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2023-2024学年重庆市南开中学高一（下）段考数学试卷（3）（含答案）
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这是一份2023-2024学年重庆市南开中学高一（下）段考数学试卷（3）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=3−2i，则z的实部与虚部的和为( )
A. −1B. 1C. 5D. −5
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“cs2A>cs2B”是“aA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量a，b满足a⋅b=10，且b=(4,−3)，则a在b上的投影向量为( )
A. (8,−6)B. (−8,6)C. (−85,65)D. (85,−65)
4.在复平面内，复数z=|3+4i|7−i对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.碧津塔是著名景点，某同学为了测量碧津塔ED的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，那么碧津塔高约为( 3≈1.7, 2≈1.4)( )
A. 37.54B. 38.23C. 39.53D. 40.52
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ba+c+ca+b≥1，则角A的取值范围是( )
A. (0,π6]B. [π6,π2)C. (0,π3]D. [π3,π)
7.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：eix=csx+isinx，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A. eπi=1
B. |eπ2i−eθi|(θ∈R)的最大值为2
C. 复数eπ4i在复平面内对应的点位于第二象限
D. 若z1=eπ3i，z2=eθi在复平面内分别对应点Z1，Z2，则△OZ1Z2面积的最大值为 32
8.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csBb+csCc=2 3sinA3sinC，csB+ 3sinB=2，则a+c的取值范围是( )
A. ( 32, 3]B. (32, 3]C. [ 32, 3]D. [32, 3]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1，z2，下列结论正确的有( )
A. z1+z2−=z1−+z2−B. 若z1z2=0，则z1=z2=0
C. |z1z2|=|z1||z2|D. z12=|z1|2
10.对任意两个非零向量a，b，定义新运算：a⋅b=|a|sin〈a,b〉|b|.已知非零向量m，n满足|m|>3|n|，且向量m，n的夹角θ∈(π4,π2)，若4(m⋅n)和4(n⋅m)都是整数，则m⋅n的值可能是( )
A. 2B. 114C. 3D. 4
11.在△ABC中，D，E为线段BC上的两点，且BD=DE=EC=1，下列结论正确的是( )
A. AB⋅AC≥AD⋅AE
B. 若AB2+AD2=AE2+AC2，则|AB|=|AC|
C. 若AD⋅AE=2，则△ABC为直角三角形
D. 若∠BAD=∠EAC=π6，则△ABC的面积是3 34
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=8，b=6，c=4，则中线AD的长为______．
13.已知z是虚数z+4z是实数，z−是虚数z的共轭复数，则(z−−z)2+z+4z的最小值是______．
14.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acsA+b+ 2ccsB=0，则sin2B⋅tan2C的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算：
(1)(4−i5)(6+2i7)+(7+i11)(4−3i)；
(2)5(4+i)2i(2+i)．
16.(本小题15分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=π2，AC=3，BC=2，P是△ABC内的一点．
(1)若P是等腰直角三角形PBC的直角顶点，求PA的长；
