（人教版）初升高数学暑假衔接高一预习-4.5 函数的应用（学生版+教师版）

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知识点一 函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
方程、函数、图象之间的关系：
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．
知识点二 函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点
方程f(x)＝0的实数解⇔函数y＝f(x)的零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．
知识点三 函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间
(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
知识点四 二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．
知识点五 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.
2．求区间(a，b)的中点c.
3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．
【基础自测】
1．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)))
【答案】C
【详解】因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝eq \r(4,e)－2<0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \r(e)－1>0，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))·f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))<0，又函数f(x)在定义域上单调递增，所以零点在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))上．
2．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【详解】当x≤0时，
由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)；
当x>0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0得x＝e2.
∴函数的零点个数为2.
3．函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________．
【答案】1和10
【详解】由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.
4．函数f(x)＝x3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的零点有______个．
【答案】1
5．已知函数的零点在区间上，则的取值范围为_______．
【答案】
【分析】易得函数在区间上单调递增，再根据零点的存在性定理可得，从而可得出答案.
【详解】解：因为函数在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，
因为函数的零点在区间上，
又当时，，，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【例题详解】
一、求函数的零点
例1 (1)函数的零点为（ ）
A．10B．9C．（10，0）D．（9，0）
【答案】A
【分析】令，解对数方程，求出x＝10.
【详解】令，即，所以，因此x＝10，所以函数的零点为10，
故选：A.
(2)已知函数，则________，函数的零点为________．
【答案】
【分析】根据给定的分段函数求出函数值即可，再直接求出方程的解作答.
【详解】依题意，，
由得，即，解得，或，无解，
所以数的零点为.
故答案为：；
跟踪训练1 (1)函数的零点是（ ）
A．B．C．D．9
【答案】B
【分析】分和分别解方程，由零点定义可得出答案.
【详解】当时，，解得
当时，，解得
所以函数的零点为：
故选：B
(2)若是函数的一个零点，则的另一个零点为______.
【答案】1
【分析】根据给定条件，求出a值，再解方程求出另一零点作答.
【详解】因是函数的一个零点，则，解得，
则有，由，即，解得或，
所以的另一个零点为1.
故答案为：1
二、探求零点所在区间
例2 (1)函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】的定义域为，
又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，
所以，
根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为，
故选：C.
(2)函数的零点所在的区间为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性，结合，由零点的存在性定理，即可求解.
【详解】由函数在上单调递增，
又由，
即，
所以根据零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为.
故选：D.
跟踪训练2 (1)函数的零点所在的区间为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，
因为函数在上是连续的曲线，且，，
所以，函数的零点所在的区间为.
故选：B.
(2)函数的一个零点所在的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由函数的单调性结合零点存在性定理求解即可.
【详解】函数的定义域为，易知函数在上单调递增.
，
，
由零点存在性定理可知，函数的一个零点所在的一个区间是.
故选：C
三、根据零点所在的区间求参数范围
例3 (1)函数的一个零点在区间内，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ，解得，，即可求得m的取值范围．
【详解】令，即，解得，，
又因为函数的一个零点在区间内，，所以，
所以实数m的取值范围是．
故选：C．
(2)函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分析可知，函数在区间上单调，利用零点存在定理可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】当时，，不合乎题意.
当时，由于函数、在上均为增函数，
此时函数在上为增函数.
当时，由于函数、在上均为减函数，
此时函数在上为减函数.
因为函数在区间上有零点，则，
即，解得.
故选：D.
(3)已知函数的零点为，且，则__________.
【答案】2
【分析】由函数的解析式判断函数单调性，求出的值，可得，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的区间，即可得解.
【详解】易知函数在上单调递增，
因为，，
所以，
根据函数的零点的判定定理可得：
函数的零点所在的区间是，
所以．
故答案为：2
跟踪训练3 (1)已知函数，若恰有两个零点，则正数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分段函数，分段判断函数的零点，以及零点个数，即可求正数的取值范围.
【详解】当时，，得成立，
因为函数恰有两个零点，
所以时，有1个实数根，显然a小于等于0，不合要求，
当时，只需满足，解得：.
