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苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【6.5一次函数与二元一次方程】(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【6.5一次函数与二元一次方程】(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了5 一次函数与二元一次方程等内容，欢迎下载使用。
6.5 一次函数与二元一次方程
知识点01：一次函数与二元一次方程
一次函数的图像上任意一点的坐标都是 ；以二元一次方程的解为坐标的点都在
知识点02：一次函数与二元一次方程组
在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是 .反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是 .如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 称为二元一次方程组的图像解法.
知识要点：1.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就 ，则两个一次函数的直线就 .反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就 如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.
2.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线 ，反之也成立.
知识点03：方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应 ．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出
根据交点的个数，看出
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．
一．选择题
1．（2021秋•云岩区期末）如图，直线l1：y＝3x﹣1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春•巨野县期末）如图，直线y＝ax﹣b与直线y＝mx+1交于点A（2，3），则方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021春•卢龙县期末）如图，一次函数y1＝ax+b和y2＝﹣bx+a（a≠0，b≠0）在同一坐标系的图象．则的解中（ ）
A．m＞0，n＞0B．m＞0，n＜0C．m＜0，n＞0D．m＜0，n＜0
4．（2020秋•佛山校级期末）如图，在同一平面直角坐标系中作出一次函数y1＝k1x与y＝k2x+b的图象，则二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋•岑溪市期中）如图所示是函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋•雁塔区校级期中）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022春•石家庄期末）如图，已知直线y＝x+m与y＝kx﹣1相交于点P（﹣1，1），则关于x的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021秋•金沙县期末）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b与正比例函数y＝k2x的图象如图所示，则关于x、y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
9．（2021秋•白银期末）已知函数y＝ax﹣3和y＝kx的图象交于点P（2，﹣1），则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022春•钦州期末）如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数y＝x交于点C，已知点C的横坐标为2，下列结论：①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3；②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0；③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2；④方程组的解为，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二．填空题
11．（2021秋•玉门市期末）已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：y＝﹣x﹣1的交点坐标为 ．
12．（2022春•惠州期末）如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则关于x+y＝ ．
13．（2021秋•驿城区期末）如图，直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组 的解．
14．（2021秋•沙坡头区校级期末）如图，已知函数y＝2x﹣1和y＝5﹣x的图象交于点B，则二元一次方程组的解是 ．
15．（2021秋•雁塔区校级期末）如图，已知函数y＝﹣x﹣1和y＝kx+b图象交于点A，点A的横坐标为﹣2，则关于x，y的方程组的解是 ．
16．（2021秋•射阳县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx+n与y＝kx+b的图象交于点P（﹣2，1），则方程组的解为 ．
17．（2022春•思明区期末）如图，函数y＝ax和y＝kx+b的图象相交于点A，则关于x，y的方程组
的解为 ．
18．（2021秋•平阴县期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交点坐标为 ．
19．（2022春•保山期末）如图，直线y＝x+1与直线y＝mx﹣n相交于点M（1，b），则关于x，y的方程组的解为 ．
解答题
20．（2020秋•成安县期末）如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1，
（1）关于x，y的方程组的解是 ；
（2）a＝ ；
（3）求出函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积．
21．（2022秋•无为市期中）如图，l1，l2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P．
（1）求出两条直线的函数关系式；
（2）点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解．
22．（2021秋•高新区校级期末）有这样一个问题：探究函数y＝|x﹣1|﹣2的图象与性质．
小明根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣1|﹣2的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）如表是x与y的几组对应值．
m的值为 ；
（2）在如图平面直角坐标系xOy中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（3）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：
①函数有最小值为﹣2；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③函数图象关于直线x＝﹣1对称．小明得出的结论中正确的是 ．（只填序号）
（4）已知直线y＝x+与函数y＝|x﹣1|﹣2的图象有两个交点，则方程组的解为 和 ．
23．（2021秋•毕节市期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
（1）求一次函数表达式；
（2）求D点的坐标；
（3）求△COP的面积；
（4）不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解．
24．（2021秋•揭东区期末）已知一次函数y＝﹣x+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，a）．
（1）求a，b的值；
（2）方程组的解为 ．
（3）在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2022春•礼县期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．
（1）求b的值；
（2）不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
26．（2020秋•肃州区期末）如图，直线l1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l1与x轴交于点D．直线l2与x轴交于点A，且经过点B（4，1），直线l1与l2交于点C（m，3）．
（1）求点D和点C的坐标；
（2）求直线l2的函数表达式；
（3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组的解．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
2
m
0
﹣1
﹣2
﹣1
0
1
…
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）基础
第6章《一次函数》
6.5 一次函数与二元一次方程
知识点01：一次函数与二元一次方程
一次函数的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上.
