苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【6.4用一次函数解决问题】(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【6.4用一次函数解决问题】(原卷版+解析)，共35页。试卷主要包含了4 用一次函数解决问题，5x+20，5分钟时追上甲；，5m时，影长是多少米？，5折卖．，2，等内容，欢迎下载使用。

6.4 用一次函数解决问题
知识点01：数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
知识点02：正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
知识要点：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
知识点03：选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
考点01:根据实际问题列一次函数关系式
1．（2015秋•普陀区期末）已知等腰三角形的周长等于20，那么底边长y与腰长x的函数解析式和定义域分别是（ ）
A．y＝20﹣2x（0＜x＜20）B．y＝20﹣2x（0＜x＜10）
C．y＝20﹣2x（5＜x＜10）D．y＝（5＜x＜10）
2．（2022春•长安区校级期中）汽车由A地驶往相距120km的B地，它的平均速度是30km/h，则汽车距B地路程s（km）与行驶时间t（h）的函数关系式及自变量t的取值范围是（ ）
A．s＝120﹣30t（0≤t≤4）B．s＝120﹣30t（t＞0）
C．s＝30t（0≤t≤40）D．s＝30t（t＜4）
3．（2017春•钦州期末）等腰三角形的周长是40cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数解析式正确的是（ ）
A．y＝﹣0.5x+20（0＜x＜20）B．y＝﹣0.5x+20（10＜x＜20）
C．y＝﹣2x+40（10＜x＜20）D．y＝﹣2x+40（0＜x＜20）
4．（2021•饶平县校级模拟）一个弹簧不挂重物时长10cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，则弹簧总长y（单位：cm）关于所挂重物x（单位：kg）的函数关系式为 （不需要写出自变量取值范围）
5．（2020秋•金坛区月考）等腰三角形的周长为20，底边y与腰长x的函数关系为 ，自变量的取值范围是 ．
6．（2019春•海淀区校级期中）已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围是 ．
7．（2021春•青川县期末）一根弹簧的原长为12cm，它能挂的重量不能超过15kg并且每挂重1kg就伸长cm，写出挂重后的弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式并标明x的取值范围 ．
8．（2019秋•张店区期末）已知一出租车油箱内剩余油48L，一般行驶一小时耗油8L，则该车油箱内剩余油量y（L）和行驶时间x（时）之间的函数关系式是 （不写自变量取值范围）．
9．（2019春•黄埔区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上以C为起点，沿C→B→A的路径移动的动点，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则y与x的函数关系式为 ．
10．（2020春•香洲区校级期中）拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果工作每小时耗油4升，求：
（1）油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当工作5小时时油箱的余油量
11．（2018秋•林甸县期末）已知等腰三角形的周长是20cm，设底边长为y，腰长为x，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
12．在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体的质量x（克）的一次函数，当所挂物体的质量为10克时，弹簧长11厘米；当所挂物体的质量为30克时，弹簧长15厘米．写出y与x之间的关系式，并求出所挂物体的质量为20克时的弹簧的长度．
13．扬州火车货运站现有甲、乙两种货物，安排用一列货车将这批货物往广州，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢共50节，已知用一节A型货厢的运费是0.5万元，用一节B型货厢的运费是0.8万元．设运输这批货物的总运费为y（万元），用A型货的节数为x（节），试写出y与x之间的函数关系式．
14．（2019秋•高州市期中）在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）的一次函数．某弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm．写出y与x之间的关系式，并求出所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度．
考点02:一次函数的应用
