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苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【4.1-4.2平方根与立方根】(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【4.1-4.2平方根与立方根】(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了1-4，算术平方根的定义，平方根的定义，25的平方根是0等内容，欢迎下载使用。
4.1-4.2 平方根与立方根
知识点1：平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的 （规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的 ”，叫做
要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个 ，即
2.平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的
知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含
（2）被开方数都是
（3）0的 均为0．
细节剖析
（1）正数的平方根有两个，它们 ，其中正的那个叫它的 ；负数 平方根．
（2）正数的两个平方根 ，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
知识点3：平方根的性质
知识:4：平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
知识点5：立方根的定义
如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做 .求一个数的立方根的运算，叫做
细节剖析
一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方
知识点6：立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是 ，负数的立方根是 ，0的立方根是
细节剖析
任何数都有 一个数的立方根 并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也
知识点7：立方根的性质
细节剖析
第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
知识点6：立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者 例如，，，，.
考点01:平方根
1．（2022秋•尤溪县期中）实数4的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．±4
2．（2022春•五华区校级期中）下列判断：
①0.25的平方根是0.5；
②只有正数才有平方根；
③（）2的平方根是±；
④﹣7是﹣49的一个平方根．
其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
3．（2022春•滨州期末）一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则a的值是（ ）
A．﹣2B．7C．﹣7D．49
4．（2022春•松江区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．任何正数都有平方根B．任何实数都有平方根
C．（﹣2）2的平方根是﹣2D．|﹣4|的平方根是2
5．（2022春•伊宁市校级期末）已知一个正数的两个平方根分别是3a+2和a+14，则这个正数是 ．
6．（2022春•乾安县期末）“平方根”节是数学爱好者的节日，这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的算术平方根，例如2009年的3月3日，2016年的4月4日，请你再写出本世纪你喜欢的一个“平方根”节（题中所举例子除外） 年 月 日．
7．（2021春•潮阳区期末）若一个正数的两个平方根分别是2a+1和﹣a+2，则这个正数是 ．
8．（2021秋•江阴市期中）若正数x的两个平方根为2m﹣3和4m﹣5，求x的值．
9．（2019春•西工区校级月考）求下列各式中的x的值：
（1）x2＝25； （2）（x﹣3）2＝49．
（2019秋•江阴市校级月考）已知5x﹣1的平方根是±3，4x+2y+1的平方根是±1，求4x﹣2y的平方根．
考点02:算术平方根
（2022秋•六盘水期中）根据以下程序，当输入2时，输出结果为（ ）
A．B．C．2D．3
12．（2022秋•六盘水期中）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是
B．﹣25的算术平方根是5
C．（﹣5）2的平方根是﹣5
D．0的平方根和算术平方根都是0
13．（2022秋•西安月考）的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．±4
14．（2022秋•莲湖区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．﹣4的平方根是±2
B．﹣4的算术平方根是﹣2
C．的平方根是±4
D．0的平方根与算术平方根都是0
15．（2022春•仓山区校级月考）已知，，那么＝ ．
16．（2021秋•揭阳月考）如图，将1，，，按下列方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，2）与（15，7）表示的两数之积是 ．
17．（2021春•东昌府区期中）观察下列各式：＝2；＝3；＝4…请你将猜想到的规律用自然数n的代数式表示出来： ．
18．（2022秋•市北区校级月考）在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3：1，面积为75 cm2的长方形．
（1）求长方形的长和宽；
（2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由．
19．（2022春•扶沟县期末）如图，用两个边长为cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为3：2，且面积为30cm2？请说明理由．