知识点02：一次函数与二元一次方程组
在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法.
知识要点：1.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.
2.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
知识点03：方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：
根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．
一．选择题
1．（2021秋•云岩区期末）如图，直线l1：y＝3x﹣1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
解：∵y＝3x﹣1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），
∴b＝2，
∴P（1，2），
∴，
故选：A．
2．（2022春•巨野县期末）如图，直线y＝ax﹣b与直线y＝mx+1交于点A（2，3），则方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
解：∵直线y＝ax﹣b与直线y＝mx+1交于点A（2，3），
∴方程组的解为，
故选：A．
3．（2021春•卢龙县期末）如图，一次函数y1＝ax+b和y2＝﹣bx+a（a≠0，b≠0）在同一坐标系的图象．则的解中（ ）
A．m＞0，n＞0B．m＞0，n＜0C．m＜0，n＞0D．m＜0，n＜0
解：∵方程组的解即是一次函数y1＝ax+b和y2＝﹣bx+a的交点坐标，
由图象可知，交点（m，n）在第一象限，
∴m＞0，n＞0．
故选：A．
4．（2020秋•佛山校级期末）如图，在同一平面直角坐标系中作出一次函数y1＝k1x与y＝k2x+b的图象，则二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
解：∵一次函数y1＝k1x与y＝k2x+b的图象的交点坐标为（1，2），
∴二元一次方程组的解为．
故选：D．
5．（2022秋•岑溪市期中）如图所示是函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
解：根据图象可知，函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象交于点（3，4），
∴关于x，y的方程组的解是，
故选：C．
6．（2022秋•雁塔区校级期中）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
解：根据题意，将x＝1代入直线y＝﹣x+3，
得y＝﹣1+3＝2，
∴直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点坐标为（1，2），
∴关于x、y的二元一次方程组的解为，
故选：C．
7．（2022春•石家庄期末）如图，已知直线y＝x+m与y＝kx﹣1相交于点P（﹣1，1），则关于x的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
解：原方程组的解就是两条直线的交点坐标，即P（﹣1.1），
故选：D．
8．（2021秋•金沙县期末）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b与正比例函数y＝k2x的图象如图所示，则关于x、y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
解：∵一次函数y＝k1x+b与正比例函数y＝k2x的图象的交点坐标为（1，﹣1），
∴关于x、y的方程组的解是．
故选：C．
9．（2021秋•白银期末）已知函数y＝ax﹣3和y＝kx的图象交于点P（2，﹣1），则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
解：函数y＝ax﹣3和y＝kx的图象交于点P（2，﹣1），
则关于x，y的二元一次方程组的解是，
故选：B．
10．（2022春•钦州期末）如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数y＝x交于点C，已知点C的横坐标为2，下列结论：①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3；②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0；③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2；④方程组的解为，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
解：∵点C的横坐标为2，
∴当x＝2时，y＝x＝，
∴C（2，），
把C（2，）代入y＝kx+2得，k＝﹣，
∴y＝﹣x+2，
当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝3，
∴B（0，2），A（3，0），
∴①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3，正确；
②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0，正确；
