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苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式】(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式】(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了5 ．等内容，欢迎下载使用。
6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
知识点01：一次函数与一元一次方程
一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了 ，此时自变量的值就是 的解.所以解一元一次方程就可以转化：当某一个一次函数的值为0时，求相应的
从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定 .
知识点02：一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求 .
知识要点：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
知识点03：一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个 ，这个不等式的解集的端点值就是我们把 .
知识点04：如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的
考点01：一次函数与一元一次方程
1．（2022秋•沈北新区期中）如图，已知一次函数y＝ax+b的图象为直线l，则关于x的方程ax+b＝1的解为（ ）
A．x＝6B．x＝5C．x＝4D．x＝3
2．（2021秋•驿城区校级期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象与y＝cx+d的图象如图所示且交点的横坐标为4，则下列说法正确的个数是（ ）
①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y＝ax+d不经过第一象限；
③方程ax+b＝cx+d的解是x＝4；
④d﹣b＝4（a﹣c）．
A．1B．2C．3D．4
3．（2022春•长葛市期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20B．x＝25C．x＝20或25D．x＝﹣20
4．（2020秋•玄武区期末）已知一次函数y＝kx﹣b（k、b为常数，且k≠0，b≠0）与y＝x的图象相交于点M（a，1），则关于x的方程（k﹣）x＝b的解为x＝ ．
5．（2021春•双辽市期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则下列说法：
①y随x的增大而减小；
②b＜0；
③关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2；
④当x＝﹣1时，y＜0．其中正确的是 ．（请你将正确序号填在横线上）
6．（2021秋•包河区期末）已知直线y＝x+b和y＝ax+2交于点P（3，﹣1），则关于x的方程（a﹣1）x＝b﹣2的解为 ．
7．（2017秋•芷江县校级月考）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝4的解为多少？
8．（2021秋•永登县校级期中）已知一次函数y＝kx﹣6的图象如图
（1）求k的值；
（2）在图中的坐标系中画出一次函数y＝﹣3x+3的图象（要求：先列表，再描点，最后连线）；
（3）根据图象写出关于x的方程kx﹣6＝﹣3x+3的解．
考点02：一次函数与一元一次不等式
9．（2022秋•花山区期中）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的减小而减小；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d＞cx﹣b的解集是x＜4；④a﹣c＝（d﹣b），其中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
10．（2022春•罗定市期末）对于实数a、b，定义符号min{a，b}为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值是（ ）
A．1B．C．D．2
11．（2022秋•靖西市期中）对于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0），下列的说法错误的是（ ）
A．y随着x的增大而减小
B．点（﹣1，﹣2）可能在这个函数的图象上
C．图象与y轴交于点（0，b）
D．当时，y＜0
12．（2022•盐池县一模）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为 ．
13．（2022春•荣昌区期末）如图，已知函数y1＝kx﹣1和y2＝x﹣b的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式kx﹣1＞x﹣b的解集是 ．
14．（2021•梁园区校级一模）函数可用f（x）表示，例如y＝f（x）＝3x+4，当x＝4时、f（4）＝3×4+4＝16，若函数f（x）＝．则f（﹣3）的值为 ．
15．（2021•仁怀市模拟）如图，已知一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝mx﹣n的图象相交于点P（﹣2，1），则关于不等式x+b≥mx﹣n的解集为 ．
16．（2021秋•安庆期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．
17．（2022春•颍州区期末）如图，直线l1：y1＝﹣x+m与y轴交于点A（0，6），直线l2：y2＝kx+1分别与x轴交于点B（﹣2，0），与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接AB．
（1）求两直线交点D的坐标；
（2）求△ABD的面积；
（3）根据图象直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
18．（2022秋•花山区期中）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+1与y轴交于点C，直线y＝x+k（k≠0）与y轴交于点A，与直线y＝﹣2x+1交于点B，设点B的横坐标为﹣2．
（1）求点B的坐标及k的值；
（2）求直线y＝﹣2x+1、直线y＝x+k与y轴所围成的△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出不等式﹣2x+1＞x+k的解集．
19．（2021春•云浮期末）画出函数y＝2x+6的图象，利用图象：
（1）求方程2x+6＝0的解；
（2）求不等式2x+6＞0的解集；
（3）若﹣2≤y≤2，求x的取值范围．
考点03：一次函数综合题
20．（2016秋•萧山区校级期末）如图，直线y＝x+2与y轴相交于点A0，过点A0作x轴的平行线交直线y＝0.5x+1于点B1，过点B1作y轴的平行线交直线y＝x+2于点A1，再过点A1作x轴的平行线交直线y＝0.5x+1于点B2，过点B2作y轴的平行线交直线y＝x+2于点A2，…，依此类推，得到直线y＝x+2上的点A1，A2，A3，…，与直线y＝0.5x+1上的点B1，B2，B3，…，则A7B8的长为（ ）
A．64B．128C．256D．512
21．（2016•河源校级一模）如图，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时点B的坐标为（ ）
A．（﹣，﹣）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（0，0）
22．（2022•苏州一模）如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E是BC边的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为 ．
23．（2019秋•铜山区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），连接AB，点P是线段AB上的一个动点（包括两端点），直线y＝﹣x上有一动点Q，连接OP，PQ，已知△OPQ的面积为，则点Q的坐标为 ．
24．（2022秋•尤溪县期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点A（a，3），直线l2与y轴交于点B（0，﹣5）．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB，使点O与点C重合，AC与x轴交于点D．求证：AC∥OB；
（3）在直线BC下方是否存在点P，使△BCP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2022秋•和平区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为（2，﹣2），点C坐标为（0，﹣3），直线AB与x轴交于点A．
（1）求直线AB的函数表达式及线段AC的长．
（2）点B关于x轴的对称点为点D，
①请直接写出点D的坐标为 ；
②连接AD，CD，则△DCA的面积为 ；
③在直线BD上找点E，使△ACE是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点E的纵坐标为 ．
26．（2022秋•大东区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB．
（1）直线l1的表达式为 ，点D的坐标为 ；
（2）设P（2，m），当点P在点D的下方时，求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C的坐标．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第6章《一次函数》
6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
知识点01：一次函数与一元一次方程
一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.
