（人教版）初升高数学暑假衔接高一预习-4.4 对数函数（学生版+教师版）

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知识点一对数函数的概念
一般地，函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
知识点二对数函数的图象和性质
对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
知识点三不同底的对数函数图象的相对位置
一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；
对于底数0知识点四反函数的概念
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数．
(1)y＝ax的定义域R就是y＝lgax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝lgax的定义域．
(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．
(3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝lgax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同．
【基础自测】
1．函数y＝eq \f(lg2x－1,\r(2－x))的定义域是( )
A．(1,2] B．(1,2) C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
【答案】B
【详解】由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,2－x>0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1，,x<2，))∴12．已知<<0，则( )
A．nC．1【答案】D
【详解】因为0n>1，故选D.
3．函数f(x)＝lgax＋a2－2a－3为对数函数，则a＝________.
【答案】3
【详解】依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－2a－3＝0，,a>0，,a≠1，))解得a＝3.
4．如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝lgax的增减性相同，则实数a的取值范围是________．
【答案】1【详解】若f(x)，g(x)均为增函数，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－a>1，,a>1，))即1若f(x)，g(x)均为减函数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0<3－a<1，,0故15．函数f(x)＝ln(1－2x)的单调减区间为____________．
【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
【例题详解】
一、对数函数的概念及应用
例1 (1)下列函数是对数函数的是（）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的概念即得.
【详解】因为函数(且)为对数函数，
所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.
故选：D.
(2)若对数有意义，则的取值范围是（）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】由对数式有意义列不等式求的取值范围.
【详解】由对数有意义可得，
所以，且，
所以的取值范围为，
故选：C.
(3)已知对数函数（且）的图象经过点，且该函数图象经过点，则实数的值是____________.
【答案】9
【分析】根据点在图象上可求出，进而可求解.
【详解】因为对数函数（且）的图象经过点，
所以解得，
所以，
因为该函数图象经过点，所以解得，
故答案为:9.
跟踪训练1 (1)已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（）
A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥
【答案】C
【分析】依据对数函数的定义即可判断.
【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.
易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.
故选：C.
(2)已知对数函数的图像过点，则_________．
【答案】3
【分析】首先求出对数函数表达式，再代入求值即可.
【详解】由题意可知，设，
因为在图像上，则，解得，
则，则.
故答案为：
二、与对数函数有关的定义域
例2 (1)函数的定义域为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数的真数大于0得到并求解即可.
【详解】∵函数有意义，则，
可得，解得.
故选：D.
(2)函数的定义域是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可得，进而即得.
【详解】要使函数有意义，则，
解得，即函数的定义域为.
故选：C.
跟踪训练2 (1)已知集合A={x|y=}，B={x|y=ln|x-1|}，则A∩B=（）
A．{x|x≥0}B．{x|x>1}
C．{x|0≤x<1或x>1}D．{x|0≤x<1}
【答案】C
【分析】化简集合A、B，根据集合交集定义即可求出答案.
【详解】由题意，，所以或.
故选: C
(2)函数的定义域为__________.
【答案】
【分析】由解析式可得，求解即可.
【详解】由题意可得,故，即.
故函数的定义域为.
故答案为:.
三、对数函数的图象问题
例3 (1)若，则函数的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】先判断函数的单调性，再根据函数平移性质，结合对数函数图像即可求解.
【详解】，函数在上单调递增，图像过一、四象限，
又因为函数的图像是由函数的图像向左平移个单位长度得到，
而，所以函数的图像不经过第四象限，
故选：D
(2)华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，求得，结合指数函数的图象与性质以及图象变换，即可求解.
【详解】由题意，根据函数的图象，可得，
根据指数函数的图象与性质，
结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合.
故选：C.
(3)将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数平移变换进行求解即可.
【详解】将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数.
故选：B.
(4)幂函数的图象过点，则函数恒过定点___________.
【答案】
【分析】根据幂函数过点求出，再由对数函数的性质求出所过定点.