(2)若∠BPC=2π3，设∠PCB=θ，求△PBC的面积S(θ)的解析式，并求S(θ)的最大值．
17.(本小题15分)
如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得AD=2 2BC，测得∠BAD=30°，∠BCD=45°，∠ADC=120°．
(1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且BD=10 2km，CD=20km，求A，C两点间距离；
(2)求tan∠BDC的值．
18.(本小题17分)
在平面四边形ABCD中，点B，D在直线AC的两侧，AB=3，BC=5，四个内角分别用A，B，C，D表示，csB=−csD=35．
(1)求∠BAC；
(2)求△ABD与△ACD的面积之和的最大值．
19.(本小题17分)
在Rt△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csAa=csB+csCb+c．
(1)求角A；
(2)已知c≠2b,a=2 3,P,Q是边AC上的两个动点(P,Q不重合)，记∠PBQ=θ．
①当θ=π6时，设△PBQ的面积为S，求S的最小值；
②记∠BPQ=α，∠BQP=β.问：是否存在实常数θ和k，对于所有满足题意的α，β，都有sin2α+sin2β+k=2kcs(α−β)+ 32成立？若存在，求出θ和k的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.A
5.B
6.C
7.B
8.B
9.AC
10.BC
11.BCD
12. 10
13.−654
14.(0,3−2 2]
15.解：(1)(4−i5)(6+2i7)+(7+i11)(4−3i)
=(4−i)(6−2i)+(7−i)(4−3i)
=47−39i；
(2)5(4+i)2i(2+i)=5(16+8i−1)−1+2i=5(15+8i)(−1−2i)(−1+2i)(−1−2i)=1−38i．
16.解(1)∵P是等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC=2，
∴∠PCB=π4，PC= 2，
又∵∠ACB=π2，
∴∠ACP=π4，
∵在△PAC中，由余弦定理得PA2=AC2+PC2−2AC⋅PCcsπ4=5，
∴PA= 5．
(2)在△PBC中，∠BPC=2π3，∠PCB=θ，
∴∠PBC=π3−θ，由正弦定理得2sin2π3=PBsinθ=PCsin(π3−θ)，
∴PB=4 33sinθ，PC=4 33sin(π3−θ)，
∴△PBC的面积S(θ)=12PB⋅PCsin2π3
=4 33sin(π3−θ)sinθ
=2sinθcsθ−2 33sin2θ
=sin2θ+ 33cs2θ− 33
=2 33sin(2θ+π6)− 33，θ∈(0,π3)，
∴当θ=π6时，△PBC面积的最大值为 33．
17.解：(1)在△BCD中，由正弦定理得CDsin∠CBD=BDsin∠BCD，
即20sin∠CBD=10 2sin45°，
解得sin∠CBD=1，
所以∠CBD=90°，
则△BCD为等腰直角三角形，
所以BC=10 2，
则AD=2 2BC=40，
在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2−2AD×CDcs∠ADC=1600+400−2×40×20×(−12)=2800，
故AC=20 7，
故A，C两点间距离为20 7km；
(2)设∠BDC=θ，则由题意可知，∠ADB=120°−θ，∠ABD=30°+θ，
在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠BAD=ADsin∠ABD，即ADBD=2sin(30°+θ)，
在△BCD中，由正弦定理得BCsin∠BDC=BDsin∠BCD，即BCBD= 2sinθ，
又AD=2 2BC，
所以2sin(30°+θ)=2 2× 2sinθ⇒12csθ+ 32sinθ=2sinθ，
解得tanθ=4+ 313，
所以tan∠BDC=4+ 313．
18.解：(1)在△ABC中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs∠ABC，
∵AB=3，BC=5，csB=35，
∴AC2=32+52−2×3×5×35=16，即AC=4，
∴BC2=AC2+AB2，
∴∠BAC=π2；
(2)设∠ABD=θ，θ∈(0,B)，
∵csB=−csD=35，∴B+D=π，
∴A，B，C，D四点共圆，且BC为该圆的直径，
∴∠BDC=∠BAC=π2，∠ACD=∠ABD=θ，
