【暑假衔接】高中物理新高三（高二升高三）暑假自学讲义 专题08 机械能守恒定律（教师版+学生版）

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知识点1：机械能
1、重力势能
物体因为重力作用而拥有的能量。
物体由于被举高而具有的能量叫重力势能。
物体在空间某点处的重力势能等于使物体从该点运动到参考点时重力所作的功。
2、重力势能表达式
Ep＝mgh
3、重力势能的性质
4、重力做功特点
重力所做的功只跟初、末位置高度差有关，跟物体运动的路径无关。
5、重力势能的变化与重力做功的关系
定性关系：重力对物体做正功，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做功；重力对物体做负功（或者说物体克服重力做功），重力势能增加，增加的重力势能等于物体克服重力所做的功。
定量关系式为：WG=−ΔEP=EPl−EP2，即重力对物体所做功等于物体重力势能的增量的负值。
注意：重力做功是重力势能变化的原因，重力做功与重力势能的变化量为等值关系，两者均与参考面的选择无关。
重力势能的变化只取决于物体的重力所做功的情况，与物体是否还受其他力作用以及其它力是否做功等因素均无关。
6、弹性势能定义
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
7、弹簧的弹性势能的表达式
Ep＝eq \f(1,2)kl2。式中的k为弹簧的劲度系数，l为弹簧的形变量。
弹力做功与弹性势能变化的关系为W弹＝－ΔEp。当弹簧弹力做正功时，弹簧的弹性势能减小；当弹簧的弹力做负功时，弹簧的弹性势能增大。
8、机械能定义
物体由于做机械运动而具有的能叫机械能。机械能包括动能和势能（重力势能和弹性势能）。
9、机械能表达式
E=EK+EP，EK为动能，EP为势能（重力势能和弹性势能）。
10、机械能性质
机械能为标量，有正负，正负表示大小。机械能是状态量。
11、机械能相对性
重力势能和动能与选取的参考平面和参考系有关，因此机械能具有相对性。一般选地面为参考系和零势能面。
1．由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示。图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的理想运动轨迹，、、、、为弹道曲线上的五点，其中点为发射点，点为落地点，点为轨迹的最高点，、为运动过程中经过的距地面高度相等的两点，重力加速度为。下列说法正确的是（ ）
A．炮弹到达最高点时的加速度大于
B．炮弹经过点和经过点的机械能相同
C．炮弹经过点和经过点时的加速度相同
D．炮弹由点运动到点的时间大于由点运动到点的时间
【答案】A
【详解】A．由于在最高点b，除了受重力外还受到向后的空气阻力，因此加速度大于g，A正确；
B．从a到c的过程中，由空气阻力做负功，机械能减少，B错误；
C．炮弹经过点和经过点时受空气阻力和重力作用，空气阻力方向不同，所受合力不同，加速度不同，故C错误；
D．设炮弹从O点运动到b点的过程中所受阻力的平均竖直分量为f1，从b点运动到d点的过程中所受阻力的平均竖直分量为f2，则前、后两个过程炮弹的竖直平均加速度大小分别为
根据运动学规律可知炮弹由O点运动到b点的时间小于由b点运动到d点的时间，故D错误。
故选A。
2．如图所示，一倾斜固定传送带以恒定速率顺时针转动。在传送带底端B无初速度地放一个工件，工件在摩擦力的作用下从传送带底端B滑动到顶端A，然后进入平台装箱打包。则当工件从传送带底端B滑动到顶端A的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．摩擦力对工件所做的功等于工件动能的增量
B．摩擦力对工件所做的功等于工件机械能的增量
C．摩擦力对工件所做的功等于工件和传送带之间的摩擦生热
D．摩擦力对传送带所做功的绝对值小于多消耗的电能
【答案】B
【详解】A．根据动能定理，摩擦力对工件所做的功与重力对工件的功的代数和等于工件动能的增量，A错误；
B．根据功和能的关系，摩擦力对工件所做的功等于工件机械能的增量，B正确；
