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苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【6.1函数】(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【6.1函数】(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了1 函数，03等内容，欢迎下载使用。
6.1 函数
知识点01：变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称 为变量. 叫做常量.
知识要点：一般地，常量是不发生 ，变量是 ，这些都是针对 而言的.例如，，速度60千米/时是 ，时间和里程为 .
知识点02：函数的定义
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的 ，都有 与其对应，那么我们就说 是 ，是的 .
知识要点：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了 ；
（2）对于自变量的取值，必须要使 有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的 ，是否都有 的值与它相对应.
（4）两个函数是同一函数至少具备 ：
① 相同（或变形后相同）；
②自变量的 相同.
否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.
知识点03：函数值
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
知识要点：对于每个确定的自变量值，函数值是 的，但反过来，可以 ，即一个函数值对应的自变量可以是 .比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.
知识点04：自变量取值范围的确定
叫自变量的取值范围.
知识要点：自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是 ；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是 ；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是 ；
（4）当解析式中含有 或 时，自变量的取值应使相应的底数 ；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
知识点05：函数的几种表达方式：
变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
（1）解析式法： 叫做函数关系式，也称
（2）列表法：函数关系用一个 表达出来的方法.
（3）图象法：用图象表达 .
知识要点：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能 ，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以 ，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以 ，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
知识点06：函数的图象
对于一个函数，如果把 ，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
知识要点：由函数解析式画出图象的一般步骤： .列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
考点01:常量与变量
1．（2022秋•济南期中）把20本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入a本，第二个抽层放入b本，则下列判断错误的是（ ）
A．20是变量B．a是变量C．b是变量D．20是常量
2．（2020春•新乐市期末）在圆周长的计算公式C＝2πr中，变量有（ ）
A．C，πB．C，rC．C，π，rD．C，2π，r
3．下列说法正确的是（ ）
A．常量是指永远不变的量
B．具体的数一定是常量
C．字母一定表示变量
D．球的体积公式中，变量是π，r
4．（2017春•成都期中）林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上都有三个量，其中一个表示“元/升”其数值固定不变的，另外两个量分别表示“数量”、“金额”，数值一直在变化，在这三个量当中 是常量， 是变量．
5．当圆的半径r由小变大时，它的面积S也越来越大，它们之间的变化关系为S＝πr2，在这个变化过程中，自变量为 ，因变量为 ，常量为 ．
6．（2021春•贺兰县期中）写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：
（1）分针旋转一周内，旋转的角度n（度）与旋转所需要的时间t（分）之间的关系式n＝6t；
（2）一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程S（千米）与行驶时间t（时）之间的关系式s＝40t．
7．如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．
考点02:函数的概念
8．（2022秋•青浦区校级期中）下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋•奉贤区期中）下列所述不属于函数关系的是（ ）
A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系
B．x+2与x的关系
C．匀速运动的火车，时间与路程的关系
D．某人的身高和体重的关系
10．（2021秋•襄都区校级期末）下列四个图象中，能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2019秋•长安区期末）老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个x、y之间的关系：（其中k，b为常量）
其中y一定是x的函数的是 ．（填写所有正确的序号）
12．一水库水位h（m）与月份x的变化情况如下表．该水库水位h是月份x的函数吗？
考点03:函数关系式
13．（2021秋•莱西市期末）从地面竖直向上抛射一个物体，经测量，在落地之前，物体向上的速度v（m/s）与运动时间t（s）之间有如下的对应关系，则速度v与时间t之间的函数关系式可能是（ ）
A．v＝25tB．v＝﹣10t+25C．v＝t2+25D．v＝5t+10
14．（2022春•射洪市校级月考）从A地向B地打长途，不超过3分钟，收费2.4元，以后每超过一分钟加收一元，若通话时间t分钟（t≥3），则付话费y元与t分钟函数关系式是（ ）
A．y＝t﹣0.6（t≥3）B．y＝2.4t+3（t≥3）
C．y＝2.4+3t（t≥3）D．y＝t+0.6（t≥3）
15．（2021秋•无锡期末）某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（ ）
A．y＝54x（x＞2）B．y＝54x+10（x＞2）
C．y＝54x+90（x＞2）D．y＝54x+100（x＞2）
16．（2022春•会宁县期末）长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为 ．
17．（2021•常州模拟）某市出租车白天的收费起步价为7元，即路程不超过3千米时收费7元，超过部分每千米收费1.2元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（x＞3）千米，乘车费为y元，那么y与x之间的关系为 ．
18．（2019秋•中牟县期中）如图，正方形ABCD的边长为6cm，M为正方形边上一动点，运动路线是A→B→C→D→A，运动到点A时停止．设动点M经过的路程为x（cm），以点A，B，M为顶点的三角形的面积为y（cm2）．请分别写出当6＜x≤12，18≤x＜24时，y与x之间的函数表达式： ．
19．（2019秋•临漳县期中）如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）观察图形填写下表：
（2）如果x节链条的总长度是y，求y与x之间的关系式；
（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由80节这样的链条组成，那么这根链条完成连接（安装到自行车上）后，总长度是多少cm？
20．（2020春•娄星区期末）甲、乙两家蓝莓采摘园的蓝莓品质相同，销售价格都是每千克30元，“五一”假期，两家均推出了优惠方案：甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的蓝莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的蓝莓超过10千克后，超过部分五折优惠，优惠期间，设某游客的蓝莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元）．