③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2，故③错误；
④∵C（2，），
∴方程组的解为，正确；
故选：B．
二．填空题
11．（2021秋•玉门市期末）已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：y＝﹣x﹣1的交点坐标为 （﹣4，1） ．
解：∵二元一次方程组的解为，
∴直线l1：y＝x+5与直线l2：y＝﹣x﹣1的交点坐标为（﹣4，1）．
故答案为：（﹣4，1）．
12．（2022春•惠州期末）如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则关于x+y＝ 3 ．
解：∵直线y＝ax+b和直线y＝kx交点P的坐标为（1，2），
∴二元一次方程组的解为，
∴x+y＝1+2＝3．
故答案为3．
13．（2021秋•驿城区期末）如图，直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组 的解．
解：l1的解析式为y＝x+1，l2的解析式为y＝2x﹣1，
所以直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组的解．
故答案为．
14．（2021秋•沙坡头区校级期末）如图，已知函数y＝2x﹣1和y＝5﹣x的图象交于点B，则二元一次方程组的解是 ．
解：∵函数y＝5﹣x与y＝2x﹣1的图象交于点A（2，3），
∴关于x、y的方程组的解是．
故答案为．
15．（2021秋•雁塔区校级期末）如图，已知函数y＝﹣x﹣1和y＝kx+b图象交于点A，点A的横坐标为﹣2，则关于x，y的方程组的解是 ．
解：∵函数y＝﹣x﹣1和y＝kx+b图象交于点A，点A的横坐标为﹣2，
∴y＝﹣（﹣2）﹣1＝1，
∴点A的坐标为（﹣2，1），
∴关于x，y的方程组的解是，
故答案为：．
16．（2021秋•射阳县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx+n与y＝kx+b的图象交于点P（﹣2，1），则方程组的解为 ．
解：∵函数y＝mx+n的图象与y＝kx+b的图象交于点P（﹣2，1），
∴方程组的解为，
故答案为：．
17．（2022春•思明区期末）如图，函数y＝ax和y＝kx+b的图象相交于点A，则关于x，y的方程组
的解为 ．
解：根据图象可知：函数y＝ax和y＝kx+b的图象的交点A的坐标是（﹣2，1），
所以关于x，y的方程组的解为，
故答案为：．
18．（2021秋•平阴县期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交点坐标为 （﹣4，2） ．
解：根据题意可知：
x＝﹣4，y＝2同时满足两个一次函数的解析式．
则一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交点坐标为（﹣4，2）．
故答案为：（﹣4，2）．
19．（2022春•保山期末）如图，直线y＝x+1与直线y＝mx﹣n相交于点M（1，b），则关于x，y的方程组的解为 ．
解：∵直线y＝x+1经过点M（1，b），
∴b＝1+1，
解得b＝2，
∴M（1，2），
∴关于x的方程组的解为，
故答案为：．
三．解答题
20．（2020秋•成安县期末）如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1，
（1）关于x，y的方程组的解是 ；
（2）a＝ ﹣1 ；
（3）求出函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积．
解：（1）把x＝1代入y＝x+1，得出y＝2，
函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P（1，2），
即x＝1，y＝2同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于x，y的方程组的解是．
故答案为；
（2）把P（1，2）代入y＝ax+3，
得2＝a+3，解得a＝﹣1．
故答案为﹣1；
（3）∵函数y＝x+1与x轴的交点为（﹣1，0），
y＝﹣x+3与x轴的交点为（3，0），
∴这两个交点之间的距离为3﹣（﹣1）＝4，
∵P（1，2），
∴函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积为：×4×2＝4．
21．（2022秋•无为市期中）如图，l1，l2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P．
（1）求出两条直线的函数关系式；
（2）点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解．
解：（1）设直线l1的解析式是y＝kx+b，已知l1经过点（0，3），（1，0），
可得：，解得，
则函数l1的解析式是y＝﹣3x+3；
同理可得l2的解析式是：y＝x﹣2．
（2）点P的坐标可看作是二元一次方程组的解．
22．（2021秋•高新区校级期末）有这样一个问题：探究函数y＝|x﹣1|﹣2的图象与性质．
小明根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣1|﹣2的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）如表是x与y的几组对应值．
m的值为 1 ；
