垂直平分线必在三角形内交于一点，即三角形的外心，这点就是符合要求的P点；
②作BC的垂直平分线，以B点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，其中一点是点A，另一点为符合要求的P点；以A点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，其中一点为B，另一点是符合要求的P点，∴BC垂直平分线上符合要求的共有四点，除去外心，还要三个点；
③同理AB和AC的垂直平分线也有符合条件的三点；
综上符合条件的P点共有：3×3+1=10个.
故答案为：10.
【思路引导】三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，符合条件；每条边的垂直平分线和以每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径画弧的交点也符合条件；因为等边三角形的三条边的情况是相同的，求出一边符合条件的个数，则总数可求.
42．（2021八上·鼓楼期末）如图，已知.用三种不同的方法作等于.要求：尺规作图；保留作图痕迹，不写作法.
【答案】解：如图①、②、③，即为所求.
，
【思路引导】利用作一个角等于已知角的方法，作出∠BAC=∠α；或由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，及等边对等角作出∠BAC=∠α；或利用等腰三角形的性质：等边对等角，作出∠BAC=∠α.
43．（2021八上·安丘期末）作图题：
（1）如图，已知直线l1∥l2，直线l3分别与l1、l2交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到l1、l2的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图，在7×7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1．请以AB为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．并计算你所画菱形的面积．
【答案】（1）解：如图，点P为所作．
（2）解：如图所示：
四边形ABCD即为所画菱形，（答案不唯一，画出一个即可）．
图1菱形面积S＝×2×6＝6，
图2菱形面积S＝4×4-×1×3×4-2=8，
图3菱形面积S＝4×4-×1×3×4=10．
【思路引导】做线段AB的垂直平分线得出线段AB的中点，则中点为P点。
44．（2018八上·金东期末）已知线段a， 如图 ，求作等腰三角形ABC，使得底边 ，BC边上的高线长为 保留作图痕迹，不写作法
【答案】解：如图所示： 即为所求．
【思路引导】首先作线段 ，再作BC的垂直平分线，然后在NM上截取 ．
45．2008年，举世瞩目的第29届奥运盛会在北京举行．奥运五环，环环相扣，象征着全世界人民的大团结．五环图中五个圆环均相等，其中上排三个、下排两个，且上排的三个圆心在同一直线上；五环图是一个轴对称图形．
（1）请用尺规作图，在图1中补全奥运五环图，心怀奥运；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）五环图中五个圆心围一个等腰梯形．如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．假设BC=4，AD=8，∠A=45°，求梯形的面积．
【答案】（1）解：如图．
（2）解：过B作BE⊥AD于E，
则AE=BE= （AD﹣BC）
= （8﹣4）=2，
S梯形= （AD+BC）•BE= （8+4）×2=12
【思路引导】（1）先利用尺规找出最上面两圆连心线的中点，再以该点为圆心即可补全；
（2）先利用等腰梯形的性质求出高长，再根据梯形面积公式即可计算。
46．（2017八上·崆峒期末）如图：求作一点P，使PM=PN，并且使点P到∠AOB的两边的距离相等．
【答案】解：如图，点P即为所求．
①作∠AOB 的平分线OC；
②连结MN，并作MN 的垂直平分线EF，交OC于P，连结PM、PN，
则P点即为所求．
【解析】（1）作∠AOB 的平分线OC；（2）连结MN，并作MN 的垂直平分线EF，交OC于P，连结PM、PN，则P点即为所求．
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