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（人教版）初升高数学暑假衔接高一预习-3.1 函数的概念及其表示（学生版+教师版）
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【知识梳理】
知识点一 函数的有关概念
知识点二 同一个函数
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．
特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．
知识点三 区间
1．区间概念(a，b为实数，且a2．其他区间的表示
知识点四 函数的表示方法
知识点五 分段函数
1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；
各段函数的定义域的交集是空集．
3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
【基础自测】
1．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是( )
A．1 B．0 C．－1 D．2
2．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x＋1
C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝3x＋4
3．函数y＝eq \f(x,1＋x)的大致图象是( )
4．函数y＝eq \f(\r(6－x),|x|－4)的定义域用区间表示为________．
5．已知f(n)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n－3，n≥10，,fn＋5，n<10，))则f(8)＝________.
【例题详解】
一、函数关系的判断
例1 (1)下列各式中，表示是的函数的有（ ）
①；②；③；④
A．4个B．3个C．2个D．1个
(2)设，，函数的定义域为，值域为，则的图象可以是（ ）
A． B． C． D．
跟踪训练1 下列对应中：
（1），其中，；
（2），其中，，；
（3），其中y为不大于x的最大整数，，；
（4），其中，，.
其中，是函数的是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（3）（4）
二、求函数的定义域、函数值
命题角度1 求函数的定义域
例2 (1)函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
(2)已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B． C．D．
跟踪训练2 (1)函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
(2)已知函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
命题角度2 求函数值
例3 (1)已知函数，则的值是（ ）．
A．B．0C．1D．20
(2)已知，则_________．
跟踪训练3 (1)已知定义域为R的函数，，则________.
(2)已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
三、同一个函数的判定
例4 (1)下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
跟踪训练4 和函数是同一函数的是（ ）
A．B． C． D．
四、求函数解析式
命题角度1 换元法
例5 (1)已知，则________________．
(2)若函数，则____________．
跟踪训练5 (1)已知求____________．
(2)已知，求的解析式．
命题角度2 配凑法
例6 (1)若，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
(2)已知，则=_____.
(3)已知f(x－)＝x2＋，则f（x+）＝________.
跟踪训练6 (1)已知，求.
(2)已知，求的解析式.
命题角度3 待定系数法
例7 (1)已知f（x）是一次函数，且满足，求f（x）.
(2)已知是二次函数，且满足，，求解析式.
跟踪训练7 (1)已知是一次函数，且，求．
(2)已知一次函数满足，求函数的解析式．
(3)已知是二次函数，且满足，求函数的解析式．
命题角度4 构造方程组法
例8 (1)若函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
(2)已知满足，求的解析式.
跟踪训练8 (1)已知，求函数的解析式．
(2)已知，求函数的解析式.
五、函数的图象
例9 作出下列函数的图象.
(1)；
(2)；
(3)．
(4)已知函数.
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)在所给坐标系中作出的简图；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)解不等式.
跟踪训练9 作出函数的图像．
六、分段函数求值
例10 (1)已知函数，若，则a的值为（ ）
A．B．2C．9D．-2或9
(2)已知函数的解析式，
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)求；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)若，求a的值；
跟踪训练10 (1)已知函数若，且，则（ ）
A．B．0C．1D．2
(2)已知函数.
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)求的值；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)若，求的值.
七、解分段函数不等式
例11 (1)已知，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
(2)设函数若，则的取值范围为______．
跟踪训练11 (1)已知函数,则使得的的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
(2)已知函数，则满足不等式的的取值范围是___________.
八、分段函数的实际应用
例12 某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为2000万元，每生产百台，需另投入生产成本万元．当年产量不足46百台时，；当年产量不小于46百台时，．若每台设备售价5万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完．
(1)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；
(2)这批新型机器年产量为多少百台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．
跟踪训练12 电子厂生产某电子元件的固定成本是4万元，每生产万件该电子元件，需另投入成本万元，且已知该电子元件每件的售价为8元，且该电子加工厂每月生产的这种电子元件能全部售完．
(1)求该电子厂这种电子元件的利润（万元）与生产量（万件）的函数关系式；
(2)求该电子厂这种电子元件利润的最大值．
【课堂巩固】
1．（多选）给出下列四个对应，其中构成函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是（ ）
A．，，，，
B．，
C．，
D．，，
3．若函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
5．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
6．（多选）下列选项中正确的有（ ）
A．与是同一函数
B．与表示同一函数
C．函数的图象与直线的交点最多有1个
D．若，则
7．（多选）已知函数， 关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．D．若， 则的值是
8．（多选）已知函数若，则实数的值为（ ）
A．B．C．-1D．1
9．求函数的定义域为______________________
10．已知函数是一次函数且，则函数的解析式为_________．
11．若，则____________，_____________.