知识点02：一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
知识要点：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
知识点03：一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.
知识点04：如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
考点01：一次函数与一元一次方程
1．（2022秋•沈北新区期中）如图，已知一次函数y＝ax+b的图象为直线l，则关于x的方程ax+b＝1的解为（ ）
A．x＝6B．x＝5C．x＝4D．x＝3
解：根据图象可得，一次函数y＝ax+b的图象经过（5，1）点，
因此关于x的方程ax+b＝1的解x＝5，
故选：B．
2．（2021秋•驿城区校级期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象与y＝cx+d的图象如图所示且交点的横坐标为4，则下列说法正确的个数是（ ）
①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y＝ax+d不经过第一象限；
③方程ax+b＝cx+d的解是x＝4；
④d﹣b＝4（a﹣c）．
A．1B．2C．3D．4
解：由图象可得，
①a＜0，对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小，故①说法正确；
②a＜0，d＜0，则函数y＝ax+d经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故②说法正确；
③由一次函数y＝ax+b的图象与y＝cx+d的图象如图所示且交点的横坐标为4知，方程ax+b＝cx+d的解是x＝4，故③说法正确；
④4a+b＝4c+d可以得到4（a﹣c）＝d﹣b，故④说法正确；
综上所述，正确的结论有4个．
故选：D．
3．（2022春•长葛市期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20B．x＝25C．x＝20或25D．x＝﹣20
解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），
∴x+5＝ax+b的解是x＝20，
即方程x+5＝ax+b的解是x＝20，
故选：A．
4．（2020秋•玄武区期末）已知一次函数y＝kx﹣b（k、b为常数，且k≠0，b≠0）与y＝x的图象相交于点M（a，1），则关于x的方程（k﹣）x＝b的解为x＝ 3 ．
解：把M（a，1）代入y＝x得：1＝a，
解得a＝3，
∴M（3，1），
∴根据图象信息可得关于x的方程kx﹣b＝x的解为3，
∴关于x的方程（k﹣）x＝b的解为x＝3．
故答案为：3．
5．（2021春•双辽市期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则下列说法：
①y随x的增大而减小；
②b＜0；
③关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2；
④当x＝﹣1时，y＜0．其中正确的是 ③ ．（请你将正确序号填在横线上）
解：由图可知：
①y随x的增大而增大，错误；
②b＞0，错误；
③关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2，正确；
④当x＝﹣1时，y＞0，错误；
故答案为：③；
6．（2021秋•包河区期末）已知直线y＝x+b和y＝ax+2交于点P（3，﹣1），则关于x的方程（a﹣1）x＝b﹣2的解为 x＝3 ．
解：由（a﹣1）x＝b﹣2知，x+b＝ax+2．
∵直线y＝x+b和ax+2交于点P（3，﹣1），
∴当x＝3时，x+b＝ax+2＝﹣1，
即关于x的方程（a﹣1）x＝b﹣2的解为x＝3．
故答案为：x＝3．
7．（2017秋•芷江县校级月考）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝4的解为多少？
解：把（0，1）和（2，3）代入y＝kx+b得：
，
解得：k＝1，b＝1，
即y＝x+1，
当y＝4时，x+1＝4，
解得：x＝3，
∴方程kx+b＝4的解为x＝3．
8．（2021秋•永登县校级期中）已知一次函数y＝kx﹣6的图象如图
（1）求k的值；
（2）在图中的坐标系中画出一次函数y＝﹣3x+3的图象（要求：先列表，再描点，最后连线）；
（3）根据图象写出关于x的方程kx﹣6＝﹣3x+3的解．
解：（1）∵一次函数y＝kx﹣6的图象过点（4，0），
∴4k﹣6＝0，
∴k＝；
（2）列表：
描点：在平面直角坐标系中描出两点（0，3）、（1，0），
连线：过点（0，3）、（1，0）画直线，得出一次函数y＝﹣3x+3的图象；
（3）一次函数y＝kx﹣6与y＝﹣3x+3的图象交于点（2，﹣3），
则关于x的方程kx﹣6＝﹣3x+3的解为x＝2．
考点02：一次函数与一元一次不等式
9．（2022秋•花山区期中）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的减小而减小；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d＞cx﹣b的解集是x＜4；④a﹣c＝（d﹣b），其中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
解：由图象可得，
对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大，故①正确；
由a＞0，d＞0，可知函数y＝ax+d经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确；
由ax﹣d＞cx﹣b可得ax+b＞cx+d，故不等式ax﹣d＞cx﹣b的解集是x＞4，故③不正确；
由4a+b＝4c+d可以得到a﹣c＝（d﹣b），故④正确；
所以正确的是①④．
故选：B．
10．（2022春•罗定市期末）对于实数a、b，定义符号min{a，b}为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值是（ ）
A．1B．C．D．2
解：由题意得：，
解得，
当2x﹣1≥﹣x+3时，x≥，
∴当x≥时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝﹣x+3，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
当2x﹣1＜﹣x+3时，x＜，
∴当x＜时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝2x﹣1，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
综上所述，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}的最大值是当x＝所对应的y的值，
如图所示，当x＝时，y＝，
故选：C．
11．（2022秋•靖西市期中）对于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0），下列的说法错误的是（ ）
A．y随着x的增大而减小
B．点（﹣1，﹣2）可能在这个函数的图象上
C．图象与y轴交于点（0，b）
D．当时，y＜0
解：∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，