20．（2021春•汉阴县期末）阅读下列解题过程：＝＝＝；＝＝＝；＝＝＝；…
（1）＝ ，＝ ．
（2）观察上面的解题过程，则＝ （n为自然数）
（3）利用这一规律计算：．
考点03:非负数的性质：算术平方根
21．（2022秋•农安县期中）若，则mn的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
22．（2022春•通海县期末）已知+|b﹣1|＝0．那么（a+b）2023的值为（ ）
A．﹣1B．1C．32023D．﹣32023
23．（2021秋•宁远县期末）若互为相反数，则xy的值为（ ）
A．﹣6B．﹣5C．5D．6
24．（2022春•上海期末）若与|b+2|互为相反数，则（a﹣b）2＝ ．
25．（2020春•越城区期末）若+＝0，则x+y＝ ．
26．（2021春•喜德县校级期末）若实数a、b满足，则＝ ．
27．（2016秋•苏州期中）（1）已知与互为相反数，求（x﹣y）2的平方根；
（2）已知|a|＝6，b2＝4，求．
考点04:立方根
28．（2022秋•盐都区期中）下列说法正确的是（ ）
A．9的平方根3
B．
C．﹣9没有立方根
D．平方根等于本身的数只有0
29．（2022秋•南召县期中）下列说法不正确的是（ ）
A．25的平方根是±5B．﹣9是81的一个平方根
C．4的算术平方根是±2D．﹣27的立方根是﹣3
30．（2022秋•泌阳县校级期中）若8是8a的一个平方根，则a的立方根是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
31．（2022春•康巴什期末）有一个数值转换器，流程如下：
当输入的x值为64时，输出的y值是 ．
32．（2022秋•未央区校级期中）＝ ；＝ ．
33．（2021秋•凤城市期中）一个正方体木块的体积为1000cm3，现要把它锯成64块同样大小的正方体小木块，则小木块的棱长为 cm．
34．（2022秋•济阳区校级月考）解方程．
（1）4x2＝100； （2）8（x+1）2＝32； （3）（x﹣1）3＝﹣64．
35．（2021秋•兴化市期末）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：＝0.01，＝0.1，＝1，＝10，＝100，……
（1）已知≈4.47，求的值；
（2）已知≈1.918，≈191.8，求a的值；
（3）根据上述探究方法，尝试解决问题：已知≈1.26，≈12.6，用含n的代数式表示m．
36．（2022春•仓山区校级期中）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是2，求2a﹣b的平方根．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第4章《实数》
4.1-4.2 平方根与立方根
知识点1：平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2.平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
细节剖析
（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
知识点3：平方根的性质
知识:4：平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
知识点5：立方根的定义
如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
细节剖析
一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
知识点6：立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
细节剖析
任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
知识点7：立方根的性质
细节剖析
第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
知识点6：立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.
考点01:平方根
1．（2022秋•尤溪县期中）实数4的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．±4
解：∵22＝4，
∴4的平方根是2，
即±＝±2．
故选：C．
2．（2022春•五华区校级期中）下列判断：
①0.25的平方根是0.5；
②只有正数才有平方根；
③（）2的平方根是±；
④﹣7是﹣49的一个平方根．
其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
解：①0.25的平方根是±0.5，原说法错误；
②只有正数才有平方根，0也有平方根，原说法错误；
③（）2的平方根是±，原说法正确；
④﹣7不是﹣49的平方根，负数没有平方根，原说法错误．
所以正确的有1个；
故选：A．
3．（2022春•滨州期末）一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则a的值是（ ）
A．﹣2B．7C．﹣7D．49
解：∵2x﹣3与5﹣x是正数a的平方根，
∴2x﹣3+5﹣x＝0．
解得x＝﹣2．
∴2x﹣3＝﹣7，5﹣x＝7．
∵（±7）2＝49．
∴a的值为49．
故选：D．
4．（2022春•松江区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．任何正数都有平方根B．任何实数都有平方根
C．（﹣2）2的平方根是﹣2D．|﹣4|的平方根是2
解：A、任何正数都有平方根，正确，符合题意；
B、负数没有平方根，故本选项错误，不符合题意；
C、（﹣2）2的平方根是±2，故本选项错误，不符合题意；
D、|﹣4|的平方根是±2，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
5．（2022春•伊宁市校级期末）已知一个正数的两个平方根分别是3a+2和a+14，则这个正数是 100 ．
解：∵一个正数的两个平方根分别是3a+2和a+14，
∴3a+2+a+14＝0，
解得：a＝﹣4，
3a+2＝﹣10，
则这个正数为100．
故答案为：100．
