【暑假衔接】高中物理新高三（高二升高三）暑假自学讲义 专题13 反冲和火箭问题（教师版+学生版）

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知识点1：反冲和火箭问题
1、定义
一个静止的物体在内力的作用下分为两部分，一部分向某个方向运动，另外一个部分必然向相反方向运动，这个现象叫反冲运动。
2、特点
两部分在内力作用下向相反方向运动；
内力往往远大于外力或在某一方向上内力远大于外力，所以系统动量守恒或在某一方向动量守恒。
其他形式的能转化为机械能，则系统的机械能增加。
3、规律
总的机械能增加：反冲运动中，由于有其他形式的能量转变为机械能，所以系统的总机械能增加；
平均动量守恒：若系统在全过程中动量守恒，则这一系统在全过程中平均动量也守恒。如果系统由两个物体组成，且相互作用前均静止，相互作用后均发生运动，则由，得m1x1＝m2x2。
该式的适用条件是：
①系统的总动量守恒或某一方向的动量守恒。
②构成系统的m1、m2原来静止，因相互作用而运动。
③x1、x2均为沿动量守恒方向相对于同一参考系的位移。
4、反冲运动的注意问题
速度的相对性：反冲问题中，由于动量守恒定律中要求速度为对同一参考系的速度，通常为对地的速度。因此应先将相对速度转换成对地的速度后，再列动量守恒定律方程。
变质量问题：在反冲运动中，由于原来的物体分为两部分（或多个部分），原来的物体质量发生变化。
5、爆炸现象
爆炸的时间极短，因而在作用过程中，物体产生的位移很小，一般可忽略不计，可以认为爆炸后仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动；
由于爆炸是在极短的时间内完成的，爆炸物体间的相互作用力远远大于系统受到的外力，所以在爆炸过程中，系统的总动量守恒。
在爆炸过程中，由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能，所以爆炸后系统的总动能增加。
6、火箭
定义：一种靠喷射高温高压燃气获得反作用力向前推进的飞行器。
工作原理：利用了反冲原理。
当火箭推进剂燃烧时，从尾部喷出的高速气体具有巨大的动量，根据动量守恒定律有：mΔv+Δmu=0，解得Δv=−，火箭获得大小相等、方向相反的动量。
随着推进剂的消耗，火箭的质量逐渐减小，加速度不断增大，当推进剂燃尽时，火箭即以获得的速度沿着预定的空间轨道飞行。
影响因素：由Δv=−可得火箭的速度的改变量与喷气速度u和火箭质量比有关。
注意：随着燃料的燃烧，火箭本身的质量不断减小，故在应用动量守恒定律时，必须取在同一相互作用时间内的火箭和喷出的气体为研究对象；初、末状态动量的方向；初、末状态的速度的参考系是否为同一参考系。
7、一个具体例子：人船模型
人船模型的特征：两个原来静止的物体发生相互作用时，若所受外力的矢量和为零，则动量守恒。在相互作用的过程中，任一时刻两物体的速度大小之比等于质量的反比。
人船模型的推导：
解题时要画出人和船的位移关系图，找出不同长度间的关系，注意人和船的位移是相对同一参考系的位移，如下图所示：
由动量守恒定律有：0＝mv人－Mv船，根据位移与速度间的关系则有：0＝meq \f(x人,t)－Meq \f(x船,t)，由图像可知人和船的位移关系为：x人＋x船＝L，联立以上三式可得：x人＝eq \f(M,M＋m)L，x船＝eq \f(m,M＋m)L。
结论：人船平均速度(瞬时速度)比等于它们质量的反比，eq \f(x人,x船)＝eq \f(M,m)。
1．2023年春节期间，中国许多地方燃放了爆竹，爆竹带来浓浓的年味。一质量为M的爆竹竖直运动到最高点时，爆炸成两部分，爆炸后瞬时质量为m的部分动能为E，爆炸时间极短可不计，不计爆炸过程中的质量损失，则该爆竹爆炸后瞬时的总动能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设爆炸后瞬时质量为m的速度大小为，另一部分的速度大小为，根据动量守恒可得
解得
又
则该爆竹爆炸后瞬时的总动能为
联立解得
故选D。