A正确，不符合题意；
假设点（﹣1，﹣2）在这个函数的图象上，则﹣2＝﹣k+b，
∴b＝k﹣2，
∴k＜0，
∴k﹣2＜0，
∴b＜0，这与b＞0不一致，
∴B错误，符合题意，
令x＝0时，y＝b，
∴图象与y轴的交点为（0，b），
C正确，不符合题意；
当x＞﹣时，y＜0；
∴D正确，不符合题意；
故选：B．
12．（2022•盐池县一模）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为 x≥1.5 ．
解：∵函数y＝2x过点A（m，3），
∴2m＝3，
解得：m＝1.5，
∴A（1.5，3），
∴不等式2x≥ax+4的解集为x≥1.5．
故答案为：x≥1.5
13．（2022春•荣昌区期末）如图，已知函数y1＝kx﹣1和y2＝x﹣b的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式kx﹣1＞x﹣b的解集是 x＞﹣2 ．
解：∵函数y1＝kx﹣1和y2＝x﹣b的图象交于点P（﹣2，﹣5），
则根据图象可得不等式kx﹣1＞x﹣b的解集是x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2．
14．（2021•梁园区校级一模）函数可用f（x）表示，例如y＝f（x）＝3x+4，当x＝4时、f（4）＝3×4+4＝16，若函数f（x）＝．则f（﹣3）的值为 11 ．
解：∵函数f（x）＝，
∴f（﹣3）＝f（﹣3+2）＝f（﹣1）＝f（﹣1+2）＝f（1）＝f（1+2）＝f（3）＝2×3+5＝11．
15．（2021•仁怀市模拟）如图，已知一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝mx﹣n的图象相交于点P（﹣2，1），则关于不等式x+b≥mx﹣n的解集为 x≥﹣2 ．
解：∵一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝mx﹣n的图象相交于点P（﹣2，1），
∴不等式x+b≥mx﹣n的解集是x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
16．（2021秋•安庆期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．
解：（1）解方程组，得，
所以点A坐标为（1，﹣3）；
（2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；
当y2＝0时，x﹣4＝0，x＝4，则C点坐标为（4，0）；
∴BC＝4﹣（﹣2）＝6，
∴△ABC的面积＝×6×3＝9；
（3）根据图象可知，y1≥y2时x的取值范围是x≤1．
17．（2022春•颍州区期末）如图，直线l1：y1＝﹣x+m与y轴交于点A（0，6），直线l2：y2＝kx+1分别与x轴交于点B（﹣2，0），与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接AB．
（1）求两直线交点D的坐标；
（2）求△ABD的面积；
（3）根据图象直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
（1）将A（0，6）代入y1＝﹣x+m得，m＝6；将B（﹣2，0）代入y2＝kx+1得，k＝
组成方程组得，解得，
故D点坐标为（4，3）；
（2）由y2＝x+1可知，C点坐标为（0，1），S△ABD＝S△ABC+S△ACD＝×5×2+×5×4＝15；
（3）由图可知，在D点左侧时，y1＞y2，即x＜4时，y1＞y2．
18．（2022秋•花山区期中）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+1与y轴交于点C，直线y＝x+k（k≠0）与y轴交于点A，与直线y＝﹣2x+1交于点B，设点B的横坐标为﹣2．
（1）求点B的坐标及k的值；
（2）求直线y＝﹣2x+1、直线y＝x+k与y轴所围成的△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出不等式﹣2x+1＞x+k的解集．
解：（1）当x＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）+1＝5，则B（﹣2，5）．
把B（﹣2，5）代入y＝x+k得﹣2+k＝5，解得k＝7；
（2）当x＝0时，y＝﹣2x+1＝1，则C（0，1）；
当x＝0时，y＝x+7＝7，则A（0，7）
所以AC＝7﹣1＝6，
所以S△ABC＝×6×2＝6；
（3）x＜﹣2．
19．（2021春•云浮期末）画出函数y＝2x+6的图象，利用图象：
（1）求方程2x+6＝0的解；
（2）求不等式2x+6＞0的解集；
（3）若﹣2≤y≤2，求x的取值范围．
解：图象为：
（1）观察图象知：该函数图象经过点（﹣3，0），
故方程2x+6＝0的解为x＝﹣3；
（2）观察图象知：当x＞﹣3时，y＞0，
故不等式2x+6＞0的解集为x＞﹣3；
（3）当﹣2≤y≤2时，﹣4≤x≤﹣2．
考点03：一次函数综合题
20．（2016秋•萧山区校级期末）如图，直线y＝x+2与y轴相交于点A0，过点A0作x轴的平行线交直线y＝0.5x+1于点B1，过点B1作y轴的平行线交直线y＝x+2于点A1，再过点A1作x轴的平行线交直线y＝0.5x+1于点B2，过点B2作y轴的平行线交直线y＝x+2于点A2，…，依此类推，得到直线y＝x+2上的点A1，A2，A3，…，与直线y＝0.5x+1上的点B1，B2，B3，…，则A7B8的长为（ ）
A．64B．128C．256D．512
解：对于直线y＝x+2，令x＝0，求出y＝2，即A0（0，2），
∵A0B1∥x轴，∴B1的纵坐标为2，
将y＝2代入y＝0.5x+1中得：x＝2，即B1（2，2），
∴A0B1＝2＝21，
∵A1B1∥y轴，∴A1的横坐标为2，
将x＝2代入直线y＝x+2中得：y＝4，即A1（2，4），
∴A1与B2的纵坐标为4，
将y＝4代入y＝0.5x+1中得：x＝6，即B2（6，4），
∴A1B2＝4＝22，
同理A2B3＝8＝23，…，An﹣1Bn＝2n，
则A7B8的长为28＝256．
故选：C．
21．（2016•河源校级一模）如图，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时点B的坐标为（ ）
A．（﹣，﹣）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（0，0）
解：过A作AB⊥直线y＝x于B，则此时AB最短，过B作BC⊥OA于C，
∵直线y＝x，
∴∠AOB＝45°＝∠OAB，
∴AB＝OB，
∵BC⊥OA，
∴C为OA中点，
∵∠ABO＝90°，
∴BC＝OC＝AC＝OA＝，
∴B（﹣，﹣）．
故选：A．
22．（2022•苏州一模）如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E是BC边的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为 1或3 ．
解：①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，
∵AF平分∠DFE，
∴DA＝AG＝2，
在RT△ADF和RT△AGF中，
，
∴RT△ADF≌RT△AGF（HL），
∴DF＝FG，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE＝1，
∴AE＝＝，