∴S△ABD=12BA⋅BD⋅sinθ=32BD⋅sinθ，S△ACD=12CA⋅CD⋅sinθ=2⋅CD⋅sinθ，
在△BCD中，BD=5cs(B−θ)，CD=5sin(B−θ)，
∴S△ABD+S△ACD=32⋅5cs(B−θ)sinθ+42⋅5sin(B−θ)sinθ
=252[35cs(B−θ)+45sin(B−θ)]sinθ=252[csBcs(B−θ)+sinBsin(B−θ)]sinθ
=252cs[B−(B−θ)]sinθ=252csθsinθ=254sin2θ，
因为csB=35< 22，∴B>π4，
∵θ∈(0,B)，2θ∈(0,2B)，2B>π2，
∴当2θ=π2即θ=π4时，(S△ABD+S△ACD)max=254，
∴△ABD与△ACD的面积和的最大值为254．
19.解：(1)因为csAa=csB+csCb+c，由正弦定理可得：csAsinA=csB+csCsinB+sinC，
即sinAcsB+sinAcsC=csAsinB+csAsinC，
整理可得：sinAcsB−csAsinB=csAsinC−sinAcsC，即sin(A−B)=sin(C−A)，
因为0故A−B=C−A，即2A=B+C，又A+B+C=π，
所以A=π3；
(2)①因为c≠2b，所以B=π2，又A=π3,a=2 3，所以c=2，b=4．
如图，因∠PBQ=θ=π6，设∠QBC=x，则x∈[0,π3]，
则在△QBC中，由正弦定理可得：BQsinC=BCsin(C+x)，
所以BQ= 3sin(x+π6)，
在△ABP中，由正弦定理，得BPsinA=BAsin(x+π3)，
所以BP= 3sin(x+π3)，
所以S=12BP⋅BQsinπ6=34sin(x+π6)sin(x+π3)=3−2[cs(2x+π2)−cs(−π6)]=3 3+2sin2x，
因x∈[0,π3]，则2x∈[0,2π3]，
故当2x=π2，即x=π4时，Smin=3 3+2=3(2− 3)；
②假设存在实常数θ，k，对于所有满足题意的α，β，都有sin2α+sin2β+k=2kcs(α−β)+ 32成立，
即都有2sin(α+β)cs(α−β)+k=2kcs(α−β)+ 32，
由题意α+β=π−θ，代入整理得2(sinθ−k)cs(α−β)+k− 32=0对于所有满足题意的α，β成立，
故有sinθ−k=0k− 32=0，从而有k= 32，即sinθ= 32，
因为θ∈(0,π2]，所以θ=π3,k= 32．
即存在实常数θ=π3,k= 32，对于所有满足题意的α，β，都有sin2α+sin2β+k=2kcs(α−β)+ 32成立．
1.若复数z=3−2i，则z的实部与虚部的和为( )
A. −1B. 1C. 5D. −5
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“cs2A>cs2B”是“a
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量a，b满足a⋅b=10，且b=(4,−3)，则a在b上的投影向量为( )
A. (8,−6)B. (−8,6)C. (−85,65)D. (85,−65)
4.在复平面内，复数z=|3+4i|7−i对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.碧津塔是著名景点，某同学为了测量碧津塔ED的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，那么碧津塔高约为( 3≈1.7, 2≈1.4)( )
A. 37.54B. 38.23C. 39.53D. 40.52
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ba+c+ca+b≥1，则角A的取值范围是( )
A. (0,π6]B. [π6,π2)C. (0,π3]D. [π3,π)
7.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：eix=csx+isinx，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A. eπi=1
B. |eπ2i−eθi|(θ∈R)的最大值为2
C. 复数eπ4i在复平面内对应的点位于第二象限
D. 若z1=eπ3i，z2=eθi在复平面内分别对应点Z1，Z2，则△OZ1Z2面积的最大值为 32
8.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csBb+csCc=2 3sinA3sinC，csB+ 3sinB=2，则a+c的取值范围是( )
