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苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【3.1勾股定理】(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【3.1勾股定理】(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了1 勾股定理，5C．2，8cm．等内容，欢迎下载使用。
3.1 勾股定理
知识点01：勾股定理
直角三角形 ．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么 ．
知识要点
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的 ．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以 求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， ．
知识点02：勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以．
知识点03：勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求 ；
用于解决 ；
3． 与勾股定理有关的
4．勾股定理在 中的应用．
考点01:直角三角形的性质
1．（2022秋•袁州区月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝55°，则∠B的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
2．（2022春•南岸区期末）如图，∠1＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
3．（2022秋•东莞市校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，则∠B＝ ．
4．（2022秋•桐乡市期中）将两块全等的直角三角板如图放置，其中一块三角板的斜边恰好经过另一块三角板的直角顶点O及斜边上的中点A，若这两块三角板的斜边长为13.6cm，则OA＝ ．
5．（2022秋•拱墅区期中）如图，以AB为斜边的Rt△ABC和Rt△ABD位于直线AB的同侧，连接CD，若∠BAC+∠ABD＝135°，AB＝8，则CD的长为 ．
6．（2022秋•招远市期中）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝56°，则∠B＝ °；
（2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
①如图，若AD是∠BAC的角平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠B＝28°，求∠AEB的度数．
7．（2022秋•曲周县月考）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是AC、BC边上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝60°，求∠1+∠2的度数；
（2）若点P在线段AB上运动，如图2所示，求∠α、∠1、∠2之间的数量关系．
8．（2021秋•庐阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠CEF＝∠CFE；
（2）若点E恰好在边AB的垂直平分线上，判断△CEF的形状，并说明理由．
考点02:勾股定理
9．（2022秋•杏花岭区校级期中）如果直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长是（ ）
A．12B．13C．5D．17
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3，则点D到AB的距离是（ ）
A．5B．4C．3D．2
11．（2022秋•惠山区期中）如图，直角三角形两条直角边AC、BC边长分别是4和3，则AB上的中线长为（ ）
A．5B．2.5C．2.4D．3
12．（2022秋•沙县期中）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为边向外作正方形ADEC，若图中阴影部分的面积为9cm2，BC＝4cm，则AB＝ cm．
13．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，且AD是BC边上的中线，DE⊥AC于E．若AB＝5，BC＝6，则DE的长为 ．
14．（2022秋•新昌县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，点M是线段CO延长线上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为 ．
15．（2022秋•宜州区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．
（1）若∠A＝35°，则∠CBE＝ °；
（2）若AC＝6，BC＝4，求△BCE的周长．
16．（2022秋•武汉期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，若∠ABC＝60°，FD＝10，求DC的长．
17．（2022秋•芗城区校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．
（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，求证：AB2＝AH2+BH2．
考点03:勾股定理的证明
18．（2022春•阳谷县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
19．（2021秋•介休市校级月考）我国古代的数学家很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．后人称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是在下列哪部著作中记载的？（ ）
A．《孙子算经》B．《海岛算经》C．《九章算术》D．《周髀算经》
20．（2021春•孝义市期中）如图，这个图案是我国汉代一位著名的数学家在注解《周髀算经》时给出的，利用此图可以证明勾股定理．这位数学家是（ ）
A．秦九韶B．祖冲之C．赵爽D．杨辉
21．（2021春•巴南区期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a﹣b）2的值是（ ）
A．1B．2C．12D．13
22．（2022秋•大田县期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图，如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，下列四个说法：①a2+b2＝49，②a﹣b＝4，③2ab+4＝49，④a+b＝9．其中正确的是 ．