（1）当蓝莓采摘量超过10千克时，求y1、y2与x的关系式；
（2）若要采摘40千克蓝莓，去哪家比较合算？请计算说明．
考点04:函数自变量的取值范围
21．（2022秋•渠县校级期中）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≥2C．x＜2且x≠3D．x≥2且x≠3
22．（2022秋•定远县校级月考）在函数y＝﹣3中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1B．x≤1C．x≥1D．x≠1
23．（2022•无锡二模）函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≠2D．x≥2
24．（2022•南岗区模拟）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
25．（2021秋•定远县校级期中）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
26．求下列函数中自变量x的取值范围．
（1）y＝3x﹣1； （2）y＝2x2+7；
y＝； （4）y＝．
考点05:函数值
27．（2022秋•南岸区校级期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．则输入x的值为3时，输出的y的值为（ ）
A．﹣6B．6C．﹣3D．3
28．（2021秋•溧阳市期末）根据如图所示的程序计算函数值，若输入x的值为，则输出结果为（ ）
A．B．
C．D．3个不同的值
29．（2020秋•松江区期末）已知f（x）＝kx，f（）＝2，那么k＝ ．
30．（2018春•北海期末）根据图中的程序，当输入数值﹣2时，输出数值为a；若在该程序中继续输入数值a时，输出数值为 ．
31．求下列函数中当x＝4时的函数值：
（1）y＝﹣4x2； （2）y＝； （3）y＝．
考点06:函数的表示方法
32．（2022春•沧州期末）新冠病毒抗原检测方便快捷，一般15﹣20分钟可出结果．在2022年4月太原新冠疫情防控中，小店区投入大量资金为居民发放抗原检测试剂盒进行抗原检测．小明用表格表示总价w与试剂盒数量n之间的关系，根据表格数据，下列说法不正确的是（ ）
A．在这个变化过程中，n是自变量，w是因变量
B．n每增加1盒，w增加15元
C．总价w与试剂盒数量n的关系式为w＝15n
D．按照表格表示的规律，试剂盒数量为100盒时，总价为1200元
33．（2021春•薛城区期中）在某次试验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如表：
则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（ ）
A．v＝2m﹣2B．v＝m2﹣1C．v＝3m﹣3D．v＝m+1
34．（2019春•大邑县期末）已知鞋子的“码”数与“厘米”数的对应关系如下：
设鞋子的“码”数为x，长度为y（厘米），那么y与x之间的关系式是 ．
35．（2020秋•城阳区校级期中）声音在空气中传播的速度y（m/s）（简称声速）与气温x（℃）的关系如下表所示：
照此规律可以发现，当气温x为 ℃时，声速y达到371m/s．
36．（2018•澧县三模）父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低，”并给小明出示了下面的表格．
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答．
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？
（3）你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？
（4）你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？
37．（2021春•莱阳市期末）我市为了提倡节约，自来水收费实行阶梯水价，用水量x吨，则需要交水费y元，收费标准如表所示：
（1） 是自变量， 是因变量；
（2）若用水量达到15吨，则需要交水费 元；
（3）用户5月份交水费54元，则所用水为 吨；
（4）请求出：当x＞18时，y与x的关系式．
①
气温x
1
2
0
1
日期y
1
2
3
4
②
③
y＝kx+b
④
y＝|x|
x/月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
水库水
位h/m
80
85
90
100
110
120
160
140
130
120
110
85
v（m/s）
25
15
5
﹣5
t（s）
0
1
2
3
链条节数（节）
2
3
4
链条长度（cm）
试剂盒数量n（盒）
…
3
4
5
6
7
8
…
总价w（元）
…
45
60
75
90
105
120
…
m
1
2
3
4
v
0.01
2.9
8.03
15.1
码
35
36
37
38
39
40
…
厘米
22.5
23
23.5
24
24.5
25
…
气温x/℃
0
5
10
15
20
…
声速y/（m/s）
331
335
339
343
347
…
距离地面高度（千米）
0
1
2
3
4
5
温度（℃）
20
14
8
2
﹣4
﹣10
月用水量x吨
不超过12吨部分
超过12吨不超过18吨的部分
超过18吨的部分
收费标准（元/吨）
2.00
2.50
3.00
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第6章《一次函数》
6.1 函数
知识点01：变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
知识要点：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量.
知识点02：函数的定义
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
知识要点：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.
（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：
①函数关系式相同（或变形后相同）；
②自变量的取值范围相同.
否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.
知识点03：函数值
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
知识要点：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.
知识点04：自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
知识要点：自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
知识点05：函数的几种表达方式：
变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.
（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.
知识要点：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
知识点06：函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
知识要点：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
考点01:常量与变量
1．（2022秋•济南期中）把20本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入a本，第二个抽层放入b本，则下列判断错误的是（ ）
A．20是变量B．a是变量C．b是变量D．20是常量
解：把20本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入a本，第二个抽屉放入b本．则a和b分别是变量，20是常量．
故选：A．
2．（2020春•新乐市期末）在圆周长的计算公式C＝2πr中，变量有（ ）
A．C，πB．C，rC．C，π，rD．C，2π，r
解：圆的周长计算公式是c＝2πr，C和r是变量，2、π是常量，
故选：B．
3．下列说法正确的是（ ）
A．常量是指永远不变的量
B．具体的数一定是常量
C．字母一定表示变量
D．球的体积公式中，变量是π，r
解：A、常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化，错误；
B、具体的数一定为常量，正确；
C、字母π是一个常量，错误；
D、π是常量，故错误，
故选：B．
