还剩69页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【2.4线段、角的轴对称性】(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
- 苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【2.5等腰三角形的轴对称性】(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
- 苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【第2章《轴对称图形》章节达标检测】(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
- 苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【第2章《轴对称图形》章节达标检测】(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
- 苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷知识点【第2章《轴对称图形》章节复习巩固】(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【2.5等腰三角形的轴对称性】(原卷版+解析)
展开
这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【2.5等腰三角形的轴对称性】(原卷版+解析)，共72页。试卷主要包含了5 等腰三角形的轴对称性，等腰三角形的性质，等腰三角形是轴对称图形，其中正确的结论是，5°，等内容，欢迎下载使用。
2.5 等腰三角形的轴对称性
必刷知识点
知识点01：等腰三角形的定义
的三角形，叫做等腰三角形，其中 叫做腰，另一边叫做底， 叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为 ,∠A是
∠B 、∠C是 ．
知识要点：等腰直角三角形的两个 相等，且都等于 .等腰三角形的底角只能为 ，不能为钝角（或直角），但顶角可为
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
知识点02：等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“ ”）．
性质2：等腰三角形的 互相重合（简称“ ”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角 .是证明 的一个重要依据．
性质2用来证明 等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的 所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条
知识点03：等腰三角形的判定
如果一个三角形中有 相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“ ”）.
知识要点：等腰三角形的判定是证明 的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为 的重要依据.等腰三角形的 是互逆定理.
知识点01：等腰三角形的性质
1．（2021八上·永定期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B．一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度
C．有两个角是60°的三角形是等边三角形
D．在 ABC中， ，则 ABC为直角三角形
2．（2021八上·嵩县期末）等腰三角形的一个内角是 ，则它底角的度数是（ ）
A．B． 或
C． 或 D．
3．（2022八上·上思期末）如图，在等腰中，，，的平分线与AB的垂直平分线交于点E，沿FG折叠使点C与点E重合，则的度数是（ ）.
A．60度B．55°C．50°D．45°
4．（2021八上·南京期末）如图，在 中， ， 是 的角平分线，E是 中点，连接 ，若 ，则 .
5．（2021八上·宁波期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点（与点A，B不重合），将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为 .
6．（2021八上·长丰期末）如图，在等腰△ABC中，BA=BC，AD平分∠BAC，DE∥AC，求证：∠ADB=3∠EDA．
7．（2021八上·平凉期中）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.
（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
8．（2021八上·淳安期末）如图
（1）如图①，在△ABC中，D为△ABC外一点，若AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°，求证：BC＝CD；
琮琮同学：我的思路是在AB上取一点F，使得AD=AF，连结CF，先证明△ADC≌△AFC得到DC＝FC，再证明CB＝CF，从而得出结论；
宸宸同学：我觉得也可以过点C作边AD的高线CG，由角平分线的性质得出CG=CE，再证明△GDC≌△EBC，从而得出结论.请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程.
（2）如图②，D、E、F分别是等边△ABC的边BC、AB、 AC上的点， AD平分∠FDE， 且∠FDE=120°.求证：BE=CF.
知识点02：等腰三角形的判定
9．（2022八上·西湖期末）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022八上·新昌期末）如图，M，A，N是直线l上的三点，，，P是直线l外一点，且，，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形
B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形
C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形
D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形
11．（2021八上·铁岭期末）如图，在中，，点在边上，且，过上一点作，交、的延长线、的延长线分别于点，和，有下列结论：①图中共有4个等腰三角形；②；③；④．其中正确的结论有 （请填写序号）．
12．（2021八上·天门月考）若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，则△ABC的形状是 .
13．（2020八上·柯桥月考）如图，四边形ABCD是长方形，AB=x，BC=4，点P为直线AD上的一点.若满足△BCP为等腰三角形的点P有且仅有3个，则x需满足的条件是 .
14．（2021八上·谷城期中）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD的中点.试探索BM和BN的关系，并证明你的结论.
15．如图
（1）动手操作：
如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为 ．
（2）观察发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（3）实践与运用：
将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．
16．（2021八上·鼓楼期末）如图，已知为正比例函数的图象上一点，轴，垂足为点B.
（1）求m的值；
（2）点P从O出发，以每秒个单位的速度，沿射线方向运动.设运动时间为.
①过点P作交直线于点Q，若，求t的值；
②在点P的运动过程中，是否存在这样的t，使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由.
知识点03：等腰三角形的判定和性质
17．（2021八上·大同月考）如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长为AB＋AC；④BD＝CE；( )
A．③④B．①②C．①②③D．②③④
18．（2021八上·龙沙期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，AD＝6，过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E， 若△AED 的周长为 16，则边 AB 的长为（ ）
A．6B．8C．10D．1
19．（2021八上·崇阳期中）如图，已知 ，点 、 、 、…在射线ON上，点 、 、 、…在射线OM上， 、 、 …均为等边三角形，若 ，则 的边长为( )
A．16B．64C．128D．256
20．（2021八上·长沙期末）如图， 、 的平分线相交于点F，过F作 ，交 于点D，交 于点E， ， ，则 .
21．（2021八上·罗庄期中）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝5，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O点作DE∥BC，则△ADE的周长为 ．
22．（2021八上·瑞安期中）在四边形 中， ， ， ， ，P是 边上的一点，连结 ，将 沿直线 对折得到 ， 点恰好落在线段 上，当 时，则 的面积为 .
23．（2021八上·泗洪期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相于点O.证明OB＝OC.
24．（2019八上·宝安期中）如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，已知点C的坐标是（8，4）．
（1）对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，连接AM，求线段AM的长；
（2）在x轴上是否存在一个点P，使△PAM为等腰三角形？如果有请直接写出符合题意的所有点P的坐标．
25．（2021八上·宁波期末）解答
（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE.求证：△ACD≌△EBD.
（2）如图2，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D为BC的中点，DC⊥AC.求△ABC面积.
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC延长线上一点，BC＝CD，F是AB上一点，连结FD交AC于点E，若AF＝EF＝2，BD＝6，求ED的长.
知识点04：等边三角形的性质
26．（2021八上·凉山期末）三角形中，最大角 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
27．（2021八上·灌阳期末）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（ ）
A．8B．10C．11D．12
28．（2021八上·玉林期末）如图，已知△ABC为等边三角形，BD为△ABC的中线，延长BC至E，使CE＝CD，连接DE，则∠BDE ＝ 度.
29．（2021八上·滨城期末）如图，点C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下十个结论：①AD＝BE；②PQAE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°；⑥CP＝CQ；⑦△CPQ为等边三角形；⑧共有2对全等三角形；⑨CO平分∠AOE；⑩CO平分∠BCD恒成立的结论有 （把你认为正确的序号都填上）．
30．（2021八上·莒南期中）如图，已知 ，点 ， ， ， 在射线ON上，点 ， ， ， 在射线OM上， ， ， ， 均为等边三角形，若 ，则 的边长为 ．
31．（2021八上·大兴期末）如图，为等边三角形，D是BC中点，，CE是的外角的平分线．
求证：．
32．（2021八上·莒南期中）如图，已知等边 分别在 上，且 ，连接 交 点．求证：
33．（2019八上·同安期中）如图，△ABC是边长为10的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合）．
（Ⅰ）如图1，若点Q是BC边上一动点，与点P同时以相同的速度由C向B运动（与C、B不重合）．求证：BP＝AQ；
（Ⅱ）如图2，若Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D，在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．
34．（2021八上·永定期末）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.
（1）求证 DOB≌ AOC；
（2）求∠CEB的大小；
（3）如图2， OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将 OCD绕点O旋转（ OAB和 OCD不能重叠），求∠CEB的大小.
知识点05：等边三角形的判定
35．（2021八上·荣县月考）下列命题：①等腰三角形的角平分线、底边中线、高线三线合一；②有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；③等腰三角形的一边长为3，另一边为7，则它的周长为13或17；④轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
36．（2021八上·镇海期中）如图，已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
37．（2020八上·孝南月考）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP=OC，下面的结论：①AB=AC，②△AOP≌△AOC ，③∠APO+∠DCO=30°，④△OPC是等边三角形.其中正确的为 .（填序号）
38．（2019八上·会昌期中）在△ABC中，AB=AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是 （只要写出一个即可）．
39．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD，CF分别是BC、AB边上的高且相交于点P，∠ABC的平分线BE分别交AD、CF于M、N.以下四个结论：①△PMN等边三角形；②除了△PMN外，还有4个等腰三角形；③△ABD≌△CPD；④当DM＝2时，则DC＝6.其中正确的结论是： （填序号）.
40．（2021八上·南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
41．（2018八上·阿城期末）如图：
（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．
知识点06：等边三角形的判定与性质
42．（2021八上·惠民月考）如图，在等腰△ABC中，点M，N都在BC边上，∠BAC＝120°，若ME⊥AB于点E，NF⊥AC于点F，点E，F分别为AB，AC的中点，且EM＝2．则BC的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
43．（2020八上·碾子山期末）如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若 ，当 取得最小值时，则 的度数为（ ）
A．15°B．225°C．30°D．45°
44．（2021八上·旅顺口期中）如图， 为等边三角形，若 ，则 （用含 的式子表示）．
45．（2021八上·金华期中）如图， 是 的角平分线，点 是 上的动点，已知 ， ， ，则
（1） ；
（2） 的最小值是 .
46．（2021八上·中山期末）已知，如图，△ABC为等边三角形，延长△ABC的各边，使得AE＝CD＝BF，顺次连接D，E，F，得到△DEF，求证：∠DEF＝60°．
47．（2020八上·灵宝期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，求BC的长.
48．（2021八上·长沙期末）如图1，在平面直角坐标系中，点 在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设 ，且 .
（1）直接写出 的度数.
（2）如图2，点D为AB的中点，点P为y轴负半轴上一点，以AP为边作等边三角形APQ，连接DQ并延长交x轴于点M，若 ，求点M的坐标.
（3）如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为OC的中点，连接BE，过点B作 ，且 ，连接AF交BC于点P，求 的值.
49．（2021八上·新丰期中）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α＝ 时，△AOD是等腰三角形．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第2章《轴对称图形》
2.5 等腰三角形的轴对称性
必刷知识点
知识点01：等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
知识要点：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
知识点02：等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
知识点03：等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
知识要点：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
知识点01：等腰三角形的性质
1．（2021八上·永定期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B．一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度
C．有两个角是60°的三角形是等边三角形
D．在 ABC中， ，则 ABC为直角三角形
【答案】C
【完整解答】解：A、等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，即三线合一，故此选项错误；
B、三角形的内角和为180°，故此选项错误；
C、有两个角是60°，则第三个角为 ，所以三角形是等边三角形，故此选项正确；
D、设 ，则 ，故 ，解得 ，所以 ， ，此三角形不是直角三角形，故此选项错误.
故答案为：C.
【思路引导】A、等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，据此判断即可；
B、三角形的内角和为180°，据此判断即可；
C、三个角是60°的三角形时等边三角形，据此判断即可；
D、根据三角形内角和定理求出最大角，利用直角三角形的定义来验证最大角是否为90°即可.
2．（2021八上·嵩县期末）等腰三角形的一个内角是 ，则它底角的度数是（ ）
A．B． 或
C． 或 D．
【答案】C
【完整解答】解：当70°角为顶角时，它的底角为 ，
当70°角为底角时，它底角的度数是70°
故答案为：C.
【思路引导】分情况讨论：当70°角为底角时；当70°角为顶角时，利用三角形的内角和定理求出其底角的度数，即可求解.
3．（2022八上·上思期末）如图，在等腰中，，，的平分线与AB的垂直平分线交于点E，沿FG折叠使点C与点E重合，则的度数是（ ）.
A．60度B．55°C．50°D．45°
【答案】C
【完整解答】解：如图，连接BE，
∵∠BAC=50°，AE为∠BAC的平分线，
∴∠BAE= ∠BAC= ×50°=25°.
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠ABE=∠BAE=25°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=65°-25°=40°.
∵AE为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AE垂直平分BC，
∴EB=EC，
∴∠ECB=∠EBC=40°，
∵将∠ACB沿FG折叠，
∴EF=CF，
∴∠CEF=∠ECF=40°；
在△ECF中，∠EFC=180°-∠CEF-∠ECF=180°-40°-40°=100°，
∴∠CFG= ∠CFE=50°.
故答案为：C.
【思路引导】连接BE，由角平分线的性质可得∠BAE= ∠BAC=25°，由等腰三角形的性质可得∠ABC
=∠ACB=65°，由线段垂直平分线的性质可得EA=EB，利用等腰三角形的性质可得∠ABE=∠BAE
=25°，从而求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=40°；由折叠的性质可得∠CEF=∠ECF=40°，利用三角形的内角和求出∠EFC=180°-∠CEF-∠ECF=100°，由折叠的性质可得∠CFG= ∠CFE=50°.
4．（2021八上·南京期末）如图，在 中， ， 是 的角平分线，E是 中点，连接 ，若 ，则 .
【答案】6
【完整解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴D为BC的中点，
∵E为AC的中点，
∴AB=2DE=6.
故答案为：6.
【思路引导】利用等腰三角形三线合一的性质可证得D为BC的中点，再由点E是AC的中点，可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理，可求出AB的长.
5．（2021八上·宁波期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点（与点A，B不重合），将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为 .
【答案】或
【完整解答】解：∵Rt△ABC中，AC=BC=1，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，
∴∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，
①AF=FD时，
∠FDA=∠FAD=45°，
∴∠AFD=90°，
∠CDA=45°+45°=90°=∠ECD=∠DAE，
∵EC=CD，
∴四边形ADCE是正方形，
∴AD=DC，
∴AF= AC= ×1= ；
②AF=AD时，
∠ADF=∠AFD=67.5°，
∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=∠CDB，
∴BD=CB=1，
∴AD=AB-BD= ，
∴AF=AD= ，
故答案为： 或 .
【思路引导】Rt△ABC中，AC=BC=1，可得∠CAB=∠B=45°，由旋转的性质可得∠ECD=90°，∠CDE
=∠CED=45°，分两种情况①AF=FD时，②AF=AD时，根据等腰三角形的性质分别解答即可.