23．（2022秋•西安期中）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．
（2022秋•长沙期中）素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”．几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见．现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友
是 （填写数字序号即可）．
25．（2022秋•城关区校级期中）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH＝6．求该图形的面积．
26．（2022秋•徐州期中）操作与探究
（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形；
（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c．请你利用图拼成的大正方形证明勾股定理．
27．（2022春•东莞市期末）数学之美，不仅是几何图形经过排列组合后呈现的炫美图案，还包括严谨推理引发的思维律动．已超过400种勾股定理的证明方法呈现的数学之美让我们陶醉，其中一种方法是：将两个全等的Rt△ABE和Rt△DEC如图所示摆放，使点A，E，D在同一条直线上，∠A＝∠D＝90°中，即可借助图中几何图形的面积关系来证明a2+b2＝c2．请写出证明过程．
28．（2022春•宁波期中）图1是一个“有趣“的图形，它是由四个完全一样的直角三角形围成的一个大正方形ABCD，并且直角三角形的斜边又围成一个小正方形MNQP．已知每个直角三角形直角边分别是a，b（a＜b），斜边为c．根据这个图形我们可以得到一些很好用的结论．
（1）如图1，设中间的小正方形MNQP面积为S1，请用两种方法来表示S1．
（2）如图2，将四个三角形向里面翻折，刚好又能形成一个更小的正方形A'B'C′D'．已知正方形A'B'C′D'的边长为3，正方形ABCD的边长为9．请求出a，b的值．
（3）连结B'D'，若B'D′∥AD，请问∠DMN是多少度？请说明理由．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）基础
第3章《勾股定理》
3.1 勾股定理
知识点01：勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．
知识要点
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， ．
知识点02：勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以．
知识点03：勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
用于解决带有平方关系的证明问题；
3． 与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
考点01:直角三角形的性质
1．（2022秋•袁州区月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝55°，则∠B的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝55°，
∴∠B＝35°，
故选：B．
2．（2022春•南岸区期末）如图，∠1＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
解：由题意可知：∠BAC＝∠1＝40°，
∴∠C＝90°﹣∠BAC＝50°，
故选：C．
3．（2022秋•东莞市校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，则∠B＝ 60° ．
解：由题意得：∠A+∠B＝90°，
∴x°+2x°＝90°，
x°＝30°，
∴2x°＝60°，
∴∠B＝60°．
故答案为：60°．
4．（2022秋•桐乡市期中）将两块全等的直角三角板如图放置，其中一块三角板的斜边恰好经过另一块三角板的直角顶点O及斜边上的中点A，若这两块三角板的斜边长为13.6cm，则OA＝ 6.8cm ．
解：∵OA是直角三角形斜边上的中线，
又∵这两块三角板的斜边长为13.6cm，
∴OA＝13.6÷2＝6.8（cm），
故答案为：6.8cm．
5．（2022秋•拱墅区期中）如图，以AB为斜边的Rt△ABC和Rt△ABD位于直线AB的同侧，连接CD，若∠BAC+∠ABD＝135°，AB＝8，则CD的长为 4 ．
解：取AB的中点H，连接CH、DH，
在Rt△ABC中，点H是AB的中点，
∴CH＝AB＝AH＝4，
∴∠HCA＝∠BAC，
∴∠AHC＝180°﹣2∠BAC，
同理可得，DH＝4，∠BHD＝180°﹣2∠ABD，
∵∠BAC+∠ABD＝135°，
∴∠CHD＝180°﹣∠AHC﹣∠BHD＝180°﹣（180°﹣2∠BAC）﹣（180°﹣2∠ABD）＝90°，
∴CD＝CH＝4，
故答案为：4．
6．（2022秋•招远市期中）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝56°，则∠B＝ 17 °；
（2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
①如图，若AD是∠BAC的角平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠B＝28°，求∠AEB的度数．
解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝56°，
∴∠A+2∠B＝90°，
∴∠B＝17°，
故答案为：17°；
（2）①△ABD是“准互余三角形”，
理由：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∴2∠BAD+∠B＝90°，
∴△ABD是“准互余三角形”，
②∵△ABE是“准互余三角形”
∴2∠EAB+∠ABC＝90°或∠EAB+2∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝28°∴∠EAB＝31°或∠EAB＝34°，
当∠EAB＝31°，∠ABC＝28°时，∠AEB＝121°，
当∠EAB＝34°，∠ABC＝28°时，∠AEB＝118°，
∴∠AEB的度数为：121°或118°．
7．（2022秋•曲周县月考）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是AC、BC边上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝60°，求∠1+∠2的度数；
（2）若点P在线段AB上运动，如图2所示，求∠α、∠1、∠2之间的数量关系．
解：（1）∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠α＝60°，
∴∠APD+∠BPE＝180°﹣60°＝120°，
∵∠1＝180°﹣∠APD﹣∠A，∠2＝180°﹣∠B﹣∠BPE，
∴∠1+∠2
＝180°﹣∠APD﹣∠A+180°﹣∠B﹣∠BPE
＝360°﹣（∠APD+∠BPE+∠A+∠B）