12．已知，则的值域为______.
13．设函数，则________.
14．已知函数.
（1）把函数写成分段函数的形式；
（2）在给定的坐标系内作函数的图象.
15．已知函数 解不等式
16．已知函数f(x)＝
(1)求的值；
(2)求，求的值；
(3)画出函数的图像．
【课时作业】
1．下列函数中，相同的一组是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知函数，则的最小值是（ ）
A．B．2C．1D．0
3．设函数，则的表达式为（ ）
A． B．
C．D．
4．已知一次函数满足，则解折式为（ ）
A．B．
C．D．
5．一次函数满足：，则( )
A．1B．2C．3D．5
6．设.若，则x的值为（ ）.
A．1B．C．D．
7．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)＝x2－12x＋18
B．f(x)＝－4x＋6
C．f(x)＝6x＋9
D．f(x)＝2x＋3
8．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
9．（多选）若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．（且）
10．（多选）已知函数，则（ ）
A．
B．若，则或
C．的解集为
D．，，则
11．若函数的定义域为，则函数的定义域为______．
12．已知集合，，则________.
13．已知，则_________
14．若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为______________．
15．已知函数，若，则___________．
16．设若，则________．
17．设定义在上的函数满足，则___________.
已知，若，则的取值范围是___________.
19．求下列函数的定义域
(1)；
(2)；
(3)（）.
20．根据下列条件，求的解析式.
(1)已知
(2)已知
(3)已知是二次函数，且满足
21．已知函数；
(1)作出该函数的图象；
(2)写出该函数的值域．
22．已知函数
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的定义域和值域．
函数的定义
设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
y＝f(x)，x∈A
定义域
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
值域
函数值的集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(fx|x∈A))叫做函数的值域
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x区间
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
【知识梳理】
知识点一 函数的有关概念
知识点二 同一个函数
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．
特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．
知识点三 区间
1．区间概念(a，b为实数，且a
知识点四 函数的表示方法
知识点五 分段函数
1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；
各段函数的定义域的交集是空集．
3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
【基础自测】
1．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是( )
A．1 B．0 C．－1 D．2
2．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x＋1
C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝3x＋4
3．函数y＝eq \f(x,1＋x)的大致图象是( )
4．函数y＝eq \f(\r(6－x),|x|－4)的定义域用区间表示为________．
5．已知f(n)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n－3，n≥10，,fn＋5，n<10，))则f(8)＝________.
【例题详解】
一、函数关系的判断
例1 (1)下列各式中，表示是的函数的有（ ）
①；②；③；④
A．4个B．3个C．2个D．1个
(2)设，，函数的定义域为，值域为，则的图象可以是（ ）
A． B． C． D．
跟踪训练1 下列对应中：
（1），其中，；
（2），其中，，；
（3），其中y为不大于x的最大整数，，；
（4），其中，，.
其中，是函数的是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（3）（4）
二、求函数的定义域、函数值
命题角度1 求函数的定义域
例2 (1)函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
(2)已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B． C．D．
跟踪训练2 (1)函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
(2)已知函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
命题角度2 求函数值
例3 (1)已知函数，则的值是（ ）．
A．B．0C．1D．20
(2)已知，则_________．
跟踪训练3 (1)已知定义域为R的函数，，则________.
(2)已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
三、同一个函数的判定
例4 (1)下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
跟踪训练4 和函数是同一函数的是（ ）
A．B． C． D．
四、求函数解析式
命题角度1 换元法
例5 (1)已知，则________________．
(2)若函数，则____________．
跟踪训练5 (1)已知求____________．
(2)已知，求的解析式．
命题角度2 配凑法
例6 (1)若，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
(2)已知，则=_____.
(3)已知f(x－)＝x2＋，则f（x+）＝________.
跟踪训练6 (1)已知，求.
(2)已知，求的解析式.
命题角度3 待定系数法
例7 (1)已知f（x）是一次函数，且满足，求f（x）.
