苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【6.5一次函数与二元一次方程】(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【6.5一次函数与二元一次方程】(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了5 一次函数与二元一次方程等内容，欢迎下载使用。
6.5 一次函数与二元一次方程
知识点01：一次函数与二元一次方程
一次函数的图像上任意一点的坐标都是 ；以二元一次方程的解为坐标的点都在
知识点02：一次函数与二元一次方程组
在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是 .反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是 .如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 称为二元一次方程组的图像解法.
知识要点：1.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就 ，则两个一次函数的直线就 .反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就 如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.
2.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线 ，反之也成立.
知识点03：方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应 ．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出
根据交点的个数，看出
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．
一．选择题
1．（2022春•环翠区期末）已知直线y＝﹣2x与y＝kx+b交点的坐标为（a，2），则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021秋•肥西县期末）如图，两个一次函数图象的交点坐标为（2，4），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021秋•管城区校级期末）已知函数y＝ax﹣3和y＝kx的图象交于点P（﹣2，﹣1），则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021秋•西乡县期末）已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：y＝x﹣1的交点坐标为（ ）
A．（4，1）B．（1，﹣4）C．（﹣1，﹣4）D．（﹣4，1）
5．（2018春•开福区校级月考）若二元一次方程组无解，则一次函数y＝3x﹣5与y＝3x+1的位置关系为（ ）
A．平行B．垂直C．相交D．重合
6．（2018秋•陕西期末）如图，直线y＝kx（k≠0）与y＝x+2在第二象限交于A，y＝x+2交x轴，y轴分别于B、C两点．3S△ABO＝S△BOC，则方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
7．（2021秋•白银期末）已知函数y＝ax﹣3和y＝kx的图象交于点P（2，﹣1），则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022春•广饶县期末）如图，直线l1、l2的交点坐标可以看作下列方程组（ ）的解．
A．B．
C．D．
9．（2021秋•小店区校级月考）直线l1：y＝k1x+b1和直线l2：y＝k2x+b2在同一平面直角坐标系中如图所示．通过观察图象我们就可以到方程组的解为这一求解过程主要体现的数学思想是（ ）
A．数形结合B．分类讨论C．类比D．公理化
10．（2021秋•南海区校级月考）直线y＝ax+2与直线y＝3x﹣2平行，下列说法不正确的是（ ）
A．a＝3
B．直线y＝ax+2与y＝3x﹣2没有交点
C．方程组无解
D．方程组有无穷多个解
二．填空题
11．（2021秋•南岸区期末）如图，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+4相交于点P，若点P（1，n），则方程组的解是 ．
12．（2021秋•锦江区校级期末）已知直线y＝3x与y＝﹣2x+b的交点为（﹣1，a），则这个方程组的解为 ．
13．（2021秋•会宁县期末）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则二元一次方程组的解是 ．
14．（2021秋•青羊区校级期末）如图，直线l1：y＝2x+b与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，3），则关于x，y的方程组的解为 ．
15．（2018春•沙河市期末）直线y＝mx+3与直线y＝﹣nx﹣2在同一个坐标系中的图象如图所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
16．（2017秋•南岸区校级期中）已知二元一次方程组的解是，直线y＝2x与y＝﹣3x+b的交点坐标是 ．