＝360°﹣（120°+90°）
＝150°，
∴∠1+∠2＝150°；
（2）∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠α+∠APD+∠BPE＝180°，
∴∠APD+∠BPE＝180°﹣∠α，
∵∠1＝180°﹣∠APD﹣∠A，∠2＝180°﹣∠B﹣∠BPE，
∴∠1+∠2
＝180°﹣∠APD﹣∠A+180°﹣∠B﹣∠BPE
＝360°﹣（180°﹣∠α+90°）
＝90°+∠α，
∴∠1+∠2＝90°+∠α．
8．（2021秋•庐阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠CEF＝∠CFE；
（2）若点E恰好在边AB的垂直平分线上，判断△CEF的形状，并说明理由．
（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠CEF+∠CBE＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BFD+∠ABE＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∵∠CFE＝∠BFD，
∴∠CEF＝∠CFE；
（2）解：△CEF是等边三角形，
理由如下：∵点E在边AB的垂直平分线上，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠ABE，
∵∠CBE＝∠ABE，∠ACB＝90°，
∴∠EAB＝∠ABE＝∠CBE＝30°，
∴∠CEF＝∠ABE+∠EAB＝60°，
∴∠CEF＝∠CFE＝60°，
∴△CEF是等边三角形．
考点02:勾股定理
9．（2022秋•杏花岭区校级期中）如果直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长是（ ）
A．12B．13C．5D．17
解：根据勾股定理得，斜边长＝＝13，
故选：B．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3，则点D到AB的距离是（ ）
A．5B．4C．3D．2
解：作DE⊥AB于E，如图，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
故选：C．
11．（2022秋•惠山区期中）如图，直角三角形两条直角边AC、BC边长分别是4和3，则AB上的中线长为（ ）
A．5B．2.5C．2.4D．3
解：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5．
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝2.5，
故选：B．
12．（2022秋•沙县期中）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为边向外作正方形ADEC，若图中阴影部分的面积为9cm2，BC＝4cm，则AB＝ 5 cm．
解：∵正方形ADEC的面积为9，
∴AC2＝9，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB＝＝＝5（cm），
故答案为：5．
13．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，且AD是BC边上的中线，DE⊥AC于E．若AB＝5，BC＝6，则DE的长为 ．
解：在△ABC中，AB＝AC，且AD是BC边上的中线，
∴BD＝，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝4，
∵DE⊥AC，
∴S，
∴DE＝＝，
故答案为：．
14．（2022秋•新昌县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，点M是线段CO延长线上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为 或 ．
解：当∠AMB＝90°时，
∵AO＝BO，AB＝2，
∴OM＝AB＝OB，
∵∠BOM＝∠AOC＝60°，
∴△BOM为等边三角形，
∴BM＝OB＝1，
∴AM＝＝＝；
当∠ABM＝90°时，如图2，
∵∠BOM＝∠AOC＝60°，
∴∠BMO＝30°，
∴OM＝2OB＝2，
∴BM＝＝，
∴AM＝＝，
综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为或，
故答案为：或．
15．（2022秋•宜州区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．
（1）若∠A＝35°，则∠CBE＝ 20 °；
（2）若AC＝6，BC＝4，求△BCE的周长．
解：（1）∵直线DE是边AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠EAB＝35°，
∴∠BEC＝∠A+∠EBA＝70°，
∴∠CBE＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴C△BCE＝BE+CE+BC＝AC+BC＝6+4＝10．
16．（2022秋•武汉期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，若∠ABC＝60°，FD＝10，求DC的长．
解：∵∠A＝∠C＝90°，∠A+∠C+∠ABC+∠ADC＝360°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠BCD，
∴∠EBC＝∠ABC＝30°，∠FDC＝∠ADC，
∴∠EBC+∠FDC＝90°，
∵∠DFC+∠FDC＝90°，
∴∠EBC＝∠DFC＝30°，
在Rt△FDC中，∠C＝90°，∠DFC＝30°
∴DC＝FD＝10×＝5．
17．（2022秋•芗城区校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．
（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，求证：AB2＝AH2+BH2．
证明：（1）在△BCD和△FCE中，
，
∴△BCD≌△FCE（SAS），
∴∠DBC＝∠EFC，
∴BD∥EF，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF；
（2）由题意补全图形如下：
延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，
∵AC⊥BF，BC＝CF，
∴AB＝AF，
由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，
∵AB2＝AE2+BD2，
∴AF2＝AE2+EF2，
∴∠AEF＝90°，
∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，
∴∠AHB＝90°，
∴AB2＝AH2+BH2．
考点03:勾股定理的证明
18．（2022春•阳谷县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理．