6．（2021八上·长丰期末）如图，在等腰△ABC中，BA=BC，AD平分∠BAC，DE∥AC，求证：∠ADB=3∠EDA．
【答案】证明：∵BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵DE∥AC，
∴∠BED=∠BAC，∠BDE=∠C，
∴∠BED=∠BDE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠DAC，
∴∠EAD=∠ADE，
∴∠BED=∠EAD+∠ADE=2∠ADE，
∴∠BDE=∠BED=2∠ADE，
∴∠ADB=3∠EDA．
【思路引导】根据等腰三角形的性质得出∠BAC=∠BCA，根据平行线的性质得出∠BED=∠BDE，∠EAD=∠ADE，根据角平分线的定义得出∠ADE=∠DAC，即可得出结论。
7．（2021八上·平凉期中）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.
（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
【答案】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=30°；
（2）设∠BAD=x，
∴∠CAD=90°﹣x，
∵AE=AD，
∴∠AED=45°+ ，
∴∠CDE= ；
∠CDE= ∠BAD
（3）设∠BAD=x，∠C=y，
∵AB=AC，∠C=y，
∴∠BAC=180°﹣2y，
∵∠BAD=x，
∴∠DAE=y+ ，
∴ .
∠CDE= ∠BAD
【思路引导】（1）根据等腰直角三角形的性质得 ∠B=∠C=45°，根据角的和差得 ∠DAE=30°， 根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得 ∠AED=75°， 最后根据三角形外角的性质，由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°−x，根据等腰三角形的性质得 ∠AED=45°+ ， 进而根据三角形外角的性质由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角性质可求解．
8．（2021八上·淳安期末）如图
（1）如图①，在△ABC中，D为△ABC外一点，若AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°，求证：BC＝CD；
琮琮同学：我的思路是在AB上取一点F，使得AD=AF，连结CF，先证明△ADC≌△AFC得到DC＝FC，再证明CB＝CF，从而得出结论；
宸宸同学：我觉得也可以过点C作边AD的高线CG，由角平分线的性质得出CG=CE，再证明△GDC≌△EBC，从而得出结论.请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程.
（2）如图②，D、E、F分别是等边△ABC的边BC、AB、 AC上的点， AD平分∠FDE， 且∠FDE=120°.求证：BE=CF.
【答案】（1）解：在AB上取点F，使AF＝AD．
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠FAC，
∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC（公共边）
∴△ADC≌△AFC（SAS），
∴DC＝FC，
∠CDA＝∠CFA，
又∵∠B+∠ADC＝180°，∠CFE+∠AFC＝180°，
∴∠B＝∠CFE，
∴CB＝CF，
又∵DC＝FC，
∴BC＝CD．
（2）证明：如图（2），在DE上取点G，使得DG=DF，
∵AD平分∠FDE， 且∠FDE=120°
∴∠ADE=∠ADF=60°，AD=AD
∴△ADG≌△ADF(SAS)
∴AG=AF，∠AGD=∠AFD
∵∠AGD+∠ADG+∠GAD=∠AFD+∠ADF+∠DAF=180°
∴∠AFD+∠AED=180°而∠AGD+∠AGE=180°
∴∠AED =∠AGE
∴AG=AE =AF，
∴AB－AE =AC－AF
∴BE=CF
【思路引导】（1）在AB上取点F，使AF＝AD，利用角平分线的定义可证得∠DAC＝∠FAC；再利用SAS证明△ADC≌△AFC，利用全等三角形的性质可推出DC＝FC；∠CDA＝∠CFA，利用补角的性质可知∠B＝∠CFE，利用等角对等边可证得CB＝CF，由此可推出结论.
（2）在DE上取点G，使得DG=DF，利用SAS证明△ADG≌△ADF，利用全等三角形的性质可推出AG=AF，∠AGD=∠AFD；再证明∠AED =∠AGE，可推出AG=AE=AF，然后根据AB－AE =AC－AF，可证得结论.
知识点02：等腰三角形的判定
9．（2022八上·西湖期末）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【完整解答】解：由作图可知，选项C中，∠C＝∠PAC，
∴PA＝PC，
∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC.
故答案为：C.
【思路引导】根据作图步骤可得选项A中∠BAP=∠CAP，无法判断PA+PB=BC；选项B中AC=BC，则AC+BP=BC；选项C中∠C=∠PAC，则PA=PC，PA+PB=BC；选项D中BP=PC，据此判断.
10．（2022八上·新昌期末）如图，M，A，N是直线l上的三点，，，P是直线l外一点，且，，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形
B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形
C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形
D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形
【答案】D
【完整解答】解：如图，
时，等腰三角形
，
当在的右侧时，，此时直角三角形
当时，此时等边三角形
当时，此时直角三角形
当动点Q从点M出发，向点N移动，依次出现的特殊三角形是等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形.
故答案为：D.
【思路引导】画出示意图，易得当AQ1=1时，△APQ1为等腰三角形，当AQ2=时，△APQ2为直角三角形，当AQ3=1时，△APQ3为等边三角形，当AQ4=2时，△APQ4为直角三角形，据此判断.
11．（2021八上·铁岭期末）如图，在中，，点在边上，且，过上一点作，交、的延长线、的延长线分别于点，和，有下列结论：①图中共有4个等腰三角形；②；③；④．其中正确的结论有 （请填写序号）．
【答案】①②④
【完整解答】∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠A=∠DBC，
∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA，
∴∠A=∠DBA=∠DBC=∠ABC=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠C=5∠A=180°，
∴∠A=∠DBA=∠DBC =36°，∠C=72°；
∵，∠DBA=∠DBC
∴BN=CE
∴等腰三角形有△ABC、△ABD、△BDC、△BNE，故①符合题意；
②，故②符合题意；
③当时，，∴，但是由于M是任意一点，AD是固定长度，故③不符合题意；
④∵BN=BE，AB=AC，
∴AN=AB-BN=AC-BE，
∵CE=BE-BC，
∵CD=AC-AD=AC-BD=AC-BC，
∴CD=AN+CE．故④符合题意
综上所述，正确的是①②④
故答案为：①②④
【思路引导】根据等腰三角形的性质得出∠A=∠DBA=∠DBC=∠ABC=∠ACB，根据三角形的内角和可求出∠A的度数，由余角的性质可求出∠E的度数，故②符合题意；根据垂直的定义得出∠BHN=∠EHB=90°，由“ASA”可证出图中共有四个等腰三角形，故①符合题意；线段的和差和等于量代换得出④正确，即可求解。
12．（2021八上·天门月考）若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，则△ABC的形状是 .
【答案】直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形
【完整解答】解：∵a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，
∴（a2＋b2）（a2−b2）−c2（a2−b2）＝0
∴（a2−b2）（a2＋b2−c2）＝0
∴（a-b）（a+b）（a2＋b2−c2）＝0‘
由于a+b≠0，’
∴a−b＝0或a2＋b2−c2＝0
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形.
故答案为：直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.
【思路引导】利用分组分解法将左式进行因式分解，则可得出a−b＝0或a2＋b2−c2＝0，则可判断出△ABC的形状.
13．（2020八上·柯桥月考）如图，四边形ABCD是长方形，AB=x，BC=4，点P为直线AD上的一点.若满足△BCP为等腰三角形的点P有且仅有3个，则x需满足的条件是 .
【答案】4或
【完整解答】解：①如图，当AB＝BC时，
满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，
△P1BC，△P3BC是等腰直角三角形，△P2BC是等腰三角形，
则AB＝BC＝4.
②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，
∵满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，
∴△P2BC是等边三角形，易知P2是AD的中点，BC＝BP1＝BP2＝CP2＝CP3，
在Rt△ABP2中，∵BP2＝4，∠ABP2＝30°，
∴AP2＝2，
∴AB＝2
③当AB＞BC时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形.
故答案为：3或2 .
【思路引导】分三种情况讨论，①如图，当AB＝BC时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，这时，△P1BC，△P3BC是等腰直角三角形，△P2BC是等腰三角形，可得AB的长度；②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，由于△P2BC是等边三角形，结合等边三角形的性质求出AB长即可；当AB＞BC时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形 .
.
14．（2021八上·谷城期中）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD的中点.试探索BM和BN的关系，并证明你的结论.
【答案】解：BM＝BN，BM⊥BN.理由如下：
在△ABE和△DBC中
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠BAE＝∠BDC，
∴AE＝CD，
∵M、N分别是AE、CD的中点，
∴AM＝DN，
在△ABM和△DBN中，
，
∴△BAM≌△BDN（SAS），
∴BM＝BN，
∠ABM＝∠DBN，
∵∠ABD＝∠DBC，∠ABD+∠DBC＝180°
∴∠ABD＝∠ABM+∠MBE＝90°，
∴∠MBE+∠DBN＝90°，
即：BM⊥BN，
∴BM＝BN，BM⊥BN.
【思路引导】易证△ABE≌△DBC，得到∠BAE＝∠BDC，推出AE＝CD，根据线段中点的概念可得AM＝DN，证明△BAM≌△BDN，得到BM＝BN，∠ABM＝∠DBN，推出∠MBE+∠DBN＝90°，据此解答.
15．如图
（1）动手操作：
如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为 ▲ ．
（2）观察发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（3）实践与运用：
将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．
【答案】（1）解：∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20°，
∴∠AEB=70°，
∴∠BED=110°，
根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°．
∵AD∥BC，
∴∠EFC=125°，
再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°．
（2）解：同意．如图，设AD与EF交于点G．由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．由折叠知，∠AGE=∠DGE=90°，所以∠AGE=∠AGF=90°，
所以∠AEF=∠AFE．
所以AE=AF，即△AEF为等腰三角形
（3）解：由题意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF，∴MF=NF，由对称性可知，MF=PF，∴NF=PF，而由题意得出：MP=MN，MF=MF，在△MNF和△MPF中，∵ ，
∴△MNF≌△MPF（SSS），
∴∠PMF=∠NMF，而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°，即3∠MNF=180°，∴∠MNF=60°.
【思路引导】（1）根据直角三角形ABE中∠ABE=20°，可得∠AEB=70°，从而得出∠BED=110°，根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°，然后根据平行线的性质和折叠的性质可得所求的角的度数；
（2）根据折叠知，AD平分∠BAC，从而得出∠BAD=∠CAD，由折叠知∠AGE=∠DGE=90°，从而得出∠AEF=∠AFE，根据等角对等边可得AE=AF，从而可判断结论；
（3）先利用对称的性质可得MF=PF，根据已知条件可得MP=MN，MF=MF，然后根据SSS证明△MNF≌△MPF可得角的关系，从而可得角的度数.
16．（2021八上·鼓楼期末）如图，已知为正比例函数的图象上一点，轴，垂足为点B.
（1）求m的值；
（2）点P从O出发，以每秒个单位的速度，沿射线方向运动.设运动时间为.
①过点P作交直线于点Q，若，求t的值；
②在点P的运动过程中，是否存在这样的t，使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵为正比例函数的图象上一点，
∴当时，，
的值为；
（2）解：∵，
∴OA=，
①若，则，
当点P在线段上时，则，即，解得，
当点P在线段的延长线上时，则，即，解得；
②当为等腰三角形时，分三种情况讨论：
若，则点P在的垂直平分线上，此时，即，求得，
若，则，即，求得，
若，过点B作BE⊥OA，如图所示，
∵，
∴BE===4.8，
∴OE=，
∵OE=PE，
∴，即，求得，
综上可得：t的值为或或.
【思路引导】（1）将点M的坐标的正比例函数解析式，可求出m的值.
（2）利用点A的坐标，根据勾股定理求出OA的长；①利用全等三角形的性质，可知AP=AB=6，分情况讨论：当点P在线段OA上时，可求出OP的长，同时可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当点P在线段OA的延长线上时，根据OP=OA+AP，可求出OP的长，同时可得到关于t的方程，解方程求出t的值；②利用△POB是等腰三角形，分情况讨论：当PO=PB时，可知点P在线段OB的垂直平分线上，可求出OP的长，即可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当OP=OB时，可知OP=8，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当BP=PO时，过点B作BE⊥OA，利用三角形的面积公式可求出BE的长，利用勾股定理求出OE的长，根据OE=PE建立关于t的方程，解方程求出t的值；综上所述可得到t的值.
知识点03：等腰三角形的判定和性质
17．（2021八上·大同月考）如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长为AB＋AC；④BD＝CE；( )
A．③④B．①②C．①②③D．②③④
【答案】C
【完整解答】∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF，EF=EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故①符合题意；
∴DE=DF+EF=BD+CE，
故②符合题意；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；
故③符合题意；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，
∴BD与CE不一定相等，故④不符合题意．
故答案为：C．
【思路引导】先求出DB=DF，EF=EC，再对每个结论一一判断即可。
18．（2021八上·龙沙期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，AD＝6，过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E， 若△AED 的周长为 16，则边 AB 的长为（ ）
A．6B．8C．10D．1
【答案】C
【完整解答】∵DE∥BC
∴∠EDB=∠DBC
又BD是∠ABC的角平分线
∴∠EBD=∠DBC
∴∠EBD=∠EDB
∴ED=EB
∵三角形AED的周长=AE+ED+AD=AE+EB+AD=AB+AD=16
又AD=6
∴AB=16-AD=16-6=10
故答案为：C．
【思路引导】根据角平分线的定义得出∠EDB=∠DBC，根据平行线的性质得出∠EBD=∠DBC，等量代换得出∠EBD=∠EDB，求得ED=EB，即可得到结论。
19．（2021八上·崇阳期中）如图，已知 ，点 、 、 、…在射线ON上，点 、 、 、…在射线OM上， 、 、 …均为等边三角形，若 ，则 的边长为( )
A．16B．64C．128D．256
【答案】C
【完整解答】解：如图，
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
以此类推：A8B8=27B1A2=27=128.
故答案为：C.
【思路引导】对图形进行角标注，由等边三角形的性质可得A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，根据邻补角的性质可得∠2=120°，由内角和定理可得∠1的度数，然后由平角的概念求出∠5的度数，推出OA1=A1B1=A2B1=1，根据等边三角形的性质以及角之间的关系可得A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，由平行线的性质可得∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，然后根据含30°角的直角三角形的性质可得A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，进而求出A3B3，A4B4，A5B5的值，据此解答.
20．（2021八上·长沙期末）如图， 、 的平分线相交于点F，过F作 ，交 于点D，交 于点E， ， ，则 .