∴GE＝＝1，
∴在RT△FCE中，EF2＝FC2+CE2，即（DF+1）2＝（2﹣DF）2+1，解得DF＝，
∴点F（，2），
把点F的坐标代入y＝kx得：2＝k，解得k＝3；
②当点F与点C重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AF平分∠DFE，
∴F（2，2），
把点F的坐标代入y＝kx得：2＝2k，解得k＝1．
故答案为：1或3．
23．（2019秋•铜山区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），连接AB，点P是线段AB上的一个动点（包括两端点），直线y＝﹣x上有一动点Q，连接OP，PQ，已知△OPQ的面积为，则点Q的坐标为 （，﹣）或（﹣，）． ．
解：方法一：∵点Q在直线y＝﹣x上，
∴设点Q的坐标为（m，﹣m）．
∵点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），
∴△AOB为等腰直角三角形，
点O（0，0）到AB的距离h＝OA＝．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵点A（0，2），点B（2，0）在直线AB上，
∴有，解得．
即直线AB的解析式为y＝﹣x+2，
∵直线y＝﹣x+2与y＝﹣x平行，
∴点P到底OQ的距离为（平行线间距离处处相等）．
∵△OPQ的面积S△OPQ＝OQ•h＝OQ＝，
∴OQ＝2．
由两点间的距离公式可知OQ＝＝2，
解得：m＝±，
∴点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．
故答案为：（，﹣）或（﹣，）．
方法二：当P点与A重合时，则△OPQ底OP为2，
∵△OPQ的面积为，
∴△OPQ的高为，即点Q的横坐标为±，
∵点Q在直线y＝﹣x上，
∴点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）；
当P点与B重合时，同理可求出点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．
综上即可得出点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．
24．（2022秋•尤溪县期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点A（a，3），直线l2与y轴交于点B（0，﹣5）．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB，使点O与点C重合，AC与x轴交于点D．求证：AC∥OB；
（3）在直线BC下方是否存在点P，使△BCP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵直线l₁：y＝x与直线l₂：y＝kx+b相交于点A（a，3），
∴A（4，3），
∵直线交l₂交y轴于点B（0，﹣5），
∴y＝kx﹣5，
把A（4，3）代入得，3＝4k﹣5，
∴k＝2，
∴直线l₂的解析式为y＝2x﹣5；
（2）∵OA＝＝5，
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB，
∴∠OAB＝∠CAB，
∴∠OBA＝∠CAB，
∴AC∥OB；
（3）存在．理由如下：
如图，过C作CM⊥OB于M，
则CM＝OD＝4，
∵BC＝OB＝5，
∴BM＝3，
∴OM＝2，
∴C（4，﹣2），
过P1作P1N⊥y轴于N，
∵△BCP是等腰直角三角形，
∴∠CBP1＝90°，
∴∠MCB＝∠NBP1，
∵BC＝BP1，
∴△BCM≌△P1BN（AAS），
∴BN＝CM＝4，
∴P1（3，﹣9）；
同理可得，P2（7，﹣6），P3（，﹣）．
25．（2022秋•和平区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为（2，﹣2），点C坐标为（0，﹣3），直线AB与x轴交于点A．
（1）求直线AB的函数表达式及线段AC的长．
（2）点B关于x轴的对称点为点D，
①请直接写出点D的坐标为 （2，2） ；
②连接AD，CD，则△DCA的面积为 12 ；
③在直线BD上找点E，使△ACE是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点E的纵坐标为 ±或﹣3 ．
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；
令y＝0，则x﹣3＝0，
∴x＝6，
AC（6，0），
∴OA＝6，
∵点C坐标为（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴AC＝＝＝3；
（2）①∵点B与点D关于x轴的对称，点B坐标为（2，﹣2），
∴D（2，2）；
故答案为：（2，2）；
②如图1，
∴△DCA的面积为S△BDC+S△ADB＝×4×4+×4×2＝12；
③如图2，当AE＝AC＝3时，
设E（2，n），
∴＝3，
∴n＝±，
当CE＝CA＝3时，
设E（2，n），
∴＝3，
∴n＝﹣3，
∴点E的纵坐标为±或﹣3，
故答案为：±或﹣3．
26．（2022秋•大东区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB．
（1）直线l1的表达式为 y＝﹣x+1 ，点D的坐标为 （2，） ；
（2）设P（2，m），当点P在点D的下方时，求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C的坐标．
解：（1）∵直线l1：y＝kx+1交x轴于点B（4，0），
∴0＝4k+1．
∴k＝﹣．
∴直线l1：y＝﹣x+1，
把x＝2代入y＝﹣x+1得y＝，
∴点D的坐标为（2，），
故答案为：y＝﹣x+1；（2，）；
（2）由得：．
∴D（2，）．
∵P（2，m），
∴PD＝|m﹣|．
∴S＝×|4﹣0|•PD＝×|m﹣|×4＝|2m﹣1|．
当m＜时，S＝1﹣2m；
（3）当S△ABP＝3时，2m﹣1＝3，
解得m＝2，
∴点P（2，2），
∵E（2，0），
∴PE＝BE＝2，
∴∠EPB＝∠EBP＝45°，
如图2，∠PBC＝90°，BP＝BC，
过点C作CF⊥x轴于点F，
∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，
∴∠CBF＝∠PBE＝45°，
在△CBF与△PBE中，
，
∴△CBF≌△PBE（AAS）．
∴BF＝CF＝PE＝EB＝2．
∴OF＝OB+BF＝4+2＝6．
∴C（6，2）；
如图3，△PBC是等腰直角三角形，
∴PE＝CE，
∴C（2，﹣2），
∴以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，点C的坐标是（6，2）或（2，﹣2）．
当1﹣2m＝3时，m＝﹣1，可得P（2，﹣1），
同法可得C（3，2）或（5，﹣2）．
综上所述，满足条件的点C坐标为（6，2）或（2，﹣2）或（3，2）或（5，﹣2）．
6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
知识点01：一次函数与一元一次方程
一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了 ，此时自变量的值就是 的解.所以解一元一次方程就可以转化：当某一个一次函数的值为0时，求相应的
从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定 .