B、梯形的面积为：＝；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：＝，
∴＝，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理．
C、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：＝2ab+c2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理．
D、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
19．（2021秋•介休市校级月考）我国古代的数学家很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．后人称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是在下列哪部著作中记载的？（ ）
A．《孙子算经》B．《海岛算经》C．《九章算术》D．《周髀算经》
解：在《周髀算经》中赵爽提过”“赵爽弦图”，
故选：D．
20．（2021春•孝义市期中）如图，这个图案是我国汉代一位著名的数学家在注解《周髀算经》时给出的，利用此图可以证明勾股定理．这位数学家是（ ）
A．秦九韶B．祖冲之C．赵爽D．杨辉
解：由题意，可知这位伟大的数学家是赵爽．
故选：C．
21．（2021春•巴南区期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a﹣b）2的值是（ ）
A．1B．2C．12D．13
解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，
四个直角三角形的面积是：ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12
则（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13﹣12＝1．
方法二、小正方形的边长就是|a﹣b|，其面积是1，
故选：A．
22．（2022秋•大田县期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图，如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，下列四个说法：①a2+b2＝49，②a﹣b＝4，③2ab+4＝49，④a+b＝9．其中正确的是 ①③ ．
解：由题意可知，大正方形边长为7，小正方形边长为2，
∴a﹣b＝2，a2+b2＝49，
∴，
∴2ab＝45，
∴2ab+4＝49，
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝49﹣45＝4，（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49+45＝91，
∴a﹣b＝2，a+b＝，
∴正确的有①③，
故答案为：①③．
23．（2022秋•西安期中）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 148 ．
解：如图：
∵BC＝7，AD＝AC＝12，
∴CD＝AC+AD＝24，
在直角△BCD中，BD为斜边，
∴BD＝＝＝25，
∵BD+AD＝25+12＝37，
∴风车的外围周长为4×37＝148．
故答案为 148．
（2022秋•长沙期中）素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”．几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见．现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是 ①②③④ （填写数字序号即可）．
解：①由图形可知，，
整理得a2+b2＝c2，
故①符合题意；
②由图形可知，，
整理得a2+b2＝c2，
故②符合题意；
③由下图知，，
整理得a2+b2＝c2，
故③符合题意；
④由下图知，S△ABF＝S△ABC﹣S△BCF，
即，
∴，
∴DE＝c﹣，
由△ABE的面积公式得，
整理得a2+b2＝c2，
故④符合题意；
故答案为：①②③④．
25．（2022秋•城关区校级期中）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH＝6．求该图形的面积．
（1）证明：S小正方形＝（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2，
S小正方形＝c2﹣4×ab＝c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
∴a2+b2＝c2；
（2）解：∵AB+BC＝48÷4＝12，
设AH＝BC＝x，则AB＝12﹣x，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OH2+OG2＝GH2，
即62+（6+x）2＝（12﹣x）2，
解得：x＝2，
∴S＝×6×8×4＝96．
26．（2022秋•徐州期中）操作与探究
（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形；
（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c．请你利用图拼成的大正方形证明勾股定理．
解：（1）如图所示即为拼接成的大正方形；
（2）S大正方形＝4×ab+（b﹣a）2
＝2ab+b2﹣2ab+a2
＝a2+b2，
而S大正方形＝c2，
∴a2+b2＝c2．
27．（2022春•东莞市期末）数学之美，不仅是几何图形经过排列组合后呈现的炫美图案，还包括严谨推理引发的思维律动．已超过400种勾股定理的证明方法呈现的数学之美让我们陶醉，其中一种方法是：将两个全等的Rt△ABE和Rt△DEC如图所示摆放，使点A，E，D在同一条直线上，∠A＝∠D＝90°中，即可借助图中几何图形的面积关系来证明a2+b2＝c2．请写出证明过程．
证明：如图，连接BC，
∵Rt△ABE≌Rt△DEC，
∴∠AEB＝∠DCE，BE＝EC＝c，
∵∠D＝90°，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∵S梯形ABCD＝SRt△ABE+SRt△CDE+SRt△BEC，
∴，
即
∴，
∴a2+b2＝c2．
28．（2022春•宁波期中）图1是一个“有趣“的图形，它是由四个完全一样的直角三角形围成的一个大正方形ABCD，并且直角三角形的斜边又围成一个小正方形MNQP．已知每个直角三角形直角边分别是a，b（a＜b），斜边为c．根据这个图形我们可以得到一些很好用的结论．
（1）如图1，设中间的小正方形MNQP面积为S1，请用两种方法来表示S1．
（2）如图2，将四个三角形向里面翻折，刚好又能形成一个更小的正方形A'B'C′D'．已知正方形A'B'C′D'的边长为3，正方形ABCD的边长为9．请求出a，b的值．
（3）连结B'D'，若B'D′∥AD，请问∠DMN是多少度？请说明理由．
解：（1）根据题意，S1＝＝a2+b2，
S1＝c2；
（2）根据翻折可知，正方形A'B'C′D'的边长为b﹣a，
根据题意，可得，
解得，
∴a＝3，b＝6；
（3）∠DMN＝22.5°，理由如下：