【答案】5
【完整解答】解： 是 的平分线，
，
，
，
，
，
同理可得： ，
，
故答案为：5.
【思路引导】由角平分线的定义得∠DBF=∠CBF ，由平行线性质得∠DFB=∠CBF ，即得∠DBF=∠DFB，根据等角对等边得出DF=DB=3cm，同里得出EF=EC=2cm， 利用DE=DF+EF计算即可.
21．（2021八上·罗庄期中）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝5，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O点作DE∥BC，则△ADE的周长为 ．
【答案】14
【完整解答】由∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，得
∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB．
由DE∥BC，得
∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，
∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，
∴DO＝BD，OE＝EC．
C△ADE＝AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC＝14．
故答案为14．
【思路引导】根据平行线和角平分线的性质可得∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，再利用等角对等边的性质可得DO＝BD，OE＝EC，最后利用三角形的周长公式及等量代换可得C△ADE＝AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC＝14。
22．（2021八上·瑞安期中）在四边形 中， ， ， ， ，P是 边上的一点，连结 ，将 沿直线 对折得到 ， 点恰好落在线段 上，当 时，则 的面积为 .
【答案】
【完整解答】解：如图，作CH⊥AD于H.
∵AD BC，
∴∠APB＝∠PBC，∠DPC＝∠BCP，
∵∠APB＝∠BPC，∠BCP＝∠D，
∴∠CBP＝∠BPC，∠CPD＝∠D，
∴CB＝CP＝CD，设CB＝CP＝CD＝x，
∵CH⊥PD，CP＝CD，
∴PH＝DH，设PH＝DH＝y，
∵∠A＝∠ABC＝∠AHC＝90°，
∴四边形ABCH是矩形，
∴AH＝BC＝x，AB＝CH＝4，
则有 ，
解得 ，
∴S△PBC＝ •PC•B ＝ × ×4＝
故答案为：.
【思路引导】作CH⊥AD于H，由平行线的性质可得∠APB＝∠PBC，∠DPC＝∠BCP，由折叠的性质可得∠APB＝∠BPC，∠BCP＝∠D，推出CB＝CP＝CD，设CB＝CP＝CD＝x，由等腰三角形的性质可得PH＝DH，设PH＝DH＝y，则AH＝BC＝x，AB＝CH＝4，根据AD=AP+PD可得AD=x+y=7，根据AB=4可得x2-y2=16，联立求解可得x、y，接下来根据三角形的面积公式进行计算.
23．（2021八上·泗洪期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相于点O.证明OB＝OC.
【答案】证明：∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的高，
∴ ，
∴ 在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
∴ .
【思路引导】根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，根据高线的概念可得∠CEB=∠BDC=90°，然后用AAS证明△BEC≌△CDB，得到∠ECB=∠DBC，最后根据等角对等边进行证明.
24．（2019八上·宝安期中）如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，已知点C的坐标是（8，4）．
（1）对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，连接AM，求线段AM的长；
（2）在x轴上是否存在一个点P，使△PAM为等腰三角形？如果有请直接写出符合题意的所有点P的坐标．
【答案】（1）解：由题意得：OA=4，OB=8，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
设AM=x，则BM=x，OM=8-x，
Rt△AOM中，由勾股定理得：AO2+OM2=AM2，
∴42+（8-x）2=x2，
解得：x=5，
∴AM=5.
（2）解：如图，①当AP1=AM=5时，OM=OP1=3，此时P1（-3，0）；
②当AM=P2M=P3M=5时，此时P2（-2，0），P3（8，0）；
③如图，作AM的垂直平分线，交AM于E，交x轴于P4，
∴EM= ，
sin∠EP4M= =sin∠OAM= ，
∴P4M= ，
∴OP4= -3= ，此时P4（- ，0），
综上，△PAM为等腰三角形，点P的坐标是（-3，0）或（-2，0）或（8，0）或（- ，0）．
【思路引导】（1）由点C的坐标可得矩形AOBC的长和宽，又根据线段垂直平分线的性质可知AM=BM，在Rt△AOM中，由OA=4、AM+OM=8，借助勾股定理建立AM的方程即可求解；
（2）分AM作底和作腰两种情况考虑：当AM作腰且A为顶角顶点，此时有AM=AP1；当AM作腰且M为顶角顶点，此时有MA=MP2=MP3，利用等腰三角形三线合一和两腰相等的性质，即可分别求出P1、P2、P3的坐标；当AM作底，此时有P4M=P4A，P4E垂直平分AM，通过解Rt△AOM可得sin∠OAM ，进而解Rt△EP4M可得P4M的长，从而确定P4的坐标，据此即可解答。
25．（2021八上·宁波期末）解答
（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE.求证：△ACD≌△EBD.
（2）如图2，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D为BC的中点，DC⊥AC.求△ABC面积.
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC延长线上一点，BC＝CD，F是AB上一点，连结FD交AC于点E，若AF＝EF＝2，BD＝6，求ED的长.
【答案】（1）证明：如图1中，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）；
（2）解：如图2中，延长CD到T，使得DT=CD，连接BT.
由（1）可知△ADC≌△BDT，
∴AC=BT=5，∠ACD=∠T=90°，
∴CT=，
∴CD=DT=6，
∴S△ACB=S△ADC+S△CDB=•AC•DC+•BT•CD=×5×6+×5×6=30；
（3）解：如图3中，延长AC到R，使得CR=CA，连接DR.
由（1）可知，△ACB≌△RCD，
∴AB=DR，∠A=∠R，
∵FE=FA，
∴∠A=∠AEF，
∵∠AEF=∠DER，
∴∠DER=∠R，
∴DE=DR=AB，
设DE=DR=AB=x，则BF=x-2，DF=x+2，
在Rt△DBF中，BF2+BD2=DF2，
∴（x-2）2+62=（x+2）2，
∴x=，
∴DE=.
【思路引导】（1） 根据SAS证明△ACD≌△EBD ；
（2） 延长CD到T，使得DT=CD，连接BT； 根据SAS证明△ACD≌△EBD ， 可得AC=BT=5，∠ACD
=∠T=90°，利用勾股定理求出CT=12， 由线段的中点得CD=DT=6， 由S△ACB=S△ADC+S△CDB，利用三角形的面积公式即可求解；
（2）延长AC到R，使CR=CA，连接DR；由全等三角形及等腰三角形的性质可求出DE=DR=AB，设DE=DR=AB=x，则BF=x-2，DF=x+2， 在Rt△DBF中，由BF2+BD2=DF2建立关于x方程，解之即可.
知识点04：等边三角形的性质
26．（2021八上·凉山期末）三角形中，最大角 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【完整解答】解：根据题意得：最大角 ，
当三角形为等边三角形时，三角形的三个内角相等，且 ，
∴最大角a的取值范围是 .
故答案为：D.
【思路引导】根据三角形的内角和定理可得α<180°，当三角形为等边三角形时，α=60°，据此可得α的范围.
27．（2021八上·灌阳期末）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（ ）
A．8B．10C．11D．12
【答案】B
【完整解答】解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH=GH，∠FHG=60°，
∴∠AHF+∠GHC=120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=5，∠ACB=∠A=60°，
∵∠AHF=180°-∠FHG-∠GHC =120°-∠GHC，
∠HGC=180°-∠C-∠GHC =120°-∠GHC，
∴∠AHF=∠HGC，
在△AFH和△CHG中
∠A=∠C∠AHF=∠HGCFH=GH，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF=CH.
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE=FH，
∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF，
=(BD+DF+AF)+(CE+BE)，
=AB+BC=10.
故答案为：B.
【思路引导】利用AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF=CH，由于△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
可得BE=FH，由于五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF=(BD+DF+
AF)+(CE+BE)=AB+BC，据此计算即可.
28．（2021八上·玉林期末）如图，已知△ABC为等边三角形，BD为△ABC的中线，延长BC至E，使CE＝CD，连接DE，则∠BDE ＝ 度.
【答案】120
【完整解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD为中线，
∴∠BDC＝90°，∠ACB＝60°
∴∠ACE＝180°−∠ACB＝180°−60°＝120°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠BDE＝∠BDC＋∠CDE＝90°＋30°＝120°，
故答案为： 120 .
【思路引导】由等边三角形的性质可得∠BDC＝90°，∠ACB＝60°，由邻补角的定义求出∠ACE的度数，由等边对等角及三角形的内角和定理得∠CDE的度数，利用∠BDE＝∠BDC＋∠CDE计算即可.
29．（2021八上·滨城期末）如图，点C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下十个结论：①AD＝BE；②PQAE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°；⑥CP＝CQ；⑦△CPQ为等边三角形；⑧共有2对全等三角形；⑨CO平分∠AOE；⑩CO平分∠BCD恒成立的结论有 （把你认为正确的序号都填上）．
【答案】①②③⑤⑥⑦⑨
【完整解答】解：如图1所示：
∵△ABC和△CDE是正三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=60°，
又∵∠ACD=∠ACB+∠BCD， ∠BCE=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，故结论①符合题意；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP=∠CBQ，
∵∠BPO=∠APC，
，故⑤符合题意；
又∵∠ACB+∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠BCD=60°，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ，PC=QC， 故③⑥符合题意；
∴△PCQ是等边三角形，故⑦符合题意；
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴∠CPQ=∠ACB=60°，
∴，故②符合题意；
若DE=DP，
∵DC=DE，
∴DP=DC，
∴∠PCD=∠DPC，
又∵∠PCD=60°，
∴∠DPC=60°与△PCQ是等边三角形相矛盾，假设不成立，故结论④不符合题意；
∵△ACD≌△BCE，
∴，
在△PCD和△QCE中，
，
∴△PCD≌△QCE（ASA），
又∵△ACD≌△BCE，△ACP≌△BCQ，
∴全等三角形有3对，故8不符合题意；
过点C分别作CM⊥AD，CN⊥BE于点M、N两点， 如图2所示：
∵CM⊥AD，CN⊥BE，△ACD≌△BCE，
∴CM=CN，
又∵OC在∠AOE的内部，
∴点C在∠AOE的平分线上，
∴CO平分∠AOE，故结论⑨符合题意；
∵
∴
∵CO平分∠AOE，
∴
若CO平分∠BCD
∴
∴
由题意可得，不一定是直角，故⑩不符合题意，
综上所述，正确的序号有：①②③⑤⑥⑦⑨．
故答案为：①②③⑤⑥⑦⑨．
【思路引导】利用等边三角形的性质及三角形全等的判定和性质逐项判断即可。
30．（2021八上·莒南期中）如图，已知 ，点 ， ， ， 在射线ON上，点 ， ， ， 在射线OM上， ， ， ， 均为等边三角形，若 ，则 的边长为 ．
【答案】
【完整解答】∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1．
∵∠MON=30°，OA2=4，
∴OA1=A1B1=2，
∴A2B1=2．
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=8，A4B4=8B1A2=16，A5B5=16B1A2=32，
以此类推△AnBnAn+1的边长为2n．
故答案为2n．
【思路引导】根据等腰三角形的性质及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，及A3B3=4B1A2=8，A4B4=8B1A2=16，A5B5=16B1A2=32，……进而得出答案。
31．（2021八上·大兴期末）如图，为等边三角形，D是BC中点，，CE是的外角的平分线．
求证：．
【答案】证明：过D作DG∥AC交AB于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
又∵DG∥AC，
∴∠BDG＝∠BGD＝60°，
∴△BDG是等边三角形，∠AGD＝180°−∠BGD＝120°，
∴DG＝BD，
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴DG＝CD，
∵EC是△ABC外角的平分线，
∴∠ACE＝（180°−∠ACB）＝60°，
∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝120°＝∠AGD，
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
又∵∠BDG＝60°，∠ADE＝60°，
∴∠ADG＝∠EDC＝30°，
在△AGD和△ECD中，
，
∴△AGD≌△ECD（ASA）．
∴AD＝DE．
【思路引导】先求出 ∠BDG＝∠BGD＝60°， 再求出 DG＝CD， 最后利用全等三角形的判定与性质求解即可。
32．（2021八上·莒南期中）如图，已知等边 ΔABC，D，E 分别在 上，且 ，连接 交 点．求证：
【答案】∵ 是等边三角形
∴ ，
在△ABD和△BCE中
∴
∴
∴ ．
【思路引导】根据 是等边三角形得出 ， ，利用SAS证明，得出，即可得出结论。
33．（2019八上·同安期中）如图，△ABC是边长为10的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合）．
（Ⅰ）如图1，若点Q是BC边上一动点，与点P同时以相同的速度由C向B运动（与C、B不重合）．求证：BP＝AQ；
（Ⅱ）如图2，若Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D，在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．
【答案】解：（Ⅰ）证明：如图1中， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAP＝∠ACQ＝60°， ∵AP＝CQ， ∴△BAP≌△ACQ（SAS）， ∴BP＝AQ． （Ⅱ）解：当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下： 作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF， 又∵PE⊥AB于E， ∴∠DFQ＝∠AEP＝90°， ∵点P、Q速度相同， ∴AP＝BQ， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°， 在△APE和△BQF中， ∵∠AEP＝∠BFQ＝90°， ∴∠APE＝∠BQF， ∴在△APE和△BQF中， ， ∴△APE≌△BQF（AAS）， ∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF， ∴四边形PEQF是平行四边形， ∴DE＝ EF， ∵EB+AE＝BE+BF＝AB， ∴DE＝ AB， 又∵等边△ABC的边长为10， ∴DE＝5， ∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【思路引导】（Ⅰ）证明△BAP≌△ACQ（SAS）即可解决问题．（Ⅱ）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP＝BQ，
再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE＝BE+BF＝AB，DE＝ AB，由等边△ABC的边长为10可得出DE＝5，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
34．（2021八上·永定期末）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.
（1）求证 DOB≌ AOC；
（2）求∠CEB的大小；
（3）如图2， OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将 OCD绕点O旋转（ OAB和 OCD不能重叠），求∠CEB的大小.
【答案】（1）证明：如图1，
∵△ODC和△OAB都是等边三角形，
∴OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，
∴∠BOD=∠AOC=120°，
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD；
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AOB=60°，
∴ ；
（3）解：如图2，
∵△ODC和△OAB都是等边三角形，
∴OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD；
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AOB=60°，
∴ ；
即∠CEB的大小不变.