C．设传送带的速度为v，和传送带共速所用时间为t，摩擦力对传送带所做功的绝对值为W带，摩擦力对工件所做的功为W件，工件和传送带之间的摩擦生热为Q

解得
当相对静止向上运动时静摩擦力对工件做正功此时没有摩擦生热，则不再相等，C错误；
D．多消耗的电能等于工件增加的机械能与工件和传送带之间的摩擦生热之和，而工件增加的机械能等于摩擦力对工件的功，工件和传送带之间的摩擦生热等于摩擦力对传送带做功的绝对值与摩擦力对工件做功之差，所以多消耗的电能等于摩擦力对传送带所做功的绝对值，D错误。
故选B。
3．如图所示，坡道滑雪中运动员从斜面自由滑到水平面直至停止，运动员与斜面、水平面间的动摩擦因数相同，空气阻力不计，其运动过程中重力的瞬时功率P和动能随时间t、重力势能和机械能E随水平位移x变化的图像中，可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】A．运动员在坡道上做匀加速度运动，速度越来越大，重力的瞬时功率P越来越大，滑到水平面后，重力方向与速度方向垂直，重力的瞬时功率P为0，故A错误；
B．运动员在坡道上做匀加速度运动，速度越来越大，动能越来越大，故B错误；
C．运动员在斜面上下滑过程中，重力势能随位移均匀减小，故C错误；
D．运动员在运动过程中由于摩擦力做功导致机械能减少，在斜面上机械能减少量为
在水平面上运动，机械能减少量为
两运动阶段E-x斜率相同，停止后，机械能不变，故D正确。
故选D。
4．如图1所示，倾角为的斜面固定在水平地面上，一质量为m的小物块从斜面顶端由静止释放，取地面为零势能面，物块的机械能E与其距地面的高度h的关系如图2所示，已知重力加速度为g，图2中直线的斜率，则物块与斜面之间的动摩擦因数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】物块运动到距地面高h处时，其机械能
可知图2中图像的斜率
解得
故选B。
5．如图甲所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中物块动能与路程s的关系如图乙所示。出发位置为零势能面，重力加速度大小取，E为物块的机械能，为物块的重力势能，下列图像中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】AB．由题意可知，刚开始的时候，物块具有一定的动能，随着运动进行，物块动能减小，重力势能增大，当速度为零时，重力势能达到最大，之后重力势能减小，动能增大，当再次达到斜面底端时，物块的动能比刚开始时动能小，说明运动过程有能量损失，机械能不守恒。由图可知，滑动过程中损失的能量为10J，单次损失的联能量为5J，故当s=10m时，重力势能为35J，s=20m时，重力势能为0J，故AB错误；
C．由上述分析可知，当s=20m时，机械能为30J，最开始机械能为40J，故C正确，D错误。
故选C。
6．一物块在高3.0m、长5.0m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度。则（ ）
A．物块的质量为10kg
B．物块下滑到底端的速度为4.0m/s
C．物块下滑时加速度的大小为
D．物块与斜面间的动摩擦因数为0.6
【答案】C
【详解】A．斜面高3m、长5m，则斜面倾角为θ＝37°。令斜面底端为零势面，则物块在斜面顶端时的重力势能
可得质量
A错误；
B．物块下滑到低端时，动能为10J，速度为
B错误；
D．下滑5m过程中，由功能原理，机械能的减少量等于克服摩擦力做的功
求得
D错误；
C．由牛顿第二定律
求得
C正确；
故选C。
知识点2：机械能守恒定律
1、内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
2、物理意义
表示一个系统初状态的机械能等于末状态的机械能。
3、守恒条件
只有重力做功或系统内弹力做功。
存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或弹力做功。
其他力虽然做功，但是做功的代数和为零。