∵B'D′∥AD，
∴∠B'D′M＝∠DMD′，
在正方形A'B'C′D'中，∠B′D′A′＝45°，
∴∠DMD′＝45°，
根据翻折，可知∠DMN＝∠D′MN＝22.5°，
∴∠DMN＝22.5°
3.1 勾股定理
知识点01：勾股定理
直角三角形 ．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么 ．
知识要点
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的 ．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以 求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， ．
知识点02：勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以．
知识点03：勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求 ；
用于解决 ；
3． 与勾股定理有关的
4．勾股定理在 中的应用．
考点01:直角三角形的性质
1．（2022秋•袁州区月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝55°，则∠B的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
2．（2022春•南岸区期末）如图，∠1＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
3．（2022秋•东莞市校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，则∠B＝ ．
4．（2022秋•桐乡市期中）将两块全等的直角三角板如图放置，其中一块三角板的斜边恰好经过另一块三角板的直角顶点O及斜边上的中点A，若这两块三角板的斜边长为13.6cm，则OA＝ ．
5．（2022秋•拱墅区期中）如图，以AB为斜边的Rt△ABC和Rt△ABD位于直线AB的同侧，连接CD，若∠BAC+∠ABD＝135°，AB＝8，则CD的长为 ．
6．（2022秋•招远市期中）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝56°，则∠B＝ °；
（2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
①如图，若AD是∠BAC的角平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠B＝28°，求∠AEB的度数．
7．（2022秋•曲周县月考）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是AC、BC边上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝60°，求∠1+∠2的度数；
（2）若点P在线段AB上运动，如图2所示，求∠α、∠1、∠2之间的数量关系．
8．（2021秋•庐阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠CEF＝∠CFE；
（2）若点E恰好在边AB的垂直平分线上，判断△CEF的形状，并说明理由．
考点02:勾股定理
9．（2022秋•杏花岭区校级期中）如果直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长是（ ）
A．12B．13C．5D．17
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3，则点D到AB的距离是（ ）
A．5B．4C．3D．2
11．（2022秋•惠山区期中）如图，直角三角形两条直角边AC、BC边长分别是4和3，则AB上的中线长为（ ）
A．5B．2.5C．2.4D．3
12．（2022秋•沙县期中）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为边向外作正方形ADEC，若图中阴影部分的面积为9cm2，BC＝4cm，则AB＝ cm．
13．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，且AD是BC边上的中线，DE⊥AC于E．若AB＝5，BC＝6，则DE的长为 ．
14．（2022秋•新昌县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，点M是线段CO延长线上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为 ．
15．（2022秋•宜州区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．
（1）若∠A＝35°，则∠CBE＝ °；
（2）若AC＝6，BC＝4，求△BCE的周长．
16．（2022秋•武汉期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，若∠ABC＝60°，FD＝10，求DC的长．
17．（2022秋•芗城区校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．
（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，求证：AB2＝AH2+BH2．
考点03:勾股定理的证明
18．（2022春•阳谷县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
19．（2021秋•介休市校级月考）我国古代的数学家很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．后人称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是在下列哪部著作中记载的？（ ）
A．《孙子算经》B．《海岛算经》C．《九章算术》D．《周髀算经》
20．（2021春•孝义市期中）如图，这个图案是我国汉代一位著名的数学家在注解《周髀算经》时给出的，利用此图可以证明勾股定理．这位数学家是（ ）
A．秦九韶B．祖冲之C．赵爽D．杨辉
21．（2021春•巴南区期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a﹣b）2的值是（ ）
A．1B．2C．12D．13
22．（2022秋•大田县期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图，如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，下列四个说法：①a2+b2＝49，②a﹣b＝4，③2ab+4＝49，④a+b＝9．其中正确的是 ．
23．（2022秋•西安期中）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．