2．10月31日至11月14日，中国人民解放军在渤海海峡及黄海北部海域连续15天执行军事任务。期间发射一质量为m的炮弹，炮弹速度大小为v时炮弹爆炸成两块，爆炸后瞬间质量为0.25m的一块速度方向与爆炸前炮弹的速度方向相反，大小为，爆炸后瞬间另一块的速度大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】以爆炸前炮弹运动的方向为正方向，爆炸过程系统动量守恒，由动量守恒定律得
解得爆炸后瞬间另一块的速度大小为
BCD错误，A正确。
故选A。
3．装有砂子的小车在光滑水平地面上匀速运动，小车和砂子总质量为M，速度为v0，在运动过程中有质量为m的砂子从车上漏掉。砂子漏掉后，小车的速度应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】砂子从车上漏掉的瞬间，其速度仍然为v0，设汽车速度为v，根据水平方向动量守恒可得
解得
故选D。
4．如图所示，一质量为m的炮弹刚好水平向右经过地面N点的正上方时发生爆炸，炸裂为质量相等的A、B两部分，且两部分的速度方向和炮弹爆炸前的速度方向在同一直线上，爆炸时间极短，其中A部分刚好落在N点，已知爆炸前瞬间炮弹距地面高为h，动能为，重力加速度为g，不计空气阻力，爆炸前后炮弹总质量不变，则下列说法正确的是（ ）
A．在爆炸的前后瞬间，炮弹的机械能和动量均守恒
B．爆炸后炮弹的B部分先落地
C．爆炸释放出的能量为
D．炮弹的两部分落地点之间的距离为
【答案】D
【详解】A．在爆炸的整个过程中，炮弹机械能增加，A错误；
B．两部分在竖直方向均做自由落体运动，能同时落地，下落时间均为，B错误；
C．根据动量守恒定律得
根据题意得，，代入解得
故
获得的能量
C错误；
D．炮弹的两部分落地点之间的距离为
，
解得
D正确。
故选D。
5．用质量分布均匀的长方形光滑玻璃板AB做成的跷跷板置于O点上，左右两侧等高。被轻质细绳锁定的C、D小车之间放置一压缩轻质弹簧，已知轻质弹簧与小车不拴接，将连有轻弹簧的C、D小车静置于跷跷板上，左右两侧仍等高。烧断细线，则（ ）
A．跷跷板向左侧倾斜
B．跷跷板向右侧倾斜
C．左右两侧仍等高
D．无法确定
【答案】C
【详解】C、D小车静置于跷跷板上，令C、D小车质量分别为m1、m2，由杠杆平衡可知
烧断细线后，由系统动量守恒得
得出
所以
综上得
所以左右两侧仍等高。
故选C。
6．如图所示，半径分别为3R和R的两光滑半圆轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，在水平轨道CD上有一轻弹簧被a、b两小球夹住，同时释放两小球，a、b球恰好均能通过各自半圆轨道的最高点，已知a球的质量为m。则（ ）
A．b球质量为m
B．两小球与弹簧分离时，动能相等
C．若要求a、b都能通过各自的最高点，弹簧释放前至少具有的弹性势能为
D．a球到达圆心等高处时，对轨道压力为9mg
【答案】C
【详解】当小球恰好能通过半圆轨道的最高点时，在最高点的位置，小球的重力提供小球做圆周运动的向心力，对a小球，根据动能定理得
在最高点时，根据牛顿第二定律得
联立解得
同理对b分析可得：b球的速度为
A．对a、b组成的系统进行研究，在释放瞬间，两小球的动量守恒，选a球的速度方向为正方向，则
解得
故A错误；
B．动能与动量的关系为

因为两个小球的动量相等，但质量不相等，则两小球与弹簧分离时，动能也不相等，故B错误；
C．若两小球的质量相等，则与弹簧分力时两小球的速度大小相等，方向相反，根据上述分析，两小球具备的最小速度与上述分析的a球的速度相等，则弹簧的弹性势能等于两小球的动能之和，因此

故C正确；
D．当a球到达圆心等高处时，对此过程根据动能定理得
在与圆心等高的位置，根据牛顿第二定律得：
结合牛顿第三定律可得
N=FN
联立解得
N=3mg
方向水平向右，故D错误；
故选C。
7．如图所示，进行太空行走的宇航员A和B的质量分别为和，他们携手远离空间站，相对空间站的速度为。A将B向空间站方向轻推后，A的速度变为，下列说法正确的是（ ）
A．研究A、B相对空间站的速度是以地球为参考系
B．A将B向空间站方向轻推的过程中，不能认为A、B组成的系统动量守恒
C．A将B向空间站方向轻推后，B的动量大小为
D．若A将B向空间站方向轻推的作用时间为，则A、B互相作用的平均力为