6．（2022春•乾安县期末）“平方根”节是数学爱好者的节日，这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的算术平方根，例如2009年的3月3日，2016年的4月4日，请你再写出本世纪你喜欢的一个“平方根”节（题中所举例子除外） 2025 年 5 月 5 日．
解：2025年5月5日（答案不唯一）．
故答案是：2025，5，5．
7．（2021春•潮阳区期末）若一个正数的两个平方根分别是2a+1和﹣a+2，则这个正数是 25 ．
解：∵是2a+1和﹣a+2是一个正数的两个平方根，
∴2a+1＝﹣（﹣a+2）
解得：a＝﹣3，
∴﹣a+2＝5，
∴这个正数是 52＝25，
故答案为 25．
8．（2021秋•江阴市期中）若正数x的两个平方根为2m﹣3和4m﹣5，求x的值．
解：∵一个正数的平方根是2m﹣3和4m﹣5，
∴2m﹣3+4m﹣5＝0，
解得：m＝，
即这个正数是[2×﹣3]2＝．
9．（2019春•西工区校级月考）求下列各式中的x的值：
（1）x2＝25；
（2）（x﹣3）2＝49．
解：（1）开方，得
x＝±5，
x1＝5，x2＝﹣5；
（2）开方，得
x﹣3＝±7．
x1＝10，x2＝﹣4．
10．（2019秋•江阴市校级月考）已知5x﹣1的平方根是±3，4x+2y+1的平方根是±1，求4x﹣2y的平方根．
解：因为5x﹣1的平方根是±3，4x+2y+1的平方根是±1，
可得：5x﹣1＝9，解得x＝2，4x+2y+1＝1，解得y＝﹣4，
把x＝2，y＝﹣4代入4x﹣2y＝16，其平方根为±4．
考点01:算术平方根
11．（2022秋•六盘水期中）根据以下程序，当输入2时，输出结果为（ ）
A．B．C．2D．3
解：当x＝2时，＝＝＞，
当x＝时，＝＝＜，
所以输出结果为．
故选：A．
12．（2022秋•六盘水期中）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是
B．﹣25的算术平方根是5
C．（﹣5）2的平方根是﹣5
D．0的平方根和算术平方根都是0
解：A． 的平方根为±，所以A选项不符合题意；
B．﹣25没有算术平方根，所以B选项不符合题意；
C． （﹣5）2＝25，25的平方根为±5，所以C选项不符合题意；
D．0的平方根为0，0的算术平方根为0，所以D选项符合题意．
故选：D．
13．（2022秋•西安月考）的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．±4
解：∵＝4，
∴的平方根是±＝±2．
故选：C．
14．（2022秋•莲湖区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．﹣4的平方根是±2
B．﹣4的算术平方根是﹣2
C．的平方根是±4
D．0的平方根与算术平方根都是0
解：A．﹣4没有平方根，因此选项A不符合题意；
B．﹣4没有平方根，也没有算术平方根，因此选项B不符合题意；
C.的平方根，即4的平方根，4的平方根为＝±2，因此选项C不符合题意；
D.0的平方根和算术平方根都是0，因此选项D符合题意；
故选：D．
15．（2022春•仓山区校级月考）已知，，那么＝ ﹣0.04147 ．
解：∵，，
∴＝﹣0.04147．
故答案为：﹣0.04147
16．（2021秋•揭阳月考）如图，将1，，，按下列方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，2）与（15，7）表示的两数之积是 6 ．
解：（5，2）表示的数是，
前14排共有：1+2+3+4+...+14＝105，
105÷4＝26…1，
∴第15排的第1个数是，
∴第15排的第7个数是，
∴×＝6，
故答案为：6．
17．（2021春•东昌府区期中）观察下列各式：＝2；＝3；＝4…请你将猜想到的规律用自然数n的代数式表示出来： ．
解：根据式子可得：根号内第一个数和第二个数的分母相差为2，结果为第一个数和第二个数的分母和的一半与第二个数的算术平方根的积；
所以规律用自然数n的代数式表示为：，
故答案为：，
18．（2022秋•市北区校级月考）在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3：1，面积为75 cm2的长方形．
（1）求长方形的长和宽；
（2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由．
解：（1）根据题意设长方形的长为3xcm，宽为xcm，
则3x•x＝75，
即x2＝25，
∵x＞0，
∴x＝5，
∴3x＝15，
答：长方形的长为15cm，宽为5cm．
（2）设正方形的边长为ycm，根据题意可得，
y2＝75，
∵y＞0，
∴，
∵原来长方形的宽为5cm，
∴正方形的边长与长方形的宽之差为：，
∵，
即，
∴，
所以她的说法正确．
19．（2022春•扶沟县期末）如图，用两个边长为cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为3：2，且面积为30cm2？请说明理由．
解：不能，
因为大正方形纸片的面积为（）2+（）2＝36cm2，
所以大正方形的边长为6cm，
设截出的长方形的长为3bcm，宽为2bcm，
则6b2＝30，
所以b＝（取正值），
所以3b＝3＝＞，
所以不能截得长宽之比为3：2，且面积为30cm2的长方形纸片．
20．（2021春•汉阴县期末）阅读下列解题过程：＝＝＝；＝＝＝；＝＝＝；…
（1）＝ ，＝ ．
（2）观察上面的解题过程，则＝ （n为自然数）
（3）利用这一规律计算：．
解：（1）＝，＝，故答案为：，．
（2）观察上面的解题过程，则＝＝，故答案为：；
（3）原式＝
＝
＝．
考点01:非负数的性质：算术平方根
21．（2022秋•农安县期中）若，则mn的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
解：∵（m+1）2≥0，，
∴当，则m+1＝0，n﹣2＝0．
∴m＝﹣1，n＝2．
∴mn＝（﹣1）2＝1．
故选：C．
22．（2022春•通海县期末）已知+|b﹣1|＝0．那么（a+b）2023的值为（ ）
A．﹣1B．1C．32023D．﹣32023
解：∵+|b﹣1|＝0．
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
即a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2023＝（﹣2+1）2023＝﹣1，
故选：A．
23．（2021秋•宁远县期末）若互为相反数，则xy的值为（ ）
A．﹣6B．﹣5C．5D．6