【详解】因为幂函数的图象过点，
所以，解得，
即，当时，，
所以函数恒过定点.
故答案为：
跟踪训练3 (1)函数与的图象（）
A．关于轴对称B．关于轴对称
C．关于原点对称D．关于直线对称
【答案】A
【分析】根据对数知识将化为，由此可得答案.
【详解】由得，
所以函数与的图象关于轴对称.
故选：A
(2)在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】假设指数函数图象正确，结合对数函数单调性和处函数值的正负可得到正确图象.
【详解】对于AB，若图象正确，则，单调递减，
又时，，A正确，B错误；
对于CD，若图象正确，则，单调递增，CD错误.
故选：A.
(3)已知函数（，且）的图像过定点A，若点A在函数的图像上，则______.
【答案】
【分析】首先由对数函数性质确定点A的坐标，然后求解函数的解析式，最后求解的值即可.
【详解】因为函数(，且 )的图像过定点A，
所以.
因为点A在函数的图像上，
所以，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
四、比较大小
例4 (1)已知，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用对数函数的单调性得到，，，得到答案.
【详解】；；，
所以.
故选：A
(2)比较下列各组值的大小：
①②lg1.51.6，lg1.51.4；
③lg0.57，lg0.67；④lg3π，lg20.8.
【详解】①因为函数是(0，＋∞)上的减函数，且0.5<0.6，
所以
②因为函数y＝lg1.5x是(0，＋∞)上的增函数，且1.6>1.4，
所以lg1.51.6>
③因为0>lg70.6>lg70.5，所以eq \f(1,lg70.6)即lg0.67④因为lg3π>lg31＝0，
lg20.8lg20.8.
跟踪训练4 (1)已知，，，则x，y，z的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由对数、指数得运算性质，分别将与比较大小，即可得到结果.
【详解】，即；
，即；
，即.
故.
故选：B.
(2)设a＝lg36，b＝lg510，c＝lg714，则( )
A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
【答案】D
【详解】a＝lg36＝lg32＋1，b＝lg52＋1，c＝lg72＋1，
在同一坐标系内分别画出y＝lg3x，y＝lg5x，y＝lg7x的图象，
当x＝2时，由图易知lg32>lg52>lg72，
∴a>b>c.
五、解对数不等式
例5 (1)设，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据对数函数定义域可知充分性不成立；由对数函数单调性可确定必要性成立.
【详解】当时，若，则无意义，充分性不成立；
当时，，成立，必要性成立；
综上所述：，则“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
(2)已知，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【分析】根据对数函数的单调性求解即可.
【详解】因为函数在上单调递减，
由，
得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
(3)已知，，，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】先根据求出，分，，三种情况，结合求出实数a的取值范围，利用来验证，最终求出答案.
【详解】，而单调递减，
故，
若，由可得，故，
此时，满足要求，
若，此时，不合要求，
若，由可得，故，此时，不合要求.
故答案为：
跟踪训练5 (1)设，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解出条件和结论中的两个不等式，通过解集的包含关系判断结果．
【详解】由，解得：；解得，
由，∴“”是“”的的充分不必要条件．
故选：A
(2)解关于x的不等式解集为 _____．
【答案】
【分析】根据给定的不等式，利用对数函数、指数函数单调性求解作答.
【详解】不等式，
解，即，有，解得，
解，即，化为，有，解得，
因此，
所以不等式解集为.
故答案为：
六、对数型复合函数的单调性
例6 (1)函数的单调递增区间为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，根据二次函数以及对数函数的单调性求出复合函数的递增区间即可.
【详解】由，解得：，故函数的定义域是，
函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数在定义域内是单调递减函数，
根据复合函数单调性之间的关系可知，函数的单调递增区间是.
故选：D
(2)已知函数，则的单调增区间为_______.
【答案】
【分析】根据对数复合函数的单调性，注意函数的定义域，进而确定单调增区间即可.