知识点02：一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求 .
知识要点：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
知识点03：一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个 ，这个不等式的解集的端点值就是我们把 .
知识点04：如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的
考点01：一次函数与一元一次方程
1．（2022秋•沈北新区期中）如图，已知一次函数y＝ax+b的图象为直线l，则关于x的方程ax+b＝1的解为（ ）
A．x＝6B．x＝5C．x＝4D．x＝3
2．（2021秋•驿城区校级期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象与y＝cx+d的图象如图所示且交点的横坐标为4，则下列说法正确的个数是（ ）
①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y＝ax+d不经过第一象限；
③方程ax+b＝cx+d的解是x＝4；
④d﹣b＝4（a﹣c）．
A．1B．2C．3D．4
3．（2022春•长葛市期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20B．x＝25C．x＝20或25D．x＝﹣20
4．（2020秋•玄武区期末）已知一次函数y＝kx﹣b（k、b为常数，且k≠0，b≠0）与y＝x的图象相交于点M（a，1），则关于x的方程（k﹣）x＝b的解为x＝ ．
5．（2021春•双辽市期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则下列说法：
①y随x的增大而减小；
②b＜0；
③关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2；
④当x＝﹣1时，y＜0．其中正确的是 ．（请你将正确序号填在横线上）
6．（2021秋•包河区期末）已知直线y＝x+b和y＝ax+2交于点P（3，﹣1），则关于x的方程（a﹣1）x＝b﹣2的解为 ．
7．（2017秋•芷江县校级月考）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝4的解为多少？
8．（2021秋•永登县校级期中）已知一次函数y＝kx﹣6的图象如图
（1）求k的值；
（2）在图中的坐标系中画出一次函数y＝﹣3x+3的图象（要求：先列表，再描点，最后连线）；
（3）根据图象写出关于x的方程kx﹣6＝﹣3x+3的解．
考点02：一次函数与一元一次不等式
9．（2022秋•花山区期中）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的减小而减小；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d＞cx﹣b的解集是x＜4；④a﹣c＝（d﹣b），其中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
10．（2022春•罗定市期末）对于实数a、b，定义符号min{a，b}为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值是（ ）
A．1B．C．D．2
11．（2022秋•靖西市期中）对于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0），下列的说法错误的是（ ）
A．y随着x的增大而减小
B．点（﹣1，﹣2）可能在这个函数的图象上
C．图象与y轴交于点（0，b）
D．当时，y＜0
12．（2022•盐池县一模）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为 ．
13．（2022春•荣昌区期末）如图，已知函数y1＝kx﹣1和y2＝x﹣b的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式kx﹣1＞x﹣b的解集是 ．
14．（2021•梁园区校级一模）函数可用f（x）表示，例如y＝f（x）＝3x+4，当x＝4时、f（4）＝3×4+4＝16，若函数f（x）＝．则f（﹣3）的值为 ．
15．（2021•仁怀市模拟）如图，已知一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝mx﹣n的图象相交于点P（﹣2，1），则关于不等式x+b≥mx﹣n的解集为 ．
16．（2021秋•安庆期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．
17．（2022春•颍州区期末）如图，直线l1：y1＝﹣x+m与y轴交于点A（0，6），直线l2：y2＝kx+1分别与x轴交于点B（﹣2，0），与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接AB．
（1）求两直线交点D的坐标；
（2）求△ABD的面积；
（3）根据图象直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
18．（2022秋•花山区期中）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+1与y轴交于点C，直线y＝x+k（k≠0）与y轴交于点A，与直线y＝﹣2x+1交于点B，设点B的横坐标为﹣2．
（1）求点B的坐标及k的值；
（2）求直线y＝﹣2x+1、直线y＝x+k与y轴所围成的△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出不等式﹣2x+1＞x+k的解集．
19．（2021春•云浮期末）画出函数y＝2x+6的图象，利用图象：
（1）求方程2x+6＝0的解；
（2）求不等式2x+6＞0的解集；
（3）若﹣2≤y≤2，求x的取值范围．
考点03：一次函数综合题
20．（2016秋•萧山区校级期末）如图，直线y＝x+2与y轴相交于点A0，过点A0作x轴的平行线交直线y＝0.5x+1于点B1，过点B1作y轴的平行线交直线y＝x+2于点A1，再过点A1作x轴的平行线交直线y＝0.5x+1于点B2，过点B2作y轴的平行线交直线y＝x+2于点A2，…，依此类推，得到直线y＝x+2上的点A1，A2，A3，…，与直线y＝0.5x+1上的点B1，B2，B3，…，则A7B8的长为（ ）
A．64B．128C．256D．512
21．（2016•河源校级一模）如图，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时点B的坐标为（ ）
A．（﹣，﹣）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（0，0）
22．（2022•苏州一模）如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E是BC边的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为 ．
23．（2019秋•铜山区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），连接AB，点P是线段AB上的一个动点（包括两端点），直线y＝﹣x上有一动点Q，连接OP，PQ，已知△OPQ的面积为，则点Q的坐标为 ．
24．（2022秋•尤溪县期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点A（a，3），直线l2与y轴交于点B（0，﹣5）．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB，使点O与点C重合，AC与x轴交于点D．求证：AC∥OB；
（3）在直线BC下方是否存在点P，使△BCP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2022秋•和平区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为（2，﹣2），点C坐标为（0，﹣3），直线AB与x轴交于点A．
（1）求直线AB的函数表达式及线段AC的长．
（2）点B关于x轴的对称点为点D，
①请直接写出点D的坐标为 ；
②连接AD，CD，则△DCA的面积为 ；
③在直线BD上找点E，使△ACE是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点E的纵坐标为 ．
26．（2022秋•大东区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB．
（1）直线l1的表达式为 ，点D的坐标为 ；
（2）设P（2，m），当点P在点D的下方时，求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C的坐标．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第6章《一次函数》
6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
知识点01：一次函数与一元一次方程
一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.