【答案】D
【详解】A．研究A、B相对空间站的速度是以空间站为参考系，选项A错误；
B．根据动量守恒定律的条件可以知道，将A和B看作一个系统，二者相互作用的过程中不受外力作用，故系统动量守恒，，选项B错误；
C．根据动量守恒有
解得
选项C错误；
D．若A将B向空间站方向轻推的作用时间为，对A根据动量定理有
解得
即A、B互相作用的平均力为，选项D正确。
故选D。
8．一名连同装备总质量为M的航天员，脱离宇宙飞船后，在离飞船x处与飞船处于相对静止状态。装备中有一个高压气源能以速度v（以飞船为参考系）喷出气体从而使航天员运动。如果航天员一次性向后喷出质量为Δm的气体，且在规定时间t内返回飞船。下列说法正确的是（ ）
A．喷出气体的质量Δm小于
B．若高压气源喷出气体的质量不变但速度变大，则返回时间大于t
C．若高压气源喷出气体的速度变大但动量不变，则返回时间小于t
D．在喷气过程中，航天员、装备及气体所构成的系统动量和机械能均守恒
【答案】A
【详解】A．由题知，航天员的速度为
喷气过程系统动量守恒，以宇航员的速度方向为正方向，由动量守恒定律得
解得
故A正确；
B．根据动量守恒有
解得
若高压气源喷出气体的质量不变但速度变大，则变大，故返回时间小于t，故B错误；
C．根据动量守恒有
解得
若高压气源喷出气体的速度变大但动量不变，根据
可知减小，故减小，则返回时间大于t，故C错误；
D．在喷气过程中，航天员、装备及气体所构成的系统动量守恒，整个系统的动能增加，故系统机械能不守恒，故D错误。
故选A。
9．在空间技术发展过程中，喷气背包曾经作为宇航员舱外活动的主要动力装置，它能让宇航员保持较高的机动性。如图所示，宇航员在距离空间站舱门为d的位置与空间站保持相对静止，启动喷气背包，压缩气体通过横截面积为S的喷口以速度持续喷出，宇航员到达舱门时的速度为。若宇航员连同整套舱外太空服的质量为M，不计喷出气体后宇航员和装备质量的变化，忽略宇航员的速度对喷气速度的影响以及喷气过程中压缩气体密度的变化，则喷出压缩气体的密度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设喷出的气体的质量为，则
根据动量守恒定律可得
宇航员受力恒定，做初速度为零的匀加速直线运动，则
联立解得
故选D。
10．将模型火箭放在光滑水平面上点火，燃气以某一速度从火箭喷口在很短时间内全部喷出。火箭在水平面上滑行，在燃气从火箭喷口喷出的过程中，下列说法正确的是空气阻力可忽略（ ）
A．火箭对燃气作用力的冲量大于燃气对火箭作用力的冲量
B．火箭对燃气作用力的冲量与燃气对火箭作用力的冲量大小相等
C．火箭的动量比喷出燃气的动量大
D．火箭的动能比喷出的燃气动能大
【答案】B
【详解】AB．由于火箭对燃气作用力与燃气对火箭作用力是作用力和反作用力，故两者的冲量总是大小相等的，故A错误，B正确；
C．由于火箭和燃气组成的系统在燃气喷出前后动量守恒，由动量守恒定律可知，火箭的动量的大小与喷出燃气的动量大小相等，故C错误；
D．由于火箭的质量大于燃气的质量，由
可知火箭的质量大于燃气的质量，故火箭的动能比喷出的燃气动能小，故D错误。
故选B。
11．“独竹漂”是一项独特的黔北民间绝技。独竹漂高手们脚踩一根楠竹，漂行水上如履平地。如图甲所示，在平静的湖面上，一位女子脚踩竹竿抵达岸边，此时女子静立于竹竿A点，一位摄影爱好者使用连拍模式拍下了该女子在竹竿上行走过程的系列照片，并从中选取了两张进行对比，其简化图如下。经过测量发现，甲、乙两张照片中A、B两点的水平间距约为1cm，乙图中竹竿右端距离河岸约为1.8cm。照片的比例尺为1:40。已知竹竿的质量约为25kg，若不计水的阻力，则该女子的质量约为（ ）

A．41.5kgB．45kgC．47.5kgD．50kg
【答案】B
【详解】对人和竹竿组成的系统，可看成人船模型，所以
代入数据可得人的质量为
故选B。
12．如图，一质量为2m、半径为R的四分之一光滑圆弧槽，放在光滑的水平面上，底端B点切线水平，有一质量为m、可视为质点的小球由槽顶端A点静止释放．不计空气阻力，在小球下滑至槽底端B点的过程中，下列说法正确的是（ ）

A．若圆弧槽不固定，小球和槽组成的系统动量守恒