进一步理解：①只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒。②除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。③除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能减少量，那么系统的机械能守恒．注意：并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。
4、三种观点
5、机械能守恒判断方法
6、机械能守恒定律解题方法
明确研究对象；
分析研究对象的受力情况和运动情况，分析清楚各力做功的情况；
选取适当的势能平面，明确研究对象的初末状态的机械能；
选取合适的机械能守恒定律的观点列表达式；
对结果进行讨论和说明。
机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，应用时首先要判断所研究的物理情景中机械能是否守恒。
如果系统（除地球外）只有一个物体，用守恒的观点求解比较方便；对于由两个或两个以上物体组成的系统，用转化或转移的观点求解比较方便。
7、机械能守恒定律的应用
7．某科技馆中陈列着图示装置，在竖直平面内的两条光滑轨道和，段和段完全相同，段为水平直线轨道，曲线轨道的端点点与点在同一水平面上，两点间的距离与长度相等。两个相同的小球分别从两点静止释放后，始终沿轨道运动且无机械能损失，小球在直线轨道段和曲线轨道段运动时间分别为和，则（ ）
A．B．C．D．无法比较
【答案】B
【详解】两球在运动过程中，分别机械能守恒，设小球在直线轨道段运动的速度为v，则小球在EF轨道运动过程，水平方向速度可近似看作先由v增大后减小到v，可作图如下
两球在水平方向位移相同，则图像与时间轴围成的面积相同，故
故选B。
8．如图所示，两物体由高度相同、路径不同的光滑斜面由静止下滑，物体通过两条路径的长度相等，通过C点前后速度大小不变，则下列说法正确的是（ ）
A．物体沿AB斜面运动时间较短B．物体沿ACD斜面运动时间较短
C．物体沿两个光滑斜面运动时间相等D．无法确定
【答案】B
【详解】由于两斜面光滑，且物体通过C点前后速度大小不变，说明整个过程机械能守恒，则两物体到达斜面最低点的速度大小相等，而且两物体运动路程相等，故可利用速度—时间图像进行分析比较。从图中可以看出，沿AC段运动时，起始阶段加速度较大，故其速度图像起始阶段斜率较大，且二者末速度相等，为了保证最后速度大小一样且包围的面积（路程）一样，可以看到通过AB的时间t1大于通过ACD的时间t2，所以沿ACD斜面先到达，故B正确。
9．为了节省能源，某商场安装了智能化的电动扶梯。无人乘行时，扶梯运转得很慢；有人站上扶梯时，它会先慢慢加速，再匀速运转。一顾客乘扶梯上楼，恰好经历了这两个过程，如图所示。下列说法中正确的是（ ）
A．顾客仅在加速过程受摩擦力的作用
B．顾客所受的摩擦力大小与扶梯的加速度大小无关
C．乘扶梯匀速上楼的过程中，顾客的机械能保持不变
D．扶梯对顾客作用力的方向先与速度方向相同，再竖直向上
【答案】A
【详解】A．电梯慢慢加速时，顾客受重力、支持力、摩擦力作用，匀速转动时，顾客受重力、支持力作用，所以仅在加速过程受摩擦力的作用，故A正确；
B．设扶梯倾角为，将加速度分解，结合牛顿第二定律有
所以摩擦力大小与扶梯加速度大小有关，故B错误；
C．乘扶梯匀速上楼的过程中，顾客的动能不变，重力势能增大，所以机械能增大，故C错误；
D．电梯慢慢加速时，扶梯对顾客作用力即为支持力和摩擦力的合力，其方向指向右上方，匀速阶段时只有支持力，竖直向上，故D错误；
故选A。
10．如图为“Y”型弹弓，先用力拉弹兜（内有弹丸）使皮筋拉伸，然后由静止释放弹丸，不计空气阻力，弹出的弹丸在空中运动一段时间后击中目标。下列说法不正确的是（ ）
A．拉伸皮筋的过程，皮筋的弹性势能增大
B．释放弹丸后弹丸弹出前，弹兜对弹丸做正功
C．弹出后在空中运动的过程，弹丸的动能一直增大
D．由静止释放后击中目标前，弹丸的机械能先增大后保持不变
【答案】C
【详解】A．拉伸皮筋的过程，皮筋的形变量增大，弹性势能增大，故A正确；
B．释放弹丸后弹丸弹出前，弹兜对弹丸做正功，故B正确；
C．若弹丸向上弹出，则弹出后在空中运动的过程，弹丸的重力做负功，动能先减小，后增大，故C错误；