17．（2016秋•雅安期末）已知关于x，y的二元一次方程组（a，b，k均为常数，且a≠0，k≠0）的解为，则直线y＝ax+b和直线y＝kx的交点坐标为 ．
18．（2017秋•顺德区校级月考）如图，已知函数y＝x﹣2和y＝﹣2x+1的图象交于点P（1，﹣1），根据图象可得方程组 的解是 ．
三．解答题
19．（2022春•西城区校级期中）已知关于x、y的二元一次方程组．
（1）若关于x、y的二元一次方程组的解为，直接写出原方程组的解为 ．
（2）若m+n＝2，且x＞y＞0，求W＝3x﹣2y的取值范围．
20．（2022春•乐亭县期末）如图，直线l1：y＝x+5交y轴，x轴于A，B两点，直线l2：y＝﹣x﹣1交y轴，x轴于C，D两点，直线l1，l2相交于P点．
（1）方程组的解是 ；
（2）求直线l1，l2与x轴围成的三角形面积；
（3）过P点的直线把△PAC面积两等分，直接写出这条直线的解析式．
21．（2017秋•连云区期末）已知一次函数y＝kx+2与y＝x﹣1的图象相交，交点的横坐标为2．
（1）求k的值；
（2）直接写出二元一次方程组的解．
22．（2022春•招远市期末）【活动回顾】：
七年级下册教材中我们曾探究过“以方程x+y＝5的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程x+y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝﹣x+5的图象相同，是同一条直线；结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．
示例：如图1，我们在画方程x﹣y＝0的图象时，可以取点A（﹣1，﹣1）和B（2，2），作出直线AB．
【解决问题】：
（1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）；
（2）观察图象，两条直线的交点坐标为 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是 ；
【拓展延伸】：
（3）已知二元一次方程ax+by＝7的图象经过两点A（1，2）和B（4，1），试求a+b的值．
（4）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3图象l1和一次函数y＝x﹣1的图象l₂，如图3所示．请根据图象，直接判断方程组的解的情况 （不需要说明理由）．
23．（2019秋•寿阳县期末）如图，l1，l2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P，
（1）求出两条直线的函数关系式；
（2）点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解；
（3）求出图中△APB的面积．
（2018秋•青岛期末）小明同学在解方程组的过程中，错把b看成了6，其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知直线y＝kx+b过点（3，1），则b的正确值应该是多少？
25．（2018秋•兰州期末）已知两直线l1，l2的位置关系如图所示，请求出以点A的坐标为解的二元一次方程组．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第6章《一次函数》
6.5 一次函数与二元一次方程
知识点01：一次函数与二元一次方程
一次函数的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上.
知识点02：一次函数与二元一次方程组
在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法.
知识要点：1.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.
2.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
知识点03：方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：
根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．
一．选择题
1．（2022春•环翠区期末）已知直线y＝﹣2x与y＝kx+b交点的坐标为（a，2），则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
解：∵直线y＝﹣2x过点（a，2），
∴a＝﹣1，
∴交点坐标为（﹣1，2），
∴方程组的解是，
故选：C．
2．（2021秋•肥西县期末）如图，两个一次函数图象的交点坐标为（2，4），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
解：∵两个一次函数图象的交点坐标为（2，4），
∴关于x，y的方程组的解为．
故选：A．
3．（2021秋•管城区校级期末）已知函数y＝ax﹣3和y＝kx的图象交于点P（﹣2，﹣1），则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
解：∵函数y＝ax﹣3和y＝kx的图象交于点P（﹣2，﹣1），
∴关于x，y的二元一次方程组的解是．
故选：B．