解：∵|x﹣1|与互为相反数，
∴|x﹣1|+＝0，
∴x﹣1＝0，y+5＝0，
∴x＝1，y＝﹣5，
∴xy＝1×（﹣5）＝﹣5．
故选：B．
24．（2022春•上海期末）若与|b+2|互为相反数，则（a﹣b）2＝ 9 ．
解：∵与|b+2|互为相反数，
∴+|b+2|＝0，
∴2a﹣2＝0，b+2＝0，
解得a＝1，b＝﹣2，
∴（a﹣b）2＝[1﹣（﹣2）]2＝9．
故答案为：9．
25．（2020春•越城区期末）若+＝0，则x+y＝ 10 ．
解：根据题意，得x﹣8＝0，y﹣2＝0，
所以x＝8，y＝2，
所以x+y＝8+2＝10，
故答案为：10．
26．（2021春•喜德县校级期末）若实数a、b满足，则＝ ．
解：根据题意得：，
解得：，
则原式＝﹣．
故答案是：﹣．
27．（2016秋•苏州期中）（1）已知与互为相反数，求（x﹣y）2的平方根；
（2）已知|a|＝6，b2＝4，求．
解：（1）∵与互为相反数，
∴，
解得：，
∴（x﹣y）2的平方根是±3，
（2）∵|a|＝6，b2＝4，
∴a＝±6，b＝±2，
∴a+2b＝±10，或±2，
∵a+2b＞0，
∴＝，或＝．
考点01:立方根
28．（2022秋•盐都区期中）下列说法正确的是（ ）
A．9的平方根3
B．
C．﹣9没有立方根
D．平方根等于本身的数只有0
解：A、9的平方根是3和﹣3，不符合题意；
B、＝4，不符合题意；
C、﹣9的立方根是﹣，不符合题意；
D、平方根等于本身的数只有0，符合题意．
故选：D．
29．（2022秋•南召县期中）下列说法不正确的是（ ）
A．25的平方根是±5B．﹣9是81的一个平方根
C．4的算术平方根是±2D．﹣27的立方根是﹣3
解：A.25的平方根是±5，说法正确，选项不符合题意；
B．﹣9是81的一个平方根，说法正确，选项不符合题意；
C.4的算术平方根是2，不是±2，说法错误，选项符合题意；
D．﹣27的立方根是﹣3，说法正确，选项不符合题意；
故选：C．
30．（2022秋•泌阳县校级期中）若8是8a的一个平方根，则a的立方根是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
解：∵8是8a的一个平方根，
∴8a＝64，
即a＝8，
∴a的立方根是＝2，
故选：D．
31．（2022春•康巴什期末）有一个数值转换器，流程如下：
当输入的x值为64时，输出的y值是 ．
解：＝8，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2的算术平方根是．
故答案为：．
32．（2022秋•未央区校级期中）＝ 3 ；＝ ．
解：＝3，．
故答案为：3，．
33．（2021秋•凤城市期中）一个正方体木块的体积为1000cm3，现要把它锯成64块同样大小的正方体小木块，则小木块的棱长为 cm．
解：根据题意得：＝，
则小木块的棱长是cm，
故答案为：．
34．（2022秋•济阳区校级月考）解方程．
（1）4x2＝100；
（2）8（x+1）2＝32；
（3）（x﹣1）3＝﹣64．
解：（1）4x2＝100，
x2＝25，
x＝±5；
（2）8（x+1）2＝32，
（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
x＝1或x＝﹣3；
（3）（x﹣1）3＝﹣64，
x﹣1＝﹣4，
x＝﹣3．
35．（2021秋•兴化市期末）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：＝0.01，＝0.1，＝1，＝10，＝100，……
（1）已知≈4.47，求的值；
（2）已知≈1.918，≈191.8，求a的值；
（3）根据上述探究方法，尝试解决问题：已知≈1.26，≈12.6，用含n的代数式表示m．
解：（1）∵≈4.47，
∴＝≈4.47×10＝44.7．
（2）∵191.8＝1.918×100，
∴＝＝＝．
∴a＝36800．
（3）∵1.26×10＝12.6，
∴．
∴．
∴1000n＝m，即m＝1000n．
36．（2022春•仓山区校级期中）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是2，求2a﹣b的平方根．
解：∵2a﹣1的平方根是±3，
∴2a﹣1＝9，
a＝5，
∵3a+b﹣1的立方根是2，
∴3a+b﹣1＝8，
∴b＝﹣6，
∴2a﹣b＝16，
∴2a﹣b的平方根是±4
4.1-4.2 平方根与立方根
知识点1：平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的 （规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的 ”，叫做
要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个 ，即
2.平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的
知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含
（2）被开方数都是
（3）0的 均为0．
细节剖析
（1）正数的平方根有两个，它们 ，其中正的那个叫它的 ；负数 平方根．
（2）正数的两个平方根 ，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
知识点3：平方根的性质
知识:4：平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
知识点5：立方根的定义
如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做 .求一个数的立方根的运算，叫做
细节剖析
一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方
知识点6：立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是 ，负数的立方根是 ，0的立方根是
细节剖析
任何数都有 一个数的立方根 并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也
知识点7：立方根的性质
细节剖析
第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
知识点6：立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者 例如，，，，.