D．由静止释放后弹力对弹丸做正功，弹丸的机械能增大，击中目标前，只有重力对弹丸做功，弹丸的机械能保持不变，故D正确；
故选C。
11．在一轻弹簧下挂一重物，将它从位置处放开，它将迅速下降，直至位置后再返回（如甲图所示）。若我们用手托着该重物使它缓缓下降，最终它在达到位置后就不再运动了（如乙图所示）。记弹簧的弹性势能为、物体和地球的重力势能为、物体的动能为，弹簧始终处于弹性限度内，关于两次实验，下列说法正确的是（ ）
A．甲图里重物从到的过程中，持续减小
B．乙图里重物从到的过程中，持续增大
C．甲图里重物从到的过程中，保持不变
D．乙图里重物从到的过程中，保持不变
【答案】C
【详解】A．由题意可知，甲图里重物在达到位置处，弹簧的弹力与重物的重力大小相等，此时重物的速度最大，则有在重物从到的过程中，弹力大于重力，重物做减速运动，动能减小，重物与弹簧组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律可知，持续增大，A错误；
B．乙图里重物从到的过程中，用手托着该重物使它缓缓下降，重物动能不变，可手对重物的支持力对重物做负功，则系统的机械能减小，则有持续减小，B错误；
C．甲图里重物从到的过程中，重物与弹簧组成的系统机械能守恒，则有保持不变，C正确；
D．乙图里重物从到的过程中，手对重物的支持力对重物做负功，因此系统的机械能减小，则有减小，D错误。
故选C。
12．如图甲所示，x轴的正方向竖直向下，其原点为O，一个钢球从x轴上的P点沿竖直方向抛出，之后钢球落入粘性液体中，粘性液体底部坐标为；钢球在运动过程中机械能E随位置坐标x的变化规律如乙图所示，图中为直线，为曲线．不计空气阻力，则下列判断正确的是（ ）
A．钢球从P点抛出时速度竖直向下B．钢球进入液体后先加速后匀速运动
C．钢球在液体中下落时动能越来越小D．钢球在液体中下落时所受阻力越来越大
【答案】D
【详解】A．钢球从x轴上的P点沿竖直方向抛出，由图可知从O到，机械能守恒，由于O是坐标原点，所以钢球抛出的速度竖直向上，故A错误；
BCD．钢球进入液体后，阻力做功代表机械能变化，有
由图可知钢球在液体中下落时所受阻力越来越大；
则钢球进入液体后先加速，当后，钢球做减速运动，钢球的动能先增大，后减小，故BC错误，D正确；
故选D。
13．某同学利用模拟软件研究小球从半径为R的半圆弧面顶端以不同速率水平抛出，已知重力加速度为g，不计一切阻力，小球沿圆弧面运动的圆弧对应的圆心角θ与抛出速率的平方v2的关系，下列图像可能正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】小球沿圆弧面运动的圆弧对应的圆心角θ时恰好离开弧面，设此时小球的速度为v1，根据牛顿第二定律得
小球从抛出到离开弧面，根据机械能守恒定律得
解得
故选D。
14．如图所示，有一根长的细线水平伸直，绳子左端固定在O点，右端连接一个质量的小球，在绳子的下方某处固定一个钉子，当小球运动到最低点时，细绳刚好断裂，已知钉子与O点之间的连线与水平方向成，绳子能够承受的最大拉力是，取，则钉子离O的距离是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设小球到达最低点时的速度为，细线与钉子接触时小球的速度为，细线的长度为，钉子离O的距离为，最低点绳子的最大拉力为，则由机械能守恒有
由动能定理有
由牛顿第二定律有
联立解得
故选D。
15．如图所示，总长为L，质量分布均匀的铁链放在高度为H的光滑桌面上，有长度为a的一段下垂，，重力加速度为g，则铁链刚接触地面时速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设铁链单位长度的质量为m，设地面为零势能面，由机械能守恒定律可得
解得
故ABC错误，D正确。
故选D。
16．有一条长为L=2m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条沿斜面向上滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为（g取10m/s2）（ ）