15．（2022秋•历下区期中）为培养同学们的创新精神，某校举办校园科技节活动，八年级同学进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时8分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与它们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，若前3.5分钟甲机器人的速度不变，则出发（ ）分钟后两机器人最后一次相距6米．
A．6B．6.4C．6.8D．7.2
16．（2022秋•怀宁县期中）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有（ ）
①甲登山的速度是每分钟10米；
②乙在A地时距地面的高度b为30米；
③乙登山5.5分钟时追上甲；
④登山时间为4分钟、9分钟、13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
A．1个B．2个C．3个D．4个
17．（2022秋•市中区期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为8时，对应的高度h为（ ）
A．3.6B．4.4C．5.2D．6.0
18．（2022秋•城阳区期中）如图，某电信公司手机的收费标准有A，B两类，已知每月应缴费用S（元）与通话时间t（分）之间的关系如图所示．当通话时间为50分钟时，按这两类收费标准缴费的差为（ ）
A．30元B．20元C．15元D．10元
19．（2022秋•罗湖区校级期中）小刚从家出发步行去学校，几分钟后发现忘带作业，于是掉头原速返回并立即打电话给爸爸，挂断电话后爸爸立即跑步去追小刚，同时小刚以原速的两倍跑步回家，爸爸追上小刚后以原速的0.5倍原路步行回家，而小刚则以原跑步速度赶往学校，并在从家出发23分钟后到校（小刚被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小刚从家出发到学校的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小刚的步行速度为 m/min．
20．（2021秋•长清区期末）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的是 （填序号）．
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米；
③甲、乙两人之间的距离为40米时，甲出发的时间为55秒和90秒；
④乙到达终点时，甲距离终点还有80米．
21．（2021秋•鼓楼区校级期末）某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本y1（单位：元）、收入y2（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是 千克．
22．（2022秋•石阡县期中）在同一时间、同一地点测得树高（m）和影长（m）的数据如下表：
（1）在图中描出表示树高和对应影长的点，然后把它们按顺序连起来，并描述形成的图象的特点；
（2）树高和影长成 比例关系（填“正”或“反”）；
（3）当树高11.5m时，影长是多少米？
23．（2022秋•杏花岭区校级期中）有一科技小组进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分钟的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：
（1）A、B两点之间的距离是 米，甲机器人前2分钟的速度为 米/分；
（2）已知线段FG∥x轴，前3分钟甲机器人的速度不变．
①在3～4分钟的这段时间，甲机器人的速度为 米/分．
②请直接写出在整个运动过程中，两机器人相距28m时x的值．
24．（2022秋•历下区期中）小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的8.5折卖．
（1）分别写出两商店优惠后的价格y（元）与购买数量x（本）之间的关系式；
（2）小明要买22本练习本，到哪个商店购买较省钱？请说明理由．
25．（2022秋•杏花岭区校级期中）节约用水是我们的美德，水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水量w（L）与滴水时间t（h）的函数关系可以用显示水量的容器如图1的试验，并根据试验数据绘制出如图2的函数图象，结合图象解答下列问题：
（1）求w与t之间的函数关系式；
（2）计算在这种滴水状态下，一天（24小时）容器内的盛水量是多少升．
26．（2022秋•怀宁县期中）为加强独秀山公园的建设，需用甲、乙两种石材．经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积x（m2）间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米70元．
（1）求y与x间的函数表达式；
（2）若公园建设总面积共900m2，其中使用甲石材xm2，设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w与x间的函数表达式；
（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积不少于400m2，且不超过乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最少总费用为多少元？