【思路引导】（1）易得OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，从而求出∠BOD=∠AOC=120°，根据SAS证明△AOC≌△BOD；
（2）由△AOC≌△BOD得∠CAO=∠DBO， 由于∠1=∠2结合三角形内角和得∠AEB=∠AOB=60°， 利用邻补角的定义求出∠CEB的度数；
（3）根据SAS证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的对应边相等可得∠CAO=∠DBO，由于∠1=∠2结合三角形内角和可得∠AEB=∠AOB=60°， 利用邻补角的定义求出∠CEB的度数即可判断.
知识点05：等边三角形的判定
35．（2021八上·荣县月考）下列命题：①等腰三角形的角平分线、底边中线、高线三线合一；②有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；③等腰三角形的一边长为3，另一边为7，则它的周长为13或17；④轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【完整解答】解：①等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边高线三线合一，故①不正确；
②有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；
当顶角外角∠EAC=120°时，根据平角定义，可得∠BAC=60°，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
当底角的外角∠BCD=120°，可得∠ACB=180°-120°=60°，
∵AB=AC，∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形，
故②正确；
③等腰三角形的一边长为3，另一边为7，
当3为底时，腰长为7，7.
∴7+7+3=17，
当3为腰时，3+3＜7，不能构成三角形，
∴三角形的周长为17，
故③不正确；
④根据在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故任何一对对应点沿对称轴折叠互相重合，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线正确.
故④正确；
正确的个数有2个.
故答案为：B.
【思路引导】根据等腰三角形“三线合一”的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的性质、轴对称的性质逐一判断即可.
36．（2021八上·镇海期中）如图，已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】D
【完整解答】解：∵P1与P关于OB对称，
∴OP＝OP1，∠P1OB＝BOP，
∵P2与P关于OA对称，
∴OP＝OP2，∠P2OA＝AOP，
∴OP1＝OP2，∠P1OP2＝2∠BOA，
∵∠AOB＝30°，
∴∠P1OP2＝60°，
∴△P1OP2为等边三角形.
故答案为：D.
【思路引导】由轴对称的性质可得OP＝OP1，∠P1OB＝BOP，OP＝OP2，∠P2OA＝AOP，则OP1＝OP2，∠P1OP2＝2∠BOA=60°，据此判断.
37．（2020八上·孝南月考）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP=OC，下面的结论：①AB=AC，②△AOP≌△AOC ，③∠APO+∠DCO=30°，④△OPC是等边三角形.其中正确的为 .（填序号）
【答案】①③④
【完整解答】解：① △ABC中高AD恰好平分边BC，
AD为线段BC的垂直平分线，
AB=AC，故①正确；
②由图易知OP与OC的对角 ，
△AOP≌△AOC不正确，故②不正确；
③如图，连接OB，
△ABC的高AD恰好平分边BC，
BD=CD，由SAS易证 ，
AB=AC，OB=OC=OP，
，
∠APO+∠DCO=30°，故③正确；
④在△OBP中，
在△BOC中，
，
，
， △OPC是等边三角形，故④正确.
故答案为：①③④.
【思路引导】①根据线段垂直平分线的性质得AB=AC，即可判断①正确；②根据题意得∠AOP≠∠AOC，得△AOP与△AOC不全等，可判②不正确；②利用等边对等角得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°，即可判断③正确；④证出∠POC=60°，OP=OC，得出△OPC是等边三角形，即可判断④正确.
38．（2019八上·会昌期中）在△ABC中，AB=AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是 （只要写出一个即可）．
【答案】 或AB=BC等（答案不唯一）
【完整解答】∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
故只需 或 即可得出△ABC为等边三角形.
【思路引导】根据等边三角形的判定方法即可求解.
39．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD，CF分别是BC、AB边上的高且相交于点P，∠ABC的平分线BE分别交AD、CF于M、N.以下四个结论：①△PMN等边三角形；②除了△PMN外，还有4个等腰三角形；③△ABD≌△CPD；④当DM＝2时，则DC＝6.其中正确的结论是： （填序号）.
【答案】①②③④
【完整解答】解：∵∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD，CF分别是BC，AB边上的高，
∴∠ACB＝45°，∠ADC=90°，
∴△ADC为等腰直角三角形，∠BAD=30°，
∵∠ABC的平分线BE分别交AD，CF于M，N
∴∠ABM＝30°，
又∵∠BAM＝30°
∴△AMB为等腰三角形.
由题意可知∵∠NBC＝∠NCB＝30°
∴△BNC为等腰三角形.
∠PMN＝∠MNP＝60°
∴△MNP为等边三角形，故①正确；
∵∠ABE＝30°，∠BAC＝75°，
∴∠BEA＝75°，
∴△ABE为等腰三角形；
∴除了△PMN外，还有4个等腰三角形，故②正确；
∵AD，CF分别是BC，AB边上的高，
∴∠ADB＝∠BFC＝90°，
∴∠BAD＝∠ABD＝∠ABD+∠BCF＝90°，
∴∠BAD＝∠DCP，
∵∠ADB＝∠PDC＝90°，AD＝CD，
∴△ABD≌△CPD（ASA），故③正确；
在直角三角形BDM中，
∵MD＝2，∠MBD＝30°，
∴BM＝4，
在等腰三角形AMB中，BM＝AM，
∴AD＝AM+MD＝6，
在等腰直角三角形ADC中，AD＝DC，
∴DC＝6，故④正确；
故答案为：①②③④.
【思路引导】由已知条件，根据三角形内角和等于180°、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难.
40．（2021八上·南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
【答案】证明：为的中点，
．
，，
．
在和中，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
【思路引导】先利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质可得，再利用等角对等边的性质可得CA=CB，再结合AB=AC，可得AB=BC=AC，即可证明△ABC是等边三角形。
41．（2018八上·阿城期末）如图：
（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．
【答案】（1）解：DE=BD+CE．理由如下：
如图1，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD
（2）解：如图2，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE
（3）解：DF=EF．理由如下：
由（2）知，△ADB≌△CAE，
BD=EA，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．
∴DF=EF．
【思路引导】（1）根据题意可得，AB=AC，∠BDA=∠AEC，∠BAD=∠ACE，既而可以证明△ABD≌△CAE（AAS），所以DE=DA+AE，进行等量代换，可得DE=BD+CE。（2）∵∠BAE为三角形ABD的外角，根据题意可证得∠DBA=∠EAC，既而证明△BDA≌△AEC，利用等量代换 ，与（1）方法相同，即可证明DE=BD+CE。（3）根据题目条件，可证得△FBD≌△FAE，即DF=EF，△FDE为等腰三角形；又因为∠BFD+∠AFD=60°，所以∠AFD+∠AFE=60°，所以等腰三角形FDE为等边三角形。
知识点06：等边三角形的判定和性质
42．（2021八上·惠民月考）如图，在等腰△ABC中，点M，N都在BC边上，∠BAC＝120°，若ME⊥AB于点E，NF⊥AC于点F，点E，F分别为AB，AC的中点，且EM＝2．则BC的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【完整解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，
∴∠C=∠B=30°，
∵ME⊥AB，NF⊥AC，点E，F分别为AB，AC的中点，
∴AM=BM，AN=CN，
∴∠MAB=∠B=30°，∠NAC=∠C=30°，
∴∠AMN=∠ANM=∠MAN=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴BM=AM=AN=MN=NC，
∵在Rt△BME中，EM＝2，∠B=30°，
∴BM=2EM=4，
∴BM=MN=CN=4，
∴BC=12；
故答案为：D．
【思路引导】由等腰三角形的性质可得∠C=∠B=30°，再求出△AMN是等边三角形，可得BM=AM=AN
=MN=NC，在Rt△BME中，EM＝2，∠B=30°，可得BM=2EM=4，从而得解.
43．（2020八上·碾子山期末）如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若 ，当 取得最小值时，则 的度数为（ ）
A．15°B．225°C．30°D．45°
【答案】C
【完整解答】解：如图，
取AB的中点G，连接CG交AD于点F，
∵等边△ABC的边长为4，AE=2，
∴点E是AC的中点，
所以点G和点E关于AD对称，
此时EF+FC=CG最小，
根据等边三角形的性质可知：
∠ECF= ∠ACB=30°．
所以∠ECF的度数为30°．
故答案为：C．
【思路引导】几何题要先找出推理的突破口，因为点F的是动点，所以“EF+CF取得最小值时”是突破口，再结合是等边三角形，由等边三角形三线合一可知AD也是的高和角平分线，即可求出∠ECF的度数
44．（2021八上·旅顺口期中）如图， 为等边三角形，若 ，则 （用含 的式子表示）．
【答案】
【完整解答】解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE，
∵ 为等边三角形，
∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵ ，BE=AD，
∴ ，
∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴ 是等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∴ ．
故答案为：
【思路引导】在BD上截取BE=AD，连结CE，由 为等边三角形，证出 ，推出CE=CD，∠BCE=∠ACD，再根据CE=CD，得出 是等边三角形，由此得出答案。
45．（2021八上·金华期中）如图， 是 的角平分线，点 是 上的动点，已知 ， ， ，则
（1） ；
（2） 的最小值是 .
【答案】（1）2
（2）2
【完整解答】解：（1）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2；
（2）如图所示，作E点关于BD的对称点G，连接EG，AG，GF，
∵BD是 的平分线，
∴点G在线段BC上，
∴根据对称性可得EF=GF，BG=BE=2，
∴EF+AF=GF+AF≥AG，
∴当点A，F，G三点共线时，GF+AF的长度最短，即EF+AF的最小值为AG的长度.
∴GC=BC-BG=4-2=2，
又∵ ， ，
∴ ，
又∵AC=2，
∴ 是等边三角形，
∴AG=AC=2.
∴ 的最小值是2.
故答案为：2.
【思路引导】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得BC，由勾股定理求出AB，然后根据BE=AB-AE进行计算；
（2）作E点关于BD的对称点G，连接EG，AG，GF，根据对称性可得EF=GF，BG=BE=2，推出当点A，F，G三点共线时，GF+AF的长度最短，即EF+AF的最小值为AG的长度，求出GC的值，推出△AGC是等边三角形，则AG=AC=2，据此解答.
46．（2021八上·中山期末）已知，如图，△ABC为等边三角形，延长△ABC的各边，使得AE＝CD＝BF，顺次连接D，E，F，得到△DEF，求证：∠DEF＝60°．
【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，
∴∠EAF＝∠FBD＝∠DCE＝120°，
∵AE＝BF＝CD，
∴AB+BF＝BC+CD＝AC+AE，
即AF＝BD＝CE，
在△AEF、△BFD和△CDE中，
，
∴△AEF≌△BFD≌△CDE（SAS），
∴EF＝FD＝DE，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝60°．
【思路引导】先利用“SAS”证明△AEF≌△BFD≌△CDE，可得EF＝FD＝DE，证明△DEF是等边三角形，即可得到∠DEF＝60°。
47．（2020八上·灵宝期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，求BC的长.
【答案】解：如图，延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠DBC=∠D=60°，
∴△BDM为等边三角形，
∵BD=5cm，DE=3cm，
∴EM=2cm，
∵△BDM为等边三角形，
∴∠DMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠ENM=90°，
∴∠NEM=30°，
∴NM=1cm，
∴BN=4cm，
∴BC=2BN=8cm.
【思路引导】延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，利用等腰三角形的性质可证得AN⊥BC，BN=CN；再利用等边三角形的判定定理，可推出△BDM是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出EM的长及 ∠DMB=60°；再在Rt△MNE中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出MN的长；由此求出BN的长，然后根据BC=2BN，代入计算求出BC的长.
48．（2021八上·长沙期末）如图1，在平面直角坐标系中，点 在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设 ，且 .
（1）直接写出 的度数.
（2）如图2，点D为AB的中点，点P为y轴负半轴上一点，以AP为边作等边三角形APQ，连接DQ并延长交x轴于点M，若 ，求点M的坐标.
（3）如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为OC的中点，连接BE，过点B作 ，且 ，连接AF交BC于点P，求 的值.
【答案】（1）
（2）解：如答图2，连接BM，
∴ 是等边三角形，
∵ ， ，
∵∠ ，
∴ ，
∴ ，
∵D为AB的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，在 和 中，
AQ=AP，∠DAQ=∠OAP，AD=AO，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，∴ ；
（3）解：如答图3，过点F作 轴交CB的延长线于点N，
则 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∠BCE=∠FNB，∠BEC=∠NBF，BE=BF，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵E是OC的中点，设 ，
∴等边三角形ABC的边长是4a， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∠APC=∠NPF，∠ACP=∠PNF，AC=NF，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
，
∴ .
【完整解答】解：（1）∵点 在x轴负半轴上，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如答图1，在x轴的正半轴上取点C，使 ，连接BC，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
【思路引导】（1）证AB＝2OA，在x轴的正半轴上取点C，使OC＝OA，连接BC，再证△ABC是等边三角形，则可得出结论；
（2）连接BM，证明△AQD≌△APO（SAS），得∠ADQ＝∠AOP＝90°，再证△ABM为等边三角形，得出OM＝AB＝3，即可得出答案；
（3）过点F作FM∥x轴交CB的延长线于点M，证△BEC≌△FBM（AAS），得EC＝BM，BC＝MF，再证△PAC≌△PFM（AAS），得CP＝MP，进而得出答案．
49．（2021八上·新丰期中）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α＝ 时，△AOD是等腰三角形．
【答案】（1）证明： △BOC≌△ADC，
，
∠OCD＝60°，
△OCD是等边三角形；
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
△OCD是等边三角形；
当α＝150°时，
△BOC≌△ADC
是直角三角形
（3） 或 或
【完整解答】解：（3） △OCD是等边三角形；
，
，
，
①当 时，
解得
②当 时，
解得
③当 时
解得
综上所述，当 或 或 时， 是等腰三角形．
故答案为：110°或140°或125°．
【思路引导】（1）根据 △BOC≌△ADC， 得出OC=DC，再根据 ∠OCD＝60°， 即可得出结论；
（2）根据 △OCD是等边三角形 ，得出 ， 当α＝150°时，再根据 △BOC≌△ADC ，得出 ，即可得出 是直角三角形 ；
（3）根据 △OCD是等边三角形，得出，分①当 时，②当 时，③当 时，讨论即可。
2.5 等腰三角形的轴对称性
必刷知识点
知识点01：等腰三角形的定义
的三角形，叫做等腰三角形，其中 叫做腰，另一边叫做底， 叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为 ,∠A是
∠B 、∠C是 ．
知识要点：等腰直角三角形的两个 相等，且都等于 .等腰三角形的底角只能为 ，不能为钝角（或直角），但顶角可为
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
知识点02：等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“ ”）．
性质2：等腰三角形的 互相重合（简称“ ”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角 .是证明 的一个重要依据．
性质2用来证明 等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的 所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条
知识点03：等腰三角形的判定
如果一个三角形中有 相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“ ”）.