故选：C
(2)设函数（a>1）的零点为x0，若x0≥3，则a的最小值为__________.
【答案】
【分析】根据的单调性和的范围，可得到的不等式，求解即可得到的最小值.
【详解】解：因为，所以在上单调递增，且，所以，即，解得，即.
故答案为：.
(3)已知函数的两个零点都在内，则实数的取值范围为________________．
【答案】
【分析】把函数两点零点都在转化为函数值正负,列不等式求解即可.
【详解】因为函数的两个零点都在内，
所以即
解得，所以的取值范围为
故答案为:
四、判断函数零点个数
例4 (1)若函数，则函数的零点的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，分和两种情况分别解方程，即可得答案.
【详解】由题意函数，
则函数的零点个数即的解的个数，
当时,令，即，符合题意；
当时，令，得，符合题意，
故的零点有2个，
故选：B.
(1)函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由可得，分析可知函数的零点个数即为函数与的图象的交点个数，数形结合可得出结果.
【详解】由可得，作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，函数与的图象的交点个数为，
故函数的零点个数为.
故选：C.
(3)已知则函数的零点个数是______．
【答案】7
【分析】作出函数的图像，然后分解因式得到或，数形结合分析零点个数
【详解】函数的零点即为方程的根，解方程得或．
作出函数的图像，如图所示．
由图像知直线与的图像有4个交点，直线与的图像有3个交点．
因此函数的零点有7个．
故答案为：7
跟踪训练4 (1)已知函数，则方程的实数解的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】讨论、，令求解即可判断个数.
【详解】当时，由，解得；
当时，由，得或，解得或．
故方程的实数解的个数为3．
故选：B
(2)已知则方程的实根个数为( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】在同一平面直角坐标系内作出的图像, 两个函数的图像有两个交点, 则可确定方程的实根个数.
【详解】在同一平面直角坐标系内作出的图像，如图所示：
两个函数的图像有两个交点，所以方程有两个实根，
故选:C.
(3)已知为定义在上的奇函数，当时，单调递增，且，，，则函数的零点个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性,单调性结合函数值的范围,作图数形结合即可判断.
【详解】当时，单调递增，且，且为定义在上的奇函数,
所以,可得且在上单调递增,
由，得．
又因为，,可得,
为定义在上的奇函数,又可得,
根据题意作出满足要求的的大致图像,
由图知，直线与的图像有4个公共点，
所以有4个零点．
故选：A.
五、根据函数零点个数求参数范围
例5 (1)函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】运用判别式求解.
【详解】函数 有2个不同的零点等价于方程 有2个不同的根，
，解得 或 ；
故选：D.
(2)若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把方程根的问题转化为两个函数图象交点的问题，画出函数图象，利用数形结合的思想即可求解．
【详解】令，
由于当时，，，且；
当时，，，且，
作出函数的图象如图所示，
则当时，函数与的图象有两个交点，即方程有两个不同的实数根，
的取值范围是．
故选：C．
(3)函数，若函数，有三个不同的零点，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】对分段函数的每一段进行单调性分析，画出对应的图象，然后结合题意可得到与有三个不同的交点，结合图象即可求解
【详解】当时，根据对勾函数可得在上单调递增，在上单调递减，故此时最小值；
当时，根据在上单调递减，故此时最小值；
作出对应的图象，如图所示
函数有三个不同的零点，可看作与有三个不同的交点，
从图象可得到实数m的取值范围是
故答案为：
跟踪训练5 (1)已知函数函数，其中，若方程恰有4个不等的实根，则b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据的解析式，求出的解析式，分离参数，结合图象可得答案.
【详解】因为，即，
所以，
由
得
令，
当时，有最小值，当时，有最小值；
因为方程恰有4个不等的实根，即与的图象有4个不同的交点，
作出函数图象，如图：
结合函数的图象可得，
当时，函数恰有4个零点，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
(2)若关于x的方程无实根，则m的取值范围是_________
【答案】
【分析】先将无理方程转化为有理方程，再求解.
【详解】依题意，
因为，
所以无论取什么数，方程始终有意义，
原方程化为：，
所以，
因为，所以当，方程无解，
所以，
因为，所以当时，方程无解，
所以.