27．（2022秋•沈河区校级期中）一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地驶往C地，乙车从A地驶往B地，两车同时出发并以各自的速度匀速行驶，乙车中途因汽车故障停下来修理，修好后立即以原速的两倍继续前进到达B地：如图是甲、乙两车与A地的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的大致图象．
（1）直接写出A、C两地之间的距离 km；B、C两地之间的距离 km；
（2）写出乙车修理好之后与A地的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的关系式 ．
（3）乙 小时追上甲；
（4）当两车相距40千米时，甲车行驶了 小时．
28．（2022•无棣县一模）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别以速度v1、v2（单位：km/h，且v1＞2v2）匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留了2h，沿原路仍以速度v1匀速返回甲地，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示从慢车出发至慢车到达乙地的过程中，y与x之间的函数关系．
（1）甲乙两地相距 km；点A实际意义： ；
（2）求a，b的值；
（3）慢车出发多长时间后，两车相距480km？
29．（2021秋•锡山区期末）某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验．如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返干端点B、A之间，他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
【观察】请直接写出：当x＝20时，y的值为 ；当x＝40时，y的值为 ；
【发现】兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（如图2中的线段OM，但不包括点O，因此点O用空心画出）
①请直接写出：a＝ ；
②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象，标出关键点的坐标；
【拓展】设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为z个单位长度．若z不超过40，则x的取值范围是 （直接写出结果）．
t（min）
…
1
2
3
…
h（cm）
…
2.4
2.8
3.2
…
树高（m）
2
3
4
6
9
……
影长（m）
1.6
2.4
3.2
4.8
7.2
……
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第6章《一次函数》
6.4 用一次函数解决问题
知识点01：数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
知识点02：正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
知识要点：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
知识点03：选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
考点01:根据实际问题列一次函数关系式
1．（2015秋•普陀区期末）已知等腰三角形的周长等于20，那么底边长y与腰长x的函数解析式和定义域分别是（ ）
A．y＝20﹣2x（0＜x＜20）B．y＝20﹣2x（0＜x＜10）
C．y＝20﹣2x（5＜x＜10）D．y＝（5＜x＜10）
解：∵等腰三角形的周长等于20，底边长y，腰长x，
∴2x+y＝20，
∴y＝20﹣2x，
∵两边之和大于第三边，
∴，
解得5＜x＜10．
故选：C．
2．（2022春•长安区校级期中）汽车由A地驶往相距120km的B地，它的平均速度是30km/h，则汽车距B地路程s（km）与行驶时间t（h）的函数关系式及自变量t的取值范围是（ ）
A．s＝120﹣30t（0≤t≤4）B．s＝120﹣30t（t＞0）
C．s＝30t（0≤t≤40）D．s＝30t（t＜4）
解：平均速度是30km/h，
∴t小时行驶30tkm，
∴s＝120﹣30t，
∵时间为非负数，汽车距B地路程为非负数，
∴t≥0，120﹣30t≥0，
解得0≤t≤4．
故选：A．
3．（2017春•钦州期末）等腰三角形的周长是40cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数解析式正确的是（ ）
A．y＝﹣0.5x+20（0＜x＜20）B．y＝﹣0.5x+20（10＜x＜20）
C．y＝﹣2x+40（10＜x＜20）D．y＝﹣2x+40（0＜x＜20）
解：根据三角形周长等于三边之和可得：2y＝40﹣x
∴y＝20﹣0.5x，又知道x为底边⇒x＜2y，x＞y﹣y
∴可知0＜x＜20
故选：A．
4．（2021•饶平县校级模拟）一个弹簧不挂重物时长10cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，则弹簧总长y（单位：cm）关于所挂重物x（单位：kg）的函数关系式为 y＝3x+10 （不需要写出自变量取值范围）