4．（2021秋•西乡县期末）已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：y＝x﹣1的交点坐标为（ ）
A．（4，1）B．（1，﹣4）C．（﹣1，﹣4）D．（﹣4，1）
解：∵二元一次方程组的解为，
∴直线l1：y＝x+5与直线l2：y＝x﹣1的交点坐标为（﹣4，1）．
故选：D．
5．（2018春•开福区校级月考）若二元一次方程组无解，则一次函数y＝3x﹣5与y＝3x+1的位置关系为（ ）
A．平行B．垂直C．相交D．重合
解：因为二元一次方程组无解，
则一次函数y＝3x﹣5与y＝3x+1的位置关系是平行，
故选：A．
6．（2018秋•陕西期末）如图，直线y＝kx（k≠0）与y＝x+2在第二象限交于A，y＝x+2交x轴，y轴分别于B、C两点．3S△ABO＝S△BOC，则方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
解：由可得，B（﹣3，0），C（0，2），
∴BO＝3，OC＝2，
∵3S△ABO＝S△BOC，
∴3××3×|yA|＝×3×2，
解得yA＝±，
又∵点A在第二象限，
∴yA＝，
当y＝时，＝x+2，
解得x＝﹣2，
∴方程组的解为．
故选：C．
7．（2021秋•白银期末）已知函数y＝ax﹣3和y＝kx的图象交于点P（2，﹣1），则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
解：函数y＝ax﹣3和y＝kx的图象交于点P（2，﹣1），
则关于x，y的二元一次方程组的解是，
故选：B．
8．（2022春•广饶县期末）如图，直线l1、l2的交点坐标可以看作下列方程组（ ）的解．
A．B．
C．D．
解：由图可知：
直线l2过（2，3），（0，﹣1），因此直线l2的函数解析式为：y＝2x﹣1；
直线l1过（2，3），（0，1），因此直线l1的函数解析式为：y＝x+1；
因此所求的二元一次方程组为：
．
故选：A．
9．（2021秋•小店区校级月考）直线l1：y＝k1x+b1和直线l2：y＝k2x+b2在同一平面直角坐标系中如图所示．通过观察图象我们就可以到方程组的解为这一求解过程主要体现的数学思想是（ ）
A．数形结合B．分类讨论C．类比D．公理化
解：通过观察图象即可确定答案，这一求解过程主要体现的数学思想是数形结合，
故选：A．
10．（2021秋•南海区校级月考）直线y＝ax+2与直线y＝3x﹣2平行，下列说法不正确的是（ ）
A．a＝3
B．直线y＝ax+2与y＝3x﹣2没有交点
C．方程组无解
D．方程组有无穷多个解
解：A．两直线平行时，比例系数相等，a＝3，故正确，不符合题意；
B．两直线平行，没有交点，故正确，不符合题意；
C．两直线平行，没有交点，所以方程组无解，故正确，不符合题意；
D．两直线平行，没有交点，所以方程组无解，故错误，符合题意；
故选：D．
二．填空题
11．（2021秋•南岸区期末）如图，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+4相交于点P，若点P（1，n），则方程组的解是 ．
解：（1）∵直线l2：y＝﹣x+4经过点P（1，n），
∴n＝﹣1+4＝3，
∴直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+4的交点P（1，3），
∴方程组的解是；
故答案为：；
12．（2021秋•锦江区校级期末）已知直线y＝3x与y＝﹣2x+b的交点为（﹣1，a），则这个方程组的解为 ．
解：把（﹣1，a）代入y＝3x得a＝﹣3，
所以方程组的解为．
故答案为：．
13．（2021秋•会宁县期末）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则二元一次方程组的解是 ．
解：由图知：函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，﹣2）
则x＝﹣4，y＝﹣2同时满足两个函数的解析式
∴是二元一次方程组的解．
故答案为：．
14．（2021秋•青羊区校级期末）如图，直线l1：y＝2x+b与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，3），则关于x，y的方程组的解为 ．
解：∵直线l1：y＝2x+b与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，3），
∴关于x、y的方程组的解为：；
故答案为：．
15．（2018春•沙河市期末）直线y＝mx+3与直线y＝﹣nx﹣2在同一个坐标系中的图象如图所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
解：∵直线y＝mx+3与直线y＝﹣nx﹣2的交点坐标为（﹣1，2），
关于x，y的二元一次方程组的解为．
故答案为．
16．（2017秋•南岸区校级期中）已知二元一次方程组的解是，直线y＝2x与y＝﹣3x+b的交点坐标是 （3，6） ．
解：因为二元一次方程组的解是，而直线y＝2x的解析式化为2x﹣y＝0，直线y＝﹣3x+b的解析式可化为3x+y＝b，
所以直线y＝2x与y＝﹣3x+b的交点坐标是为（3，6）．
故答案为（3，6）．
17．（2016秋•雅安期末）已知关于x，y的二元一次方程组（a，b，k均为常数，且a≠0，k≠0）的解为，则直线y＝ax+b和直线y＝kx的交点坐标为 （﹣4，﹣2） ．
解：因为关于x，y的二元一次方程组（a，b，k均为常数，且a≠0，k≠0）的解为，