故答案为：.
六、二分法概念的理解
例6 (1)下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据二分法的适用条件判断即可.
【详解】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.
在B中，不满足，不能用二分法求零点，
由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点.
故选：B.
(2)用二分法求函数在内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据二分法的步骤，即可得出结果.
【详解】根据二分法的步骤知
当区间长度小于精确度时，便可结束计算.
即当时，便可结束计算.
故选：B.
跟踪训练6 (1)已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3
【答案】D
【详解】图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D.
(2)下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依次判断各个选项中函数的零点及在零点左右两侧函数值是否异号即可.
【详解】对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点；
对于B，有唯一零点，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点；
对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，则可用二分法求零点；
对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点.
故选：B.
七、用二分法求方程的近似解
例7 (1)用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用零点存在定理计算求解.
【详解】设，显然函数图象是连续的，
则有，，，，，
所以，，，，
故区间可以作为初始区间，故A，C，D错误.
故选：B.
(2)已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值，其参考数据（函数值均保留四位小数）如下：
则这个零点的近似值为________．（保留两位小数）
【答案】
【分析】根据题意，由二分法分析可得函数在内存在零点，从而可得答案.
【详解】由表可知，，
所以函数在区间内存在零点，
这个零点保留两位小数后的近似值为．
故答案为：
跟踪训练7 (1)用二分法求方程在上的近似解，取中点，则下一个有根区间是___．
【答案】
【分析】令，计算可得，，由此可确定有根区间.
【详解】令，
，
，
，
，，在区间上有零点，
即的下一个有根区间为.
故答案为：.
(2)已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则______．
【答案】
【分析】根据二分法的定义即可求解.
【详解】依题意，
因为，
所以，
，
所以，所以零点所在的区间为；
故第二次计算的值时，，
所以，
所以，所以零点所在的区间为；
故第三次计算的值时，.
故答案为：.
【课堂巩固】
1．函数的零点所在的区间可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】函数的零点即为函数的交点的横坐标，作出函数的图象，根据函数图象可得函数零点的个数，再根据零点的存在性定理即可得解.
【详解】令，则，
则函数的零点即为函数的交点的横坐标，
如图，作出函数的图象，
由图可知函数的交点在第一象限，且只有一个交点
即函数的零点大于零，且只有一个零点，
又，
所以函数的零点所在的区间可以是.
故选：C.
2．函数的零点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】令，解之即可得解.
【详解】令，解得，
所以函数的零点个数是个.
故选：C.
3．函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】令，结合题意得到的两根为，，然后根据函数的单调性和最值进而求解.
【详解】令，则，当时，由可得或（舍去）；当时，由可得，所以的两根为，，
则或，因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，若，易知方程无解，
若，当时，由，得或（舍去），
此时方程有唯一的解；
当时，由，得，此时方程有唯一的解，
综上所述可知函数的零点个数为个，
故选：A.
4．若表示不大于的最大整数，则函数的零点个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【答案】D
【分析】取，，，此时，得到答案.
【详解】取，，则，此时，
即函数的零点是，，有无数个.
故选：D
5．（多选）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
下列区间中函数一定有零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据零点的存在性定理即可得出答案.
【详解】因为函数的图象是一条连续不断的曲线，
且，
函数在区间和上一定有零点
故选：AC
6．（多选）已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】转化为与有且只有交点，作出函数图象，数形结合得到答案.
【详解】方程有且只有一个实根，即与有且只有1个交点，
作出的图象与的图象，如下：
则当时，与有2个交点，
当时，与有且只有1个交点，
故BCD符合条件
故选：BCD
7．下列函数图象均与轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是_________
【答案】③
【分析】根据二分法求零点对于零点两侧函数值符号的要求，直接判断满足条件的图象即可.
【详解】若函数的零点能用二分法求解，则在零点的左右两侧，函数值符号相反；
由图象可知：只有③中图象满足此条件.
故答案为：③．
8．在用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，，，即可得出方程的一个近似解为__________（精确度为0.2）.