解：弹簧总长y（单位：cm）关于所挂重物x（单位：kg）的函数关系式为y＝3x+10，
故答案为：y＝3x+10
5．（2020秋•金坛区月考）等腰三角形的周长为20，底边y与腰长x的函数关系为 y＝20﹣2x ，自变量的取值范围是 5＜x＜10 ．
解：因为等腰三角形的两腰相等，周长为20，
所以2x+y＝20，所以底边长y与腰长x的函数关系式为：y＝﹣2x+20；
两边之和大于第三边，2x＞y，
所以x＞5，同时y＞0，所以x＜10，
所以x的取值范围是：5＜x＜10．
6．（2019春•海淀区校级期中）已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式为 y＝﹣2x+20 ，自变量x的取值范围是 5＜x＜10 ．
解：∵2x+y＝20，
∴y＝20﹣2x，即x＜10，
∵两边之和大于第三边
∴x＞5，
综上可得5＜x＜10．
故答案为：y＝﹣2x+20，5＜x＜10．
7．（2021春•青川县期末）一根弹簧的原长为12cm，它能挂的重量不能超过15kg并且每挂重1kg就伸长cm，写出挂重后的弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式并标明x的取值范围 y＝x+12 （0≤x≤15） ．
解：设挂重为x，则弹簧伸长为x，
挂重后弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是：y＝x+12 （0≤x≤15）．
故答案为：y＝x+12 （0≤x≤15）．
8．（2019秋•张店区期末）已知一出租车油箱内剩余油48L，一般行驶一小时耗油8L，则该车油箱内剩余油量y（L）和行驶时间x（时）之间的函数关系式是 y＝48﹣8x （不写自变量取值范围）．
解：依题意有：y＝48﹣8x．
9．（2019春•黄埔区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上以C为起点，沿C→B→A的路径移动的动点，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则y与x的函数关系式为 y＝ ．
解：当点P在CB上运动时，y＝AB•AD＝×4×4＝8；
当点P在BA上运动时，如图，y＝AD•AP＝4×[4﹣（x﹣4）]＝﹣2x+16．
综上所述，y＝，
故答案为：y＝．
10．（2020春•香洲区校级期中）拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果工作每小时耗油4升，求：
（1）油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当工作5小时时油箱的余油量
解：（1）由题意可知：Q＝40﹣4t（0≤t≤10）；
（2）把t＝5时代入Q＝40﹣4t得：油箱的余油量Q＝20升．
11．（2018秋•林甸县期末）已知等腰三角形的周长是20cm，设底边长为y，腰长为x，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
解：∵2x+y＝20，
∴y＝20﹣2x，即x＜10，
∵两边之和大于第三边，
∴x＞5，
综上可得5＜x＜10．
12．在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体的质量x（克）的一次函数，当所挂物体的质量为10克时，弹簧长11厘米；当所挂物体的质量为30克时，弹簧长15厘米．写出y与x之间的关系式，并求出所挂物体的质量为20克时的弹簧的长度．
解：设弹簧的长度y（厘米）是所挂物体的质量x（克）的函数解析式为y＝kx+b，
∵所挂物体的质量为10克时，弹簧长11厘米；当所挂物体的质量为30克时，弹簧长15厘米，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x+9，
当x＝20时，y＝×20+9＝13，
∴当物体的重量为20克时，弹簧的长度为13cm．
13．扬州火车货运站现有甲、乙两种货物，安排用一列货车将这批货物往广州，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢共50节，已知用一节A型货厢的运费是0.5万元，用一节B型货厢的运费是0.8万元．设运输这批货物的总运费为y（万元），用A型货的节数为x（节），试写出y与x之间的函数关系式．
解：y与x之间的函数关系式为y＝0.5x+0.8（50﹣x）＝﹣0.3x+40．
14．（2019秋•高州市期中）在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）的一次函数．某弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm．写出y与x之间的关系式，并求出所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度．
解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得
，
解得：．
故y与x之间的关系式为：y＝0.5x+14.5；
当x＝4时，
y＝0.5×4+14.5＝16.5．
答：当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度为16.5cm．