A．2.5m/sB．m/sC．m/sD．m/s
【答案】B
【详解】设链条的质量为，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为
链条全部滑出后，动能为
重力势能为
由机械能守恒定律可得
即
解得
故选B。
17．如图所示，质量均为m的滑块A、B，A不带电，B带正电电荷量为q，A套在固定竖直杆上，B放在绝缘水平面上并靠近竖直杆，A、B间通过铰链及长度为L的刚性绝缘轻杆连接且静止。现施加水平向右电场强度为E的匀强电场，B开始沿水平面向右运动，已知A、B均视为质点，重力加速度为g，不计一切摩擦。则在A下滑的过程中，下列说法不正确的是（ ）
A．A、B组成的系统机械能不守恒
B．A运动到最低点时，轻杆对A的拉力为qE
C．A的机械能最小时，B的加速度大小为
D．A运动到最低点时，滑块A速度大小为
【答案】D
【详解】A．A、B组成的系统因有电场力做功，故机械能不守恒，A正确，不符合题意；
B．A到最低点时B的速度为0，处于平衡态，故杆对B的作用力大小等于电场力qE，则轻杆对A的作用力大小也为qE，B正确，不符合题意；
C．杆先对A做负功后对A做正功，当杆的作用力为0时，A的机械能最小，此时B仅受电场力，故B的加速度大小为 ，C正确，不符合题意；
D．A落地的瞬时，B的速度为0，根据系统能量守恒有
解得
D错误，符合题意。
故选D。
18．如图，轻杆可绕转轴O在竖直平面内转动，两端固定A、B两个小球（可视为质点），两小球的质量分别为mA=0.2kg，mB=0.1kg，到转轴O的距离分别为rA=20cm，rB=40cm。现给小球B大小为vB=4m/s线速度，使两小球在竖直平面内转动起来，不计转轴处的摩擦力及空气阻力，重力加速度g取10m/s2，则轻杆转到水平位置时，轻杆对小球A的作用力大小为（ ）

A．2NB．4NC．2ND．6N
【答案】C
【详解】将两小球作为一个系统，分析可知转动过程中，系统的重力势能不变，所以两小球的动能也不变，两小球做的是匀速圆周运动，小球A转动的线速度大小为
轻杆转到水平位置时，小球A竖直方向（切线）受力平衡，轻杆对小球A的作用力在竖直方向上的分力为
轻杆对小球A的作用力水平方向的分力提供小球做圆周运动的向心力，有
所以轻杆对小球A的作用力为
故选C。
19．如图所示，一轻弹性绳一端系于A点，另一端与质量为m、套在光滑竖直固定杆上B点的小球相连，此时A、B在同一水平线上，且弹性绳原长恰好等于A、B间距L。现将小球从B点由静止释放，当小球下落至C点时动能最大，AC与水平方向的夹角为。已知轻弹性绳的弹力与伸长量遵循胡克定律，已知弹性绳的弹性势能为，式中x为弹性绳的伸长量，则小球的最大动能为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【详解】小球下落过程先加速后减速，当加速度为0时速度最大，动能最大，此时有
解得
由能量守恒定律得
解得
故选A。
20．如图所示，固定的水平长杆上套有质量为m的小物块A，跨过轻质定滑轮（可视为质点O）的细线一端连接A，另一端悬挂质量为m的小物块B（B靠近定滑轮），滑轮到杆的距离，开始时A位于点， 与水平方向的夹角为，重力加速度为，不计一切摩擦。现将A、B由静止释放，则当AO间的细线与水平方向的夹角为时，小物块B的速度大小为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】将、B由静止释放，当AO间的细线与水平方向的夹角为时，B下落的高度
由和B组成的系统机械能守恒得
A沿绳子方向的分速度与B的速度大小相等，则有
解得
故选D。
21．如图所示，倾角为θ = 30°的斜面体c固定在水平地面上，质量为M = 2m的物体b置于光滑的斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与质量为m的物体a连接，连接b的一段细绳与斜面平行，连接a的一段细绳竖直，a连接在竖直固定在地面的弹簧上，用手托住物体b使物体a和b保持静止不动，此时细绳伸直且拉力为零，弹簧的压缩量为x0。现在松开手，在物体b下滑2x0距离时，则下列说法中正确的是（ ）

A．物体a与弹簧组成的系统机械能守恒B．物体b的重力势能减少mgx0