（2022秋•长沙期中）素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”．几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见．现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友
是 （填写数字序号即可）．
25．（2022秋•城关区校级期中）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH＝6．求该图形的面积．
26．（2022秋•徐州期中）操作与探究
（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形；
（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c．请你利用图拼成的大正方形证明勾股定理．
27．（2022春•东莞市期末）数学之美，不仅是几何图形经过排列组合后呈现的炫美图案，还包括严谨推理引发的思维律动．已超过400种勾股定理的证明方法呈现的数学之美让我们陶醉，其中一种方法是：将两个全等的Rt△ABE和Rt△DEC如图所示摆放，使点A，E，D在同一条直线上，∠A＝∠D＝90°中，即可借助图中几何图形的面积关系来证明a2+b2＝c2．请写出证明过程．
28．（2022春•宁波期中）图1是一个“有趣“的图形，它是由四个完全一样的直角三角形围成的一个大正方形ABCD，并且直角三角形的斜边又围成一个小正方形MNQP．已知每个直角三角形直角边分别是a，b（a＜b），斜边为c．根据这个图形我们可以得到一些很好用的结论．
（1）如图1，设中间的小正方形MNQP面积为S1，请用两种方法来表示S1．
（2）如图2，将四个三角形向里面翻折，刚好又能形成一个更小的正方形A'B'C′D'．已知正方形A'B'C′D'的边长为3，正方形ABCD的边长为9．请求出a，b的值．
（3）连结B'D'，若B'D′∥AD，请问∠DMN是多少度？请说明理由．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）基础
第3章《勾股定理》
3.1 勾股定理
知识点01：勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．
知识要点
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， ．
知识点02：勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以．
知识点03：勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
用于解决带有平方关系的证明问题；
3． 与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
考点01:直角三角形的性质
1．（2022秋•袁州区月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝55°，则∠B的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝55°，
∴∠B＝35°，
故选：B．
2．（2022春•南岸区期末）如图，∠1＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
解：由题意可知：∠BAC＝∠1＝40°，
∴∠C＝90°﹣∠BAC＝50°，
故选：C．
3．（2022秋•东莞市校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，则∠B＝ 60° ．
解：由题意得：∠A+∠B＝90°，
∴x°+2x°＝90°，
x°＝30°，
∴2x°＝60°，
∴∠B＝60°．
故答案为：60°．
4．（2022秋•桐乡市期中）将两块全等的直角三角板如图放置，其中一块三角板的斜边恰好经过另一块三角板的直角顶点O及斜边上的中点A，若这两块三角板的斜边长为13.6cm，则OA＝ 6.8cm ．
解：∵OA是直角三角形斜边上的中线，
又∵这两块三角板的斜边长为13.6cm，
∴OA＝13.6÷2＝6.8（cm），
故答案为：6.8cm．
5．（2022秋•拱墅区期中）如图，以AB为斜边的Rt△ABC和Rt△ABD位于直线AB的同侧，连接CD，若∠BAC+∠ABD＝135°，AB＝8，则CD的长为 4 ．
解：取AB的中点H，连接CH、DH，
在Rt△ABC中，点H是AB的中点，
∴CH＝AB＝AH＝4，
∴∠HCA＝∠BAC，
∴∠AHC＝180°﹣2∠BAC，
同理可得，DH＝4，∠BHD＝180°﹣2∠ABD，
∵∠BAC+∠ABD＝135°，
∴∠CHD＝180°﹣∠AHC﹣∠BHD＝180°﹣（180°﹣2∠BAC）﹣（180°﹣2∠ABD）＝90°，
∴CD＝CH＝4，
故答案为：4．
6．（2022秋•招远市期中）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝56°，则∠B＝ 17 °；
（2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
①如图，若AD是∠BAC的角平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠B＝28°，求∠AEB的度数．
解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝56°，
∴∠A+2∠B＝90°，
∴∠B＝17°，
故答案为：17°；
（2）①△ABD是“准互余三角形”，
理由：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∴2∠BAD+∠B＝90°，
∴△ABD是“准互余三角形”，
②∵△ABE是“准互余三角形”
∴2∠EAB+∠ABC＝90°或∠EAB+2∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝28°∴∠EAB＝31°或∠EAB＝34°，
当∠EAB＝31°，∠ABC＝28°时，∠AEB＝121°，
当∠EAB＝34°，∠ABC＝28°时，∠AEB＝118°，
∴∠AEB的度数为：121°或118°．
7．（2022秋•曲周县月考）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是AC、BC边上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝60°，求∠1+∠2的度数；
（2）若点P在线段AB上运动，如图2所示，求∠α、∠1、∠2之间的数量关系．
解：（1）∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠α＝60°，
∴∠APD+∠BPE＝180°﹣60°＝120°，
∵∠1＝180°﹣∠APD﹣∠A，∠2＝180°﹣∠B﹣∠BPE，
∴∠1+∠2
＝180°﹣∠APD﹣∠A+180°﹣∠B﹣∠BPE
＝360°﹣（∠APD+∠BPE+∠A+∠B）
＝360°﹣（120°+90°）
＝150°，
∴∠1+∠2＝150°；
（2）∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠α+∠APD+∠BPE＝180°，
∴∠APD+∠BPE＝180°﹣∠α，