考点01:平方根
1．（2022秋•尤溪县期中）实数4的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．±4
2．（2022春•五华区校级期中）下列判断：
①0.25的平方根是0.5；
②只有正数才有平方根；
③（）2的平方根是±；
④﹣7是﹣49的一个平方根．
其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
3．（2022春•滨州期末）一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则a的值是（ ）
A．﹣2B．7C．﹣7D．49
4．（2022春•松江区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．任何正数都有平方根B．任何实数都有平方根
C．（﹣2）2的平方根是﹣2D．|﹣4|的平方根是2
5．（2022春•伊宁市校级期末）已知一个正数的两个平方根分别是3a+2和a+14，则这个正数是 ．
6．（2022春•乾安县期末）“平方根”节是数学爱好者的节日，这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的算术平方根，例如2009年的3月3日，2016年的4月4日，请你再写出本世纪你喜欢的一个“平方根”节（题中所举例子除外） 年 月 日．
7．（2021春•潮阳区期末）若一个正数的两个平方根分别是2a+1和﹣a+2，则这个正数是 ．
8．（2021秋•江阴市期中）若正数x的两个平方根为2m﹣3和4m﹣5，求x的值．
9．（2019春•西工区校级月考）求下列各式中的x的值：
（1）x2＝25； （2）（x﹣3）2＝49．
（2019秋•江阴市校级月考）已知5x﹣1的平方根是±3，4x+2y+1的平方根是±1，求4x﹣2y的平方根．
考点02:算术平方根
（2022秋•六盘水期中）根据以下程序，当输入2时，输出结果为（ ）
A．B．C．2D．3
12．（2022秋•六盘水期中）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是
B．﹣25的算术平方根是5
C．（﹣5）2的平方根是﹣5
D．0的平方根和算术平方根都是0
13．（2022秋•西安月考）的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．±4
14．（2022秋•莲湖区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．﹣4的平方根是±2
B．﹣4的算术平方根是﹣2
C．的平方根是±4
D．0的平方根与算术平方根都是0
15．（2022春•仓山区校级月考）已知，，那么＝ ．
16．（2021秋•揭阳月考）如图，将1，，，按下列方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，2）与（15，7）表示的两数之积是 ．
17．（2021春•东昌府区期中）观察下列各式：＝2；＝3；＝4…请你将猜想到的规律用自然数n的代数式表示出来： ．
18．（2022秋•市北区校级月考）在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3：1，面积为75 cm2的长方形．
（1）求长方形的长和宽；
（2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由．
19．（2022春•扶沟县期末）如图，用两个边长为cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为3：2，且面积为30cm2？请说明理由．
20．（2021春•汉阴县期末）阅读下列解题过程：＝＝＝；＝＝＝；＝＝＝；…
（1）＝ ，＝ ．
（2）观察上面的解题过程，则＝ （n为自然数）
（3）利用这一规律计算：．
考点03:非负数的性质：算术平方根
21．（2022秋•农安县期中）若，则mn的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
22．（2022春•通海县期末）已知+|b﹣1|＝0．那么（a+b）2023的值为（ ）
A．﹣1B．1C．32023D．﹣32023
23．（2021秋•宁远县期末）若互为相反数，则xy的值为（ ）
A．﹣6B．﹣5C．5D．6
24．（2022春•上海期末）若与|b+2|互为相反数，则（a﹣b）2＝ ．
25．（2020春•越城区期末）若+＝0，则x+y＝ ．
26．（2021春•喜德县校级期末）若实数a、b满足，则＝ ．
27．（2016秋•苏州期中）（1）已知与互为相反数，求（x﹣y）2的平方根；
（2）已知|a|＝6，b2＝4，求．
考点04:立方根
28．（2022秋•盐都区期中）下列说法正确的是（ ）
A．9的平方根3
B．
C．﹣9没有立方根
D．平方根等于本身的数只有0
29．（2022秋•南召县期中）下列说法不正确的是（ ）
A．25的平方根是±5B．﹣9是81的一个平方根
C．4的算术平方根是±2D．﹣27的立方根是﹣3
30．（2022秋•泌阳县校级期中）若8是8a的一个平方根，则a的立方根是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