【详解】令，即，
由，则在上递增，在上递减，
综上，在上递增，在上递减，而在定义域上递增，
所以的单调增区间为.
故答案为：
(3)已知函数，若，则此函数的单调递增区间是________．
【答案】
【分析】先由对数函数的性质求得其定义域，再由推得，从而利用复合函数的单调性与二次函数的性质即可得解.
【详解】由题意，令，解得或，故函数的定义域为，
，得，
令，则，
根据复合函数的单调性，即求在定义域内的增区间，
由二次函数的性质，的增区间为，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：.
(4)已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】令，即可判断在上的单调性，依题意可得在上为减函数，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】令，则在为减函数，
所以由复合函数的单调性可知在上为减函数，则，解得，
即的取值范围为．
故答案为：
跟踪训练6 (1)（多选）关于函数，下列说法正确的有（）
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递减
【答案】BD
【分析】利用对数型复合函数的性质求解.
【详解】因为函数，
由，可得或，
令，在上单调递减，在上单调递增，
又是单调递减函数，
所以在区间上单调递增，在上单调递减，
故选：BD.
(2)已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复合函数单调性同增异减，可得在区间上单调递增，由对数函数的性质，真数恒大于0，可得，再利用二次函数的单调性和值域求解即可.
【详解】解析：令．
因为在上单调递减，
所以函数在区间上单调递增，且恒大于0，
所以对称轴且，所以且，
解得，即a的取值范围为，
故选：D．
七、反函数
例7 (1)已知函数的图像与的图像关于直线对称，则（）
A．B．10C．12D．
【答案】C
【分析】由题意知两个函数互为反函数，求出的解析式，代值化简即可.
【详解】因为函数的图像与的图像关于直线对称，
所以函数与函数互为反函数，
所以，所以，
故选：C.
(2)已知函数与函数互为反函数，则（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据反函数的定义得出，即可计算得出.
【详解】因为，所以其反函数为，即，
所以，
故选：D.
(3)已知函数的图像与的图像关于对称，求的表达式.
【答案】
【分析】由题意得与互为反函数,根据反函数的定义求解即可.
【详解】因为函数的图像与的图像关于对称，所以与互为反函数.
而，其图像是由向左平移一个单位，
所以的图像应由的图像向下平移一个单位，
即
(4)函数的反函数是___________
【答案】
【分析】先解出，然后再将互换即可得其反函数.
【详解】由，得，
所以的反函数为，
故答案为：
跟踪训练7 (1)若函数与的图象关于直线对称，则__________．
【答案】2
【分析】根据两个函数互为反函数，求函数的解析式，再求的值.
【详解】因为函数与的图象关于直线对称，
所以两个函数互为反函数，则，
所以.
故答案为：2
(2)若点在函数的图像上，点在的反函数图像上，则______.
【答案】
【分析】根据反函数性质,列方程,求解即可.
【详解】因为点在函数的图像上,所以,计算得，
因为,所以的反函数为,
又因为点在的反函数图像上,所以,
因为,所以,即得.
故答案为: .
(3)函数的表达式为，设是其反函数，则______．
【答案】
【分析】互换，即可求出原函数的反函数及定义域.
【详解】解：由题意，
在中，，
互换得，，
∴
故答案为：
【课堂巩固】
1．已知函数（为常数，其中）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据图象判断函数单调性，可判断a的范围，结合特殊值的函数值可判断c的范围，即得答案.
【详解】由函数图象可知函数为单调递减函数，结合可知，
当时，，
当时，，故，
故选：D
2．函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据，，结合对数函数与指数函数的单调性判断即可.
【详解】，为定义域上的单调递增函数
，故不成立；
，为定义域上的单调递增函数，
，故C和D不成立.
故选：B.
3．函数且恒过定点（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的性质结合条件即得.
【详解】当，即时，，
所以函数恒过定点为.
故选：B.
4．已知，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用幂函数和对数函数的单调性比较与的大小即可.
【详解】因为，所以，所以，即.