知识要点：等腰三角形的判定是证明 的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为 的重要依据.等腰三角形的 是互逆定理.
知识点01：等腰三角形的性质
1．（2021八上·永定期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B．一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度
C．有两个角是60°的三角形是等边三角形
D．在 ABC中， ，则 ABC为直角三角形
2．（2021八上·嵩县期末）等腰三角形的一个内角是 ，则它底角的度数是（ ）
A．B． 或
C． 或 D．
3．（2022八上·上思期末）如图，在等腰中，，，的平分线与AB的垂直平分线交于点E，沿FG折叠使点C与点E重合，则的度数是（ ）.
A．60度B．55°C．50°D．45°
4．（2021八上·南京期末）如图，在 中， ， 是 的角平分线，E是 中点，连接 ，若 ，则 .
5．（2021八上·宁波期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点（与点A，B不重合），将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为 .
6．（2021八上·长丰期末）如图，在等腰△ABC中，BA=BC，AD平分∠BAC，DE∥AC，求证：∠ADB=3∠EDA．
7．（2021八上·平凉期中）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.
（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
8．（2021八上·淳安期末）如图
（1）如图①，在△ABC中，D为△ABC外一点，若AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°，求证：BC＝CD；
琮琮同学：我的思路是在AB上取一点F，使得AD=AF，连结CF，先证明△ADC≌△AFC得到DC＝FC，再证明CB＝CF，从而得出结论；
宸宸同学：我觉得也可以过点C作边AD的高线CG，由角平分线的性质得出CG=CE，再证明△GDC≌△EBC，从而得出结论.请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程.
（2）如图②，D、E、F分别是等边△ABC的边BC、AB、 AC上的点， AD平分∠FDE， 且∠FDE=120°.求证：BE=CF.
知识点02：等腰三角形的判定
9．（2022八上·西湖期末）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022八上·新昌期末）如图，M，A，N是直线l上的三点，，，P是直线l外一点，且，，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形
B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形
C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形
D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形
11．（2021八上·铁岭期末）如图，在中，，点在边上，且，过上一点作，交、的延长线、的延长线分别于点，和，有下列结论：①图中共有4个等腰三角形；②；③；④．其中正确的结论有 （请填写序号）．
12．（2021八上·天门月考）若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，则△ABC的形状是 .
13．（2020八上·柯桥月考）如图，四边形ABCD是长方形，AB=x，BC=4，点P为直线AD上的一点.若满足△BCP为等腰三角形的点P有且仅有3个，则x需满足的条件是 .
14．（2021八上·谷城期中）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD的中点.试探索BM和BN的关系，并证明你的结论.
15．如图
（1）动手操作：
如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为 ．
（2）观察发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（3）实践与运用：
将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．
16．（2021八上·鼓楼期末）如图，已知为正比例函数的图象上一点，轴，垂足为点B.
（1）求m的值；
（2）点P从O出发，以每秒个单位的速度，沿射线方向运动.设运动时间为.
①过点P作交直线于点Q，若，求t的值；
②在点P的运动过程中，是否存在这样的t，使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由.
知识点03：等腰三角形的判定和性质
17．（2021八上·大同月考）如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长为AB＋AC；④BD＝CE；( )
A．③④B．①②C．①②③D．②③④
18．（2021八上·龙沙期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，AD＝6，过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E， 若△AED 的周长为 16，则边 AB 的长为（ ）
A．6B．8C．10D．1
19．（2021八上·崇阳期中）如图，已知 ，点 、 、 、…在射线ON上，点 、 、 、…在射线OM上， 、 、 …均为等边三角形，若 ，则 的边长为( )
A．16B．64C．128D．256
20．（2021八上·长沙期末）如图， 、 的平分线相交于点F，过F作 ，交 于点D，交 于点E， ， ，则 .
21．（2021八上·罗庄期中）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝5，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O点作DE∥BC，则△ADE的周长为 ．
22．（2021八上·瑞安期中）在四边形 中， ， ， ， ，P是 边上的一点，连结 ，将 沿直线 对折得到 ， 点恰好落在线段 上，当 时，则 的面积为 .
23．（2021八上·泗洪期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相于点O.证明OB＝OC.
24．（2019八上·宝安期中）如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，已知点C的坐标是（8，4）．
（1）对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，连接AM，求线段AM的长；
（2）在x轴上是否存在一个点P，使△PAM为等腰三角形？如果有请直接写出符合题意的所有点P的坐标．
25．（2021八上·宁波期末）解答
（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE.求证：△ACD≌△EBD.
（2）如图2，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D为BC的中点，DC⊥AC.求△ABC面积.
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC延长线上一点，BC＝CD，F是AB上一点，连结FD交AC于点E，若AF＝EF＝2，BD＝6，求ED的长.
知识点04：等边三角形的性质
26．（2021八上·凉山期末）三角形中，最大角 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
27．（2021八上·灌阳期末）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（ ）
A．8B．10C．11D．12
28．（2021八上·玉林期末）如图，已知△ABC为等边三角形，BD为△ABC的中线，延长BC至E，使CE＝CD，连接DE，则∠BDE ＝ 度.
29．（2021八上·滨城期末）如图，点C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下十个结论：①AD＝BE；②PQAE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°；⑥CP＝CQ；⑦△CPQ为等边三角形；⑧共有2对全等三角形；⑨CO平分∠AOE；⑩CO平分∠BCD恒成立的结论有 （把你认为正确的序号都填上）．
30．（2021八上·莒南期中）如图，已知 ，点 ， ， ， 在射线ON上，点 ， ， ， 在射线OM上， ， ， ， 均为等边三角形，若 ，则 的边长为 ．
31．（2021八上·大兴期末）如图，为等边三角形，D是BC中点，，CE是的外角的平分线．
求证：．
32．（2021八上·莒南期中）如图，已知等边 分别在 上，且 ，连接 交 点．求证：
33．（2019八上·同安期中）如图，△ABC是边长为10的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合）．
（Ⅰ）如图1，若点Q是BC边上一动点，与点P同时以相同的速度由C向B运动（与C、B不重合）．求证：BP＝AQ；
（Ⅱ）如图2，若Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D，在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．
34．（2021八上·永定期末）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.
（1）求证 DOB≌ AOC；
（2）求∠CEB的大小；
（3）如图2， OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将 OCD绕点O旋转（ OAB和 OCD不能重叠），求∠CEB的大小.
知识点05：等边三角形的判定
35．（2021八上·荣县月考）下列命题：①等腰三角形的角平分线、底边中线、高线三线合一；②有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；③等腰三角形的一边长为3，另一边为7，则它的周长为13或17；④轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
36．（2021八上·镇海期中）如图，已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
37．（2020八上·孝南月考）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP=OC，下面的结论：①AB=AC，②△AOP≌△AOC ，③∠APO+∠DCO=30°，④△OPC是等边三角形.其中正确的为 .（填序号）
38．（2019八上·会昌期中）在△ABC中，AB=AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是 （只要写出一个即可）．
39．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD，CF分别是BC、AB边上的高且相交于点P，∠ABC的平分线BE分别交AD、CF于M、N.以下四个结论：①△PMN等边三角形；②除了△PMN外，还有4个等腰三角形；③△ABD≌△CPD；④当DM＝2时，则DC＝6.其中正确的结论是： （填序号）.
40．（2021八上·南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
41．（2018八上·阿城期末）如图：
（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．
知识点06：等边三角形的判定与性质
42．（2021八上·惠民月考）如图，在等腰△ABC中，点M，N都在BC边上，∠BAC＝120°，若ME⊥AB于点E，NF⊥AC于点F，点E，F分别为AB，AC的中点，且EM＝2．则BC的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
43．（2020八上·碾子山期末）如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若 ，当 取得最小值时，则 的度数为（ ）
A．15°B．225°C．30°D．45°
44．（2021八上·旅顺口期中）如图， 为等边三角形，若 ，则 （用含 的式子表示）．
45．（2021八上·金华期中）如图， 是 的角平分线，点 是 上的动点，已知 ， ， ，则
（1） ；
（2） 的最小值是 .
46．（2021八上·中山期末）已知，如图，△ABC为等边三角形，延长△ABC的各边，使得AE＝CD＝BF，顺次连接D，E，F，得到△DEF，求证：∠DEF＝60°．
47．（2020八上·灵宝期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，求BC的长.
48．（2021八上·长沙期末）如图1，在平面直角坐标系中，点 在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设 ，且 .
（1）直接写出 的度数.
（2）如图2，点D为AB的中点，点P为y轴负半轴上一点，以AP为边作等边三角形APQ，连接DQ并延长交x轴于点M，若 ，求点M的坐标.
（3）如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为OC的中点，连接BE，过点B作 ，且 ，连接AF交BC于点P，求 的值.
49．（2021八上·新丰期中）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α＝ 时，△AOD是等腰三角形．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第2章《轴对称图形》
2.5 等腰三角形的轴对称性
必刷知识点
知识点01：等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
知识要点：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
知识点02：等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
知识点03：等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
知识要点：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
知识点01：等腰三角形的性质
1．（2021八上·永定期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B．一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度
C．有两个角是60°的三角形是等边三角形
D．在 ABC中， ，则 ABC为直角三角形
【答案】C
【完整解答】解：A、等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，即三线合一，故此选项错误；
B、三角形的内角和为180°，故此选项错误；
C、有两个角是60°，则第三个角为 ，所以三角形是等边三角形，故此选项正确；
D、设 ，则 ，故 ，解得 ，所以 ， ，此三角形不是直角三角形，故此选项错误.
故答案为：C.
【思路引导】A、等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，据此判断即可；
B、三角形的内角和为180°，据此判断即可；
C、三个角是60°的三角形时等边三角形，据此判断即可；
D、根据三角形内角和定理求出最大角，利用直角三角形的定义来验证最大角是否为90°即可.
2．（2021八上·嵩县期末）等腰三角形的一个内角是 ，则它底角的度数是（ ）
A．B． 或
C． 或 D．
【答案】C
【完整解答】解：当70°角为顶角时，它的底角为 ，
当70°角为底角时，它底角的度数是70°
故答案为：C.
【思路引导】分情况讨论：当70°角为底角时；当70°角为顶角时，利用三角形的内角和定理求出其底角的度数，即可求解.
3．（2022八上·上思期末）如图，在等腰中，，，的平分线与AB的垂直平分线交于点E，沿FG折叠使点C与点E重合，则的度数是（ ）.
A．60度B．55°C．50°D．45°
【答案】C
【完整解答】解：如图，连接BE，
∵∠BAC=50°，AE为∠BAC的平分线，
∴∠BAE= ∠BAC= ×50°=25°.
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠ABE=∠BAE=25°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=65°-25°=40°.
∵AE为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AE垂直平分BC，
∴EB=EC，
∴∠ECB=∠EBC=40°，
∵将∠ACB沿FG折叠，
∴EF=CF，
∴∠CEF=∠ECF=40°；
在△ECF中，∠EFC=180°-∠CEF-∠ECF=180°-40°-40°=100°，
∴∠CFG= ∠CFE=50°.
故答案为：C.
【思路引导】连接BE，由角平分线的性质可得∠BAE= ∠BAC=25°，由等腰三角形的性质可得∠ABC
=∠ACB=65°，由线段垂直平分线的性质可得EA=EB，利用等腰三角形的性质可得∠ABE=∠BAE
=25°，从而求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=40°；由折叠的性质可得∠CEF=∠ECF=40°，利用三角形的内角和求出∠EFC=180°-∠CEF-∠ECF=100°，由折叠的性质可得∠CFG= ∠CFE=50°.
4．（2021八上·南京期末）如图，在 中， ， 是 的角平分线，E是 中点，连接 ，若 ，则 .
【答案】6
【完整解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴D为BC的中点，
∵E为AC的中点，
∴AB=2DE=6.
故答案为：6.
【思路引导】利用等腰三角形三线合一的性质可证得D为BC的中点，再由点E是AC的中点，可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理，可求出AB的长.
5．（2021八上·宁波期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点（与点A，B不重合），将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为 .
【答案】或
【完整解答】解：∵Rt△ABC中，AC=BC=1，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，
∴∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，
①AF=FD时，
∠FDA=∠FAD=45°，
∴∠AFD=90°，
∠CDA=45°+45°=90°=∠ECD=∠DAE，
∵EC=CD，
∴四边形ADCE是正方形，
∴AD=DC，
∴AF= AC= ×1= ；
②AF=AD时，
∠ADF=∠AFD=67.5°，
∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=∠CDB，
∴BD=CB=1，
∴AD=AB-BD= ，
∴AF=AD= ，
故答案为： 或 .
【思路引导】Rt△ABC中，AC=BC=1，可得∠CAB=∠B=45°，由旋转的性质可得∠ECD=90°，∠CDE
=∠CED=45°，分两种情况①AF=FD时，②AF=AD时，根据等腰三角形的性质分别解答即可.
6．（2021八上·长丰期末）如图，在等腰△ABC中，BA=BC，AD平分∠BAC，DE∥AC，求证：∠ADB=3∠EDA．
【答案】证明：∵BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵DE∥AC，
∴∠BED=∠BAC，∠BDE=∠C，
∴∠BED=∠BDE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠DAC，
∴∠EAD=∠ADE，
∴∠BED=∠EAD+∠ADE=2∠ADE，
∴∠BDE=∠BED=2∠ADE，
∴∠ADB=3∠EDA．
【思路引导】根据等腰三角形的性质得出∠BAC=∠BCA，根据平行线的性质得出∠BED=∠BDE，∠EAD=∠ADE，根据角平分线的定义得出∠ADE=∠DAC，即可得出结论。
7．（2021八上·平凉期中）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.