4．（2017春•成都期中）林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上都有三个量，其中一个表示“元/升”其数值固定不变的，另外两个量分别表示“数量”、“金额”，数值一直在变化，在这三个量当中 单价 是常量， 数量、金额 是变量．
解：在这三个量当中单价是常量，数量、金额是变量．
5．当圆的半径r由小变大时，它的面积S也越来越大，它们之间的变化关系为S＝πr2，在这个变化过程中，自变量为 r ，因变量为 S ，常量为 π ．
解：圆的半径发生变化时，面积也发生变化，圆面积S与半径r的关系为S＝πr2，r是自变量，S是变量，π是常量．
故答案为：r，S，π．
6．（2021春•贺兰县期中）写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：
（1）分针旋转一周内，旋转的角度n（度）与旋转所需要的时间t（分）之间的关系式n＝6t；
（2）一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程S（千米）与行驶时间t（时）之间的关系式s＝40t．
解：（1）常量：6；变量：n，t．
（2）常量：40；变量：s，t．
7．如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．
解：由题意知，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，两图形重合的长度为AM＝x，
∵∠BAC＝45°，
∴S阴影＝×AM×h＝AM2＝，
则y＝x2，0＜x≤10，
其中的常量为，变量为重叠部分的面积y与MA的长度x．
考点02:函数的概念
8．（2022秋•青浦区校级期中）下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故D不符合题意；
故选：C．
9．（2022秋•奉贤区期中）下列所述不属于函数关系的是（ ）
A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系
B．x+2与x的关系
C．匀速运动的火车，时间与路程的关系
D．某人的身高和体重的关系
解：A、∵S＝ab，∴矩形的长和宽成反比例，故本选项正确，不符合题意；
B、∵x+2中随x的变化而变化是函数，故本选项正确，不符合题意；
C、∵S＝vt，速度固定时，路程和时间是正比例关系，故本选项正确，不符合题意；
D、∵身高和体重不是函数，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
10．（2021秋•襄都区校级期末）下列四个图象中，能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
解：根据函数的定义，
选项A符合函数的概念，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，
故A符合题意；
而B、C、D都不符合“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”，
故B、C、D都不符合题意；
故选：A．
11．（2019秋•长安区期末）老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个x、y之间的关系：（其中k，b为常量）
其中y一定是x的函数的是 ③④ ．（填写所有正确的序号）
解：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，x是自变量，y是x的函数，
①②不符合定义，③④符合定义，
故答案为③④．
12．一水库水位h（m）与月份x的变化情况如下表．该水库水位h是月份x的函数吗？
解：由题意，得
h是月份x的函数．
考点03:函数关系式
13．（2021秋•莱西市期末）从地面竖直向上抛射一个物体，经测量，在落地之前，物体向上的速度v（m/s）与运动时间t（s）之间有如下的对应关系，则速度v与时间t之间的函数关系式可能是（ ）
A．v＝25tB．v＝﹣10t+25C．v＝t2+25D．v＝5t+10
解：由表格的对应值发现：当时间每经过1秒，速度下降10m/s，
∴判定速度v与时间t之间的函数关系式可能是一次函数，
设速度v与时间t之间的函数关系式为：v＝kt+b，
将（0，25）和（1，15）代入得：
．
解得：．
∴v＝﹣10t+25．
将t＝2，v＝5和t＝3，v＝﹣5代入上式均成立，
∴速度v与时间t之间的函数关系式为v＝﹣10t+25．
故选：B．
14．（2022春•射洪市校级月考）从A地向B地打长途，不超过3分钟，收费2.4元，以后每超过一分钟加收一元，若通话时间t分钟（t≥3），则付话费y元与t分钟函数关系式是（ ）
A．y＝t﹣0.6（t≥3）B．y＝2.4t+3（t≥3）
C．y＝2.4+3t（t≥3）D．y＝t+0.6（t≥3）
解：根据通话时间与话费之间的变化关系可得，
y＝2.4+（t﹣3）＝t﹣0.6（t≥3），
故选：A．
15．（2021秋•无锡期末）某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（ ）
A．y＝54x（x＞2）B．y＝54x+10（x＞2）
C．y＝54x+90（x＞2）D．y＝54x+100（x＞2）
解：∵x＞2，
∴销售价超过100元，超过部分为60x﹣100，
∴y＝100+（60x﹣100）×0.9＝54x+10（x＞2，且x为整数），
故选：B．
16．（2022春•会宁县期末）长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为 y＝（12﹣x）x ．
解：长方形的一边是xcm，则另一边长是（12﹣x）cm．
则y＝（12﹣x）x．
故答案是：y＝（12﹣x）x．
17．（2021•常州模拟）某市出租车白天的收费起步价为7元，即路程不超过3千米时收费7元，超过部分每千米收费1.2元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（x＞3）千米，乘车费为y元，那么y与x之间的关系为 y＝1.2x+3.4 ．
解：依据题意得：y＝7+1.2（x﹣3）＝1.2x+3.4，
故答案为：y＝1.2x+3.4，
18．（2019秋•中牟县期中）如图，正方形ABCD的边长为6cm，M为正方形边上一动点，运动路线是A→B→C→D→A，运动到点A时停止．设动点M经过的路程为x（cm），以点A，B，M为顶点的三角形的面积为y（cm2）．请分别写出当6＜x≤12，18≤x＜24时，y与x之间的函数表达式： y＝3x﹣18 （6＜x≤12），y＝72﹣3x （18≤x＜24） ．
解：①当6＜x≤12，此时点M在正方形的边BC上，
此时△AMB以AB为底，BM为高，
y＝×6×（x﹣6）＝3x﹣18；
②当18≤x＜24，此时点M在正方形的边AD上，
此时△AMB以AB为底，AM为高，
所以y＝×6×（24﹣x）＝72﹣3x；
综上所述，y与x之间的函数表达式为：y＝3x﹣18 （6＜x≤12），y＝72﹣3x （18≤x＜24）．
19．（2019秋•临漳县期中）如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）观察图形填写下表：
（2）如果x节链条的总长度是y，求y与x之间的关系式；
（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由80节这样的链条组成，那么这根链条完成连接（安装到自行车上）后，总长度是多少cm？
解：（1）根据图形可得出：
2节链条的长度为：2.5×2﹣0.8＝4.2，
3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2＝5.9，
4节链条的长度为：2.5×4﹣0.8×3＝7.6．
故答案为：4.2，5.9，7.6；
（2）由（1）可得x节链条长为：y＝2.5x﹣0.8（x﹣1）＝1.7x+0.8；
∴y与x之间的关系式为：y＝1.7x+0.8；
（3）因为自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8，故这辆自行车链条的总长为1.7×80＝136厘米，
所以80节这样的链条总长度是136厘米．
20．（2020春•娄星区期末）甲、乙两家蓝莓采摘园的蓝莓品质相同，销售价格都是每千克30元，“五一”假期，两家均推出了优惠方案：甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的蓝莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的蓝莓超过10千克后，超过部分五折优惠，优惠期间，设某游客的蓝莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元）．
（1）当蓝莓采摘量超过10千克时，求y1、y2与x的关系式；
（2）若要采摘40千克蓝莓，去哪家比较合算？请计算说明．
解：（1）y1＝60+30×0.6x＝60+18x；
y2＝10×30+30×0.5（x﹣10）＝150+15x；
（2）当x＝40时，
y1＝60+18×40＝780，