【答案】0.6875
【分析】根据二分法的计算过程即可求解.
【详解】因为，，
所以可作为方程的近似解.
故答案为：0.6875.
9．函数的零点所在区间（取整数）是_________．
【答案】
【分析】先根据题意得出函数的定义域与单调性，再利用零点存在定理，即可得出答案.
【详解】由题意，得的定义域为，易知函数和在均为增函数，
所以在单调递增，因为，，
所以由零点存在定理可知，函数零点所在区间为.
故答案为：.
10．若关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】依题意在数范围内有解，令，，则问题转化为与有交点，求出的值域，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为关于的方程在实数范围内有解，
即在实数范围内有解，令，，
则问题转化为与有交点，
因为与在定义域上单调递增，所以在上单调递增，
又，所以，
则.
故答案为：
11．已知函数，则的最小值为______．令，若有4个零点，则的取值范围是______．
【答案】 0
【分析】由题意可得的图象，依据图象求出的最小值，画直线与图象有4个交点的情况，得出的范围.
【详解】解：由题意可得函数的图象，所以的最小值为；
当时，直线与的图象有4个交点.
故答案为：0， .
12．已知函数的零点，，则______．
【答案】2
【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理判断零点的范围，即可得答案.
【详解】因为函数为R上单调减函数，
故函数为R上单调减函数，
又，，
故在上有唯一零点，
结合题意可知，
故答案为：2
13．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】首先将题意转化为函数与在有交点，即可得到答案.
【详解】方程在上有解，
等价于函数与在有交点，
因为，所以，
所以，解得.
故答案为：
14．已知函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】等价于在区间上有解，设，，求出函数的最值即得解.
【详解】函数在区间上有零点，
即在区间上有解，
所以在区间上有解，
设，，
由于在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，，
所以
所以，即
故答案为：
15．已知函数的零点个数为___________.
【答案】
【分析】分和两种情况讨论，时，函数零点的个数，即为函数图象交点的个数，作出函数的图象，根据函数图象即可得解.
【详解】当时，由，得，
当时，由，得，
则时，函数零点的个数，
即为函数图象交点的个数，
如图，作出函数的图象，
由图可知，两函数的图象有个交点，
即当时，函数有个零点，
综上所述，函数有个零点.
故答案为：.
【课时作业】
1．函数 ，（常数）的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由零点存在定理及的单调性可得在上有唯一零点，从而得解.
【详解】因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，
所以在上有唯一零点，
所以的零点所在区间为.
故选：B.
2．若是二次函数的两个零点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解方程可得，代入运算即可得解.
【详解】由题意，令，解得或，
不妨设，代入可得.
故选：D.
3．已知函数（且）的图象过定点，则函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数所过定点的坐标可得出，求出、的值，可得出函数的解析式，分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数（且）的图象过定点，
则，可得，所以，，
因为函数、在上均为减函数，
所以，函数在上为减函数，
且，，
由零点存在定理可知，函数的零点在区间内.
故选：A.
4．已知函数，，的零点分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令，得；根据函数的单调性及零点存在定理可得，，即可得答案.
【详解】解：令，得，即；
因为，易知在上单调递增，
又因为，所以；
，易知在上单调递增，
又因为，，所以；
所以.
故选：B.
5．根据表格中的数据，可以判定方程（e≈2.72）的一个根所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知表格判断对应函数值的大小关系，结合它们的单调性确定根的区间.
【详解】由在定义域上都递增且连续，且，，
所以，在上存在使.
故选：C
6．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分类讨论和两种情况，再利用零点存在性定理和二次函数的图象性质列不等式求解即可.
【详解】当时，，此时只有一个零点，零点为-1，不符合要求；
当时，函数为二次函数，，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得，解得.
故选：D.
7．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】令得，根据分段函数性质可在同一直角坐标系中作出，的大致图象，由图象可知，函数与的图象有3个交点，即可得出答案．
【详解】解：令得，
在同一直角坐标系中作出（图中细实线所示），（图中粗实线所示）的大致图象如下：
由图象可知，函数与的图象有3个交点，
即函数有3个零点，
故选：C.