A. ( 32, 3]B. (32, 3]C. [ 32, 3]D. [32, 3]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1，z2，下列结论正确的有( )
A. z1+z2−=z1−+z2−B. 若z1z2=0，则z1=z2=0
C. |z1z2|=|z1||z2|D. z12=|z1|2
10.对任意两个非零向量a，b，定义新运算：a⋅b=|a|sin〈a,b〉|b|.已知非零向量m，n满足|m|>3|n|，且向量m，n的夹角θ∈(π4,π2)，若4(m⋅n)和4(n⋅m)都是整数，则m⋅n的值可能是( )
A. 2B. 114C. 3D. 4
11.在△ABC中，D，E为线段BC上的两点，且BD=DE=EC=1，下列结论正确的是( )
A. AB⋅AC≥AD⋅AE
B. 若AB2+AD2=AE2+AC2，则|AB|=|AC|
C. 若AD⋅AE=2，则△ABC为直角三角形
D. 若∠BAD=∠EAC=π6，则△ABC的面积是3 34
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=8，b=6，c=4，则中线AD的长为______．
13.已知z是虚数z+4z是实数，z−是虚数z的共轭复数，则(z−−z)2+z+4z的最小值是______．
14.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acsA+b+ 2ccsB=0，则sin2B⋅tan2C的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算：
(1)(4−i5)(6+2i7)+(7+i11)(4−3i)；
(2)5(4+i)2i(2+i)．
16.(本小题15分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=π2，AC=3，BC=2，P是△ABC内的一点．
(1)若P是等腰直角三角形PBC的直角顶点，求PA的长；
(2)若∠BPC=2π3，设∠PCB=θ，求△PBC的面积S(θ)的解析式，并求S(θ)的最大值．
17.(本小题15分)
如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得AD=2 2BC，测得∠BAD=30°，∠BCD=45°，∠ADC=120°．
(1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且BD=10 2km，CD=20km，求A，C两点间距离；
(2)求tan∠BDC的值．
18.(本小题17分)
在平面四边形ABCD中，点B，D在直线AC的两侧，AB=3，BC=5，四个内角分别用A，B，C，D表示，csB=−csD=35．
(1)求∠BAC；
(2)求△ABD与△ACD的面积之和的最大值．
19.(本小题17分)
在Rt△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csAa=csB+csCb+c．
(1)求角A；
(2)已知c≠2b,a=2 3,P,Q是边AC上的两个动点(P,Q不重合)，记∠PBQ=θ．
①当θ=π6时，设△PBQ的面积为S，求S的最小值；
②记∠BPQ=α，∠BQP=β.问：是否存在实常数θ和k，对于所有满足题意的α，β，都有sin2α+sin2β+k=2kcs(α−β)+ 32成立？若存在，求出θ和k的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.A
5.B
6.C
7.B
8.B
9.AC
10.BC
11.BCD
12. 10
13.−654
14.(0,3−2 2]
15.解：(1)(4−i5)(6+2i7)+(7+i11)(4−3i)
=(4−i)(6−2i)+(7−i)(4−3i)
=47−39i；
(2)5(4+i)2i(2+i)=5(16+8i−1)−1+2i=5(15+8i)(−1−2i)(−1+2i)(−1−2i)=1−38i．
16.解(1)∵P是等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC=2，
∴∠PCB=π4，PC= 2，
又∵∠ACB=π2，
∴∠ACP=π4，
∵在△PAC中，由余弦定理得PA2=AC2+PC2−2AC⋅PCcsπ4=5，
∴PA= 5．
(2)在△PBC中，∠BPC=2π3，∠PCB=θ，
∴∠PBC=π3−θ，由正弦定理得2sin2π3=PBsinθ=PCsin(π3−θ)，
∴PB=4 33sinθ，PC=4 33sin(π3−θ)，