考点02:一次函数的应用
15．（2022秋•历下区期中）为培养同学们的创新精神，某校举办校园科技节活动，八年级同学进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时8分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与它们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，若前3.5分钟甲机器人的速度不变，则出发（ ）分钟后两机器人最后一次相距6米．
A．6B．6.4C．6.8D．7.2
解：由图可知，甲机器人用3分钟追上乙机器人，
∴甲机器人速度比乙机器人快＝30（米/分钟），
∴3.5分钟时，甲机器人在乙机器人前面30×（3.5﹣3）＝15（米），
设4到8分钟的解析式为y＝kx+b，将（4，15），（8，0）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣x+30，
当y＝6时，﹣x+30＝6，
解得x＝6.4，
故选：B．
16．（2022秋•怀宁县期中）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有（ ）
①甲登山的速度是每分钟10米；
②乙在A地时距地面的高度b为30米；
③乙登山5.5分钟时追上甲；
④登山时间为4分钟、9分钟、13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：（1）甲登山的速度是：（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），故①正确；
（2）乙在地时距地面的高度b＝15÷1×2＝30，故②正确；
（3）当2≤x≤11时，
∵甲对应的函数关系式为：y＝10x+100（0≤x≤20），乙对应的函数解析式为y＝30x﹣30，
∴10x+100＝30x﹣30，
解得x＝6.5．
即登山6.5分钟时，乙追上了甲，故③错误；
（4）当10x+100﹣（30x﹣30）＝50，解得x＝4，
当30x﹣30﹣（10x+100）＝50，解得x＝9，
当300﹣（10x+100）＝50，解得x＝15，
故登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲乙两人距离地面的高度差为50米，故④错误；
∴正确的个数为2个．
故选：B．
17．（2022秋•市中区期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为8时，对应的高度h为（ ）
A．3.6B．4.4C．5.2D．6.0
解：设过点（1，2.4）和点（2，2.8）的函数解析式为h＝kt+b（k≠0），
则，
解得，
即h＝0.4t+2，
当t＝8时，h＝0.4×8+2＝5.2，
故选：C．
18．（2022秋•城阳区期中）如图，某电信公司手机的收费标准有A，B两类，已知每月应缴费用S（元）与通话时间t（分）之间的关系如图所示．当通话时间为50分钟时，按这两类收费标准缴费的差为（ ）
A．30元B．20元C．15元D．10元
解：设A类标准缴费SA＝kt+b，将（0，20），（100，30）代入得：
，
解得，
∴A类标准缴费SA＝0.1t+20，
B类标准SB＝0.3t，
当t＝50时，SA＝0.1t+20＝0.1×50+20＝25，SB＝0.3t＝0.3×50＝15，
∵25﹣15＝10，
∴按这两类收费标准缴费的差为10元，
故选：D．
19．（2022秋•罗湖区校级期中）小刚从家出发步行去学校，几分钟后发现忘带作业，于是掉头原速返回并立即打电话给爸爸，挂断电话后爸爸立即跑步去追小刚，同时小刚以原速的两倍跑步回家，爸爸追上小刚后以原速的0.5倍原路步行回家，而小刚则以原跑步速度赶往学校，并在从家出发23分钟后到校（小刚被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小刚从家出发到学校的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小刚的步行速度为 160 m/min．
解：由图可知，小刚和爸爸相遇后，到小刚爸爸回到家用时17﹣15＝2（分钟），
∵爸爸追上小刚后以原速的0.5倍原路步行回家，
∴小刚打完电话到与爸爸相遇用的时间为1分钟，
∵由于时间关系小明拿到作业后同样以之前跑步的速度赶往学校，
∴小刚和爸爸相遇之后跑步的1分和爸爸2分钟走的路程是720米，
∴小刚后来的速度为：1040﹣720＝320（米/分钟）．
∴小刚步行的速度为：160米/分．
故答案为：160．
20．（2021秋•长清区期末）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的是 ①②③ （填序号）．
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米；
③甲、乙两人之间的距离为40米时，甲出发的时间为55秒和90秒；
④乙到达终点时，甲距离终点还有80米．
解：由图象可知，乙80秒到达终点，
∴400÷80＝5（米/秒），
∴乙的速度为5米/秒，
故①正确；
由图象可知，甲3秒行12米，
∴12÷3＝4（米/秒），
∴甲的速度是4米/秒，
甲、乙两人第一次相遇，则12+4x＝5x，
解得x＝12，
∴5×12＝60（米），