知识点02：一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
知识要点：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
知识点03：一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.
知识点04：如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
考点01：一次函数与一元一次方程
1．（2022秋•沈北新区期中）如图，已知一次函数y＝ax+b的图象为直线l，则关于x的方程ax+b＝1的解为（ ）
A．x＝6B．x＝5C．x＝4D．x＝3
解：根据图象可得，一次函数y＝ax+b的图象经过（5，1）点，
因此关于x的方程ax+b＝1的解x＝5，
故选：B．
2．（2021秋•驿城区校级期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象与y＝cx+d的图象如图所示且交点的横坐标为4，则下列说法正确的个数是（ ）
①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y＝ax+d不经过第一象限；
③方程ax+b＝cx+d的解是x＝4；
④d﹣b＝4（a﹣c）．
A．1B．2C．3D．4
解：由图象可得，
①a＜0，对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小，故①说法正确；
②a＜0，d＜0，则函数y＝ax+d经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故②说法正确；
③由一次函数y＝ax+b的图象与y＝cx+d的图象如图所示且交点的横坐标为4知，方程ax+b＝cx+d的解是x＝4，故③说法正确；
④4a+b＝4c+d可以得到4（a﹣c）＝d﹣b，故④说法正确；
综上所述，正确的结论有4个．
故选：D．
3．（2022春•长葛市期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20B．x＝25C．x＝20或25D．x＝﹣20
解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），
∴x+5＝ax+b的解是x＝20，
即方程x+5＝ax+b的解是x＝20，
故选：A．
4．（2020秋•玄武区期末）已知一次函数y＝kx﹣b（k、b为常数，且k≠0，b≠0）与y＝x的图象相交于点M（a，1），则关于x的方程（k﹣）x＝b的解为x＝ 3 ．
解：把M（a，1）代入y＝x得：1＝a，
解得a＝3，
∴M（3，1），
∴根据图象信息可得关于x的方程kx﹣b＝x的解为3，
∴关于x的方程（k﹣）x＝b的解为x＝3．
故答案为：3．
5．（2021春•双辽市期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则下列说法：
①y随x的增大而减小；
②b＜0；
③关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2；
④当x＝﹣1时，y＜0．其中正确的是 ③ ．（请你将正确序号填在横线上）
解：由图可知：
①y随x的增大而增大，错误；
②b＞0，错误；
③关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2，正确；
④当x＝﹣1时，y＞0，错误；
故答案为：③；
6．（2021秋•包河区期末）已知直线y＝x+b和y＝ax+2交于点P（3，﹣1），则关于x的方程（a﹣1）x＝b﹣2的解为 x＝3 ．
解：由（a﹣1）x＝b﹣2知，x+b＝ax+2．
∵直线y＝x+b和ax+2交于点P（3，﹣1），
∴当x＝3时，x+b＝ax+2＝﹣1，
即关于x的方程（a﹣1）x＝b﹣2的解为x＝3．
故答案为：x＝3．
7．（2017秋•芷江县校级月考）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝4的解为多少？
解：把（0，1）和（2，3）代入y＝kx+b得：
，
解得：k＝1，b＝1，
即y＝x+1，
当y＝4时，x+1＝4，
解得：x＝3，
∴方程kx+b＝4的解为x＝3．
8．（2021秋•永登县校级期中）已知一次函数y＝kx﹣6的图象如图
（1）求k的值；
（2）在图中的坐标系中画出一次函数y＝﹣3x+3的图象（要求：先列表，再描点，最后连线）；
（3）根据图象写出关于x的方程kx﹣6＝﹣3x+3的解．
解：（1）∵一次函数y＝kx﹣6的图象过点（4，0），
∴4k﹣6＝0，
∴k＝；
（2）列表：
描点：在平面直角坐标系中描出两点（0，3）、（1，0），
连线：过点（0，3）、（1，0）画直线，得出一次函数y＝﹣3x+3的图象；
（3）一次函数y＝kx﹣6与y＝﹣3x+3的图象交于点（2，﹣3），
则关于x的方程kx﹣6＝﹣3x+3的解为x＝2．
考点02：一次函数与一元一次不等式
9．（2022秋•花山区期中）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的减小而减小；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d＞cx﹣b的解集是x＜4；④a﹣c＝（d﹣b），其中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
解：由图象可得，
对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大，故①正确；
由a＞0，d＞0，可知函数y＝ax+d经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确；
由ax﹣d＞cx﹣b可得ax+b＞cx+d，故不等式ax﹣d＞cx﹣b的解集是x＞4，故③不正确；
由4a+b＝4c+d可以得到a﹣c＝（d﹣b），故④正确；
所以正确的是①④．
故选：B．
10．（2022春•罗定市期末）对于实数a、b，定义符号min{a，b}为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值是（ ）
A．1B．C．D．2
解：由题意得：，
解得，
当2x﹣1≥﹣x+3时，x≥，
∴当x≥时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝﹣x+3，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
当2x﹣1＜﹣x+3时，x＜，
∴当x＜时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝2x﹣1，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
综上所述，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}的最大值是当x＝所对应的y的值，
如图所示，当x＝时，y＝，
故选：C．
11．（2022秋•靖西市期中）对于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0），下列的说法错误的是（ ）
A．y随着x的增大而减小
B．点（﹣1，﹣2）可能在这个函数的图象上