∴△PBC的面积S(θ)=12PB⋅PCsin2π3
=4 33sin(π3−θ)sinθ
=2sinθcsθ−2 33sin2θ
=sin2θ+ 33cs2θ− 33
=2 33sin(2θ+π6)− 33，θ∈(0,π3)，
∴当θ=π6时，△PBC面积的最大值为 33．
17.解：(1)在△BCD中，由正弦定理得CDsin∠CBD=BDsin∠BCD，
即20sin∠CBD=10 2sin45°，
解得sin∠CBD=1，
所以∠CBD=90°，
则△BCD为等腰直角三角形，
所以BC=10 2，
则AD=2 2BC=40，
在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2−2AD×CDcs∠ADC=1600+400−2×40×20×(−12)=2800，
故AC=20 7，
故A，C两点间距离为20 7km；
(2)设∠BDC=θ，则由题意可知，∠ADB=120°−θ，∠ABD=30°+θ，
在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠BAD=ADsin∠ABD，即ADBD=2sin(30°+θ)，
在△BCD中，由正弦定理得BCsin∠BDC=BDsin∠BCD，即BCBD= 2sinθ，
又AD=2 2BC，
所以2sin(30°+θ)=2 2× 2sinθ⇒12csθ+ 32sinθ=2sinθ，
解得tanθ=4+ 313，
所以tan∠BDC=4+ 313．
18.解：(1)在△ABC中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs∠ABC，
∵AB=3，BC=5，csB=35，
∴AC2=32+52−2×3×5×35=16，即AC=4，
∴BC2=AC2+AB2，
∴∠BAC=π2；
(2)设∠ABD=θ，θ∈(0,B)，
∵csB=−csD=35，∴B+D=π，
∴A，B，C，D四点共圆，且BC为该圆的直径，
∴∠BDC=∠BAC=π2，∠ACD=∠ABD=θ，
∴S△ABD=12BA⋅BD⋅sinθ=32BD⋅sinθ，S△ACD=12CA⋅CD⋅sinθ=2⋅CD⋅sinθ，
在△BCD中，BD=5cs(B−θ)，CD=5sin(B−θ)，
∴S△ABD+S△ACD=32⋅5cs(B−θ)sinθ+42⋅5sin(B−θ)sinθ
=252[35cs(B−θ)+45sin(B−θ)]sinθ=252[csBcs(B−θ)+sinBsin(B−θ)]sinθ
=252cs[B−(B−θ)]sinθ=252csθsinθ=254sin2θ，
因为csB=35< 22，∴B>π4，
∵θ∈(0,B)，2θ∈(0,2B)，2B>π2，
∴当2θ=π2即θ=π4时，(S△ABD+S△ACD)max=254，
∴△ABD与△ACD的面积和的最大值为254．
19.解：(1)因为csAa=csB+csCb+c，由正弦定理可得：csAsinA=csB+csCsinB+sinC，
即sinAcsB+sinAcsC=csAsinB+csAsinC，
整理可得：sinAcsB−csAsinB=csAsinC−sinAcsC，即sin(A−B)=sin(C−A)，
因为0
所以A=π3；
(2)①因为c≠2b，所以B=π2，又A=π3,a=2 3，所以c=2，b=4．
如图，因∠PBQ=θ=π6，设∠QBC=x，则x∈[0,π3]，
则在△QBC中，由正弦定理可得：BQsinC=BCsin(C+x)，
所以BQ= 3sin(x+π6)，
在△ABP中，由正弦定理，得BPsinA=BAsin(x+π3)，
所以BP= 3sin(x+π3)，
所以S=12BP⋅BQsinπ6=34sin(x+π6)sin(x+π3)=3−2[cs(2x+π2)−cs(−π6)]=3 3+2sin2x，
因x∈[0,π3]，则2x∈[0,2π3]，
故当2x=π2，即x=π4时，Smin=3 3+2=3(2− 3)；
②假设存在实常数θ，k，对于所有满足题意的α，β，都有sin2α+sin2β+k=2kcs(α−β)+ 32成立，
即都有2sin(α+β)cs(α−β)+k=2kcs(α−β)+ 32，
由题意α+β=π−θ，代入整理得2(sinθ−k)cs(α−β)+k− 32=0对于所有满足题意的α，β成立，
故有sinθ−k=0k− 32=0，从而有k= 32，即sinθ= 32，
因为θ∈(0,π2]，所以θ=π3,k= 32．
即存在实常数θ=π3,k= 32，对于所有满足题意的α，β，都有sin2α+sin2β+k=2kcs(α−β)+ 32成立．
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