∴甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米，
故②正确；
当x＝12时，两人第一次相遇，即y＝0；
当x＝80时，乙行400米，甲行4×（3+80）＝332（米），
∴400﹣332＝68（米），
此时两人的距离是68米，
即当x＝80时，y＝68，
设当12≤x≤80时，y＝kx+b，
则，
解得，
∴y＝x﹣12，
当y＝40时，则x﹣12＝40，
解得x＝52，
∴52+3＝55（秒），
当甲距离终点40米时，则12+4x+40＝400，
解得x＝87，
∴87+3＝90（秒），
∴甲、乙两人之间的距离为40米时，甲出发的时间为55秒和90秒，
故③正确；
由图象可知，乙80秒到达终点，行400米，
此时甲跑的距离为4×（3+80）＝332（米），
∴400﹣332＝68（米），
∴乙到达终点时，甲距离终点还有68米，
故④错误，
故答案为：①②③．
21．（2021秋•鼓楼区校级期末）某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本y1（单位：元）、收入y2（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是 30 千克．
解：设线段OC的函数表达式为y＝kx，则60k＝720，
解得：k＝12，
∴线段OC的函数表达式为y＝12x；
设线段AB的函数表达式为y＝mx+n，则：
解得：
∴线段AB的函数表达式为y＝4x+240，
解方程组，得，
即该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是30千克．
故答案为：30．
22．（2022秋•石阡县期中）在同一时间、同一地点测得树高（m）和影长（m）的数据如下表：
（1）在图中描出表示树高和对应影长的点，然后把它们按顺序连起来，并描述形成的图象的特点；
（2）树高和影长成 正 比例关系（填“正”或“反”）；
（3）当树高11.5m时，影长是多少米？
解：（1）如图所示：
（2）由树高和影长的比值一定，可得树高和影长成正比例关系．
故答案为：正；
（3）设当树高11.5m时，影长是x米，
则，
解得x＝9.2，
答：当树高11.5m时，影长是9.2米．
23．（2022秋•杏花岭区校级期中）有一科技小组进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分钟的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：
（1）A、B两点之间的距离是 70 米，甲机器人前2分钟的速度为 95 米/分；
（2）已知线段FG∥x轴，前3分钟甲机器人的速度不变．
①在3～4分钟的这段时间，甲机器人的速度为 60 米/分．
②请直接写出在整个运动过程中，两机器人相距28m时x的值．
解：（1）由图象可得，
A、B两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2＝95（米/分），
故答案为：70，95；
（2）①∵线段FG∥x轴，
∴则此段时间，甲机器人的速度和乙机器人的速度一样，
∴则此段时间，甲机器人的速度是60米/分，
故答案为：60；
②由题意可得，
当x＝3时，甲、乙两人的距离为：（90﹣60）×（3﹣2）＝35（m），
∴点E的坐标为（3，35），
设线段EF所在直线的函数解析式为y＝kx+b，
∵点E（2，0），点F（3，35）在该函数图象上，
∴，
解得，
即线段EF所在直线的函数解析式为y＝35x﹣70；
设当两机器人出发x分钟时，它们相距28米，
相遇之前：（60x+70）﹣95x＝28，
解得x＝；
相遇之后在甲到达点F之前：95x﹣（60x+70）＝28，
解得x＝；
设从点G开始到他们到达终点这段对应的函数解析式为y＝mx+n，
∵点G（4，35），点（7，0）在该函数图象上，
∴，
解得，
即从点G开始到他们到达终点这段对应的函数解析式为y＝﹣x+，
令y＝30，得28＝﹣x+，
解得x＝；
由上可得，当两机器人出发分钟或分钟或分钟时，它们相距28米，
∴当x的值为或或时，它们相距28米．
24．（2022秋•历下区期中）小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的8.5折卖．
（1）分别写出两商店优惠后的价格y（元）与购买数量x（本）之间的关系式；
（2）小明要买22本练习本，到哪个商店购买较省钱？请说明理由．
解：（1）由题意可得，y乙＝0.85x（x＞0）；
当0＜x≤10时，y甲＝x，
当x＞10时，y甲＝10+0.7（x﹣10）＝0.7x+3，
∴；
（2）当x＝22时，
y甲＝0.7×22+3＝18.4（元），
y乙＝0.85×22＝18.7（元），
∵y甲＜y乙，
∴在甲商店购买合算．
25．（2022秋•杏花岭区校级期中）节约用水是我们的美德，水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水量w（L）与滴水时间t（h）的函数关系可以用显示水量的容器如图1的试验，并根据试验数据绘制出如图2的函数图象，结合图象解答下列问题：
（1）求w与t之间的函数关系式；
（2）计算在这种滴水状态下，一天（24小时）容器内的盛水量是多少升．
解：（1）由图象可知w与t之间是一函数关系，
∴设w与t之间的函数关系式为w＝kt+b，
将（0，0.3），（1.5，0.9）代入，
得：，
解得：，
∴w与t之间的函数关系式为w＝0.4t+0.3；