y2＝150+15×40＝750，
因为y1＞y2，
所以选择乙合算．
考点04:函数自变量的取值范围
21．（2022秋•渠县校级期中）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≥2C．x＜2且x≠3D．x≥2且x≠3
解：由题意得：
x﹣2≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥2且x≠3，
故选：D．
22．（2022秋•定远县校级月考）在函数y＝﹣3中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1B．x≤1C．x≥1D．x≠1
解：由题意得：
x﹣1≥0，
解得：x≥1；
故选：C．
23．（2022•无锡二模）函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≠2D．x≥2
解：由题意，得
x﹣2≠0，
解得x≠2，
故选：C．
24．（2022•南岗区模拟）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠﹣4 ．
解：由题意得2x+8≠0，
解得：x≠﹣4，
故答案为：x≠﹣4．
25．（2021秋•定远县校级期中）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥0且x≠4 ．
解：由题意得，x≥0且x﹣4≠0，
解得x≥0且x≠4．
故答案为：x≥0且x≠4．
26．求下列函数中自变量x的取值范围．
（1）y＝3x﹣1；
（2）y＝2x2+7；
（3）y＝；
（4）y＝．
解：（1）y＝3x﹣1自变量的取值范围是全体实数；
（2）y＝2x2+7自变量的取值范围是全体实数；
（3）y＝自变量的取值范围是x+2≠0，解得x≠﹣2，
（4）y＝自变量的取值范围是x﹣2≥0，解得x≥2．
考点05:函数值
27．（2022秋•南岸区校级期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．则输入x的值为3时，输出的y的值为（ ）
A．﹣6B．6C．﹣3D．3
解：当x＝4，8+b＝5．
∴b＝﹣3．
∴当x＝3，y＝﹣3×3+3＝﹣6．
故选：A．
28．（2021秋•溧阳市期末）根据如图所示的程序计算函数值，若输入x的值为，则输出结果为（ ）
A．B．
C．D．3个不同的值
解：∵，
∴运算程序适用y＝﹣x+2，
把x＝代入y＝﹣x+2＝﹣+2＝，
故选：C．
29．（2020秋•松江区期末）已知f（x）＝kx，f（）＝2，那么k＝ ．
解：由题意可得：k＝2，
解得．
故答案为：．
30．（2018春•北海期末）根据图中的程序，当输入数值﹣2时，输出数值为a；若在该程序中继续输入数值a时，输出数值为 8 ．
解：当x＝﹣2时，a＝﹣×（﹣2）+5＝1+5＝6，
当x＝6时，y＝×6+5＝3+5＝8，
故答案为：8．
31．求下列函数中当x＝4时的函数值：
（1）y＝﹣4x2；
（2）y＝；
（3）y＝．
解：（1）y＝﹣4×42＝﹣64；
（2）y＝＝；
（3）y＝＝0．
考点06:函数的表示方法
32．（2022春•沧州期末）新冠病毒抗原检测方便快捷，一般15﹣20分钟可出结果．在2022年4月太原新冠疫情防控中，小店区投入大量资金为居民发放抗原检测试剂盒进行抗原检测．小明用表格表示总价w与试剂盒数量n之间的关系，根据表格数据，下列说法不正确的是（ ）
A．在这个变化过程中，n是自变量，w是因变量
B．n每增加1盒，w增加15元
C．总价w与试剂盒数量n的关系式为w＝15n
D．按照表格表示的规律，试剂盒数量为100盒时，总价为1200元
解：由题意得，在这个变化过程中，n是自变量，w是因变量；
n每增加1，w增加15；
∴总价w与试剂盒数量n的关系式为w＝15n；
则当n＝100时，总价w＝15×100＝1500（元），
∴选项A，B，C不符合题意，
选项D符合题意，
故选：D．
33．（2021春•薛城区期中）在某次试验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如表：
则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（ ）
A．v＝2m﹣2B．v＝m2﹣1C．v＝3m﹣3D．v＝m+1
解：（1）把m＝1、2、3、4代入2m﹣2中，
得0，2，4，6，与v＝0.01，2.9，8.03，15.1相差较大，
故A选项不符合题意；
（2）把m＝1、2、3、4代入m2﹣1中，
得0，3，8，15，与v＝0.01，2.9，8.03，15.1比较接近，
故B选项符合题意；
（3）把m＝1、2、3、4代入3m﹣3中，
得0，3，6，9，与v＝0.01，2.9，8.03，15.1相差较大，
故C选项不符合题意；
（4）把m＝1、2、3、4代入m+1中，
得2，3，4，5，与v＝0.01，2.9，8.03，15.1相差较大，
故D选项不符合题意；
故选：B．
34．（2019春•大邑县期末）已知鞋子的“码”数与“厘米”数的对应关系如下：
设鞋子的“码”数为x，长度为y（厘米），那么y与x之间的关系式是 y＝x+5 ．
解：∵（35+10）÷2＝22.5，
（36+10）÷2＝23，
（37+10）÷2＝23.5，
（38+10）÷2＝24，
（39+10）÷2＝24.5，
（40+10）÷2＝25，
……
∴y＝（x+10）÷2＝x+5，
故答案为：y＝x+5．
35．（2020秋•城阳区校级期中）声音在空气中传播的速度y（m/s）（简称声速）与气温x（℃）的关系如下表所示：
照此规律可以发现，当气温x为 50 ℃时，声速y达到371m/s．
解：根据表中数据可知y与x成一次函数关系，
设声速与气温的函数关系式为y＝kx+b，
将x＝0，y＝331与x＝5，y＝335分别代入可得：
，
解得，
∴y＝0.8x+331，
当y＝371时x＝50．
故答案为：50．
36．（2018•澧县三模）父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低，”并给小明出示了下面的表格．
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答．
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？
（3）你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？
（4）你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？
解：（1）上表反映了温度和距地面高度之间的关系，高度是自变量，温度是因变量．
（2）由表可知，每上升一千米，温度降低6摄氏度，可得解析式为t＝20﹣6h；
（3）由表可知，距地面5千米时，温度为零下10摄氏度；
（4）将t＝6代入h＝20﹣6t可得，t＝20﹣6×6＝﹣16．
37．（2021春•莱阳市期末）我市为了提倡节约，自来水收费实行阶梯水价，用水量x吨，则需要交水费y元，收费标准如表所示：
（1） 用水量 是自变量， 水费 是因变量；
（2）若用水量达到15吨，则需要交水费 31.5 元；
（3）用户5月份交水费54元，则所用水为 23 吨；
（4）请求出：当x＞18时，y与x的关系式．
解：（1）用水量为自变量，水费为因变量，
故答案为：用水量，水费；
（2）2×12+2.5×（15﹣12）＝31.5（元），
故答案为：31.5；
（3）根据水费为54元，显然用水量超过18吨了，
根据题意得：2×12+2.5×（18﹣12）+3（x﹣18）＝54，
解得：x＝23，
故答案为：23；
（4）当x＞18时，
y＝2×12+2.5×（18﹣12）+3（x﹣18）
＝24+15+3x﹣54
＝3x﹣15
①
气温x
1
2
0
1
日期y
1
2
3
4
②
③
y＝kx+b
④
y＝|x|
x/月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
水库水
位h/m
80
85
90
100
110
120
160
140
130
120
110
85
v（m/s）
25
15
5
﹣5
t（s）
0
1
2
3
链条节数（节）
2
3
4
链条长度（cm）
4.2
5.9
7.6
试剂盒数量n（盒）
…
3
4
5
6
7
8
…
总价w（元）
…
45
60
75
90
105
120
…
m
1
2
3
4
v
0.01
2.9
8.03
15.1
码
35
36
37
38
39
40
…
厘米
22.5
23
23.5
24
24.5
25
…
气温x/℃
0
5
10
15
20
…
声速y/（m/s）
331
335
339
343
347
…
距离地面高度（千米）
0
1
2
3
4
5
温度（℃）
20
14
8
2
﹣4
﹣10
月用水量x吨
不超过12吨部分
超过12吨不超过18吨的部分
超过18吨的部分
收费标准（元/吨）
2.00
2.50
3.00
6.1 函数
知识点01：变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称 为变量. 叫做常量.