∵∠1＝180°﹣∠APD﹣∠A，∠2＝180°﹣∠B﹣∠BPE，
∴∠1+∠2
＝180°﹣∠APD﹣∠A+180°﹣∠B﹣∠BPE
＝360°﹣（180°﹣∠α+90°）
＝90°+∠α，
∴∠1+∠2＝90°+∠α．
8．（2021秋•庐阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠CEF＝∠CFE；
（2）若点E恰好在边AB的垂直平分线上，判断△CEF的形状，并说明理由．
（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠CEF+∠CBE＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BFD+∠ABE＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∵∠CFE＝∠BFD，
∴∠CEF＝∠CFE；
（2）解：△CEF是等边三角形，
理由如下：∵点E在边AB的垂直平分线上，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠ABE，
∵∠CBE＝∠ABE，∠ACB＝90°，
∴∠EAB＝∠ABE＝∠CBE＝30°，
∴∠CEF＝∠ABE+∠EAB＝60°，
∴∠CEF＝∠CFE＝60°，
∴△CEF是等边三角形．
考点02:勾股定理
9．（2022秋•杏花岭区校级期中）如果直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长是（ ）
A．12B．13C．5D．17
解：根据勾股定理得，斜边长＝＝13，
故选：B．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3，则点D到AB的距离是（ ）
A．5B．4C．3D．2
解：作DE⊥AB于E，如图，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
故选：C．
11．（2022秋•惠山区期中）如图，直角三角形两条直角边AC、BC边长分别是4和3，则AB上的中线长为（ ）
A．5B．2.5C．2.4D．3
解：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5．
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝2.5，
故选：B．
12．（2022秋•沙县期中）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为边向外作正方形ADEC，若图中阴影部分的面积为9cm2，BC＝4cm，则AB＝ 5 cm．
解：∵正方形ADEC的面积为9，
∴AC2＝9，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB＝＝＝5（cm），
故答案为：5．
13．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，且AD是BC边上的中线，DE⊥AC于E．若AB＝5，BC＝6，则DE的长为 ．
解：在△ABC中，AB＝AC，且AD是BC边上的中线，
∴BD＝，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝4，
∵DE⊥AC，
∴S，
∴DE＝＝，
故答案为：．
14．（2022秋•新昌县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，点M是线段CO延长线上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为 或 ．
解：当∠AMB＝90°时，
∵AO＝BO，AB＝2，
∴OM＝AB＝OB，
∵∠BOM＝∠AOC＝60°，
∴△BOM为等边三角形，
∴BM＝OB＝1，
∴AM＝＝＝；
当∠ABM＝90°时，如图2，
∵∠BOM＝∠AOC＝60°，
∴∠BMO＝30°，
∴OM＝2OB＝2，
∴BM＝＝，
∴AM＝＝，
综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为或，
故答案为：或．
15．（2022秋•宜州区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．
（1）若∠A＝35°，则∠CBE＝ 20 °；
（2）若AC＝6，BC＝4，求△BCE的周长．
解：（1）∵直线DE是边AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠EAB＝35°，
∴∠BEC＝∠A+∠EBA＝70°，
∴∠CBE＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴C△BCE＝BE+CE+BC＝AC+BC＝6+4＝10．
16．（2022秋•武汉期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，若∠ABC＝60°，FD＝10，求DC的长．
解：∵∠A＝∠C＝90°，∠A+∠C+∠ABC+∠ADC＝360°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠BCD，
∴∠EBC＝∠ABC＝30°，∠FDC＝∠ADC，
∴∠EBC+∠FDC＝90°，
∵∠DFC+∠FDC＝90°，
∴∠EBC＝∠DFC＝30°，
在Rt△FDC中，∠C＝90°，∠DFC＝30°
∴DC＝FD＝10×＝5．
17．（2022秋•芗城区校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．
（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，求证：AB2＝AH2+BH2．
证明：（1）在△BCD和△FCE中，
，
∴△BCD≌△FCE（SAS），
∴∠DBC＝∠EFC，
∴BD∥EF，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF；
（2）由题意补全图形如下：
延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，
∵AC⊥BF，BC＝CF，
∴AB＝AF，
由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，
∵AB2＝AE2+BD2，
∴AF2＝AE2+EF2，
∴∠AEF＝90°，
∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，
∴∠AHB＝90°，
∴AB2＝AH2+BH2．
考点03:勾股定理的证明
18．（2022春•阳谷县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理．
B、梯形的面积为：＝；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：＝，
∴＝，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理．