（2）在如图平面直角坐标系xOy中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（3）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：
①函数有最小值为﹣2；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③函数图象关于直线x＝﹣1对称．小明得出的结论中正确的是 ①② ．（只填序号）
（4）已知直线y＝x+与函数y＝|x﹣1|﹣2的图象有两个交点，则方程组的解为 和 ．
解：（1）当x＝﹣2时，y＝|x﹣1|﹣2＝|﹣2﹣1|﹣2＝1；
故答案为1；
（2）如图所示：
；
（3）①函数有最小值为﹣2，故正确；
②当x＞1时，y随x的增大而增大，故正确；
③函数图象关于直线x＝1对称，故错误
故答案为：①②．
（4）解（x＞1）得，
解（x＜1）得，
∴方程组的解为和，
故答案为：，．
23．（2021秋•毕节市期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
（1）求一次函数表达式；
（2）求D点的坐标；
（3）求△COP的面积；
（4）不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解．
解：（1）∵正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），
∴﹣3m＝3，m＝﹣1，
∴P（﹣1，3）．
把（1，1）和（﹣1，3）代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，，
∴一次函数解析式是y＝﹣x+2；
（2）由（1）知一次函数表达式是y＝﹣x+2，
令x＝0，则y＝2，
即点D（0，2）；
（3）由（1）知一次函数解析式是y＝﹣x+2，
令y＝0，得﹣x+2＝0，解得x＝2，
∴点C（2，0），
∴OC＝2，
∵P（﹣1，3），
∴△COP的面积＝OC•|yp|＝×2×3＝3；
（4）由图象可知，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（﹣1，3），
所以方程组的解为．
24．（2021秋•揭东区期末）已知一次函数y＝﹣x+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，a）．
（1）求a，b的值；
（2）方程组的解为 ．
（3）在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题知，点C（1，a）在y＝2x的图象上，
所以a＝1×2＝2，
所以点C 的坐标为（1，2），
因为点C（1，2）在的上，
所以2＝﹣+b，
所以b＝2.5；
（2）∵一次函数y＝﹣x+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，2），
∴方程组的解为，
故答案为；
（3）存在，
理由：∵点P在y＝2x的图象上，
∴设点P 的坐标为（x，2x），
∵一次函数为，
∴点A的坐标为（0，2.5），点B的坐标为（5，0），
作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∴△BOP的面积为，△AOP的面积为，
当5|x|＝时，解得，
∴，
∴点P的坐标为或．
25．（2022春•礼县期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．
（1）求b的值；
（2）不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
解：（1）把P（1，b）代入y＝x+1得b＝1+1＝2；
（2）由（1）得P（1，2），
所以方程组的解为；
（3）直线l3：y＝nx+m经过点P．理由如下：
因为y＝mx+n经过点P（1，2），
所以m+n＝2，
所以直线y＝nx+m也经过P点．
26．（2020秋•肃州区期末）如图，直线l1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l1与x轴交于点D．直线l2与x轴交于点A，且经过点B（4，1），直线l1与l2交于点C（m，3）．
（1）求点D和点C的坐标；
（2）求直线l2的函数表达式；
（3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组的解．
解：（1）在y＝3x﹣2中
令y＝0，即3x﹣2＝0 解得x＝，
∴D（，0），
∵点C（m，3）在直线y＝3x﹣2上，
∴3m﹣2＝3，
∴m＝，
∴C（，3）；
（2）设直线l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
由题意得：，
解得：，
∴y＝﹣x+；
（3）由图可知，二元一次方程组的解为
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
2
m
0
﹣1
﹣2
﹣1
0
1
…
6.5 一次函数与二元一次方程
知识点01：一次函数与二元一次方程
一次函数的图像上任意一点的坐标都是 ；以二元一次方程的解为坐标的点都在
知识点02：一次函数与二元一次方程组
在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是 .反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是 .如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 称为二元一次方程组的图像解法.