知识要点：一般地，常量是不发生 ，变量是 ，这些都是针对 而言的.例如，，速度60千米/时是 ，时间和里程为 .
知识点02：函数的定义
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的 ，都有 与其对应，那么我们就说 是 ，是的 .
知识要点：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了 ；
（2）对于自变量的取值，必须要使 有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的 ，是否都有 的值与它相对应.
（4）两个函数是同一函数至少具备 ：
① 相同（或变形后相同）；
②自变量的 相同.
否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.
知识点03：函数值
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
知识要点：对于每个确定的自变量值，函数值是 的，但反过来，可以 ，即一个函数值对应的自变量可以是 .比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.
知识点04：自变量取值范围的确定
叫自变量的取值范围.
知识要点：自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是 ；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是 ；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是 ；
（4）当解析式中含有 或 时，自变量的取值应使相应的底数 ；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
知识点05：函数的几种表达方式：
变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
（1）解析式法： 叫做函数关系式，也称
（2）列表法：函数关系用一个 表达出来的方法.
（3）图象法：用图象表达 .
知识要点：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能 ，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以 ，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以 ，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
知识点06：函数的图象
对于一个函数，如果把 ，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
知识要点：由函数解析式画出图象的一般步骤： .列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
考点01:常量与变量
1．（2022秋•济南期中）把20本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入a本，第二个抽层放入b本，则下列判断错误的是（ ）
A．20是变量B．a是变量C．b是变量D．20是常量
2．（2020春•新乐市期末）在圆周长的计算公式C＝2πr中，变量有（ ）
A．C，πB．C，rC．C，π，rD．C，2π，r
3．下列说法正确的是（ ）
A．常量是指永远不变的量
B．具体的数一定是常量
C．字母一定表示变量
D．球的体积公式中，变量是π，r
4．（2017春•成都期中）林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上都有三个量，其中一个表示“元/升”其数值固定不变的，另外两个量分别表示“数量”、“金额”，数值一直在变化，在这三个量当中 是常量， 是变量．
5．当圆的半径r由小变大时，它的面积S也越来越大，它们之间的变化关系为S＝πr2，在这个变化过程中，自变量为 ，因变量为 ，常量为 ．
6．（2021春•贺兰县期中）写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：
（1）分针旋转一周内，旋转的角度n（度）与旋转所需要的时间t（分）之间的关系式n＝6t；
（2）一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程S（千米）与行驶时间t（时）之间的关系式s＝40t．
7．如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．
考点02:函数的概念
8．（2022秋•青浦区校级期中）下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋•奉贤区期中）下列所述不属于函数关系的是（ ）
A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系
B．x+2与x的关系
C．匀速运动的火车，时间与路程的关系
D．某人的身高和体重的关系
10．（2021秋•襄都区校级期末）下列四个图象中，能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2019秋•长安区期末）老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个x、y之间的关系：（其中k，b为常量）
其中y一定是x的函数的是 ．（填写所有正确的序号）
12．一水库水位h（m）与月份x的变化情况如下表．该水库水位h是月份x的函数吗？
考点03:函数关系式
13．（2021秋•莱西市期末）从地面竖直向上抛射一个物体，经测量，在落地之前，物体向上的速度v（m/s）与运动时间t（s）之间有如下的对应关系，则速度v与时间t之间的函数关系式可能是（ ）
A．v＝25tB．v＝﹣10t+25C．v＝t2+25D．v＝5t+10
14．（2022春•射洪市校级月考）从A地向B地打长途，不超过3分钟，收费2.4元，以后每超过一分钟加收一元，若通话时间t分钟（t≥3），则付话费y元与t分钟函数关系式是（ ）
A．y＝t﹣0.6（t≥3）B．y＝2.4t+3（t≥3）
C．y＝2.4+3t（t≥3）D．y＝t+0.6（t≥3）
15．（2021秋•无锡期末）某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（ ）
A．y＝54x（x＞2）B．y＝54x+10（x＞2）
C．y＝54x+90（x＞2）D．y＝54x+100（x＞2）
16．（2022春•会宁县期末）长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为 ．
17．（2021•常州模拟）某市出租车白天的收费起步价为7元，即路程不超过3千米时收费7元，超过部分每千米收费1.2元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（x＞3）千米，乘车费为y元，那么y与x之间的关系为 ．
18．（2019秋•中牟县期中）如图，正方形ABCD的边长为6cm，M为正方形边上一动点，运动路线是A→B→C→D→A，运动到点A时停止．设动点M经过的路程为x（cm），以点A，B，M为顶点的三角形的面积为y（cm2）．请分别写出当6＜x≤12，18≤x＜24时，y与x之间的函数表达式： ．
19．（2019秋•临漳县期中）如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）观察图形填写下表：
（2）如果x节链条的总长度是y，求y与x之间的关系式；
（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由80节这样的链条组成，那么这根链条完成连接（安装到自行车上）后，总长度是多少cm？
20．（2020春•娄星区期末）甲、乙两家蓝莓采摘园的蓝莓品质相同，销售价格都是每千克30元，“五一”假期，两家均推出了优惠方案：甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的蓝莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的蓝莓超过10千克后，超过部分五折优惠，优惠期间，设某游客的蓝莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元）．
（1）当蓝莓采摘量超过10千克时，求y1、y2与x的关系式；
（2）若要采摘40千克蓝莓，去哪家比较合算？请计算说明．
考点04:函数自变量的取值范围
21．（2022秋•渠县校级期中）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≥2C．x＜2且x≠3D．x≥2且x≠3