C、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：＝2ab+c2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理．
D、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
19．（2021秋•介休市校级月考）我国古代的数学家很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．后人称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是在下列哪部著作中记载的？（ ）
A．《孙子算经》B．《海岛算经》C．《九章算术》D．《周髀算经》
解：在《周髀算经》中赵爽提过”“赵爽弦图”，
故选：D．
20．（2021春•孝义市期中）如图，这个图案是我国汉代一位著名的数学家在注解《周髀算经》时给出的，利用此图可以证明勾股定理．这位数学家是（ ）
A．秦九韶B．祖冲之C．赵爽D．杨辉
解：由题意，可知这位伟大的数学家是赵爽．
故选：C．
21．（2021春•巴南区期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a﹣b）2的值是（ ）
A．1B．2C．12D．13
解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，
四个直角三角形的面积是：ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12
则（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13﹣12＝1．
方法二、小正方形的边长就是|a﹣b|，其面积是1，
故选：A．
22．（2022秋•大田县期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图，如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，下列四个说法：①a2+b2＝49，②a﹣b＝4，③2ab+4＝49，④a+b＝9．其中正确的是 ①③ ．
解：由题意可知，大正方形边长为7，小正方形边长为2，
∴a﹣b＝2，a2+b2＝49，
∴，
∴2ab＝45，
∴2ab+4＝49，
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝49﹣45＝4，（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49+45＝91，
∴a﹣b＝2，a+b＝，
∴正确的有①③，
故答案为：①③．
23．（2022秋•西安期中）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 148 ．
解：如图：
∵BC＝7，AD＝AC＝12，
∴CD＝AC+AD＝24，
在直角△BCD中，BD为斜边，
∴BD＝＝＝25，
∵BD+AD＝25+12＝37，
∴风车的外围周长为4×37＝148．
故答案为 148．
（2022秋•长沙期中）素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”．几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见．现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是 ①②③④ （填写数字序号即可）．
解：①由图形可知，，
整理得a2+b2＝c2，
故①符合题意；
②由图形可知，，
整理得a2+b2＝c2，
故②符合题意；
③由下图知，，
整理得a2+b2＝c2，
故③符合题意；
④由下图知，S△ABF＝S△ABC﹣S△BCF，
即，
∴，
∴DE＝c﹣，
由△ABE的面积公式得，
整理得a2+b2＝c2，
故④符合题意；
故答案为：①②③④．
25．（2022秋•城关区校级期中）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH＝6．求该图形的面积．
（1）证明：S小正方形＝（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2，
S小正方形＝c2﹣4×ab＝c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
∴a2+b2＝c2；
（2）解：∵AB+BC＝48÷4＝12，
设AH＝BC＝x，则AB＝12﹣x，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OH2+OG2＝GH2，
即62+（6+x）2＝（12﹣x）2，
解得：x＝2，
∴S＝×6×8×4＝96．
26．（2022秋•徐州期中）操作与探究
（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形；
（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c．请你利用图拼成的大正方形证明勾股定理．
解：（1）如图所示即为拼接成的大正方形；
（2）S大正方形＝4×ab+（b﹣a）2
＝2ab+b2﹣2ab+a2
＝a2+b2，
而S大正方形＝c2，
∴a2+b2＝c2．
27．（2022春•东莞市期末）数学之美，不仅是几何图形经过排列组合后呈现的炫美图案，还包括严谨推理引发的思维律动．已超过400种勾股定理的证明方法呈现的数学之美让我们陶醉，其中一种方法是：将两个全等的Rt△ABE和Rt△DEC如图所示摆放，使点A，E，D在同一条直线上，∠A＝∠D＝90°中，即可借助图中几何图形的面积关系来证明a2+b2＝c2．请写出证明过程．
证明：如图，连接BC，
∵Rt△ABE≌Rt△DEC，
∴∠AEB＝∠DCE，BE＝EC＝c，
∵∠D＝90°，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∵S梯形ABCD＝SRt△ABE+SRt△CDE+SRt△BEC，
∴，
即
∴，
∴a2+b2＝c2．
28．（2022春•宁波期中）图1是一个“有趣“的图形，它是由四个完全一样的直角三角形围成的一个大正方形ABCD，并且直角三角形的斜边又围成一个小正方形MNQP．已知每个直角三角形直角边分别是a，b（a＜b），斜边为c．根据这个图形我们可以得到一些很好用的结论．
（1）如图1，设中间的小正方形MNQP面积为S1，请用两种方法来表示S1．
（2）如图2，将四个三角形向里面翻折，刚好又能形成一个更小的正方形A'B'C′D'．已知正方形A'B'C′D'的边长为3，正方形ABCD的边长为9．请求出a，b的值．
（3）连结B'D'，若B'D′∥AD，请问∠DMN是多少度？请说明理由．
解：（1）根据题意，S1＝＝a2+b2，
S1＝c2；
（2）根据翻折可知，正方形A'B'C′D'的边长为b﹣a，
根据题意，可得，
解得，
∴a＝3，b＝6；
（3）∠DMN＝22.5°，理由如下：
∵B'D′∥AD，
∴∠B'D′M＝∠DMD′，
在正方形A'B'C′D'中，∠B′D′A′＝45°，
∴∠DMD′＝45°，
根据翻折，可知∠DMN＝∠D′MN＝22.5°，
∴∠DMN＝22.5°
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