因为，所以，所以，即.
即.
故选：D
5．已知函数．若，且，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数图象得，则，令，利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围.
【详解】由得．根据函数的图象及，
得，，所以．
令，根据对勾函数的图像与性质易得在上单调递增，
所以．故，
故选：C.
6．设是定义域为上的偶函数，且在单调递增，则（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数单调性可知，再根据对数函数单调性可得，结合函数的奇偶性和单调性即可得出结论.
【详解】由指数函数为单调递增函数可知，所以，
又是定义域为上的偶函数，
所以，
由对数函数可知，，所以，
即.
故选：B
7．已知函数，则不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将已知不等式化为，在同一坐标系下作出两个函数的图象，可得不等式的解集．
【详解】由题意，不等式，即，
等价于在上的解，
令，，则不等式为，
在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，
可得不等式的解集为，
故选：B
8．（多选）已知函数，则（）
A．的定义域为
B．的单调递减区间为
C．是增函数
D．的值域为
【答案】ACD
【分析】对于A，由且，求解即可判断；对于B，区间不在定义域内，即可判断；对于C，根据复合函数的单调性判断方法即可判断；对于D，可得真数能取遍所有大于0的数，从而可判断.
【详解】对于A，由且，得，故的定义域为，A对；
对于B，区间不在定义域内，B错；
对于C，函数在为增函数，
函数在为增函数
故函数的单调递增区间为，无单调递减区间，C对；
对于D，在为增函数,
真数能取遍所有大于0的数，故值域为R，D对.
故选：ACD.
9．（多选）设，，则（）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据的范围，结合指数函数，对数函数，幂函数的单调性及对数换底公式逐项判断即可.
【详解】由于，，
则指数函数在上单调递减，所以，故A不正确；
幂函数在上单调递增，所以，故C正确；
对数函数在上单调递减，所以，则，所以，故B不正确，D正确.
故选：CD.
10．（多选）不等式成立的必要不充分条件是（）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】求出对数不等式的解集，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】解不等式得：，解得，即原不等式的解集为，
、与的交集都空集，因此选项A，B都不是；
而，，因此选项C、D都是.
故选：CD
11．已知函数，且.则___________；___________.
【答案】
【分析】由，得到，求得，结合对数的运算法则，即可求解.
【详解】由题意，函数，因为，即，解得，
所以，
则.
故答案为：； .
12．函数的定义域为__________．
【答案】
【分析】根据题意，列出不等式，即可得到结果.
【详解】根据题意可得，，解得
即函数的定义域为.
故答案为:
13．已知函数为的反函数，则__________．
【答案】16
【分析】利用反函数的定义写出即可求解
【详解】因为函数为的反函数，所以
所以
故答案为：16
14．已知函数与互为反函数，函数的图像与的图像关于轴对称，若，则实数的值为__________.
【答案】
【分析】由函数与互为反函数可得函数解析式，又因函数的图像与的图像关于轴对称，所以，得出解析式代值计算即可．
【详解】因为函数与互为反函数，所以，又因函数的图像与的图像关于轴对称，所以
由可解得
故答案为：
15．函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则＝________.
【答案】27
【分析】由对数函数与幂函数的性质求解，
【详解】令，得，此时，故定点，
设，则，得，故，
故答案为：27
16．已知函数，（1）当时，则实数a，b之间的大小关系是___________；（2）若，且，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】（1）利用对数函数的单调性即可判断；
（2）画出函数图象，整理可得，构造函数，由对勾函数的性质求出的取值范围.
【详解】，，.
作出函数图象如图，
由图可知，当时，，
，，即.
令，由对勾函数的性质得在上单调递增.，即.
故答案为：；.
17．已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1)．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】由的定义域为R知的图象恒在轴的上方，由二次函数性质可构造不等式组求得结果；由的值域为R知要取遍所有的正数，由二次函数值域可构造不等式组求得结果.