8．已知函数，若实数，则函数的零点个数为（ ）
A．0或1B．1或2C．1或3D．2或3
【答案】D
【分析】转化为与的函数图象交点个数问题，画出函数图象，数形结合得到答案.
【详解】函数的零点个数即函数与的函数图象交点个数问题，
画出的图象与，的图象，如下：
故函数的零点个数为2或3.
故选：D
9．已知函数，若关于的方程有8个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据表达式画出函数图象，结合图象可知有两个不相等的实数根，且，结合二次函数根的分布即可求解.
【详解】根据，可画出其图象为下图所示，
若关于的方程有8个不相等的实根，令，则有两个不相等的实数根，且，若 则不符合，所以，
令，则需要满足 ，解得，
故选：D
【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的常用方法：
(1)直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个；
(2)零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.
10．用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，其中，及，即可求解．
【详解】由题意，设，
其中，
又由，则，
可得方程根在区间．
故选：A．
11．（多选）给出以下四个方程，其中有唯一解的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】将方程的解的个数转化为函数与函数的交点个数，数形结合即可判断.
【详解】对于A：函数与的图象如下所示：
所以方程有唯一解，符合题意；
对于B：函数与的图象如下所示：
所以方程有唯一解，符合题意；
对于C：函数与的图象如下所示：
所以方程有两个实数解，不符合题意；
对于D：函数与的图象如下所示：
所以方程有唯一解，符合题意.
故选：ABD.
12．（多选）已知函数，实数是函数的两个零点，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】函数零点问题转化为两函数交点问题，数形结合可判断AB，再由判断C，利用均值不等式及指数函数单调性判断D.
【详解】，
的零点即函数与图象交点的横坐标，作出图象，
由图象可知，当时，两个函数图象有2个交点，且，
即，化简可得，
由，等号取不到，
可得，所以.
综上可知，BCD正确，A错误.
故选：BCD
13．（多选）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值可能为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】BC
【分析】首先画出函数的图象，利用函数零点的定义，转化为函数和有3个交点，利用数形结合，即可求的取值范围.
【详解】如图，画出函数的图象，
若函数有3个零点，即有3个实数根，即函数和有3个交点，
结合图像，可知.
故选：BC.
14．（多选）若直线与函数，且的图像有两个公共点，则的可能性取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】对分类讨论，利用数形结合分析得解.
【详解】（1）当时，画出两个函数在同一坐标系下的图像
若有两个交点，则，
因为，所以此种情况不存在；
（2）当时，画出两个函数在同一坐标系下的图像
若有两个交点，则，
因为，所以.
综上，的取值范围是
故选：AB
15．请估计函数零点所在的一个区间______.
【答案】
【分析】根据零点存在性定理求解即可.
【详解】根据对数函数单调性的性质，
函数为上的减函数,
函数的图像在上为一条连续不断的曲线,
又,,
所以函数零点所在的一个区间为.
故答案为:.
16．若函数的零点在区间(1,+∞)上，则实数a的取值范围是____.
【答案】
【分析】根据函数的单调性结合条件即得.
【详解】由题可知函数在定义域上单调递增，
又函数的零点在区间(1,+∞)上，
∴，即.
故答案为：.
17．若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】对原式分离参数，即求在的范围即可.
【详解】令，得，
令，
由二次函数性质可知：当时，
当时，，
所以，即.
故答案为：.
18．已知函数，若函数有3个零点，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先根据，得，将函数的零点个数问题转化成函数与函数的交点个数问题，然后分别画出与的函数图像，最后根据图象求解实数的取值范围.
【详解】根据题意，即，
已知，画出其图象为
，
根据图象易知当时，函数与函数存在3个交点，
即有3个零点.因此得：
故答案为：
19．已知函数则函数的所有零点之和为___________.
【答案】
【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数的所有零点，从而得解．
【详解】解：时，，，由，可得或，或；
时，，，由，可得或，或；
函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为
故答案为：．
20．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
【详解】(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
因为y＝f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0.))
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；
所以当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
所以据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．
x
1
2
3
4
5
y
1.3
0.9
x
-1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.40
20.12
2
3
4
5
6