22．（2022秋•定远县校级月考）在函数y＝﹣3中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1B．x≤1C．x≥1D．x≠1
23．（2022•无锡二模）函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≠2D．x≥2
24．（2022•南岗区模拟）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
25．（2021秋•定远县校级期中）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
26．求下列函数中自变量x的取值范围．
（1）y＝3x﹣1； （2）y＝2x2+7；
y＝； （4）y＝．
考点05:函数值
27．（2022秋•南岸区校级期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．则输入x的值为3时，输出的y的值为（ ）
A．﹣6B．6C．﹣3D．3
28．（2021秋•溧阳市期末）根据如图所示的程序计算函数值，若输入x的值为，则输出结果为（ ）
A．B．
C．D．3个不同的值
29．（2020秋•松江区期末）已知f（x）＝kx，f（）＝2，那么k＝ ．
30．（2018春•北海期末）根据图中的程序，当输入数值﹣2时，输出数值为a；若在该程序中继续输入数值a时，输出数值为 ．
31．求下列函数中当x＝4时的函数值：
（1）y＝﹣4x2； （2）y＝； （3）y＝．
考点06:函数的表示方法
32．（2022春•沧州期末）新冠病毒抗原检测方便快捷，一般15﹣20分钟可出结果．在2022年4月太原新冠疫情防控中，小店区投入大量资金为居民发放抗原检测试剂盒进行抗原检测．小明用表格表示总价w与试剂盒数量n之间的关系，根据表格数据，下列说法不正确的是（ ）
A．在这个变化过程中，n是自变量，w是因变量
B．n每增加1盒，w增加15元
C．总价w与试剂盒数量n的关系式为w＝15n
D．按照表格表示的规律，试剂盒数量为100盒时，总价为1200元
33．（2021春•薛城区期中）在某次试验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如表：
则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（ ）
A．v＝2m﹣2B．v＝m2﹣1C．v＝3m﹣3D．v＝m+1
34．（2019春•大邑县期末）已知鞋子的“码”数与“厘米”数的对应关系如下：
设鞋子的“码”数为x，长度为y（厘米），那么y与x之间的关系式是 ．
35．（2020秋•城阳区校级期中）声音在空气中传播的速度y（m/s）（简称声速）与气温x（℃）的关系如下表所示：
照此规律可以发现，当气温x为 ℃时，声速y达到371m/s．
36．（2018•澧县三模）父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低，”并给小明出示了下面的表格．
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答．
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？
（3）你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？
（4）你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？
37．（2021春•莱阳市期末）我市为了提倡节约，自来水收费实行阶梯水价，用水量x吨，则需要交水费y元，收费标准如表所示：
（1） 是自变量， 是因变量；
（2）若用水量达到15吨，则需要交水费 元；
（3）用户5月份交水费54元，则所用水为 吨；
（4）请求出：当x＞18时，y与x的关系式．
①
气温x
1
2
0
1
日期y
1
2
3
4
②
③
y＝kx+b
④
y＝|x|
x/月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
水库水
位h/m
80
85
90
100
110
120
160
140
130
120
110
85
v（m/s）
25
15
5
﹣5
t（s）
0
1
2
3
链条节数（节）
2
3
4
链条长度（cm）
试剂盒数量n（盒）
…
3
4
5
6
7
8
…
总价w（元）
…
45
60
75
90
105
120
…
m
1
2
3
4
v
0.01
2.9
8.03
15.1
码
35
36
37
38
39
40
…
厘米
22.5
23
23.5
24
24.5
25
…
气温x/℃
0
5
10
15
20
…
声速y/（m/s）
331
335
339
343
347
…
距离地面高度（千米）
0
1
2
3
4
5
温度（℃）
20
14
8
2
﹣4
﹣10
月用水量x吨
不超过12吨部分
超过12吨不超过18吨的部分
超过18吨的部分
收费标准（元/吨）
2.00
2.50
3.00
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第6章《一次函数》
6.1 函数
知识点01：变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
知识要点：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量.
知识点02：函数的定义
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
知识要点：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.
（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：
①函数关系式相同（或变形后相同）；
②自变量的取值范围相同.
否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.
知识点03：函数值
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
知识要点：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.
知识点04：自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
知识要点：自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
知识点05：函数的几种表达方式：
变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.
（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.
知识要点：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
知识点06：函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
知识要点：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
考点01:常量与变量
1．（2022秋•济南期中）把20本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入a本，第二个抽层放入b本，则下列判断错误的是（ ）
A．20是变量B．a是变量C．b是变量D．20是常量
解：把20本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入a本，第二个抽屉放入b本．则a和b分别是变量，20是常量．
故选：A．
2．（2020春•新乐市期末）在圆周长的计算公式C＝2πr中，变量有（ ）
A．C，πB．C，rC．C，π，rD．C，2π，r
解：圆的周长计算公式是c＝2πr，C和r是变量，2、π是常量，
故选：B．
3．下列说法正确的是（ ）
A．常量是指永远不变的量
B．具体的数一定是常量
C．字母一定表示变量
D．球的体积公式中，变量是π，r
解：A、常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化，错误；
B、具体的数一定为常量，正确；
C、字母π是一个常量，错误；
D、π是常量，故错误，
故选：B．
4．（2017春•成都期中）林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上都有三个量，其中一个表示“元/升”其数值固定不变的，另外两个量分别表示“数量”、“金额”，数值一直在变化，在这三个量当中 单价 是常量， 数量、金额 是变量．
解：在这三个量当中单价是常量，数量、金额是变量．