C．图象与y轴交于点（0，b）
D．当时，y＜0
解：∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，
A正确，不符合题意；
假设点（﹣1，﹣2）在这个函数的图象上，则﹣2＝﹣k+b，
∴b＝k﹣2，
∴k＜0，
∴k﹣2＜0，
∴b＜0，这与b＞0不一致，
∴B错误，符合题意，
令x＝0时，y＝b，
∴图象与y轴的交点为（0，b），
C正确，不符合题意；
当x＞﹣时，y＜0；
∴D正确，不符合题意；
故选：B．
12．（2022•盐池县一模）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为 x≥1.5 ．
解：∵函数y＝2x过点A（m，3），
∴2m＝3，
解得：m＝1.5，
∴A（1.5，3），
∴不等式2x≥ax+4的解集为x≥1.5．
故答案为：x≥1.5
13．（2022春•荣昌区期末）如图，已知函数y1＝kx﹣1和y2＝x﹣b的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式kx﹣1＞x﹣b的解集是 x＞﹣2 ．
解：∵函数y1＝kx﹣1和y2＝x﹣b的图象交于点P（﹣2，﹣5），
则根据图象可得不等式kx﹣1＞x﹣b的解集是x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2．
14．（2021•梁园区校级一模）函数可用f（x）表示，例如y＝f（x）＝3x+4，当x＝4时、f（4）＝3×4+4＝16，若函数f（x）＝．则f（﹣3）的值为 11 ．
解：∵函数f（x）＝，
∴f（﹣3）＝f（﹣3+2）＝f（﹣1）＝f（﹣1+2）＝f（1）＝f（1+2）＝f（3）＝2×3+5＝11．
15．（2021•仁怀市模拟）如图，已知一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝mx﹣n的图象相交于点P（﹣2，1），则关于不等式x+b≥mx﹣n的解集为 x≥﹣2 ．
解：∵一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝mx﹣n的图象相交于点P（﹣2，1），
∴不等式x+b≥mx﹣n的解集是x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
16．（2021秋•安庆期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．
解：（1）解方程组，得，
所以点A坐标为（1，﹣3）；
（2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；
当y2＝0时，x﹣4＝0，x＝4，则C点坐标为（4，0）；
∴BC＝4﹣（﹣2）＝6，
∴△ABC的面积＝×6×3＝9；
（3）根据图象可知，y1≥y2时x的取值范围是x≤1．
17．（2022春•颍州区期末）如图，直线l1：y1＝﹣x+m与y轴交于点A（0，6），直线l2：y2＝kx+1分别与x轴交于点B（﹣2，0），与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接AB．
（1）求两直线交点D的坐标；
（2）求△ABD的面积；
（3）根据图象直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
（1）将A（0，6）代入y1＝﹣x+m得，m＝6；将B（﹣2，0）代入y2＝kx+1得，k＝
组成方程组得，解得，
故D点坐标为（4，3）；
（2）由y2＝x+1可知，C点坐标为（0，1），S△ABD＝S△ABC+S△ACD＝×5×2+×5×4＝15；
（3）由图可知，在D点左侧时，y1＞y2，即x＜4时，y1＞y2．
18．（2022秋•花山区期中）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+1与y轴交于点C，直线y＝x+k（k≠0）与y轴交于点A，与直线y＝﹣2x+1交于点B，设点B的横坐标为﹣2．
（1）求点B的坐标及k的值；
（2）求直线y＝﹣2x+1、直线y＝x+k与y轴所围成的△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出不等式﹣2x+1＞x+k的解集．
解：（1）当x＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）+1＝5，则B（﹣2，5）．
把B（﹣2，5）代入y＝x+k得﹣2+k＝5，解得k＝7；
（2）当x＝0时，y＝﹣2x+1＝1，则C（0，1）；
当x＝0时，y＝x+7＝7，则A（0，7）
所以AC＝7﹣1＝6，
所以S△ABC＝×6×2＝6；
（3）x＜﹣2．
19．（2021春•云浮期末）画出函数y＝2x+6的图象，利用图象：
（1）求方程2x+6＝0的解；
（2）求不等式2x+6＞0的解集；
（3）若﹣2≤y≤2，求x的取值范围．
解：图象为：
（1）观察图象知：该函数图象经过点（﹣3，0），
故方程2x+6＝0的解为x＝﹣3；
（2）观察图象知：当x＞﹣3时，y＞0，
故不等式2x+6＞0的解集为x＞﹣3；
（3）当﹣2≤y≤2时，﹣4≤x≤﹣2．
考点03：一次函数综合题
20．（2016秋•萧山区校级期末）如图，直线y＝x+2与y轴相交于点A0，过点A0作x轴的平行线交直线y＝0.5x+1于点B1，过点B1作y轴的平行线交直线y＝x+2于点A1，再过点A1作x轴的平行线交直线y＝0.5x+1于点B2，过点B2作y轴的平行线交直线y＝x+2于点A2，…，依此类推，得到直线y＝x+2上的点A1，A2，A3，…，与直线y＝0.5x+1上的点B1，B2，B3，…，则A7B8的长为（ ）
A．64B．128C．256D．512
解：对于直线y＝x+2，令x＝0，求出y＝2，即A0（0，2），
∵A0B1∥x轴，∴B1的纵坐标为2，
将y＝2代入y＝0.5x+1中得：x＝2，即B1（2，2），
∴A0B1＝2＝21，
∵A1B1∥y轴，∴A1的横坐标为2，
将x＝2代入直线y＝x+2中得：y＝4，即A1（2，4），
∴A1与B2的纵坐标为4，
将y＝4代入y＝0.5x+1中得：x＝6，即B2（6，4），
∴A1B2＝4＝22，
同理A2B3＝8＝23，…，An﹣1Bn＝2n，
则A7B8的长为28＝256．
故选：C．
21．（2016•河源校级一模）如图，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时点B的坐标为（ ）
A．（﹣，﹣）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（0，0）
解：过A作AB⊥直线y＝x于B，则此时AB最短，过B作BC⊥OA于C，
∵直线y＝x，
∴∠AOB＝45°＝∠OAB，
∴AB＝OB，
∵BC⊥OA，
∴C为OA中点，
∵∠ABO＝90°，
∴BC＝OC＝AC＝OA＝，
∴B（﹣，﹣）．
故选：A．
22．（2022•苏州一模）如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E是BC边的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为 1或3 ．
解：①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，
∵AF平分∠DFE，