（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
【答案】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=30°；
（2）设∠BAD=x，
∴∠CAD=90°﹣x，
∵AE=AD，
∴∠AED=45°+ ，
∴∠CDE= ；
∠CDE= ∠BAD
（3）设∠BAD=x，∠C=y，
∵AB=AC，∠C=y，
∴∠BAC=180°﹣2y，
∵∠BAD=x，
∴∠DAE=y+ ，
∴ .
∠CDE= ∠BAD
【思路引导】（1）根据等腰直角三角形的性质得 ∠B=∠C=45°，根据角的和差得 ∠DAE=30°， 根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得 ∠AED=75°， 最后根据三角形外角的性质，由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°−x，根据等腰三角形的性质得 ∠AED=45°+ ， 进而根据三角形外角的性质由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角性质可求解．
8．（2021八上·淳安期末）如图
（1）如图①，在△ABC中，D为△ABC外一点，若AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°，求证：BC＝CD；
琮琮同学：我的思路是在AB上取一点F，使得AD=AF，连结CF，先证明△ADC≌△AFC得到DC＝FC，再证明CB＝CF，从而得出结论；
宸宸同学：我觉得也可以过点C作边AD的高线CG，由角平分线的性质得出CG=CE，再证明△GDC≌△EBC，从而得出结论.请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程.
（2）如图②，D、E、F分别是等边△ABC的边BC、AB、 AC上的点， AD平分∠FDE， 且∠FDE=120°.求证：BE=CF.
【答案】（1）解：在AB上取点F，使AF＝AD．
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠FAC，
∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC（公共边）
∴△ADC≌△AFC（SAS），
∴DC＝FC，
∠CDA＝∠CFA，
又∵∠B+∠ADC＝180°，∠CFE+∠AFC＝180°，
∴∠B＝∠CFE，
∴CB＝CF，
又∵DC＝FC，
∴BC＝CD．
（2）证明：如图（2），在DE上取点G，使得DG=DF，
∵AD平分∠FDE， 且∠FDE=120°
∴∠ADE=∠ADF=60°，AD=AD
∴△ADG≌△ADF(SAS)
∴AG=AF，∠AGD=∠AFD
∵∠AGD+∠ADG+∠GAD=∠AFD+∠ADF+∠DAF=180°
∴∠AFD+∠AED=180°而∠AGD+∠AGE=180°
∴∠AED =∠AGE
∴AG=AE =AF，
∴AB－AE =AC－AF
∴BE=CF
【思路引导】（1）在AB上取点F，使AF＝AD，利用角平分线的定义可证得∠DAC＝∠FAC；再利用SAS证明△ADC≌△AFC，利用全等三角形的性质可推出DC＝FC；∠CDA＝∠CFA，利用补角的性质可知∠B＝∠CFE，利用等角对等边可证得CB＝CF，由此可推出结论.
（2）在DE上取点G，使得DG=DF，利用SAS证明△ADG≌△ADF，利用全等三角形的性质可推出AG=AF，∠AGD=∠AFD；再证明∠AED =∠AGE，可推出AG=AE=AF，然后根据AB－AE =AC－AF，可证得结论.
知识点02：等腰三角形的判定
9．（2022八上·西湖期末）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【完整解答】解：由作图可知，选项C中，∠C＝∠PAC，
∴PA＝PC，
∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC.
故答案为：C.
【思路引导】根据作图步骤可得选项A中∠BAP=∠CAP，无法判断PA+PB=BC；选项B中AC=BC，则AC+BP=BC；选项C中∠C=∠PAC，则PA=PC，PA+PB=BC；选项D中BP=PC，据此判断.
10．（2022八上·新昌期末）如图，M，A，N是直线l上的三点，，，P是直线l外一点，且，，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形
B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形
C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形
D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形
【答案】D
【完整解答】解：如图，
时，等腰三角形
，
当在的右侧时，，此时直角三角形
当时，此时等边三角形
当时，此时直角三角形
当动点Q从点M出发，向点N移动，依次出现的特殊三角形是等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形.
故答案为：D.
【思路引导】画出示意图，易得当AQ1=1时，△APQ1为等腰三角形，当AQ2=时，△APQ2为直角三角形，当AQ3=1时，△APQ3为等边三角形，当AQ4=2时，△APQ4为直角三角形，据此判断.
11．（2021八上·铁岭期末）如图，在中，，点在边上，且，过上一点作，交、的延长线、的延长线分别于点，和，有下列结论：①图中共有4个等腰三角形；②；③；④．其中正确的结论有 （请填写序号）．
【答案】①②④
【完整解答】∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠A=∠DBC，
∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA，
∴∠A=∠DBA=∠DBC=∠ABC=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠C=5∠A=180°，
∴∠A=∠DBA=∠DBC =36°，∠C=72°；
∵，∠DBA=∠DBC
∴BN=CE
∴等腰三角形有△ABC、△ABD、△BDC、△BNE，故①符合题意；
②，故②符合题意；
③当时，，∴，但是由于M是任意一点，AD是固定长度，故③不符合题意；
④∵BN=BE，AB=AC，
∴AN=AB-BN=AC-BE，
∵CE=BE-BC，
∵CD=AC-AD=AC-BD=AC-BC，
∴CD=AN+CE．故④符合题意
综上所述，正确的是①②④
故答案为：①②④
【思路引导】根据等腰三角形的性质得出∠A=∠DBA=∠DBC=∠ABC=∠ACB，根据三角形的内角和可求出∠A的度数，由余角的性质可求出∠E的度数，故②符合题意；根据垂直的定义得出∠BHN=∠EHB=90°，由“ASA”可证出图中共有四个等腰三角形，故①符合题意；线段的和差和等于量代换得出④正确，即可求解。
12．（2021八上·天门月考）若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，则△ABC的形状是 .
【答案】直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形
【完整解答】解：∵a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，
∴（a2＋b2）（a2−b2）−c2（a2−b2）＝0
∴（a2−b2）（a2＋b2−c2）＝0
∴（a-b）（a+b）（a2＋b2−c2）＝0‘
由于a+b≠0，’
∴a−b＝0或a2＋b2−c2＝0
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形.
故答案为：直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.
【思路引导】利用分组分解法将左式进行因式分解，则可得出a−b＝0或a2＋b2−c2＝0，则可判断出△ABC的形状.
13．（2020八上·柯桥月考）如图，四边形ABCD是长方形，AB=x，BC=4，点P为直线AD上的一点.若满足△BCP为等腰三角形的点P有且仅有3个，则x需满足的条件是 .
【答案】4或
【完整解答】解：①如图，当AB＝BC时，
满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，
△P1BC，△P3BC是等腰直角三角形，△P2BC是等腰三角形，
则AB＝BC＝4.
②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，
∵满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，
∴△P2BC是等边三角形，易知P2是AD的中点，BC＝BP1＝BP2＝CP2＝CP3，
在Rt△ABP2中，∵BP2＝4，∠ABP2＝30°，
∴AP2＝2，
∴AB＝2
③当AB＞BC时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形.
故答案为：3或2 .
【思路引导】分三种情况讨论，①如图，当AB＝BC时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，这时，△P1BC，△P3BC是等腰直角三角形，△P2BC是等腰三角形，可得AB的长度；②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，由于△P2BC是等边三角形，结合等边三角形的性质求出AB长即可；当AB＞BC时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形 .
.
14．（2021八上·谷城期中）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD的中点.试探索BM和BN的关系，并证明你的结论.
【答案】解：BM＝BN，BM⊥BN.理由如下：
在△ABE和△DBC中
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠BAE＝∠BDC，
∴AE＝CD，
∵M、N分别是AE、CD的中点，
∴AM＝DN，
在△ABM和△DBN中，
，
∴△BAM≌△BDN（SAS），
∴BM＝BN，
∠ABM＝∠DBN，
∵∠ABD＝∠DBC，∠ABD+∠DBC＝180°
∴∠ABD＝∠ABM+∠MBE＝90°，
∴∠MBE+∠DBN＝90°，
即：BM⊥BN，
∴BM＝BN，BM⊥BN.
【思路引导】易证△ABE≌△DBC，得到∠BAE＝∠BDC，推出AE＝CD，根据线段中点的概念可得AM＝DN，证明△BAM≌△BDN，得到BM＝BN，∠ABM＝∠DBN，推出∠MBE+∠DBN＝90°，据此解答.
15．如图
（1）动手操作：
如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为 ▲ ．
（2）观察发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（3）实践与运用：
将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．
【答案】（1）解：∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20°，
∴∠AEB=70°，
∴∠BED=110°，
根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°．
∵AD∥BC，
∴∠EFC=125°，
再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°．
（2）解：同意．如图，设AD与EF交于点G．由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．由折叠知，∠AGE=∠DGE=90°，所以∠AGE=∠AGF=90°，
所以∠AEF=∠AFE．
所以AE=AF，即△AEF为等腰三角形
（3）解：由题意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF，∴MF=NF，由对称性可知，MF=PF，∴NF=PF，而由题意得出：MP=MN，MF=MF，在△MNF和△MPF中，∵ ，
∴△MNF≌△MPF（SSS），
∴∠PMF=∠NMF，而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°，即3∠MNF=180°，∴∠MNF=60°.
【思路引导】（1）根据直角三角形ABE中∠ABE=20°，可得∠AEB=70°，从而得出∠BED=110°，根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°，然后根据平行线的性质和折叠的性质可得所求的角的度数；
（2）根据折叠知，AD平分∠BAC，从而得出∠BAD=∠CAD，由折叠知∠AGE=∠DGE=90°，从而得出∠AEF=∠AFE，根据等角对等边可得AE=AF，从而可判断结论；
（3）先利用对称的性质可得MF=PF，根据已知条件可得MP=MN，MF=MF，然后根据SSS证明△MNF≌△MPF可得角的关系，从而可得角的度数.
16．（2021八上·鼓楼期末）如图，已知为正比例函数的图象上一点，轴，垂足为点B.
（1）求m的值；
（2）点P从O出发，以每秒个单位的速度，沿射线方向运动.设运动时间为.
①过点P作交直线于点Q，若，求t的值；
②在点P的运动过程中，是否存在这样的t，使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵为正比例函数的图象上一点，
∴当时，，
的值为；
（2）解：∵，
∴OA=，
①若，则，
当点P在线段上时，则，即，解得，
当点P在线段的延长线上时，则，即，解得；
②当为等腰三角形时，分三种情况讨论：
若，则点P在的垂直平分线上，此时，即，求得，
若，则，即，求得，
若，过点B作BE⊥OA，如图所示，
∵，
∴BE===4.8，
∴OE=，
∵OE=PE，
∴，即，求得，
综上可得：t的值为或或.
【思路引导】（1）将点M的坐标的正比例函数解析式，可求出m的值.
（2）利用点A的坐标，根据勾股定理求出OA的长；①利用全等三角形的性质，可知AP=AB=6，分情况讨论：当点P在线段OA上时，可求出OP的长，同时可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当点P在线段OA的延长线上时，根据OP=OA+AP，可求出OP的长，同时可得到关于t的方程，解方程求出t的值；②利用△POB是等腰三角形，分情况讨论：当PO=PB时，可知点P在线段OB的垂直平分线上，可求出OP的长，即可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当OP=OB时，可知OP=8，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当BP=PO时，过点B作BE⊥OA，利用三角形的面积公式可求出BE的长，利用勾股定理求出OE的长，根据OE=PE建立关于t的方程，解方程求出t的值；综上所述可得到t的值.
知识点03：等腰三角形的判定和性质
17．（2021八上·大同月考）如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长为AB＋AC；④BD＝CE；( )
A．③④B．①②C．①②③D．②③④
【答案】C
【完整解答】∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF，EF=EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故①符合题意；
∴DE=DF+EF=BD+CE，
故②符合题意；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；
故③符合题意；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，
∴BD与CE不一定相等，故④不符合题意．
故答案为：C．
【思路引导】先求出DB=DF，EF=EC，再对每个结论一一判断即可。
18．（2021八上·龙沙期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，AD＝6，过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E， 若△AED 的周长为 16，则边 AB 的长为（ ）
A．6B．8C．10D．1
【答案】C
【完整解答】∵DE∥BC
∴∠EDB=∠DBC
又BD是∠ABC的角平分线
∴∠EBD=∠DBC
∴∠EBD=∠EDB
∴ED=EB
∵三角形AED的周长=AE+ED+AD=AE+EB+AD=AB+AD=16
又AD=6
∴AB=16-AD=16-6=10
故答案为：C．
【思路引导】根据角平分线的定义得出∠EDB=∠DBC，根据平行线的性质得出∠EBD=∠DBC，等量代换得出∠EBD=∠EDB，求得ED=EB，即可得到结论。
19．（2021八上·崇阳期中）如图，已知 ，点 、 、 、…在射线ON上，点 、 、 、…在射线OM上， 、 、 …均为等边三角形，若 ，则 的边长为( )
A．16B．64C．128D．256
【答案】C
【完整解答】解：如图，
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
以此类推：A8B8=27B1A2=27=128.
故答案为：C.
【思路引导】对图形进行角标注，由等边三角形的性质可得A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，根据邻补角的性质可得∠2=120°，由内角和定理可得∠1的度数，然后由平角的概念求出∠5的度数，推出OA1=A1B1=A2B1=1，根据等边三角形的性质以及角之间的关系可得A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，由平行线的性质可得∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，然后根据含30°角的直角三角形的性质可得A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，进而求出A3B3，A4B4，A5B5的值，据此解答.
20．（2021八上·长沙期末）如图， 、 的平分线相交于点F，过F作 ，交 于点D，交 于点E， ， ，则 .
【答案】5
【完整解答】解： 是 的平分线，
，
，
，
，
，
同理可得： ，
，
故答案为：5.
【思路引导】由角平分线的定义得∠DBF=∠CBF ，由平行线性质得∠DFB=∠CBF ，即得∠DBF=∠DFB，根据等角对等边得出DF=DB=3cm，同里得出EF=EC=2cm， 利用DE=DF+EF计算即可.