【详解】（1）若的定义域为R，则的图象恒在轴的上方，
，解得：，
即实数的取值范围是；
（2）若的值域为R，则要取遍所有的正数，
或，解得：，
即实数的取值范围是.
18．已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)求函数的单调区间；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)增区间为，减区间为
(3)
【分析】（1）解出不等式可得答案；
（2）根据对数型复合函数的单调性可得答案；
（3）根据对数函数的单调性可解出答案.
【详解】（1）由可得或，
所以函数的定义域为，
（2）因为在上单调递减，在上单调递增，
是增函数，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
（3）因为，所以，
所以，，所以或，
所以不等式的解集为.
【课时作业】
1．函数的定义域为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别讨论分子和分母的定义域，即可得到函数的定义域.
【详解】由题意，在中，，解得：或，
∴函数的定义域为，
故选：B.
2．现有四个函数：；；；（其中是自然对数的底数，），它们的部分图像如下图所示，则对应关系正确的是（）
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，③，④
【答案】D
【分析】根据函数恒过定点及其函数的单调性与奇偶性逐一进行判断即可
【详解】已知，其为偶函数，所以关于轴对称，所以满足条件的为②图像；
过点，且在定义域内单调递减，所以满足条件的为④图像；
已知，由于，所以为奇函数，故其关于原点对称，
因为是上的增函数，是上的减函数，所以是上的增函数，
所以满足条件的为①图像；
过点，且在定义域内单调递增，所以满足条件的为③图像；
综上所述①，②，③，④.
故选：D
3．已知函数恒过定点，则的最小值为（）．
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果.
【详解】由题意可知，
则，
当且仅当，时，
的最小值为，
故选:A．
4．已知函数，则不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将不等式问题转化为函数图象问题，结合图象求得正确答案.
【详解】依题意，，
由解得或
画出的图象如下图所示，
由图可知，不等式的解集是.
故选：A
5．已知，，，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由对数函数的单调性判断大小即可.
【详解】，，
即.
故选：A
6．已知，则不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】化简不等式，结合解方程组以及函数的图象确定正确答案.
【详解】的定义域是，AB选项错误.
①，
由解得或，
画出的图象如下图所示，
由图可知，不等式①的解集为.
故选：D
7．设，，为正数，且，则( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令，将x、y、z表示为对数，利用作商的方法可判断大小．
【详解】令，则，，，
∴，则，
，则．
故选：A．
8．已知，则实数a的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数，幂函数，对数函数的单调性即可解出的范围.
【详解】，根据指数函数在上单调递减得，
，根据幂函数在上单调递增知，则，
，根据对数函数在上单调递减得，
综上.
故选：D.
9．（多选）设a与b为实数，，且，已知函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（）
A．B．
C．函数的定义域为D．函数在为增函数
【答案】ABD
【分析】由图像求出函数解析式为，则可求其定义域，判断单调性.
【详解】解：有题意可知，
即，解得，AB选项正确，
，则，
函数的定义域为，C选项错误；
，函数在为增函数，D选项正确；
故选：ABD.
10．（多选）下列函数的图象过定点的有（）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】在每个选项中令，计算函数值，即可判断答案.
【详解】根据题意，在每个选项中令，
选项A中，，故函数图象过点，A正确.
选项B中，，故函数图象不过定点，B错误.
选项C中，，，故，故图象不过定点，C错误.
选项D中，，故函数图象过点，D正确.
故选：AD.
11．（多选）已知函数，若，且，则（）
A． B．C．D．
【答案】AC
【分析】作出函数的图象，根据题意分类讨论，可确定的范围，可判断 ,由，利用对数的运算可得，可判断D.
【详解】由题意得，作出其图象如图：
∴在上，函数是减函数；在上，函数是增函数；
∵，∴若，则，不合题意，∴，C正确；
若，则，也不合题意，∴ ，A正确；
结合图象可知b可大于1，可小于1或等于1，B错误；
由，可得，
故，D错误，
故选：
【点睛】方法点睛：根据函数的解析式特征，脱去绝对值符号，结合对数函数图象，即可作出的图象，然后要分类讨论数形结合，确定的范围，即可确定答案.