知识要点：1.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就 ，则两个一次函数的直线就 .反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就 如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.
2.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线 ，反之也成立.
知识点03：方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应 ．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出
根据交点的个数，看出
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．
一．选择题
1．（2021秋•云岩区期末）如图，直线l1：y＝3x﹣1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春•巨野县期末）如图，直线y＝ax﹣b与直线y＝mx+1交于点A（2，3），则方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021春•卢龙县期末）如图，一次函数y1＝ax+b和y2＝﹣bx+a（a≠0，b≠0）在同一坐标系的图象．则的解中（ ）
A．m＞0，n＞0B．m＞0，n＜0C．m＜0，n＞0D．m＜0，n＜0
4．（2020秋•佛山校级期末）如图，在同一平面直角坐标系中作出一次函数y1＝k1x与y＝k2x+b的图象，则二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋•岑溪市期中）如图所示是函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋•雁塔区校级期中）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022春•石家庄期末）如图，已知直线y＝x+m与y＝kx﹣1相交于点P（﹣1，1），则关于x的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021秋•金沙县期末）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b与正比例函数y＝k2x的图象如图所示，则关于x、y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
9．（2021秋•白银期末）已知函数y＝ax﹣3和y＝kx的图象交于点P（2，﹣1），则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022春•钦州期末）如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数y＝x交于点C，已知点C的横坐标为2，下列结论：①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3；②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0；③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2；④方程组的解为，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二．填空题
11．（2021秋•玉门市期末）已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：y＝﹣x﹣1的交点坐标为 ．
12．（2022春•惠州期末）如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则关于x+y＝ ．
13．（2021秋•驿城区期末）如图，直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组 的解．
14．（2021秋•沙坡头区校级期末）如图，已知函数y＝2x﹣1和y＝5﹣x的图象交于点B，则二元一次方程组的解是 ．
15．（2021秋•雁塔区校级期末）如图，已知函数y＝﹣x﹣1和y＝kx+b图象交于点A，点A的横坐标为﹣2，则关于x，y的方程组的解是 ．
16．（2021秋•射阳县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx+n与y＝kx+b的图象交于点P（﹣2，1），则方程组的解为 ．
17．（2022春•思明区期末）如图，函数y＝ax和y＝kx+b的图象相交于点A，则关于x，y的方程组
的解为 ．
18．（2021秋•平阴县期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交点坐标为 ．
19．（2022春•保山期末）如图，直线y＝x+1与直线y＝mx﹣n相交于点M（1，b），则关于x，y的方程组的解为 ．
解答题
20．（2020秋•成安县期末）如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1，
（1）关于x，y的方程组的解是 ；
（2）a＝ ；
（3）求出函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积．
21．（2022秋•无为市期中）如图，l1，l2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P．
（1）求出两条直线的函数关系式；
（2）点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解．
22．（2021秋•高新区校级期末）有这样一个问题：探究函数y＝|x﹣1|﹣2的图象与性质．
小明根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣1|﹣2的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）如表是x与y的几组对应值．
m的值为 ；
（2）在如图平面直角坐标系xOy中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（3）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：
①函数有最小值为﹣2；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③函数图象关于直线x＝﹣1对称．小明得出的结论中正确的是 ．（只填序号）
（4）已知直线y＝x+与函数y＝|x﹣1|﹣2的图象有两个交点，则方程组的解为 和 ．
23．（2021秋•毕节市期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
（1）求一次函数表达式；
（2）求D点的坐标；
（3）求△COP的面积；
（4）不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解．
24．（2021秋•揭东区期末）已知一次函数y＝﹣x+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，a）．
（1）求a，b的值；
（2）方程组的解为 ．
（3）在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2022春•礼县期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．
（1）求b的值；
（2）不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
26．（2020秋•肃州区期末）如图，直线l1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l1与x轴交于点D．直线l2与x轴交于点A，且经过点B（4，1），直线l1与l2交于点C（m，3）．
（1）求点D和点C的坐标；
（2）求直线l2的函数表达式；
（3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组的解．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
2
m
0
﹣1
﹣2
﹣1
0
1
…
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）基础
第6章《一次函数》
6.5 一次函数与二元一次方程
知识点01：一次函数与二元一次方程
一次函数的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上.