31．（2022春•康巴什期末）有一个数值转换器，流程如下：
当输入的x值为64时，输出的y值是 ．
32．（2022秋•未央区校级期中）＝ ；＝ ．
33．（2021秋•凤城市期中）一个正方体木块的体积为1000cm3，现要把它锯成64块同样大小的正方体小木块，则小木块的棱长为 cm．
34．（2022秋•济阳区校级月考）解方程．
（1）4x2＝100； （2）8（x+1）2＝32； （3）（x﹣1）3＝﹣64．
35．（2021秋•兴化市期末）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：＝0.01，＝0.1，＝1，＝10，＝100，……
（1）已知≈4.47，求的值；
（2）已知≈1.918，≈191.8，求a的值；
（3）根据上述探究方法，尝试解决问题：已知≈1.26，≈12.6，用含n的代数式表示m．
36．（2022春•仓山区校级期中）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是2，求2a﹣b的平方根．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第4章《实数》
4.1-4.2 平方根与立方根
知识点1：平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2.平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
细节剖析
（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
知识点3：平方根的性质
知识:4：平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
知识点5：立方根的定义
如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
细节剖析
一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
知识点6：立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
细节剖析
任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
知识点7：立方根的性质
细节剖析
第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
知识点6：立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.
考点01:平方根
1．（2022秋•尤溪县期中）实数4的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．±4
解：∵22＝4，
∴4的平方根是2，
即±＝±2．
故选：C．
2．（2022春•五华区校级期中）下列判断：
①0.25的平方根是0.5；
②只有正数才有平方根；
③（）2的平方根是±；
④﹣7是﹣49的一个平方根．
其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
解：①0.25的平方根是±0.5，原说法错误；
②只有正数才有平方根，0也有平方根，原说法错误；
③（）2的平方根是±，原说法正确；
④﹣7不是﹣49的平方根，负数没有平方根，原说法错误．
所以正确的有1个；
故选：A．
3．（2022春•滨州期末）一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则a的值是（ ）
A．﹣2B．7C．﹣7D．49
解：∵2x﹣3与5﹣x是正数a的平方根，
∴2x﹣3+5﹣x＝0．
解得x＝﹣2．
∴2x﹣3＝﹣7，5﹣x＝7．
∵（±7）2＝49．
∴a的值为49．
故选：D．
4．（2022春•松江区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．任何正数都有平方根B．任何实数都有平方根
C．（﹣2）2的平方根是﹣2D．|﹣4|的平方根是2
解：A、任何正数都有平方根，正确，符合题意；
B、负数没有平方根，故本选项错误，不符合题意；
C、（﹣2）2的平方根是±2，故本选项错误，不符合题意；
D、|﹣4|的平方根是±2，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
5．（2022春•伊宁市校级期末）已知一个正数的两个平方根分别是3a+2和a+14，则这个正数是 100 ．
解：∵一个正数的两个平方根分别是3a+2和a+14，
∴3a+2+a+14＝0，
解得：a＝﹣4，
3a+2＝﹣10，
则这个正数为100．
故答案为：100．
6．（2022春•乾安县期末）“平方根”节是数学爱好者的节日，这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的算术平方根，例如2009年的3月3日，2016年的4月4日，请你再写出本世纪你喜欢的一个“平方根”节（题中所举例子除外） 2025 年 5 月 5 日．
解：2025年5月5日（答案不唯一）．
故答案是：2025，5，5．