(2)已知是二次函数，且满足，，求解析式.
跟踪训练7 (1)已知是一次函数，且，求．
(2)已知一次函数满足，求函数的解析式．
(3)已知是二次函数，且满足，求函数的解析式．
命题角度4 构造方程组法
例8 (1)若函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
(2)已知满足，求的解析式.
跟踪训练8 (1)已知，求函数的解析式．
(2)已知，求函数的解析式.
五、函数的图象
例9 作出下列函数的图象.
(1)；
(2)；
(3)．
(4)已知函数.
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)在所给坐标系中作出的简图；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)解不等式.
跟踪训练9 作出函数的图像．
六、分段函数求值
例10 (1)已知函数，若，则a的值为（ ）
A．B．2C．9D．-2或9
(2)已知函数的解析式，
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)求；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)若，求a的值；
跟踪训练10 (1)已知函数若，且，则（ ）
A．B．0C．1D．2
(2)已知函数.
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)求的值；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)若，求的值.
七、解分段函数不等式
例11 (1)已知，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
(2)设函数若，则的取值范围为______．
跟踪训练11 (1)已知函数,则使得的的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
(2)已知函数，则满足不等式的的取值范围是___________.
八、分段函数的实际应用
例12 某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为2000万元，每生产百台，需另投入生产成本万元．当年产量不足46百台时，；当年产量不小于46百台时，．若每台设备售价5万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完．
(1)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；
(2)这批新型机器年产量为多少百台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．
跟踪训练12 电子厂生产某电子元件的固定成本是4万元，每生产万件该电子元件，需另投入成本万元，且已知该电子元件每件的售价为8元，且该电子加工厂每月生产的这种电子元件能全部售完．
(1)求该电子厂这种电子元件的利润（万元）与生产量（万件）的函数关系式；
(2)求该电子厂这种电子元件利润的最大值．
【课堂巩固】
1．（多选）给出下列四个对应，其中构成函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是（ ）
A．，，，，
B．，
C．，
D．，，
3．若函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
5．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
6．（多选）下列选项中正确的有（ ）
A．与是同一函数
B．与表示同一函数
C．函数的图象与直线的交点最多有1个
D．若，则
7．（多选）已知函数， 关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．D．若， 则的值是
8．（多选）已知函数若，则实数的值为（ ）
A．B．C．-1D．1
9．求函数的定义域为______________________
10．已知函数是一次函数且，则函数的解析式为_________．
11．若，则____________，_____________.
12．已知，则的值域为______.
13．设函数，则________.
14．已知函数.
（1）把函数写成分段函数的形式；
（2）在给定的坐标系内作函数的图象.
15．已知函数 解不等式
16．已知函数f(x)＝
(1)求的值；
(2)求，求的值；
(3)画出函数的图像．
【课时作业】
1．下列函数中，相同的一组是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知函数，则的最小值是（ ）
A．B．2C．1D．0
3．设函数，则的表达式为（ ）
A． B．
C．D．
4．已知一次函数满足，则解折式为（ ）
A．B．
C．D．
5．一次函数满足：，则( )
A．1B．2C．3D．5
6．设.若，则x的值为（ ）.
A．1B．C．D．
7．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)＝x2－12x＋18
B．f(x)＝－4x＋6
C．f(x)＝6x＋9
D．f(x)＝2x＋3
8．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
9．（多选）若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．（且）
10．（多选）已知函数，则（ ）
A．
B．若，则或
C．的解集为
D．，，则
11．若函数的定义域为，则函数的定义域为______．
12．已知集合，，则________.
13．已知，则_________
14．若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为______________．
15．已知函数，若，则___________．
16．设若，则________．
17．设定义在上的函数满足，则___________.
已知，若，则的取值范围是___________.
19．求下列函数的定义域
(1)；
(2)；
(3)（）.
20．根据下列条件，求的解析式.
(1)已知
(2)已知
(3)已知是二次函数，且满足
21．已知函数；
(1)作出该函数的图象；
(2)写出该函数的值域．
22．已知函数
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的定义域和值域．
函数的定义
设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
y＝f(x)，x∈A
定义域
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
值域
函数值的集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(fx|x∈A))叫做函数的值域
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a
(a，b)
{x|a≤x
[a，b)
{x|a
(a，b]
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
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