C．细绳对物体a做的功为2mgx0D．物体b的速度大小为
【答案】C
【详解】A．绳拉力对a物体做正功，物体a与弹簧组成的系统机械能增加，故A错误；
B．2x0是下滑距离，物体b重力势能减少Mgx0= 2mgx0，故B错误；
D．弹簧的压缩量和伸长量相等，所以弹性势能不变。由能量守恒定律得，物体a和物体b的动能和等于
解得
v = 0
故D错误；
C．由功能关系可知，拉力做的功等于物体a与弹簧组成的系统机械能增加量，物体a的动能为0，则拉力做的功等于2mgx0，故C正确。
故选C。
22．义乌国际商贸城的跳跳杆玩具广受孩子们的喜爱。跳跳杆底部装有一根弹簧，某次小孩从最低点弹起，以小孩运动的最低点为坐标原点，竖直向上为x轴正方向，小孩与杆整体的动能与其坐标位置的关系如图所示，图像之间为曲线，x2为其最高点，为直线，不计空气阻力的影响。则下列说法正确的一项是（ ）

A．x1位置时小孩处于超重状态B．x2位置时小孩不受弹簧弹力作用
C．位置时小孩所受合外力为零D．从过程小孩的机械能始终守恒
【答案】A
【详解】A．x1位置时小孩向上加速运动，处于超重状态，故A正确；
B．x2位置时小孩向上运动动能最大，速度最大，小孩所受重力与弹簧弹力二力平衡，小孩受弹簧弹力作用，故B错误；
C．为直线，由动能定理可得
解得
位置时小孩仅受重力作用，故C错误；
D．从过程小孩与弹簧的系统机械能守恒，过程小孩的机械能守恒，故D错误。
故选A。
多选题
23．如图甲所示，一轻弹簧竖直固定于水平桌面上，另一相同的弹簧下端与光滑固定斜面底端的挡板相连，物体P、Q分别从两弹簧上端由静止释放，加速度a与弹簧压缩量x的关系分别如图乙中实线、虚线所示，则（ ）

A．光滑斜面的倾角为30°
B．P、Q向下运动达到最大速度时两弹簧的压缩量之比为1:2
C．P、Q的质量之比为1:6
D．P、Q向下运动过程中的最大速度之比为
【答案】ACD
【详解】A．设物体分别质量为．由图乙可知弹簧压缩量为零时，物体加速度分别为2a0，a0。对物体，有
解得
设斜面的倾角为，对物体，有
解得
可得
解得
故A正确；
B．加速度为零时，物体的速度最大．由图乙可知，向下运动达到最大速度时两弹簧的压缩量分别为。向下运动达到最大速度时两弹簧的压缩量之比为，故B错误；
C．P、Q向下运动达到最大速度时，对两物体，有
又
解得
故C正确；
D．由动能定理
可知，图像与轴所围面积的两倍即为的改变量。由静止开始运动，设向下运动过程中的最大速度分别为和，可得
最大速度之比
故D正确。
故选ACD。
24．如图所示，在竖直平面内固定一半径为的光滑大圆环，环上套有质量均为m的A、B两个小球，两球间用长为的轻细线连接。已知重力加速度为，初始时A位于圆环最高点。先用手控制A球使A、B两球均静止，然后松开手释放两小球，则下列说法正确的是（ ）

A．释放前后瞬间，大圆环对B球的弹力大小之比为
B．释放后到B球运动到最低点的过程中绳子一直是绷紧的
C．释放后瞬间B球的瞬时加速度为
D．释放后A、B两球运动的速度大小始终相等
【答案】AC
【详解】AC．根据题意题意，静止时，对小球B受力分析，设绳子的弹力为，圆环对B球的弹力为，由平衡条件有
解得
释放时，设绳子的弹力为，圆环对B球的弹力为，由牛顿第二定律，对小球A有
对小球B有
又有
联立解得
则释放前后瞬间，大圆环对B球的弹力大小之比为
故AC正确；
BD．开始一段时间内，A球在B球的拉动下，随B球一起运动。当A、B间细线成竖直状态时，细线拉力开始为零，绳子开始松弛，A、B两球运动的速度大小不相等，故BD错误。
故选AC。
25．半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m和的小球A和B。A、B两球之间用一长为的轻杆相连，如图所示。开始时，A、B两球都静止，且A球在圆环的最高点，现将A、B两球由静止释放，则下列说法正确的是（ ）

A．A、B和轻杆组成的系统在运动过程中机械能守恒
B．B球到达最低点时的速度大小为
C．B球到达最低点的过程中，杆对A球做负功
D．B球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置高于圆环圆心
【答案】ABD