12（多选）已知，则下列不等式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】由对数函数的性质得，再结合不等式性质、指对数函数的性质判断各项的正误.
【详解】由题设，则，A错误；，D正确；
由，B正确；由于与1的大小未知，C错误；
故选：BD
13．已知函数，若，则x的范围是___________．
【答案】
【分析】作出两个函数的图像，利用数形结合解不等式.
【详解】作出函数和函数的图像，如图所示，
两个函数的图像相交于点和，当且仅当时，的图像在的图像的上方，即不等式的解集为.
故答案为：
14．已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】设，由题得在区间上为减函数，且在区间上恒成立，分，，三种情况讨论即可解决.
【详解】因为函数在区间内单调递减，
设，
所以在区间上为减函数，且在区间上恒成立，
当时，，满足题意；
当时，，开口向下，在区间上不为减函数，不满足题意；
当时，，
所以，解得；
所以综上可得.
故答案为：
15．已知函数是函数y=lgax（a>0，且a≠1）的反函数，则函数的图象恒过点______.
【答案】
【分析】由题意可得，再结合指数函数的性质求定点.
【详解】由题意可得：（a>0，且a≠1）过定点，则过定点.
故答案为：.
16．若点在函数的图像上，点在的反函数图像上，则__________．
【答案】
【分析】根据已知条件求出原函数，在求出对应的反函数，将点代入表达式中求出参数即可.
【详解】因为点在函数的图像上，
所以,计算得，
又且，所以，
所以，
所以的反函数为，
又因为点在图像上，
所以，得，
故答案为：.
17．若函数定义域为R，求实数a的取值范围.
【答案】
【分析】要使的定义域为R，则对任意的实数x都有恒成立，则有，求解即可.
【详解】由题意可得，要使的定义域为R，则对任意的实数x都有恒成立，
故有，解得，
即实数a的取值范围为.
18．已知函数，（且）
(1)求函数的定义域；
(2)试确定不等式中的取值范围.
【答案】(1)；(2)答案见详解.
【分析】（1）解，即可得到函数的定义域；
（2）由已知可得，分以及，根据对数函数的单调性得出不等式，解出即可得出答案.
【详解】（1）解：由已知可得，，
要使有意义，则，解得，
所以函数的定义域为.
（2）解：由可得，.
当时，根据对数函数的单调性，可得，解得：，又，所以的取值范围为；
当时，根据对数函数的单调性，可得，解得：，又，所以的取值范围为.
综上可得：当时，的取值范围为；当时，的取值范围为.
19．对于函数.
(1)若函数在上有意义，求a的取值范围；
(2)若函数在上是增函数，求a的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据对数定义可知对数型复合函数有意义需要内函数在定义域内大于零恒成立，因此可将问题转变为二次函数在定义域内大于零恒成立问题进行求解；
（2）根据复合函数单调性 “同增异减” 原则，因为外函数是单调递减函数，当内函数在定义域内单调递减，整体即可单调递增，即可将问题转变为二次函数在定义域内单调递减即可.
【详解】（1）函数在上有意义，
则对于恒成立，
当对称轴小于-1时，则，当对称轴大于等于-1时，则，
即或，解得或.
即.
故a的取值范围是.
（2）令，则.
由复合函数的单调性可知，
函数在上是增函数在上是减函数，
且，对恒成立，
得，解得.
故a的取值范围是.
20．已知函数（，且）的图象过定点.
(1)求的坐标；
(2)若在上的图象始终在直线的下方，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用对数函数恒过定点即可求解；
（2）分和两种情况进行讨论即可求解.
【详解】（1）令，则，所以的坐标为.
（2）当时，，当时，.
当时，在上单调递增，则，得.
当时，在上单调递减，恒成立.
故的取值范围为.
y＝lgax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝lgax与y＝的图象关于x轴对称