知识点02：一次函数与二元一次方程组
在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法.
知识要点：1.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.
2.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
知识点03：方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：
根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．
一．选择题
1．（2021秋•云岩区期末）如图，直线l1：y＝3x﹣1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
解：∵y＝3x﹣1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），
∴b＝2，
∴P（1，2），
∴，
故选：A．
2．（2022春•巨野县期末）如图，直线y＝ax﹣b与直线y＝mx+1交于点A（2，3），则方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
解：∵直线y＝ax﹣b与直线y＝mx+1交于点A（2，3），
∴方程组的解为，
故选：A．
3．（2021春•卢龙县期末）如图，一次函数y1＝ax+b和y2＝﹣bx+a（a≠0，b≠0）在同一坐标系的图象．则的解中（ ）
A．m＞0，n＞0B．m＞0，n＜0C．m＜0，n＞0D．m＜0，n＜0
解：∵方程组的解即是一次函数y1＝ax+b和y2＝﹣bx+a的交点坐标，
由图象可知，交点（m，n）在第一象限，
∴m＞0，n＞0．
故选：A．
4．（2020秋•佛山校级期末）如图，在同一平面直角坐标系中作出一次函数y1＝k1x与y＝k2x+b的图象，则二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
解：∵一次函数y1＝k1x与y＝k2x+b的图象的交点坐标为（1，2），
∴二元一次方程组的解为．
故选：D．
5．（2022秋•岑溪市期中）如图所示是函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
解：根据图象可知，函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象交于点（3，4），
∴关于x，y的方程组的解是，
故选：C．
6．（2022秋•雁塔区校级期中）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
解：根据题意，将x＝1代入直线y＝﹣x+3，
得y＝﹣1+3＝2，
∴直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点坐标为（1，2），
∴关于x、y的二元一次方程组的解为，
故选：C．
7．（2022春•石家庄期末）如图，已知直线y＝x+m与y＝kx﹣1相交于点P（﹣1，1），则关于x的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
解：原方程组的解就是两条直线的交点坐标，即P（﹣1.1），
故选：D．
8．（2021秋•金沙县期末）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b与正比例函数y＝k2x的图象如图所示，则关于x、y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
解：∵一次函数y＝k1x+b与正比例函数y＝k2x的图象的交点坐标为（1，﹣1），
∴关于x、y的方程组的解是．
故选：C．
9．（2021秋•白银期末）已知函数y＝ax﹣3和y＝kx的图象交于点P（2，﹣1），则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
解：函数y＝ax﹣3和y＝kx的图象交于点P（2，﹣1），
则关于x，y的二元一次方程组的解是，
故选：B．
10．（2022春•钦州期末）如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数y＝x交于点C，已知点C的横坐标为2，下列结论：①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3；②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0；③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2；④方程组的解为，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
解：∵点C的横坐标为2，
∴当x＝2时，y＝x＝，
∴C（2，），
把C（2，）代入y＝kx+2得，k＝﹣，
∴y＝﹣x+2，
当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝3，
∴B（0，2），A（3，0），
∴①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3，正确；