【详解】A．球A、B和轻杆组成的系统只有动能和势能间的相互转化，系统机械能守恒，A正确；
B．释放后B球到达最低点的过程中，由机械能守恒定律，有
因为A、B均做半径相同的圆周运动且角速度相等，可得
解得
B正确；
C．B球到达最低点的过程中，设轻杆对A球做的功为，对A球应用动能定理可得
又
解得
C错误；
D．设B球到达右侧最高点时，OB与竖直方向之间的夹角为θ，如图所示

取圆环的圆心O所在的水平面为参考平面，由系统机械能守恒可得
代入数据可得
所以B球在圆环右侧区域内达到最高点时，高于圆心O的高度
D正确。
故选ABD。
26．北京冬奥会苏翊鸣在单板滑雪大跳台项目中夺冠，使得人们对该项目有了更多的关注和了解。单板滑雪大跳台项目简化模型如图所示，运动员以某一水平初速度从P点冲上一光滑圆弧跳台，离开跳台经最高点M后落在斜坡上。运动员从跳台起跳后在空中运动的速度变化量、重力的瞬时功率、动能、机械能分别用v、P、Ek、E表示，用t表示运动员在空中的运动时间，不计运动员所受空气阻力，下列图像中可能正确的是（ ）

A．B．
C． D．
【答案】AC
【详解】A．滑雪运动员离开起跳区后做斜拋运动，水平速度不变，竖直速度变化，则速度变化量为
可知速度变化量和时间关系为正比例函数，图像为过原点的一条倾斜直线，故A正确；
B．经过时间t后竖直方向速度为
重力的瞬时功率为
可知重力瞬时功率和时间关系为一次函数，图像为一条倾斜直线，故B错误；
C．不计空气阻力，只有重力做功，滑雪运动员飞行过程机械能守恒，不随时间变化，故C正确；
D．斜上抛运动，上升过程动能减小，下降过程动能增大，可知Ek-t图像随时间先减小后增，故D错误。
故选AC。
解答题
27．某同学用图（a）所示装置探究竖直面内的圆周运动。固定在同一竖直面的轨道由三部分构成，直轨道与圆轨道在端相切，最低点处有压力传感器，圆轨道的端与等高且两端的切线均竖直，，两圆轨道的半径相同、圆心等高。将一小球从轨道上不同位置静止释放，测出各次压力传感器的示数，得到与释放点到点的高度的关系图像如图（b）。小球可视为质点且恰好能自由通过D、E端口，不计摩擦力和空气阻力，重力加速度。
（1）求小球的质量和两圆轨道的半径；
（2）要让小球沿圆轨道通过点，求释放点的高度满足的条件。

【答案】（1），；（2）
【详解】（1）从释放到C点，由机械能守恒定律有
在C点，由牛顿第三定律知，支持力大小等于压力大小，由牛顿第二定律有
两式联立得
结合题图（b）的图像可知
解得
（2）从释放到G点，由机械能守恒定律有
恰好到达点的条件是球对轨道的压力恰为零，由牛顿第二定律有
代入数据解得
故满足的条件是：。
28．如图所示，一轻弹簧下端固定在倾角为37°的固定斜轨道的底端，斜轨道与一半径R=0.72m的半圆形光滑圆弧轨道相切于B点，BC为半圆轨道的直径。将质量为m=0.25kg的小滑块推至A点（此时弹簧处于压缩状态），由静止释放，滑块通过C点后落到斜轨道上的D点。已知AB的长度为l1=4m，BD的长度为L2=3m，滑块与斜轨道间的动摩擦因数μ=0.5，A、B、C、D均在同一竖直平面内，不计空气阻力，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cs37°=0.8。求：
（1）滑块通过C点时速度的大小vC以及滑块在C点时重力的瞬时功率P。
（2）初始时刻弹簧上储存的弹性势能Ep。

【答案】（1）3.2m/s；4.8W；（2）14.16J
【详解】（1）滑块在C点的速度与斜轨道平行，设滑块由C运动至D点所用的时间为t，在垂直于斜轨道方向上有
解得
平行于斜轨道的方向上，有
解得
由
解得
（2）小滑块由A点运动至C点的过程，由能量守恒得
解得
29．如图所示，竖直平面内固定一半径为R的光滑半圆环，圆心在O点。质量均为m的A、B两小球套在圆环上，用不可形变的轻杆连接，开始时A与圆心O等高，B在圆心O的正下方。已知轻杆对小球的作用力沿杆方向，重力加速度为g。
（1）对B施加水平向左的力F，使A、B静止在图示位置，求力的大小F；
（2）由图示位置静止释放A、B，求此后运动过程中A的最大速度的大小v。
【答案】（1）mg；（2）
【详解】（1）设圆环对A球的弹力为N，对A、B和轻杆整体可得
N-F=O