7．（2021春•潮阳区期末）若一个正数的两个平方根分别是2a+1和﹣a+2，则这个正数是 25 ．
解：∵是2a+1和﹣a+2是一个正数的两个平方根，
∴2a+1＝﹣（﹣a+2）
解得：a＝﹣3，
∴﹣a+2＝5，
∴这个正数是 52＝25，
故答案为 25．
8．（2021秋•江阴市期中）若正数x的两个平方根为2m﹣3和4m﹣5，求x的值．
解：∵一个正数的平方根是2m﹣3和4m﹣5，
∴2m﹣3+4m﹣5＝0，
解得：m＝，
即这个正数是[2×﹣3]2＝．
9．（2019春•西工区校级月考）求下列各式中的x的值：
（1）x2＝25；
（2）（x﹣3）2＝49．
解：（1）开方，得
x＝±5，
x1＝5，x2＝﹣5；
（2）开方，得
x﹣3＝±7．
x1＝10，x2＝﹣4．
10．（2019秋•江阴市校级月考）已知5x﹣1的平方根是±3，4x+2y+1的平方根是±1，求4x﹣2y的平方根．
解：因为5x﹣1的平方根是±3，4x+2y+1的平方根是±1，
可得：5x﹣1＝9，解得x＝2，4x+2y+1＝1，解得y＝﹣4，
把x＝2，y＝﹣4代入4x﹣2y＝16，其平方根为±4．
考点01:算术平方根
11．（2022秋•六盘水期中）根据以下程序，当输入2时，输出结果为（ ）
A．B．C．2D．3
解：当x＝2时，＝＝＞，
当x＝时，＝＝＜，
所以输出结果为．
故选：A．
12．（2022秋•六盘水期中）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是
B．﹣25的算术平方根是5
C．（﹣5）2的平方根是﹣5
D．0的平方根和算术平方根都是0
解：A． 的平方根为±，所以A选项不符合题意；
B．﹣25没有算术平方根，所以B选项不符合题意；
C． （﹣5）2＝25，25的平方根为±5，所以C选项不符合题意；
D．0的平方根为0，0的算术平方根为0，所以D选项符合题意．
故选：D．
13．（2022秋•西安月考）的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．±4
解：∵＝4，
∴的平方根是±＝±2．
故选：C．
14．（2022秋•莲湖区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．﹣4的平方根是±2
B．﹣4的算术平方根是﹣2
C．的平方根是±4
D．0的平方根与算术平方根都是0
解：A．﹣4没有平方根，因此选项A不符合题意；
B．﹣4没有平方根，也没有算术平方根，因此选项B不符合题意；
C.的平方根，即4的平方根，4的平方根为＝±2，因此选项C不符合题意；
D.0的平方根和算术平方根都是0，因此选项D符合题意；
故选：D．
15．（2022春•仓山区校级月考）已知，，那么＝ ﹣0.04147 ．
解：∵，，
∴＝﹣0.04147．
故答案为：﹣0.04147
16．（2021秋•揭阳月考）如图，将1，，，按下列方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，2）与（15，7）表示的两数之积是 6 ．
解：（5，2）表示的数是，
前14排共有：1+2+3+4+...+14＝105，
105÷4＝26…1，
∴第15排的第1个数是，
∴第15排的第7个数是，
∴×＝6，
故答案为：6．
17．（2021春•东昌府区期中）观察下列各式：＝2；＝3；＝4…请你将猜想到的规律用自然数n的代数式表示出来： ．
解：根据式子可得：根号内第一个数和第二个数的分母相差为2，结果为第一个数和第二个数的分母和的一半与第二个数的算术平方根的积；
所以规律用自然数n的代数式表示为：，
故答案为：，
18．（2022秋•市北区校级月考）在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3：1，面积为75 cm2的长方形．
（1）求长方形的长和宽；
（2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由．
解：（1）根据题意设长方形的长为3xcm，宽为xcm，
则3x•x＝75，
即x2＝25，
∵x＞0，
∴x＝5，
∴3x＝15，
答：长方形的长为15cm，宽为5cm．
（2）设正方形的边长为ycm，根据题意可得，
y2＝75，
∵y＞0，
∴，
∵原来长方形的宽为5cm，
∴正方形的边长与长方形的宽之差为：，
∵，
即，
∴，
所以她的说法正确．
19．（2022春•扶沟县期末）如图，用两个边长为cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为3：2，且面积为30cm2？请说明理由．
解：不能，
因为大正方形纸片的面积为（）2+（）2＝36cm2，
所以大正方形的边长为6cm，
设截出的长方形的长为3bcm，宽为2bcm，
则6b2＝30，
所以b＝（取正值），
所以3b＝3＝＞，
所以不能截得长宽之比为3：2，且面积为30cm2的长方形纸片．
20．（2021春•汉阴县期末）阅读下列解题过程：＝＝＝；＝＝＝；＝＝＝；…
（1）＝ ，＝ ．
（2）观察上面的解题过程，则＝ （n为自然数）
（3）利用这一规律计算：．
解：（1）＝，＝，故答案为：，．
（2）观察上面的解题过程，则＝＝，故答案为：；
（3）原式＝
＝
＝．
考点01:非负数的性质：算术平方根
21．（2022秋•农安县期中）若，则mn的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