5．当圆的半径r由小变大时，它的面积S也越来越大，它们之间的变化关系为S＝πr2，在这个变化过程中，自变量为 r ，因变量为 S ，常量为 π ．
解：圆的半径发生变化时，面积也发生变化，圆面积S与半径r的关系为S＝πr2，r是自变量，S是变量，π是常量．
故答案为：r，S，π．
6．（2021春•贺兰县期中）写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：
（1）分针旋转一周内，旋转的角度n（度）与旋转所需要的时间t（分）之间的关系式n＝6t；
（2）一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程S（千米）与行驶时间t（时）之间的关系式s＝40t．
解：（1）常量：6；变量：n，t．
（2）常量：40；变量：s，t．
7．如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．
解：由题意知，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，两图形重合的长度为AM＝x，
∵∠BAC＝45°，
∴S阴影＝×AM×h＝AM2＝，
则y＝x2，0＜x≤10，
其中的常量为，变量为重叠部分的面积y与MA的长度x．
考点02:函数的概念
8．（2022秋•青浦区校级期中）下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故D不符合题意；
故选：C．
9．（2022秋•奉贤区期中）下列所述不属于函数关系的是（ ）
A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系
B．x+2与x的关系
C．匀速运动的火车，时间与路程的关系
D．某人的身高和体重的关系
解：A、∵S＝ab，∴矩形的长和宽成反比例，故本选项正确，不符合题意；
B、∵x+2中随x的变化而变化是函数，故本选项正确，不符合题意；
C、∵S＝vt，速度固定时，路程和时间是正比例关系，故本选项正确，不符合题意；
D、∵身高和体重不是函数，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
10．（2021秋•襄都区校级期末）下列四个图象中，能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
解：根据函数的定义，
选项A符合函数的概念，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，
故A符合题意；
而B、C、D都不符合“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”，
故B、C、D都不符合题意；
故选：A．
11．（2019秋•长安区期末）老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个x、y之间的关系：（其中k，b为常量）
其中y一定是x的函数的是 ③④ ．（填写所有正确的序号）
解：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，x是自变量，y是x的函数，
①②不符合定义，③④符合定义，
故答案为③④．
12．一水库水位h（m）与月份x的变化情况如下表．该水库水位h是月份x的函数吗？
解：由题意，得
h是月份x的函数．
考点03:函数关系式
13．（2021秋•莱西市期末）从地面竖直向上抛射一个物体，经测量，在落地之前，物体向上的速度v（m/s）与运动时间t（s）之间有如下的对应关系，则速度v与时间t之间的函数关系式可能是（ ）
A．v＝25tB．v＝﹣10t+25C．v＝t2+25D．v＝5t+10
解：由表格的对应值发现：当时间每经过1秒，速度下降10m/s，
∴判定速度v与时间t之间的函数关系式可能是一次函数，
设速度v与时间t之间的函数关系式为：v＝kt+b，
将（0，25）和（1，15）代入得：
．
解得：．
∴v＝﹣10t+25．
将t＝2，v＝5和t＝3，v＝﹣5代入上式均成立，
∴速度v与时间t之间的函数关系式为v＝﹣10t+25．
故选：B．
14．（2022春•射洪市校级月考）从A地向B地打长途，不超过3分钟，收费2.4元，以后每超过一分钟加收一元，若通话时间t分钟（t≥3），则付话费y元与t分钟函数关系式是（ ）
A．y＝t﹣0.6（t≥3）B．y＝2.4t+3（t≥3）
C．y＝2.4+3t（t≥3）D．y＝t+0.6（t≥3）
解：根据通话时间与话费之间的变化关系可得，
y＝2.4+（t﹣3）＝t﹣0.6（t≥3），
故选：A．
15．（2021秋•无锡期末）某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（ ）
A．y＝54x（x＞2）B．y＝54x+10（x＞2）
C．y＝54x+90（x＞2）D．y＝54x+100（x＞2）
解：∵x＞2，
∴销售价超过100元，超过部分为60x﹣100，
∴y＝100+（60x﹣100）×0.9＝54x+10（x＞2，且x为整数），
故选：B．
16．（2022春•会宁县期末）长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为 y＝（12﹣x）x ．
解：长方形的一边是xcm，则另一边长是（12﹣x）cm．
则y＝（12﹣x）x．
故答案是：y＝（12﹣x）x．
17．（2021•常州模拟）某市出租车白天的收费起步价为7元，即路程不超过3千米时收费7元，超过部分每千米收费1.2元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（x＞3）千米，乘车费为y元，那么y与x之间的关系为 y＝1.2x+3.4 ．
解：依据题意得：y＝7+1.2（x﹣3）＝1.2x+3.4，
故答案为：y＝1.2x+3.4，
18．（2019秋•中牟县期中）如图，正方形ABCD的边长为6cm，M为正方形边上一动点，运动路线是A→B→C→D→A，运动到点A时停止．设动点M经过的路程为x（cm），以点A，B，M为顶点的三角形的面积为y（cm2）．请分别写出当6＜x≤12，18≤x＜24时，y与x之间的函数表达式： y＝3x﹣18 （6＜x≤12），y＝72﹣3x （18≤x＜24） ．
解：①当6＜x≤12，此时点M在正方形的边BC上，
此时△AMB以AB为底，BM为高，
y＝×6×（x﹣6）＝3x﹣18；
②当18≤x＜24，此时点M在正方形的边AD上，
此时△AMB以AB为底，AM为高，
所以y＝×6×（24﹣x）＝72﹣3x；
综上所述，y与x之间的函数表达式为：y＝3x﹣18 （6＜x≤12），y＝72﹣3x （18≤x＜24）．
19．（2019秋•临漳县期中）如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）观察图形填写下表：
（2）如果x节链条的总长度是y，求y与x之间的关系式；
（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由80节这样的链条组成，那么这根链条完成连接（安装到自行车上）后，总长度是多少cm？
解：（1）根据图形可得出：
2节链条的长度为：2.5×2﹣0.8＝4.2，
3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2＝5.9，
4节链条的长度为：2.5×4﹣0.8×3＝7.6．
故答案为：4.2，5.9，7.6；
（2）由（1）可得x节链条长为：y＝2.5x﹣0.8（x﹣1）＝1.7x+0.8；
∴y与x之间的关系式为：y＝1.7x+0.8；
（3）因为自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8，故这辆自行车链条的总长为1.7×80＝136厘米，
所以80节这样的链条总长度是136厘米．
20．（2020春•娄星区期末）甲、乙两家蓝莓采摘园的蓝莓品质相同，销售价格都是每千克30元，“五一”假期，两家均推出了优惠方案：甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的蓝莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的蓝莓超过10千克后，超过部分五折优惠，优惠期间，设某游客的蓝莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元）．
（1）当蓝莓采摘量超过10千克时，求y1、y2与x的关系式；
（2）若要采摘40千克蓝莓，去哪家比较合算？请计算说明．
解：（1）y1＝60+30×0.6x＝60+18x；
y2＝10×30+30×0.5（x﹣10）＝150+15x；
（2）当x＝40时，
y1＝60+18×40＝780，
y2＝150+15×40＝750，
因为y1＞y2，
所以选择乙合算．
考点04:函数自变量的取值范围