对A球
N=mgtan45°
解得
F=mg
（2）两球及轻杆组成的系统机械能守恒，当系统的重力势能最小时动能最大，系统的等效重心在杆的中点，所以当轻杆水平时，系统的重力势能最小，动能最大。当轻杆运动至水平时，A、B球速度最大且均为v，A、B系统机械能守恒
解得
30．如图所示，AB面光滑、倾角的斜面体固定在水平桌面上，桌面右侧与光滑半圆形轨道CD相切于C点，圆弧轨道的半径。物块甲、乙用跨过轻质定滑轮的轻绳连接，开始时乙被按在桌面上，甲位于斜面顶端A点，滑轮左侧轻绳竖直、右侧轻绳与AB平行；现释放乙，当甲滑至AB中点时轻绳断开，甲恰好能通过圆形轨道的最高点D。已知AB长L=1m，桌面BC段长，甲质量M=1.4kg、乙质量m=0.1kg，甲从斜面滑上桌面时速度大小不变，重力加速度大小取，不计空气阻力。求：
（1）绳断时甲的速度大小；
（2）甲进入圆形轨道C点时，甲对轨道的压力大小；
（3）甲与桌面间的动摩擦因数。
【答案】（1）2m/s；（2）84N；（3）0.4
【详解】（1）设轻绳断开时甲速度的大小为，根据机械能守恒有
解得
v1=2m/s
（2）甲恰到达D 时，根据牛顿第二定律有
设甲到达C 时速度大小为，由C 到D 的过程，由动能定理得
在C点处甲受到支持力为N，由牛顿第二定律有
由牛顿第三定律，轨道受到压力大小为
F=N
联立解得
，F=84N
（3）甲从绳断处到D点的全过程，根据动能定理可得
解得
矢标性
标量，有正负，物体在参考平面上方时，重力势能为正值，在参考平面下方时，重力势能为负值。
相对性
重力势能的大小与参考平面的选取有关。
系统性
重力势能是地球与物体这个系统共同拥有的。
任意性（参考平面的选取）
一般选择地面或物体运动时所达到的最低点为零势能面。
观点
表达式
物理意义
注意事项
守恒
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2
系统初状态的机械能等于末状态的机械能。
要选取零势能面，在整个分析过程中必须选取同一个零势能面。
转化
ΔEk＝－ΔEp
系统减少（或增加）的重力势能等于系统增加（或减少）的动能。
不需要选取零势能面，要明确势能的增加量或减少量。
转移
ΔEA减＝ΔEB增
若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量。
不需要选取零势能面，A部分机械能的增加量等于A部分末状态的机械能减初状态的机械能，而B部分机械能的减少量等于B部分初状态的机械能减末状态的机械能。
利用定义进行判断
分析动能和势能的和是否发生变化。
利用做功进行判断
系统内只有重力和弹簧弹力做功，其他力均不做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。
利用能量转化进行判断
若系统内物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化，没有其他形式的能（如没有内能增加）的转化，则系统的机械能守恒。
应用类型
分析方法
单个物体的机械能守恒问题
明确研究对象；分析研究对象的受力情况和运动情况，分析清楚各力做功的情况；选取合适的机械能守恒定律的观点列表达式；对结果进行讨论和说明。
多个物体的机械能守恒问题
分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒。对多个物体组成的系统，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒。注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
含弹簧的机械能守恒问题
弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。
非质点的机械能守恒问题
像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理，虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则并确定物体各部分的重心位置，然后根据初末状态物体重力势能的变化列式进行求解。