B．若圆弧槽不固定，小球水平方向的位移大小为
C．圆弧槽固定和不固定两种情形下，小球滑到B点时的速度之比为
D．圆弧槽固定和不固定两种情形下，圆弧槽对地面的最大压力之比为
【答案】B
【详解】A．若圆弧槽不固定，小球在竖直方向有加速度，圆弧槽在竖直方向没有加速度，小球和槽组成的系统在竖直方向所受的合外力不为零，小球和槽组成的系统在竖直方向动量不守恒，故A错误；
B．若圆弧槽不固定，对小球和槽组成的系统水平方向动量守恒，则有
在小球下滑至槽底端B点的过程中，有
解得小球水平方向移动的位移为
故B正确；
C．圆弧槽固定时，根据动能定理可得
可得小球滑到B点时的速度为
圆弧槽不固定情形下，由系统水平方向动量守恒和机械能守恒可得
解得
，
则圆弧槽固定和不固定情形下，小球滑到B点时的速度之比为
故C错误；
D．由C中分析可知，若圆弧槽固定，小球到达底端时
解得
则圆弧槽对地面的最大压力为
若圆弧槽不固定，小球到达底端时
解得
则圆弧槽对地面的最大压力为
圆弧槽固定和不固定两种情形下，圆弧槽对地面的最大压力之比为
故D错误。
故选B。
13．质量为M的热气球下吊一架轻的绳梯，梯上站着质量为m的人，气球以v0速度匀速上升。如果人加速向上爬，当他相对于绳梯的速度达到v时（ ）
A．人相对于地面的速度为B．人相对于地面的速度为
C．气球相对于地面的速度为D．气球相对于地面的速度为
【答案】C
【详解】AB．和不是同一时刻的速度，和无实际意义，故AB错误；
CD．当人相对于绳梯的速度达到v时，气球相对于地面的速度设为，则人相对于地面的速度应为，根据动量守恒定律有
可得
故C正确，D错误。
故选C。
14．如图所示，质量为M的气球上有一质量为m的猴子，气球和猴子静止在离地面高为h的空中。从气球上放下一架不计质量的软梯，为使猴子沿软梯安全滑至地面，软梯的长度至少应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设猴子下降过程中气球上升高度为H，由题意知猴子下落高度为h，猴子和气球组成的系统所受合外力为零，由动量守恒定律得
MH=mh
解得
所以软梯长度至少为
故选C。
15．小船在水面上以速度v向东行驶，若船上的人以相对河岸相同的速率分别向东和向西同时抛出两个质量相等的重物，不计水的阻力，则小船的速度与抛出重物前相比（ ）
A．不变B．减小C．增大D．无法判断
【答案】C
【详解】重物和船组成的系统，抛重物的过程中系统动量守恒，故有
得
故C正确，ABD错误。
故选C。
多选题
16．如图，一质量为2m、半径为R的四分之一光滑圆弧槽，放在光滑的水平面上，底端B点切线水平，有一质量为m、可视为质点的小球由槽顶端A点静止释放。不计空气阻力，在小球下滑至槽底端B点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．若圆弧槽不固定，小球和槽组成的系统动量守恒
B．若圆弧槽不固定，小球水平方向的位移大小为
C．圆弧槽固定和不固定两种情形下，小球滑到B点时的速度之比为
D．圆弧槽固定和不固定两种情形下，圆弧槽对地面的最大压力之比为9:7
【答案】BC
【详解】A．若圆弧槽不固定，小球和槽组成的系统水平方向受合外力为零，则水平方向动量守恒，A错误；
B．若圆弧槽不固定，对小球和槽组成的系统水平方向动量守恒，则
解得小球水平方向移动的位移为
B正确；
C．圆弧槽固定时小球滑到B点时的速度
圆弧槽不固定情形下，由动量守恒和能量关系可知
解得
则圆弧槽固定和不固定情形下，小球滑到B点时的速度之比为
C正确；
D．由C中分析可知，若圆弧槽固定，小球到达底端时
解得
则圆弧槽对地面的最大压力为
若圆弧槽不固定，小球到达底端时
解得
则圆弧槽对地面的最大压力为
圆弧槽固定和不固定两种情形下，圆弧槽对地面的最大压力之比为
D错误。
故选BC。
17．如图所示，在光滑的水平桌面上静止两个等大的小球，其质量分别为 M = 0.6 kg、m = 0.2 kg，其中间夹着一个被锁定的压缩轻弹簧（弹簧与两球不相连），弹簧具有 Ep=10.8J的弹性势能。现解除锁定，球 m 脱离弹簧后滑向与水平面相切、半径为 R=0.4 m 竖直放置的光滑半圆形固定轨道，g 取 10 m/s2则下列说法正确的是（ ）