（2）由关系式可知，每小时滴水量为0.4L，
∴当t＝24时，w＝0.4×24+0.3＝9.9（L），
即在这种滴水状态下一天的盛水量是9.9升．
26．（2022秋•怀宁县期中）为加强独秀山公园的建设，需用甲、乙两种石材．经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积x（m2）间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米70元．
（1）求y与x间的函数表达式；
（2）若公园建设总面积共900m2，其中使用甲石材xm2，设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w与x间的函数表达式；
（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积不少于400m2，且不超过乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最少总费用为多少元？
解：（1）当0≤x≤300时，根据图象设y＝k1x，
把（300，24000）代入得k1＝80，
∴y＝80x；
当x≥300时，根据图象设y＝k2x+b，
把（300，24000）和（500，30000）代入得，
解得，
∴y＝30x+15000，
综上所述：y与x间的函数表达式；
（2）使用甲石材xm2，则使用乙石材（900﹣x）m2，
当0≤x≤300时，w＝80x+70（900﹣x）＝10x+63000；
当x≥300时，w＝30x+15000+70（900﹣x）＝﹣40x+78000，
∴w与x间的函数表达式为w＝；
（3）根据题意得：，
解得：400≤x≤600，
∵﹣40＜0，
w随着x的增大而减小，
∴当x＝600时，w＝﹣40×600+78000＝54000，
答：甲石材面积为600m2，乙石材面积为300m2总费用最少，最少为54000元．
27．（2022秋•沈河区校级期中）一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地驶往C地，乙车从A地驶往B地，两车同时出发并以各自的速度匀速行驶，乙车中途因汽车故障停下来修理，修好后立即以原速的两倍继续前进到达B地：如图是甲、乙两车与A地的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的大致图象．
（1）直接写出A、C两地之间的距离 360 km；B、C两地之间的距离 60 km；
（2）写出乙车修理好之后与A地的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的关系式 y＝100x﹣180 ．
（3）乙 4.5 小时追上甲；
（4）当两车相距40千米时，甲车行驶了 小时或3.5小时或 小时．
解：（1）由图象可直接得出，A，C两地之间的距离为360千米；乙前面的速度为：100÷2＝50（千米/小时），
乙后来的速度为：50×2＝100（千米/小时），
B、C两地之间的距离为：360﹣100﹣100×（4.8﹣2.8）＝60（千米），
故答案为：360；60；
（2）由（1）可得，A、B两地之间的距离为：360﹣60＝300（km），
设乙与A地距离与出发时间x之间的函数关系式为y＝k2x+b，
代入（2.8，100）和（4.8，300），
得，
解得，
∴y＝100x﹣180，
故答案为：y＝100x﹣180；
（3）甲的速度为：360÷6＝60（千米/小时），
设乙t小时追上甲，
根据题意得60t＝100+100（t﹣2.8），
解得t＝4.5，
答：出发后4.5小时乙追上甲；
故答案为：4.5；
（4）当0＜x≤2时，两车距离小于40，
①当2＜x≤2.8时，
设甲距离A地的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的关系式为y＝k1x，
代入（6，360）可得k1＝60，
∴y＝60x，
令60x﹣100＝40，解得x＝；
②当2.8＜x≤4.8时，
根据题意可知，100x﹣180﹣60x＝40或60x﹣（100x﹣180）＝40，
解得x＝5.2（不合题意，舍去）或x＝3.5；
③当x＞4.8时，
解方程60x＝360﹣20得x＝．
答：当两车相距40千米时，甲车行驶了小时或3.5小时或小时．
故答案为：小时或3.5小时或．
28．（2022•无棣县一模）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别以速度v1、v2（单位：km/h，且v1＞2v2）匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留了2h，沿原路仍以速度v1匀速返回甲地，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示从慢车出发至慢车到达乙地的过程中，y与x之间的函数关系．
（1）甲乙两地相距 900 km；点A实际意义： 快车行驶6h时到达乙地，此时慢车距离乙地540km ；
（2）求a，b的值；
（3）慢车出发多长时间后，两车相距480km？
解：（1）由图象知，甲、乙两地之间的距离为900km，
如图，过点B向y轴作垂线，过点A作x轴的垂线，
由图可知，AB段表示快车在乙地停留的2h，
此时，慢车走的路程为60×2＝120（km），
∴c＝540﹣120＝420（km），a＝＝8（h），
∴a﹣2＝6（h），