21．（2022秋•渠县校级期中）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≥2C．x＜2且x≠3D．x≥2且x≠3
解：由题意得：
x﹣2≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥2且x≠3，
故选：D．
22．（2022秋•定远县校级月考）在函数y＝﹣3中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1B．x≤1C．x≥1D．x≠1
解：由题意得：
x﹣1≥0，
解得：x≥1；
故选：C．
23．（2022•无锡二模）函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≠2D．x≥2
解：由题意，得
x﹣2≠0，
解得x≠2，
故选：C．
24．（2022•南岗区模拟）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠﹣4 ．
解：由题意得2x+8≠0，
解得：x≠﹣4，
故答案为：x≠﹣4．
25．（2021秋•定远县校级期中）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥0且x≠4 ．
解：由题意得，x≥0且x﹣4≠0，
解得x≥0且x≠4．
故答案为：x≥0且x≠4．
26．求下列函数中自变量x的取值范围．
（1）y＝3x﹣1；
（2）y＝2x2+7；
（3）y＝；
（4）y＝．
解：（1）y＝3x﹣1自变量的取值范围是全体实数；
（2）y＝2x2+7自变量的取值范围是全体实数；
（3）y＝自变量的取值范围是x+2≠0，解得x≠﹣2，
（4）y＝自变量的取值范围是x﹣2≥0，解得x≥2．
考点05:函数值
27．（2022秋•南岸区校级期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．则输入x的值为3时，输出的y的值为（ ）
A．﹣6B．6C．﹣3D．3
解：当x＝4，8+b＝5．
∴b＝﹣3．
∴当x＝3，y＝﹣3×3+3＝﹣6．
故选：A．
28．（2021秋•溧阳市期末）根据如图所示的程序计算函数值，若输入x的值为，则输出结果为（ ）
A．B．
C．D．3个不同的值
解：∵，
∴运算程序适用y＝﹣x+2，
把x＝代入y＝﹣x+2＝﹣+2＝，
故选：C．
29．（2020秋•松江区期末）已知f（x）＝kx，f（）＝2，那么k＝ ．
解：由题意可得：k＝2，
解得．
故答案为：．
30．（2018春•北海期末）根据图中的程序，当输入数值﹣2时，输出数值为a；若在该程序中继续输入数值a时，输出数值为 8 ．
解：当x＝﹣2时，a＝﹣×（﹣2）+5＝1+5＝6，
当x＝6时，y＝×6+5＝3+5＝8，
故答案为：8．
31．求下列函数中当x＝4时的函数值：
（1）y＝﹣4x2；
（2）y＝；
（3）y＝．
解：（1）y＝﹣4×42＝﹣64；
（2）y＝＝；
（3）y＝＝0．
考点06:函数的表示方法
32．（2022春•沧州期末）新冠病毒抗原检测方便快捷，一般15﹣20分钟可出结果．在2022年4月太原新冠疫情防控中，小店区投入大量资金为居民发放抗原检测试剂盒进行抗原检测．小明用表格表示总价w与试剂盒数量n之间的关系，根据表格数据，下列说法不正确的是（ ）
A．在这个变化过程中，n是自变量，w是因变量
B．n每增加1盒，w增加15元
C．总价w与试剂盒数量n的关系式为w＝15n
D．按照表格表示的规律，试剂盒数量为100盒时，总价为1200元
解：由题意得，在这个变化过程中，n是自变量，w是因变量；
n每增加1，w增加15；
∴总价w与试剂盒数量n的关系式为w＝15n；
则当n＝100时，总价w＝15×100＝1500（元），
∴选项A，B，C不符合题意，
选项D符合题意，
故选：D．
33．（2021春•薛城区期中）在某次试验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如表：
则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（ ）
A．v＝2m﹣2B．v＝m2﹣1C．v＝3m﹣3D．v＝m+1
解：（1）把m＝1、2、3、4代入2m﹣2中，
得0，2，4，6，与v＝0.01，2.9，8.03，15.1相差较大，
故A选项不符合题意；
（2）把m＝1、2、3、4代入m2﹣1中，
得0，3，8，15，与v＝0.01，2.9，8.03，15.1比较接近，
故B选项符合题意；
（3）把m＝1、2、3、4代入3m﹣3中，
得0，3，6，9，与v＝0.01，2.9，8.03，15.1相差较大，
故C选项不符合题意；
（4）把m＝1、2、3、4代入m+1中，
得2，3，4，5，与v＝0.01，2.9，8.03，15.1相差较大，
故D选项不符合题意；
故选：B．
34．（2019春•大邑县期末）已知鞋子的“码”数与“厘米”数的对应关系如下：
设鞋子的“码”数为x，长度为y（厘米），那么y与x之间的关系式是 y＝x+5 ．
解：∵（35+10）÷2＝22.5，
（36+10）÷2＝23，
（37+10）÷2＝23.5，
（38+10）÷2＝24，
（39+10）÷2＝24.5，
（40+10）÷2＝25，
……
∴y＝（x+10）÷2＝x+5，
故答案为：y＝x+5．
35．（2020秋•城阳区校级期中）声音在空气中传播的速度y（m/s）（简称声速）与气温x（℃）的关系如下表所示：
照此规律可以发现，当气温x为 50 ℃时，声速y达到371m/s．
解：根据表中数据可知y与x成一次函数关系，
设声速与气温的函数关系式为y＝kx+b，
将x＝0，y＝331与x＝5，y＝335分别代入可得：
，
解得，
∴y＝0.8x+331，
当y＝371时x＝50．
故答案为：50．
36．（2018•澧县三模）父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低，”并给小明出示了下面的表格．
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答．
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？
（3）你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？
（4）你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？
解：（1）上表反映了温度和距地面高度之间的关系，高度是自变量，温度是因变量．
（2）由表可知，每上升一千米，温度降低6摄氏度，可得解析式为t＝20﹣6h；
（3）由表可知，距地面5千米时，温度为零下10摄氏度；
（4）将t＝6代入h＝20﹣6t可得，t＝20﹣6×6＝﹣16．
37．（2021春•莱阳市期末）我市为了提倡节约，自来水收费实行阶梯水价，用水量x吨，则需要交水费y元，收费标准如表所示：
（1） 用水量 是自变量， 水费 是因变量；
（2）若用水量达到15吨，则需要交水费 31.5 元；
（3）用户5月份交水费54元，则所用水为 23 吨；
（4）请求出：当x＞18时，y与x的关系式．
解：（1）用水量为自变量，水费为因变量，
故答案为：用水量，水费；
（2）2×12+2.5×（15﹣12）＝31.5（元），
故答案为：31.5；
（3）根据水费为54元，显然用水量超过18吨了，
根据题意得：2×12+2.5×（18﹣12）+3（x﹣18）＝54，
解得：x＝23，
故答案为：23；
（4）当x＞18时，
y＝2×12+2.5×（18﹣12）+3（x﹣18）
＝24+15+3x﹣54
＝3x﹣15
①
气温x
1
2
0
1
日期y
1
2
3
4
②
③
y＝kx+b
④
y＝|x|
x/月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
水库水
位h/m
80
85
90
100
110
120
160
140
130
120
110
85
v（m/s）
25
15
5
﹣5
t（s）
0
1
2
3
链条节数（节）
2
3
4
链条长度（cm）
4.2
5.9
7.6
试剂盒数量n（盒）
…
3
4
5
6
7
8
…
总价w（元）
…
45
60
75
90
105
120
…
m
1
2
3
4
v
0.01
2.9
8.03
15.1
码
35
36
37
38
39
40
…
厘米
22.5
23
23.5
24
24.5
25
…
气温x/℃
0
5
10
15
20
…
声速y/（m/s）
331
335
339
343
347
…
距离地面高度（千米）
0
1
2
3
4
5
温度（℃）
20
14
8
2
﹣4
﹣10
月用水量x吨
不超过12吨部分
超过12吨不超过18吨的部分
超过18吨的部分
收费标准（元/吨）
2.00
2.50
3.00
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