21．（2021八上·罗庄期中）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝5，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O点作DE∥BC，则△ADE的周长为 ．
【答案】14
【完整解答】由∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，得
∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB．
由DE∥BC，得
∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，
∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，
∴DO＝BD，OE＝EC．
C△ADE＝AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC＝14．
故答案为14．
【思路引导】根据平行线和角平分线的性质可得∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，再利用等角对等边的性质可得DO＝BD，OE＝EC，最后利用三角形的周长公式及等量代换可得C△ADE＝AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC＝14。
22．（2021八上·瑞安期中）在四边形 中， ， ， ， ，P是 边上的一点，连结 ，将 沿直线 对折得到 ， 点恰好落在线段 上，当 时，则 的面积为 .
【答案】
【完整解答】解：如图，作CH⊥AD于H.
∵AD BC，
∴∠APB＝∠PBC，∠DPC＝∠BCP，
∵∠APB＝∠BPC，∠BCP＝∠D，
∴∠CBP＝∠BPC，∠CPD＝∠D，
∴CB＝CP＝CD，设CB＝CP＝CD＝x，
∵CH⊥PD，CP＝CD，
∴PH＝DH，设PH＝DH＝y，
∵∠A＝∠ABC＝∠AHC＝90°，
∴四边形ABCH是矩形，
∴AH＝BC＝x，AB＝CH＝4，
则有 ，
解得 ，
∴S△PBC＝ •PC•B ＝ × ×4＝
故答案为：.
【思路引导】作CH⊥AD于H，由平行线的性质可得∠APB＝∠PBC，∠DPC＝∠BCP，由折叠的性质可得∠APB＝∠BPC，∠BCP＝∠D，推出CB＝CP＝CD，设CB＝CP＝CD＝x，由等腰三角形的性质可得PH＝DH，设PH＝DH＝y，则AH＝BC＝x，AB＝CH＝4，根据AD=AP+PD可得AD=x+y=7，根据AB=4可得x2-y2=16，联立求解可得x、y，接下来根据三角形的面积公式进行计算.
23．（2021八上·泗洪期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相于点O.证明OB＝OC.
【答案】证明：∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的高，
∴ ，
∴ 在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
∴ .
【思路引导】根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，根据高线的概念可得∠CEB=∠BDC=90°，然后用AAS证明△BEC≌△CDB，得到∠ECB=∠DBC，最后根据等角对等边进行证明.
24．（2019八上·宝安期中）如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，已知点C的坐标是（8，4）．
（1）对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，连接AM，求线段AM的长；
（2）在x轴上是否存在一个点P，使△PAM为等腰三角形？如果有请直接写出符合题意的所有点P的坐标．
【答案】（1）解：由题意得：OA=4，OB=8，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
设AM=x，则BM=x，OM=8-x，
Rt△AOM中，由勾股定理得：AO2+OM2=AM2，
∴42+（8-x）2=x2，
解得：x=5，
∴AM=5.
（2）解：如图，①当AP1=AM=5时，OM=OP1=3，此时P1（-3，0）；
②当AM=P2M=P3M=5时，此时P2（-2，0），P3（8，0）；
③如图，作AM的垂直平分线，交AM于E，交x轴于P4，
∴EM= ，
sin∠EP4M= =sin∠OAM= ，
∴P4M= ，
∴OP4= -3= ，此时P4（- ，0），
综上，△PAM为等腰三角形，点P的坐标是（-3，0）或（-2，0）或（8，0）或（- ，0）．
【思路引导】（1）由点C的坐标可得矩形AOBC的长和宽，又根据线段垂直平分线的性质可知AM=BM，在Rt△AOM中，由OA=4、AM+OM=8，借助勾股定理建立AM的方程即可求解；
（2）分AM作底和作腰两种情况考虑：当AM作腰且A为顶角顶点，此时有AM=AP1；当AM作腰且M为顶角顶点，此时有MA=MP2=MP3，利用等腰三角形三线合一和两腰相等的性质，即可分别求出P1、P2、P3的坐标；当AM作底，此时有P4M=P4A，P4E垂直平分AM，通过解Rt△AOM可得sin∠OAM ，进而解Rt△EP4M可得P4M的长，从而确定P4的坐标，据此即可解答。
25．（2021八上·宁波期末）解答
（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE.求证：△ACD≌△EBD.
（2）如图2，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D为BC的中点，DC⊥AC.求△ABC面积.
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC延长线上一点，BC＝CD，F是AB上一点，连结FD交AC于点E，若AF＝EF＝2，BD＝6，求ED的长.
【答案】（1）证明：如图1中，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）；
（2）解：如图2中，延长CD到T，使得DT=CD，连接BT.
由（1）可知△ADC≌△BDT，
∴AC=BT=5，∠ACD=∠T=90°，
∴CT=，
∴CD=DT=6，
∴S△ACB=S△ADC+S△CDB=•AC•DC+•BT•CD=×5×6+×5×6=30；
（3）解：如图3中，延长AC到R，使得CR=CA，连接DR.
由（1）可知，△ACB≌△RCD，
∴AB=DR，∠A=∠R，
∵FE=FA，
∴∠A=∠AEF，
∵∠AEF=∠DER，
∴∠DER=∠R，
∴DE=DR=AB，
设DE=DR=AB=x，则BF=x-2，DF=x+2，
在Rt△DBF中，BF2+BD2=DF2，
∴（x-2）2+62=（x+2）2，
∴x=，
∴DE=.
【思路引导】（1） 根据SAS证明△ACD≌△EBD ；
（2） 延长CD到T，使得DT=CD，连接BT； 根据SAS证明△ACD≌△EBD ， 可得AC=BT=5，∠ACD
=∠T=90°，利用勾股定理求出CT=12， 由线段的中点得CD=DT=6， 由S△ACB=S△ADC+S△CDB，利用三角形的面积公式即可求解；
（2）延长AC到R，使CR=CA，连接DR；由全等三角形及等腰三角形的性质可求出DE=DR=AB，设DE=DR=AB=x，则BF=x-2，DF=x+2， 在Rt△DBF中，由BF2+BD2=DF2建立关于x方程，解之即可.
知识点04：等边三角形的性质
26．（2021八上·凉山期末）三角形中，最大角 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【完整解答】解：根据题意得：最大角 ，
当三角形为等边三角形时，三角形的三个内角相等，且 ，
∴最大角a的取值范围是 .
故答案为：D.
【思路引导】根据三角形的内角和定理可得α<180°，当三角形为等边三角形时，α=60°，据此可得α的范围.
27．（2021八上·灌阳期末）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（ ）
A．8B．10C．11D．12
【答案】B
【完整解答】解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH=GH，∠FHG=60°，
∴∠AHF+∠GHC=120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=5，∠ACB=∠A=60°，
∵∠AHF=180°-∠FHG-∠GHC =120°-∠GHC，
∠HGC=180°-∠C-∠GHC =120°-∠GHC，
∴∠AHF=∠HGC，
在△AFH和△CHG中
∠A=∠C∠AHF=∠HGCFH=GH，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF=CH.
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE=FH，
∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF，
=(BD+DF+AF)+(CE+BE)，
=AB+BC=10.
故答案为：B.
【思路引导】利用AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF=CH，由于△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
可得BE=FH，由于五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF=(BD+DF+
AF)+(CE+BE)=AB+BC，据此计算即可.
28．（2021八上·玉林期末）如图，已知△ABC为等边三角形，BD为△ABC的中线，延长BC至E，使CE＝CD，连接DE，则∠BDE ＝ 度.
【答案】120
【完整解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD为中线，
∴∠BDC＝90°，∠ACB＝60°
∴∠ACE＝180°−∠ACB＝180°−60°＝120°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠BDE＝∠BDC＋∠CDE＝90°＋30°＝120°，
故答案为： 120 .
【思路引导】由等边三角形的性质可得∠BDC＝90°，∠ACB＝60°，由邻补角的定义求出∠ACE的度数，由等边对等角及三角形的内角和定理得∠CDE的度数，利用∠BDE＝∠BDC＋∠CDE计算即可.
29．（2021八上·滨城期末）如图，点C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下十个结论：①AD＝BE；②PQAE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°；⑥CP＝CQ；⑦△CPQ为等边三角形；⑧共有2对全等三角形；⑨CO平分∠AOE；⑩CO平分∠BCD恒成立的结论有 （把你认为正确的序号都填上）．
【答案】①②③⑤⑥⑦⑨
【完整解答】解：如图1所示：
∵△ABC和△CDE是正三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=60°，
又∵∠ACD=∠ACB+∠BCD， ∠BCE=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，故结论①符合题意；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP=∠CBQ，
∵∠BPO=∠APC，
，故⑤符合题意；
又∵∠ACB+∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠BCD=60°，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ，PC=QC， 故③⑥符合题意；
∴△PCQ是等边三角形，故⑦符合题意；
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴∠CPQ=∠ACB=60°，
∴，故②符合题意；
若DE=DP，
∵DC=DE，
∴DP=DC，
∴∠PCD=∠DPC，
又∵∠PCD=60°，
∴∠DPC=60°与△PCQ是等边三角形相矛盾，假设不成立，故结论④不符合题意；
∵△ACD≌△BCE，
∴，
在△PCD和△QCE中，
，
∴△PCD≌△QCE（ASA），
又∵△ACD≌△BCE，△ACP≌△BCQ，
∴全等三角形有3对，故8不符合题意；
过点C分别作CM⊥AD，CN⊥BE于点M、N两点， 如图2所示：
∵CM⊥AD，CN⊥BE，△ACD≌△BCE，
∴CM=CN，
又∵OC在∠AOE的内部，
∴点C在∠AOE的平分线上，
∴CO平分∠AOE，故结论⑨符合题意；
∵
∴
∵CO平分∠AOE，
∴
若CO平分∠BCD
∴
∴
由题意可得，不一定是直角，故⑩不符合题意，
综上所述，正确的序号有：①②③⑤⑥⑦⑨．
故答案为：①②③⑤⑥⑦⑨．
【思路引导】利用等边三角形的性质及三角形全等的判定和性质逐项判断即可。
30．（2021八上·莒南期中）如图，已知 ，点 ， ， ， 在射线ON上，点 ， ， ， 在射线OM上， ， ， ， 均为等边三角形，若 ，则 的边长为 ．
【答案】
【完整解答】∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1．
∵∠MON=30°，OA2=4，
∴OA1=A1B1=2，
∴A2B1=2．
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=8，A4B4=8B1A2=16，A5B5=16B1A2=32，
以此类推△AnBnAn+1的边长为2n．
故答案为2n．
【思路引导】根据等腰三角形的性质及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，及A3B3=4B1A2=8，A4B4=8B1A2=16，A5B5=16B1A2=32，……进而得出答案。
31．（2021八上·大兴期末）如图，为等边三角形，D是BC中点，，CE是的外角的平分线．
求证：．
【答案】证明：过D作DG∥AC交AB于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
又∵DG∥AC，
∴∠BDG＝∠BGD＝60°，
∴△BDG是等边三角形，∠AGD＝180°−∠BGD＝120°，
∴DG＝BD，
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴DG＝CD，
∵EC是△ABC外角的平分线，
∴∠ACE＝（180°−∠ACB）＝60°，
∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝120°＝∠AGD，
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
又∵∠BDG＝60°，∠ADE＝60°，
∴∠ADG＝∠EDC＝30°，
在△AGD和△ECD中，
，
∴△AGD≌△ECD（ASA）．
∴AD＝DE．
【思路引导】先求出 ∠BDG＝∠BGD＝60°， 再求出 DG＝CD， 最后利用全等三角形的判定与性质求解即可。
32．（2021八上·莒南期中）如图，已知等边 ΔABC，D，E 分别在 上，且 ，连接 交 点．求证：
【答案】∵ 是等边三角形
∴ ，
在△ABD和△BCE中
∴
∴
∴ ．
【思路引导】根据 是等边三角形得出 ， ，利用SAS证明，得出，即可得出结论。
33．（2019八上·同安期中）如图，△ABC是边长为10的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合）．
（Ⅰ）如图1，若点Q是BC边上一动点，与点P同时以相同的速度由C向B运动（与C、B不重合）．求证：BP＝AQ；
（Ⅱ）如图2，若Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D，在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．
【答案】解：（Ⅰ）证明：如图1中， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAP＝∠ACQ＝60°， ∵AP＝CQ， ∴△BAP≌△ACQ（SAS）， ∴BP＝AQ． （Ⅱ）解：当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下： 作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF， 又∵PE⊥AB于E， ∴∠DFQ＝∠AEP＝90°， ∵点P、Q速度相同， ∴AP＝BQ， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°， 在△APE和△BQF中， ∵∠AEP＝∠BFQ＝90°， ∴∠APE＝∠BQF， ∴在△APE和△BQF中， ， ∴△APE≌△BQF（AAS）， ∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF， ∴四边形PEQF是平行四边形， ∴DE＝ EF， ∵EB+AE＝BE+BF＝AB， ∴DE＝ AB， 又∵等边△ABC的边长为10， ∴DE＝5， ∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【思路引导】（Ⅰ）证明△BAP≌△ACQ（SAS）即可解决问题．（Ⅱ）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP＝BQ，
再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE＝BE+BF＝AB，DE＝ AB，由等边△ABC的边长为10可得出DE＝5，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
34．（2021八上·永定期末）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.
（1）求证 DOB≌ AOC；
（2）求∠CEB的大小；
（3）如图2， OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将 OCD绕点O旋转（ OAB和 OCD不能重叠），求∠CEB的大小.
【答案】（1）证明：如图1，
∵△ODC和△OAB都是等边三角形，
∴OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，
∴∠BOD=∠AOC=120°，
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD；
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AOB=60°，
∴ ；
（3）解：如图2，
∵△ODC和△OAB都是等边三角形，
∴OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD；
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AOB=60°，
∴ ；
即∠CEB的大小不变.
【思路引导】（1）易得OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，从而求出∠BOD=∠AOC=120°，根据SAS证明△AOC≌△BOD；
（2）由△AOC≌△BOD得∠CAO=∠DBO， 由于∠1=∠2结合三角形内角和得∠AEB=∠AOB=60°， 利用邻补角的定义求出∠CEB的度数；
（3）根据SAS证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的对应边相等可得∠CAO=∠DBO，由于∠1=∠2结合三角形内角和可得∠AEB=∠AOB=60°， 利用邻补角的定义求出∠CEB的度数即可判断.