A．两球刚脱离弹簧时，球m获得的动能比球 M 小
B．球 m 在运动达到轨道最高点速度大小为 2m/s
C．球 m 离开半圆形轨道后经过 0.4s 落回水平地面
D．球 m 经过半圆形轨道的最低点和最高点时，对轨道的压力差为12N
【答案】CD
【详解】A．由动量守恒得，M、m动量大小相同，由
得质量小的物体动能大，选项A错误；
B．由
得，两物体动能比为1：3，故m的初动能为
m获得的速度为
v0=9m/s
即到达B点的速度vB=9m/s，由动能定理可得
解得m达到圆形轨道顶端的速度
选项B错误；
C．由自由落体公式可得下降时间为
选项C正确；
D．m在圆形轨道上端时
在下端时
则在上下两端压力差为
选项D正确。
故选CD。
18．如图所示，质量为100kg的小木船静止在湖边附近的水面上，船身垂直于湖岸，船面可看做水平面，并且比湖岸高出h=0.8m在船尾处有一质量为20kg铁块，将弹簧压缩后再用细线将铁块拴住，此时铁块到船头的距离L=3m，船头到湖岸的水平距离x=0.7m。将细线烧断后该铁块恰好能落到湖岸上，忽略船在水中运动时受到水的阻力以及其它一切摩擦力，重力加速度g=10m/s2。下列判断正确的有（ ）
A．铁块脱离木船后在空中运动的时间为0.4s
B．铁块脱离木船时的瞬时速度大小为1.75m/s
C．小木船最终的速度大小为1.25m/s
D．弹簧释放的弹性势能为108J
【答案】AD
【详解】AB．烧断细线后以组成的整体为研究对象，对与组成的系统由平均动量守恒得
解得
铁块离开小木船后做平抛运动
解得
选项A正确，B错误。
C．铁块与小木船相互作用时，由动量守恒得
解得
选项C错误。
D．由机械能守恒定律得
解得
选项D正确。
故选AD。
解答题
19．如图（a），长木板C放置于光滑水平地面，两滑块A、B质量分别为，，放在C上，三者都保持静止。两滑块与木板间的动摩擦因数均为，t=0时刻释放AB间的微小弹性装置，装置储存的弹性势能为24J，此后滑块A、B运动的图像如图（b）所示，当t=4s时A与C恰好相对静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度，求：
（1）释放弹性装置瞬间滑块A、B的速度大小；
（2）滑块与木板间的动摩擦因数和木板C的质量；
（3）要使B不滑落则木板C至少有多长。
【答案】（1）2m/s，4m/s；（2）0.04，8kg；（3）30m
【详解】（1）释放弹性装置瞬间，滑块AB的速度分别为v1、v2，则由动量守恒和能量关系
解得
v1=2m/s
v2=4m/s
（2）当t=4s时A与C恰好相对静止，可知此时AC的速度相等，设为v方向向左，此时B的速度为v3=2.4m/s，方向向右，则由动量守恒
对物体A
对木板C
解得
μ=0.04
mC=8kg
v=0.4m/s
（3）4s内A向左的位移

C向左的位移

B向右的位移
从该时刻起到ABC相对静止时，则由动量守恒定律可知，此时三者的速度均为零，则此过程中B向右的位移
AC向左的加速度
位移
则木板的最小长度
20．如图甲所示，质量为的长木板ABC静止在足够长的光滑水平面上，长木板ABC的上表面由半径为R（未知）的光滑四分之一圆弧面AB和长为的粗糙水平面BC平滑连接而成，B为圆弧面AB的最低点且切线水平，水平面BC的C端固定一挡板。现将质量为的物块从A点由静止释放，物块与挡板碰撞后相对木板向左运动到B点时与长木板相对静止。已知物块在木板BC间运动的过程中，受到的摩擦力F随物块距B点的距离x变化规律如图乙所示，物块与挡板碰撞过程的时间极短且没有机械能损失，重力加速度大小g取10，不计物块的大小。求：
（1）圆弧面AB的半径；
（2）物块从A点由静止释放到与长木板相对静止于B点，长木板运动的位移大小；
（3）物块与挡板碰撞后的瞬间，物块与长木板的速度大小。
【答案】（1）0.8m；（2）0.2m；（3），
【详解】（1）全程水平动量守恒，有
则
能量守恒，有
解得
（2）水平方向动量守恒，设向右为正，有
设极短时间为Δt，有
即
且
解得长木板运动的位移大小
（3）物块与挡板碰撞后的瞬间，水平动量守恒，有
由能量守恒，有
解得物块速度大小
长木板速度大小