则直线y＝ax+b和直线y＝kx的交点坐标为（﹣4，﹣2），
故答案为：（﹣4，﹣2）．
18．（2017秋•顺德区校级月考）如图，已知函数y＝x﹣2和y＝﹣2x+1的图象交于点P（1，﹣1），根据图象可得方程组 的解是 ．
解：方程组的解集是．
故答案是：．
三．解答题
19．（2022春•西城区校级期中）已知关于x、y的二元一次方程组．
（1）若关于x、y的二元一次方程组的解为，直接写出原方程组的解为 ．
（2）若m+n＝2，且x＞y＞0，求W＝3x﹣2y的取值范围．
解：（1）∵关于x、y的二元一次方程组的解为，
∴，
∴是二元一次方程组，
故答案为：；
（2），
由①得：m＝，
由②得：n＝，
∵m+n＝2，
∴+＝2，
∴2y＝9﹣x，
∴y＝
∴W＝3x﹣2y＝3x+x﹣9＝4x﹣9，
∴W随x的增大而增大，
∵x＞y＞0，
∴x＞＞0，
∴3＜x＜9，
∴3＜W＜27．
20．（2022春•乐亭县期末）如图，直线l1：y＝x+5交y轴，x轴于A，B两点，直线l2：y＝﹣x﹣1交y轴，x轴于C，D两点，直线l1，l2相交于P点．
（1）方程组的解是 ；
（2）求直线l1，l2与x轴围成的三角形面积；
（3）过P点的直线把△PAC面积两等分，直接写出这条直线的解析式．
解：（1）∵直线l1：y＝x+5和直线l2：y＝﹣x﹣1都经过点（﹣4，1），
∴两条直线的交点P（﹣4，1），
∴方程组的解是，
故答案为：；
（2）把y＝0分别代入y＝x+5和y＝﹣x﹣1，
解得x＝﹣5和x＝﹣2，
∴B（﹣5，0），D（﹣2，0），
∵P（﹣4，1），
∴直线l1，l2与x轴围成的三角形面积为：（﹣2+5）×1＝；
（3）把x＝0分别代入y＝x+5和y＝﹣x﹣1，
解得y＝5和y＝﹣1，
∴A（0，5），C（0，﹣1），
∴AC的中点为（0，2），
设过P点且把△PAC面积两等分的直线的解析式为y＝kx+b，
把点（﹣4，1），（0，2）代入得，
解得，
∴这条直线的解析式为y＝x+2．
21．（2017秋•连云区期末）已知一次函数y＝kx+2与y＝x﹣1的图象相交，交点的横坐标为2．
（1）求k的值；
（2）直接写出二元一次方程组的解．
解：（1）将x＝2代入y＝x﹣1，得y＝1，
则交点坐标为（2，1）．
将（2，1）代入y＝kx+2，
得2k+2＝1，
解得k＝；
（2）二元一次方程组的解为．
22．（2022春•招远市期末）【活动回顾】：
七年级下册教材中我们曾探究过“以方程x+y＝5的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程x+y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝﹣x+5的图象相同，是同一条直线；结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．
示例：如图1，我们在画方程x﹣y＝0的图象时，可以取点A（﹣1，﹣1）和B（2，2），作出直线AB．
【解决问题】：
（1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）；
（2）观察图象，两条直线的交点坐标为 （3，2） ，由此你得出这个二元一次方程组的解是 ；
【拓展延伸】：
（3）已知二元一次方程ax+by＝7的图象经过两点A（1，2）和B（4，1），试求a+b的值．
（4）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3图象l1和一次函数y＝x﹣1的图象l₂，如图3所示．请根据图象，直接判断方程组的解的情况 无解 （不需要说明理由）．
解：（1）图象如图所示：
（2）根据图象可知，两直线的交点坐标为（3，2），
∴二元一次方程组的解为，
故答案为：（3，2），；
（3）将点A（1，2）和点B（4，1）代入二元一次方程ax+by＝7，
得，
解方程组，得，
∴a+b＝4；
（4）根据图象可知，两直线平行，
∴方程组的解无解，
故答案为：无解．
23．（2019秋•寿阳县期末）如图，l1，l2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P，
（1）求出两条直线的函数关系式；
（2）点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解；
（3）求出图中△APB的面积．
解：（1）设直线l1的解析式是y＝kx+b，已知l1经过点（0，3），（1，0），
可得：，解得，
则函数的解析式是y＝﹣3x+3；
同理可得l2的解析式是：y＝x﹣2．
（2）点P的坐标可看作是二元一次方程组的解．
（3）易知：A（0，3），B（0，﹣2），P（，﹣）；
∴S△APB＝AB•|xP|＝×5×＝．
24．（2018秋•青岛期末）小明同学在解方程组的过程中，错把b看成了6，其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知直线y＝kx+b过点（3，1），则b的正确值应该是多少？
解：依题意得：2＝﹣k+6，
解得：k＝4；
又∵1＝3×4+b，
∴b＝﹣11．
25．（2018秋•兰州期末）已知两直线l1，l2的位置关系如图所示，请求出以点A的坐标为解的二元一次方程组．
解：设直线l1的解析式是y＝kx+b，已知直线l1经过（﹣1，0）和（2，3），根据题意，得：，
解得；
则直线l1的函数解析式是y＝x+1；
同理得直线l2的函数解析式是y＝2x﹣1．
则所求的方程组是；
两个函数图象的交点坐标为A（2，3）