∴A（6，540），
∴点A的实际意义是：快车行驶6h时到达乙地，此时慢车距离乙地540km，
故答案为：900；快车行驶6h时到达乙地，此时慢车距离乙地540km；
（2）由OA段可知，快车的速度﹣慢车的速度＝＝90（km/h），
∴快车的速度为150（km/h），快车的速度为＝150（km/h），
所以线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y1＝900﹣60x，
所以线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为：y2＝（60+150）（x﹣10）＝210x﹣2100；
根据快车的运动可知，点D表示的含义是当快车行驶xh时，快车到达甲地，乙车距离甲车的距离为b，
又点D的横坐标为：900×2÷150+2＝12+2＝14，
此时b＝60×14＝840（km），
即a的值为8，b的值为840；
（3）如图，作y＝480，
①线段OA所表示的y与x之间的函数表达式为y3＝90x（0≤x＜6），
令y3＝480，得x＝，
②线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y1＝﹣60x+900（6≤x＜8），
令y1＝480，得x＝7，
③线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为y2＝210x﹣2100（10≤x＜14），
令y2＝480，得x＝．
答：慢车出发h，7h，h后，两车相距480km．
29．（2021秋•锡山区期末）某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验．如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返干端点B、A之间，他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
【观察】请直接写出：当x＝20时，y的值为 60 ；当x＝40时，y的值为 80 ；
【发现】兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（如图2中的线段OM，但不包括点O，因此点O用空心画出）
①请直接写出：a＝ ；
②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象，标出关键点的坐标；
【拓展】设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为z个单位长度．若z不超过40，则x的取值范围是 0＜x≤8或40≤x≤48 （直接写出结果）．
解：【观察】当x＝20时，相遇地点与点A之间的距离为20个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为100﹣20＝80个单位长度，
设电子虫甲的速度为v，
∴电子虫乙的速度为v＝4v，
∴电子虫甲从相遇点到点B所用的时间为，
电子虫乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为＝，而＞，
∴电子虫乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和电子虫甲第二次迎面相遇，
∵他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，
根据题意得：20+100+100﹣y＝4（y﹣20），
∴y＝60，
当x＝40时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为100﹣40＝60个单位长度，
设电子虫甲的速度为v'，
∴电子虫乙的速度为v'＝v'，
∴电子虫乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为＝，电子虫甲从相遇点到点B所用时间为，
∵＞，
∴电子虫甲从第一次相遇点到点B，再返回A，在返回A的途中与返回B的电子虫乙第二次迎面相遇，
根据题意得：40+y＝（60+100﹣y），
∴y＝80，
故答案为：60，80；
【发现】①由函数图象可知，第一次相遇距A地a个单位，第二次相遇距A地第100个单位（B地），
设电子虫甲的速度为v，则电子虫乙的速度为v，
根据题意知，v＝2v，
∴a＝，
故答案为：；
②当0＜x≤时，点M（，100）在线段OM上，
∴线段OM的表达式为y＝3x，
当v＜v时，即当＜x＜50，此时，第二次相遇地点是电子虫甲在到点B返回向点A时，
设电子虫甲的速度为v，则电子虫乙的速度为，
根据题意知，x+y＝（100﹣x+100﹣y），
∴y＝﹣3x+200，
即：y＝，
补全图形如下：
【拓展】①如图，
由题意知，＝，
∴z＝5x，
∵0＜y≤40，
∴0＜x≤8；
②如图，
∴＝，
∴z＝﹣5x+200，
∵0≤z≤40，
∴32≤x≤40，
③如图，
由题意得，＝，
∴z＝5x﹣200，
∵0≤z≤40，
∴40≤x≤48，
综上所述，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是0＜x≤8或40≤x≤48，
故答案为：0＜x≤8或40≤x≤48
t（min）
…
1
2
3
…
h（cm）
…
2.4
2.8
3.2
…
树高（m）
2
3
4
6
9
……
影长（m）
1.6
2.4
3.2
4.8
7.2
……