知识点05：等边三角形的判定
35．（2021八上·荣县月考）下列命题：①等腰三角形的角平分线、底边中线、高线三线合一；②有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；③等腰三角形的一边长为3，另一边为7，则它的周长为13或17；④轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【完整解答】解：①等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边高线三线合一，故①不正确；
②有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；
当顶角外角∠EAC=120°时，根据平角定义，可得∠BAC=60°，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
当底角的外角∠BCD=120°，可得∠ACB=180°-120°=60°，
∵AB=AC，∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形，
故②正确；
③等腰三角形的一边长为3，另一边为7，
当3为底时，腰长为7，7.
∴7+7+3=17，
当3为腰时，3+3＜7，不能构成三角形，
∴三角形的周长为17，
故③不正确；
④根据在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故任何一对对应点沿对称轴折叠互相重合，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线正确.
故④正确；
正确的个数有2个.
故答案为：B.
【思路引导】根据等腰三角形“三线合一”的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的性质、轴对称的性质逐一判断即可.
36．（2021八上·镇海期中）如图，已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】D
【完整解答】解：∵P1与P关于OB对称，
∴OP＝OP1，∠P1OB＝BOP，
∵P2与P关于OA对称，
∴OP＝OP2，∠P2OA＝AOP，
∴OP1＝OP2，∠P1OP2＝2∠BOA，
∵∠AOB＝30°，
∴∠P1OP2＝60°，
∴△P1OP2为等边三角形.
故答案为：D.
【思路引导】由轴对称的性质可得OP＝OP1，∠P1OB＝BOP，OP＝OP2，∠P2OA＝AOP，则OP1＝OP2，∠P1OP2＝2∠BOA=60°，据此判断.
37．（2020八上·孝南月考）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP=OC，下面的结论：①AB=AC，②△AOP≌△AOC ，③∠APO+∠DCO=30°，④△OPC是等边三角形.其中正确的为 .（填序号）
【答案】①③④
【完整解答】解：① △ABC中高AD恰好平分边BC，
AD为线段BC的垂直平分线，
AB=AC，故①正确；
②由图易知OP与OC的对角 ，
△AOP≌△AOC不正确，故②不正确；
③如图，连接OB，
△ABC的高AD恰好平分边BC，
BD=CD，由SAS易证 ，
AB=AC，OB=OC=OP，
，
∠APO+∠DCO=30°，故③正确；
④在△OBP中，
在△BOC中，
，
，
， △OPC是等边三角形，故④正确.
故答案为：①③④.
【思路引导】①根据线段垂直平分线的性质得AB=AC，即可判断①正确；②根据题意得∠AOP≠∠AOC，得△AOP与△AOC不全等，可判②不正确；②利用等边对等角得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°，即可判断③正确；④证出∠POC=60°，OP=OC，得出△OPC是等边三角形，即可判断④正确.
38．（2019八上·会昌期中）在△ABC中，AB=AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是 （只要写出一个即可）．
【答案】 或AB=BC等（答案不唯一）
【完整解答】∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
故只需 或 即可得出△ABC为等边三角形.
【思路引导】根据等边三角形的判定方法即可求解.
39．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD，CF分别是BC、AB边上的高且相交于点P，∠ABC的平分线BE分别交AD、CF于M、N.以下四个结论：①△PMN等边三角形；②除了△PMN外，还有4个等腰三角形；③△ABD≌△CPD；④当DM＝2时，则DC＝6.其中正确的结论是： （填序号）.
【答案】①②③④
【完整解答】解：∵∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD，CF分别是BC，AB边上的高，
∴∠ACB＝45°，∠ADC=90°，
∴△ADC为等腰直角三角形，∠BAD=30°，
∵∠ABC的平分线BE分别交AD，CF于M，N
∴∠ABM＝30°，
又∵∠BAM＝30°
∴△AMB为等腰三角形.
由题意可知∵∠NBC＝∠NCB＝30°
∴△BNC为等腰三角形.
∠PMN＝∠MNP＝60°
∴△MNP为等边三角形，故①正确；
∵∠ABE＝30°，∠BAC＝75°，
∴∠BEA＝75°，
∴△ABE为等腰三角形；
∴除了△PMN外，还有4个等腰三角形，故②正确；
∵AD，CF分别是BC，AB边上的高，
∴∠ADB＝∠BFC＝90°，
∴∠BAD＝∠ABD＝∠ABD+∠BCF＝90°，
∴∠BAD＝∠DCP，
∵∠ADB＝∠PDC＝90°，AD＝CD，
∴△ABD≌△CPD（ASA），故③正确；
在直角三角形BDM中，
∵MD＝2，∠MBD＝30°，
∴BM＝4，
在等腰三角形AMB中，BM＝AM，
∴AD＝AM+MD＝6，
在等腰直角三角形ADC中，AD＝DC，
∴DC＝6，故④正确；
故答案为：①②③④.
【思路引导】由已知条件，根据三角形内角和等于180°、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难.
40．（2021八上·南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
【答案】证明：为的中点，
．
，，
．
在和中，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
【思路引导】先利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质可得，再利用等角对等边的性质可得CA=CB，再结合AB=AC，可得AB=BC=AC，即可证明△ABC是等边三角形。
41．（2018八上·阿城期末）如图：
（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．
【答案】（1）解：DE=BD+CE．理由如下：
如图1，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD
（2）解：如图2，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE
（3）解：DF=EF．理由如下：
由（2）知，△ADB≌△CAE，
BD=EA，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．
∴DF=EF．
【思路引导】（1）根据题意可得，AB=AC，∠BDA=∠AEC，∠BAD=∠ACE，既而可以证明△ABD≌△CAE（AAS），所以DE=DA+AE，进行等量代换，可得DE=BD+CE。（2）∵∠BAE为三角形ABD的外角，根据题意可证得∠DBA=∠EAC，既而证明△BDA≌△AEC，利用等量代换 ，与（1）方法相同，即可证明DE=BD+CE。（3）根据题目条件，可证得△FBD≌△FAE，即DF=EF，△FDE为等腰三角形；又因为∠BFD+∠AFD=60°，所以∠AFD+∠AFE=60°，所以等腰三角形FDE为等边三角形。
知识点06：等边三角形的判定和性质
42．（2021八上·惠民月考）如图，在等腰△ABC中，点M，N都在BC边上，∠BAC＝120°，若ME⊥AB于点E，NF⊥AC于点F，点E，F分别为AB，AC的中点，且EM＝2．则BC的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【完整解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，
∴∠C=∠B=30°，
∵ME⊥AB，NF⊥AC，点E，F分别为AB，AC的中点，
∴AM=BM，AN=CN，
∴∠MAB=∠B=30°，∠NAC=∠C=30°，
∴∠AMN=∠ANM=∠MAN=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴BM=AM=AN=MN=NC，
∵在Rt△BME中，EM＝2，∠B=30°，
∴BM=2EM=4，
∴BM=MN=CN=4，
∴BC=12；
故答案为：D．
【思路引导】由等腰三角形的性质可得∠C=∠B=30°，再求出△AMN是等边三角形，可得BM=AM=AN
=MN=NC，在Rt△BME中，EM＝2，∠B=30°，可得BM=2EM=4，从而得解.
43．（2020八上·碾子山期末）如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若 ，当 取得最小值时，则 的度数为（ ）
A．15°B．225°C．30°D．45°
【答案】C
【完整解答】解：如图，
取AB的中点G，连接CG交AD于点F，
∵等边△ABC的边长为4，AE=2，
∴点E是AC的中点，
所以点G和点E关于AD对称，
此时EF+FC=CG最小，
根据等边三角形的性质可知：
∠ECF= ∠ACB=30°．
所以∠ECF的度数为30°．
故答案为：C．
【思路引导】几何题要先找出推理的突破口，因为点F的是动点，所以“EF+CF取得最小值时”是突破口，再结合是等边三角形，由等边三角形三线合一可知AD也是的高和角平分线，即可求出∠ECF的度数
44．（2021八上·旅顺口期中）如图， 为等边三角形，若 ，则 （用含 的式子表示）．
【答案】
【完整解答】解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE，
∵ 为等边三角形，
∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵ ，BE=AD，
∴ ，
∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴ 是等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∴ ．
故答案为：
【思路引导】在BD上截取BE=AD，连结CE，由 为等边三角形，证出 ，推出CE=CD，∠BCE=∠ACD，再根据CE=CD，得出 是等边三角形，由此得出答案。
45．（2021八上·金华期中）如图， 是 的角平分线，点 是 上的动点，已知 ， ， ，则
（1） ；
（2） 的最小值是 .
【答案】（1）2
（2）2
【完整解答】解：（1）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2；
（2）如图所示，作E点关于BD的对称点G，连接EG，AG，GF，
∵BD是 的平分线，
∴点G在线段BC上，
∴根据对称性可得EF=GF，BG=BE=2，
∴EF+AF=GF+AF≥AG，
∴当点A，F，G三点共线时，GF+AF的长度最短，即EF+AF的最小值为AG的长度.
∴GC=BC-BG=4-2=2，
又∵ ， ，
∴ ，
又∵AC=2，
∴ 是等边三角形，
∴AG=AC=2.
∴ 的最小值是2.
故答案为：2.
【思路引导】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得BC，由勾股定理求出AB，然后根据BE=AB-AE进行计算；
（2）作E点关于BD的对称点G，连接EG，AG，GF，根据对称性可得EF=GF，BG=BE=2，推出当点A，F，G三点共线时，GF+AF的长度最短，即EF+AF的最小值为AG的长度，求出GC的值，推出△AGC是等边三角形，则AG=AC=2，据此解答.
46．（2021八上·中山期末）已知，如图，△ABC为等边三角形，延长△ABC的各边，使得AE＝CD＝BF，顺次连接D，E，F，得到△DEF，求证：∠DEF＝60°．
【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，
∴∠EAF＝∠FBD＝∠DCE＝120°，
∵AE＝BF＝CD，
∴AB+BF＝BC+CD＝AC+AE，
即AF＝BD＝CE，
在△AEF、△BFD和△CDE中，
，
∴△AEF≌△BFD≌△CDE（SAS），
∴EF＝FD＝DE，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝60°．
【思路引导】先利用“SAS”证明△AEF≌△BFD≌△CDE，可得EF＝FD＝DE，证明△DEF是等边三角形，即可得到∠DEF＝60°。
47．（2020八上·灵宝期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，求BC的长.
【答案】解：如图，延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠DBC=∠D=60°，
∴△BDM为等边三角形，
∵BD=5cm，DE=3cm，
∴EM=2cm，
∵△BDM为等边三角形，
∴∠DMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠ENM=90°，
∴∠NEM=30°，
∴NM=1cm，
∴BN=4cm，
∴BC=2BN=8cm.
【思路引导】延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，利用等腰三角形的性质可证得AN⊥BC，BN=CN；再利用等边三角形的判定定理，可推出△BDM是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出EM的长及 ∠DMB=60°；再在Rt△MNE中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出MN的长；由此求出BN的长，然后根据BC=2BN，代入计算求出BC的长.
48．（2021八上·长沙期末）如图1，在平面直角坐标系中，点 在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设 ，且 .
（1）直接写出 的度数.
（2）如图2，点D为AB的中点，点P为y轴负半轴上一点，以AP为边作等边三角形APQ，连接DQ并延长交x轴于点M，若 ，求点M的坐标.
（3）如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为OC的中点，连接BE，过点B作 ，且 ，连接AF交BC于点P，求 的值.
【答案】（1）
（2）解：如答图2，连接BM，
∴ 是等边三角形，
∵ ， ，
∵∠ ，
∴ ，
∴ ，
∵D为AB的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，在 和 中，
AQ=AP，∠DAQ=∠OAP，AD=AO，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，∴ ；
（3）解：如答图3，过点F作 轴交CB的延长线于点N，
则 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∠BCE=∠FNB，∠BEC=∠NBF，BE=BF，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵E是OC的中点，设 ，
∴等边三角形ABC的边长是4a， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∠APC=∠NPF，∠ACP=∠PNF，AC=NF，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
，
∴ .
【完整解答】解：（1）∵点 在x轴负半轴上，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如答图1，在x轴的正半轴上取点C，使 ，连接BC，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
【思路引导】（1）证AB＝2OA，在x轴的正半轴上取点C，使OC＝OA，连接BC，再证△ABC是等边三角形，则可得出结论；
（2）连接BM，证明△AQD≌△APO（SAS），得∠ADQ＝∠AOP＝90°，再证△ABM为等边三角形，得出OM＝AB＝3，即可得出答案；
（3）过点F作FM∥x轴交CB的延长线于点M，证△BEC≌△FBM（AAS），得EC＝BM，BC＝MF，再证△PAC≌△PFM（AAS），得CP＝MP，进而得出答案．
49．（2021八上·新丰期中）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α＝ 时，△AOD是等腰三角形．
【答案】（1）证明： △BOC≌△ADC，
，
∠OCD＝60°，
△OCD是等边三角形；
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
△OCD是等边三角形；
当α＝150°时，
△BOC≌△ADC
是直角三角形
（3） 或 或
【完整解答】解：（3） △OCD是等边三角形；
，
，
，
①当 时，
解得
②当 时，
解得
③当 时
解得
综上所述，当 或 或 时， 是等腰三角形．
故答案为：110°或140°或125°．
【思路引导】（1）根据 △BOC≌△ADC， 得出OC=DC，再根据 ∠OCD＝60°， 即可得出结论；
（2）根据 △OCD是等边三角形 ，得出 ， 当α＝150°时，再根据 △BOC≌△ADC ，得出 ，即可得出 是直角三角形 ；
（3）根据 △OCD是等边三角形，得出，分①当 时，②当 时，③当 时，讨论即可。
相关试卷
苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【6.1函数】(原卷版+解析)： 这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【6.1函数】(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了1 函数，03等内容，欢迎下载使用。
苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【3.3勾股定理的应用】(原卷版+解析)： 这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【3.3勾股定理的应用】(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了3 勾股定理的应用，5尺B．8尺C．8，5米B．1，5，等内容，欢迎下载使用。
苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【3.1勾股定理】(原卷版+解析)： 这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【3.1勾股定理】(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了1 勾股定理，8cm，，2cm，等内容，欢迎下载使用。