②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0，正确；
③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2，故③错误；
④∵C（2，），
∴方程组的解为，正确；
故选：B．
二．填空题
11．（2021秋•玉门市期末）已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：y＝﹣x﹣1的交点坐标为 （﹣4，1） ．
解：∵二元一次方程组的解为，
∴直线l1：y＝x+5与直线l2：y＝﹣x﹣1的交点坐标为（﹣4，1）．
故答案为：（﹣4，1）．
12．（2022春•惠州期末）如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则关于x+y＝ 3 ．
解：∵直线y＝ax+b和直线y＝kx交点P的坐标为（1，2），
∴二元一次方程组的解为，
∴x+y＝1+2＝3．
故答案为3．
13．（2021秋•驿城区期末）如图，直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组 的解．
解：l1的解析式为y＝x+1，l2的解析式为y＝2x﹣1，
所以直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组的解．
故答案为．
14．（2021秋•沙坡头区校级期末）如图，已知函数y＝2x﹣1和y＝5﹣x的图象交于点B，则二元一次方程组的解是 ．
解：∵函数y＝5﹣x与y＝2x﹣1的图象交于点A（2，3），
∴关于x、y的方程组的解是．
故答案为．
15．（2021秋•雁塔区校级期末）如图，已知函数y＝﹣x﹣1和y＝kx+b图象交于点A，点A的横坐标为﹣2，则关于x，y的方程组的解是 ．
解：∵函数y＝﹣x﹣1和y＝kx+b图象交于点A，点A的横坐标为﹣2，
∴y＝﹣（﹣2）﹣1＝1，
∴点A的坐标为（﹣2，1），
∴关于x，y的方程组的解是，
故答案为：．
16．（2021秋•射阳县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx+n与y＝kx+b的图象交于点P（﹣2，1），则方程组的解为 ．
解：∵函数y＝mx+n的图象与y＝kx+b的图象交于点P（﹣2，1），
∴方程组的解为，
故答案为：．
17．（2022春•思明区期末）如图，函数y＝ax和y＝kx+b的图象相交于点A，则关于x，y的方程组
的解为 ．
解：根据图象可知：函数y＝ax和y＝kx+b的图象的交点A的坐标是（﹣2，1），
所以关于x，y的方程组的解为，
故答案为：．
18．（2021秋•平阴县期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交点坐标为 （﹣4，2） ．
解：根据题意可知：
x＝﹣4，y＝2同时满足两个一次函数的解析式．
则一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交点坐标为（﹣4，2）．
故答案为：（﹣4，2）．
19．（2022春•保山期末）如图，直线y＝x+1与直线y＝mx﹣n相交于点M（1，b），则关于x，y的方程组的解为 ．
解：∵直线y＝x+1经过点M（1，b），
∴b＝1+1，
解得b＝2，
∴M（1，2），
∴关于x的方程组的解为，
故答案为：．
三．解答题
20．（2020秋•成安县期末）如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1，
（1）关于x，y的方程组的解是 ；
（2）a＝ ﹣1 ；
（3）求出函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积．
解：（1）把x＝1代入y＝x+1，得出y＝2，
函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P（1，2），
即x＝1，y＝2同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于x，y的方程组的解是．
故答案为；
（2）把P（1，2）代入y＝ax+3，
得2＝a+3，解得a＝﹣1．
故答案为﹣1；
（3）∵函数y＝x+1与x轴的交点为（﹣1，0），
y＝﹣x+3与x轴的交点为（3，0），
∴这两个交点之间的距离为3﹣（﹣1）＝4，
∵P（1，2），
∴函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积为：×4×2＝4．
21．（2022秋•无为市期中）如图，l1，l2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P．
（1）求出两条直线的函数关系式；
（2）点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解．
解：（1）设直线l1的解析式是y＝kx+b，已知l1经过点（0，3），（1，0），
可得：，解得，
则函数l1的解析式是y＝﹣3x+3；
同理可得l2的解析式是：y＝x﹣2．
（2）点P的坐标可看作是二元一次方程组的解．
22．（2021秋•高新区校级期末）有这样一个问题：探究函数y＝|x﹣1|﹣2的图象与性质．