∴DA＝AG＝2，
在RT△ADF和RT△AGF中，
，
∴RT△ADF≌RT△AGF（HL），
∴DF＝FG，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE＝1，
∴AE＝＝，
∴GE＝＝1，
∴在RT△FCE中，EF2＝FC2+CE2，即（DF+1）2＝（2﹣DF）2+1，解得DF＝，
∴点F（，2），
把点F的坐标代入y＝kx得：2＝k，解得k＝3；
②当点F与点C重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AF平分∠DFE，
∴F（2，2），
把点F的坐标代入y＝kx得：2＝2k，解得k＝1．
故答案为：1或3．
23．（2019秋•铜山区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），连接AB，点P是线段AB上的一个动点（包括两端点），直线y＝﹣x上有一动点Q，连接OP，PQ，已知△OPQ的面积为，则点Q的坐标为 （，﹣）或（﹣，）． ．
解：方法一：∵点Q在直线y＝﹣x上，
∴设点Q的坐标为（m，﹣m）．
∵点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），
∴△AOB为等腰直角三角形，
点O（0，0）到AB的距离h＝OA＝．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵点A（0，2），点B（2，0）在直线AB上，
∴有，解得．
即直线AB的解析式为y＝﹣x+2，
∵直线y＝﹣x+2与y＝﹣x平行，
∴点P到底OQ的距离为（平行线间距离处处相等）．
∵△OPQ的面积S△OPQ＝OQ•h＝OQ＝，
∴OQ＝2．
由两点间的距离公式可知OQ＝＝2，
解得：m＝±，
∴点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．
故答案为：（，﹣）或（﹣，）．
方法二：当P点与A重合时，则△OPQ底OP为2，
∵△OPQ的面积为，
∴△OPQ的高为，即点Q的横坐标为±，
∵点Q在直线y＝﹣x上，
∴点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）；
当P点与B重合时，同理可求出点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．
综上即可得出点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．
24．（2022秋•尤溪县期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点A（a，3），直线l2与y轴交于点B（0，﹣5）．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB，使点O与点C重合，AC与x轴交于点D．求证：AC∥OB；
（3）在直线BC下方是否存在点P，使△BCP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵直线l₁：y＝x与直线l₂：y＝kx+b相交于点A（a，3），
∴A（4，3），
∵直线交l₂交y轴于点B（0，﹣5），
∴y＝kx﹣5，
把A（4，3）代入得，3＝4k﹣5，
∴k＝2，
∴直线l₂的解析式为y＝2x﹣5；
（2）∵OA＝＝5，
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB，
∴∠OAB＝∠CAB，
∴∠OBA＝∠CAB，
∴AC∥OB；
（3）存在．理由如下：
如图，过C作CM⊥OB于M，
则CM＝OD＝4，
∵BC＝OB＝5，
∴BM＝3，
∴OM＝2，
∴C（4，﹣2），
过P1作P1N⊥y轴于N，
∵△BCP是等腰直角三角形，
∴∠CBP1＝90°，
∴∠MCB＝∠NBP1，
∵BC＝BP1，
∴△BCM≌△P1BN（AAS），
∴BN＝CM＝4，
∴P1（3，﹣9）；
同理可得，P2（7，﹣6），P3（，﹣）．
25．（2022秋•和平区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为（2，﹣2），点C坐标为（0，﹣3），直线AB与x轴交于点A．
（1）求直线AB的函数表达式及线段AC的长．
（2）点B关于x轴的对称点为点D，
①请直接写出点D的坐标为 （2，2） ；
②连接AD，CD，则△DCA的面积为 12 ；
③在直线BD上找点E，使△ACE是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点E的纵坐标为 ±或﹣3 ．
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；
令y＝0，则x﹣3＝0，
∴x＝6，
AC（6，0），
∴OA＝6，
∵点C坐标为（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴AC＝＝＝3；
（2）①∵点B与点D关于x轴的对称，点B坐标为（2，﹣2），
∴D（2，2）；
故答案为：（2，2）；
②如图1，
∴△DCA的面积为S△BDC+S△ADB＝×4×4+×4×2＝12；
③如图2，当AE＝AC＝3时，
设E（2，n），
∴＝3，
∴n＝±，
当CE＝CA＝3时，
设E（2，n），
∴＝3，
∴n＝﹣3，
∴点E的纵坐标为±或﹣3，
故答案为：±或﹣3．
26．（2022秋•大东区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB．
（1）直线l1的表达式为 y＝﹣x+1 ，点D的坐标为 （2，） ；
（2）设P（2，m），当点P在点D的下方时，求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C的坐标．
解：（1）∵直线l1：y＝kx+1交x轴于点B（4，0），
∴0＝4k+1．
∴k＝﹣．
∴直线l1：y＝﹣x+1，
把x＝2代入y＝﹣x+1得y＝，
∴点D的坐标为（2，），
故答案为：y＝﹣x+1；（2，）；
（2）由得：．
∴D（2，）．
∵P（2，m），
∴PD＝|m﹣|．
∴S＝×|4﹣0|•PD＝×|m﹣|×4＝|2m﹣1|．
当m＜时，S＝1﹣2m；
（3）当S△ABP＝3时，2m﹣1＝3，
解得m＝2，
∴点P（2，2），
∵E（2，0），
∴PE＝BE＝2，
∴∠EPB＝∠EBP＝45°，
如图2，∠PBC＝90°，BP＝BC，
过点C作CF⊥x轴于点F，
∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，
∴∠CBF＝∠PBE＝45°，
在△CBF与△PBE中，
，
∴△CBF≌△PBE（AAS）．
∴BF＝CF＝PE＝EB＝2．
∴OF＝OB+BF＝4+2＝6．
∴C（6，2）；
如图3，△PBC是等腰直角三角形，
∴PE＝CE，
∴C（2，﹣2），
∴以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，点C的坐标是（6，2）或（2，﹣2）．
当1﹣2m＝3时，m＝﹣1，可得P（2，﹣1），
同法可得C（3，2）或（5，﹣2）．
综上所述，满足条件的点C坐标为（6，2）或（2，﹣2）或（3，2）或（5，﹣2）．
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