解：∵（m+1）2≥0，，
∴当，则m+1＝0，n﹣2＝0．
∴m＝﹣1，n＝2．
∴mn＝（﹣1）2＝1．
故选：C．
22．（2022春•通海县期末）已知+|b﹣1|＝0．那么（a+b）2023的值为（ ）
A．﹣1B．1C．32023D．﹣32023
解：∵+|b﹣1|＝0．
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
即a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2023＝（﹣2+1）2023＝﹣1，
故选：A．
23．（2021秋•宁远县期末）若互为相反数，则xy的值为（ ）
A．﹣6B．﹣5C．5D．6
解：∵|x﹣1|与互为相反数，
∴|x﹣1|+＝0，
∴x﹣1＝0，y+5＝0，
∴x＝1，y＝﹣5，
∴xy＝1×（﹣5）＝﹣5．
故选：B．
24．（2022春•上海期末）若与|b+2|互为相反数，则（a﹣b）2＝ 9 ．
解：∵与|b+2|互为相反数，
∴+|b+2|＝0，
∴2a﹣2＝0，b+2＝0，
解得a＝1，b＝﹣2，
∴（a﹣b）2＝[1﹣（﹣2）]2＝9．
故答案为：9．
25．（2020春•越城区期末）若+＝0，则x+y＝ 10 ．
解：根据题意，得x﹣8＝0，y﹣2＝0，
所以x＝8，y＝2，
所以x+y＝8+2＝10，
故答案为：10．
26．（2021春•喜德县校级期末）若实数a、b满足，则＝ ．
解：根据题意得：，
解得：，
则原式＝﹣．
故答案是：﹣．
27．（2016秋•苏州期中）（1）已知与互为相反数，求（x﹣y）2的平方根；
（2）已知|a|＝6，b2＝4，求．
解：（1）∵与互为相反数，
∴，
解得：，
∴（x﹣y）2的平方根是±3，
（2）∵|a|＝6，b2＝4，
∴a＝±6，b＝±2，
∴a+2b＝±10，或±2，
∵a+2b＞0，
∴＝，或＝．
考点01:立方根
28．（2022秋•盐都区期中）下列说法正确的是（ ）
A．9的平方根3
B．
C．﹣9没有立方根
D．平方根等于本身的数只有0
解：A、9的平方根是3和﹣3，不符合题意；
B、＝4，不符合题意；
C、﹣9的立方根是﹣，不符合题意；
D、平方根等于本身的数只有0，符合题意．
故选：D．
29．（2022秋•南召县期中）下列说法不正确的是（ ）
A．25的平方根是±5B．﹣9是81的一个平方根
C．4的算术平方根是±2D．﹣27的立方根是﹣3
解：A.25的平方根是±5，说法正确，选项不符合题意；
B．﹣9是81的一个平方根，说法正确，选项不符合题意；
C.4的算术平方根是2，不是±2，说法错误，选项符合题意；
D．﹣27的立方根是﹣3，说法正确，选项不符合题意；
故选：C．
30．（2022秋•泌阳县校级期中）若8是8a的一个平方根，则a的立方根是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
解：∵8是8a的一个平方根，
∴8a＝64，
即a＝8，
∴a的立方根是＝2，
故选：D．
31．（2022春•康巴什期末）有一个数值转换器，流程如下：
当输入的x值为64时，输出的y值是 ．
解：＝8，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2的算术平方根是．
故答案为：．
32．（2022秋•未央区校级期中）＝ 3 ；＝ ．
解：＝3，．
故答案为：3，．
33．（2021秋•凤城市期中）一个正方体木块的体积为1000cm3，现要把它锯成64块同样大小的正方体小木块，则小木块的棱长为 cm．
解：根据题意得：＝，
则小木块的棱长是cm，
故答案为：．
34．（2022秋•济阳区校级月考）解方程．
（1）4x2＝100；
（2）8（x+1）2＝32；
（3）（x﹣1）3＝﹣64．
解：（1）4x2＝100，
x2＝25，
x＝±5；
（2）8（x+1）2＝32，
（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
x＝1或x＝﹣3；
（3）（x﹣1）3＝﹣64，
x﹣1＝﹣4，
x＝﹣3．
35．（2021秋•兴化市期末）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：＝0.01，＝0.1，＝1，＝10，＝100，……
（1）已知≈4.47，求的值；
（2）已知≈1.918，≈191.8，求a的值；
（3）根据上述探究方法，尝试解决问题：已知≈1.26，≈12.6，用含n的代数式表示m．
解：（1）∵≈4.47，
∴＝≈4.47×10＝44.7．
（2）∵191.8＝1.918×100，
∴＝＝＝．
∴a＝36800．
（3）∵1.26×10＝12.6，
∴．
∴．
∴1000n＝m，即m＝1000n．
36．（2022春•仓山区校级期中）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是2，求2a﹣b的平方根．
解：∵2a﹣1的平方根是±3，
∴2a﹣1＝9，
a＝5，
∵3a+b﹣1的立方根是2，
∴3a+b﹣1＝8，
∴b＝﹣6，
∴2a﹣b＝16，
∴2a﹣b的平方根是±4
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