小明根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣1|﹣2的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）如表是x与y的几组对应值．
m的值为 1 ；
（2）在如图平面直角坐标系xOy中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（3）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：
①函数有最小值为﹣2；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③函数图象关于直线x＝﹣1对称．小明得出的结论中正确的是 ①② ．（只填序号）
（4）已知直线y＝x+与函数y＝|x﹣1|﹣2的图象有两个交点，则方程组的解为 和 ．
解：（1）当x＝﹣2时，y＝|x﹣1|﹣2＝|﹣2﹣1|﹣2＝1；
故答案为1；
（2）如图所示：
；
（3）①函数有最小值为﹣2，故正确；
②当x＞1时，y随x的增大而增大，故正确；
③函数图象关于直线x＝1对称，故错误
故答案为：①②．
（4）解（x＞1）得，
解（x＜1）得，
∴方程组的解为和，
故答案为：，．
23．（2021秋•毕节市期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
（1）求一次函数表达式；
（2）求D点的坐标；
（3）求△COP的面积；
（4）不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解．
解：（1）∵正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），
∴﹣3m＝3，m＝﹣1，
∴P（﹣1，3）．
把（1，1）和（﹣1，3）代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，，
∴一次函数解析式是y＝﹣x+2；
（2）由（1）知一次函数表达式是y＝﹣x+2，
令x＝0，则y＝2，
即点D（0，2）；
（3）由（1）知一次函数解析式是y＝﹣x+2，
令y＝0，得﹣x+2＝0，解得x＝2，
∴点C（2，0），
∴OC＝2，
∵P（﹣1，3），
∴△COP的面积＝OC•|yp|＝×2×3＝3；
（4）由图象可知，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（﹣1，3），
所以方程组的解为．
24．（2021秋•揭东区期末）已知一次函数y＝﹣x+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，a）．
（1）求a，b的值；
（2）方程组的解为 ．
（3）在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题知，点C（1，a）在y＝2x的图象上，
所以a＝1×2＝2，
所以点C 的坐标为（1，2），
因为点C（1，2）在的上，
所以2＝﹣+b，
所以b＝2.5；
（2）∵一次函数y＝﹣x+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，2），
∴方程组的解为，
故答案为；
（3）存在，
理由：∵点P在y＝2x的图象上，
∴设点P 的坐标为（x，2x），
∵一次函数为，
∴点A的坐标为（0，2.5），点B的坐标为（5，0），
作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∴△BOP的面积为，△AOP的面积为，
当5|x|＝时，解得，
∴，
∴点P的坐标为或．
25．（2022春•礼县期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．
（1）求b的值；
（2）不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
解：（1）把P（1，b）代入y＝x+1得b＝1+1＝2；
（2）由（1）得P（1，2），
所以方程组的解为；
（3）直线l3：y＝nx+m经过点P．理由如下：
因为y＝mx+n经过点P（1，2），
所以m+n＝2，
所以直线y＝nx+m也经过P点．
26．（2020秋•肃州区期末）如图，直线l1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l1与x轴交于点D．直线l2与x轴交于点A，且经过点B（4，1），直线l1与l2交于点C（m，3）．
（1）求点D和点C的坐标；
（2）求直线l2的函数表达式；
（3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组的解．
解：（1）在y＝3x﹣2中
令y＝0，即3x﹣2＝0 解得x＝，
∴D（，0），
∵点C（m，3）在直线y＝3x﹣2上，
∴3m﹣2＝3，
∴m＝，
∴C（，3）；
（2）设直线l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
由题意得：，
解得：，
∴y＝﹣x+；
（3）由图可知，二元一次方程组的解为
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
2
m
0
﹣1
﹣2
﹣1
0
1
…
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