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2023-2024学年山东省济南市市中区育秀中学八年级（下）期末数学试卷(含答案)
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这是一份2023-2024学年山东省济南市市中区育秀中学八年级（下）期末数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若aA. a−3>b−3B. a22−bD. ac22.下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是( )
A. (a+1)(a−1)=a2−1B. x2+4x+4=x(x+4)+4
C. 4x2y3=y2⋅4x2yD. a2−6a+9=(a−3)2
3.下列分式是最简分式的是( )
A. 9y12xB. x+yx2+y2C. x−y2x−2yD. x+yx2−y2
4.在平行四边形ABCD中，∠B−∠A=20°，则∠D的度数是( )
A. 80°B. 90°C. 100°D. 110°
5.下列说法正确的是( )
A. 四条边相等的四边形是矩形
B. 有一个角是90°的平行四边形是正方形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
6.如果a是一元二次方程2x2=6x−4的根，则代数式a2−3a+2024的值为( )
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
7.关于x的分式方程5x−2+2=m2−x有增根，则m的值为( )
A. m=2B. m=−2C. m=5D. m=−5
8.某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额是700万元，设第一季度平均每月增长率为x，根据题意可列方程( )
A. 200(1+x)2=700B. 200+200×2x=700
C. 200+200×3x=700D. 200[1+(1+x)+(1+x)2]=700
9.如图，Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°，D，E分别为AB，AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP=∠ABP，则PE=( )
A. 12
B. 35
C. 34
D. 1
10.如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG.下列结论：①CE⊥DF；②AG=AD；③∠CHG=∠DAG；④HG=13AD.其中正确的有( )个．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：2a2−8= ______．
12.已知一个多边形的每个外角都等于相邻内角的12，则该多边形的边数为______．
13.如图，直线y=−2x+2与直线y=kx+b(k、b为常数，k≠0)相交于点A(m,4)，则关于x的不等式−2x+214.如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD=8，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为______．
15.关于x的一元二次方程ax2−x+1=0有实数根，则a的取值范围是______．
16.如图，点P是矩形ABCD的对角线BD上的点，点M，N分别是AB，AD的中点，连接PM，PN.若AB=3，BD=6，则PM+PN的最小值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解不等式组：5x+2≥4x−1①x+14>x−32+1②，并写出它的正整数解．
四、解答题：本题共9小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
先化简(1−1x+2)÷x2+2x+1x2−4，然后在−1，0，2中选一个你喜欢的x值，代入求值．
19.(本小题6分)
已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.求证：DE=BF．
20.(本小题8分)
解下列方程：
(1)x2−5x−6=0；
(2)xx−2+3=x−42−x．
21.(本小题8分)
已知关于x的方程x2−(m+1)x+2(m−1)=0．
(1)求证：无论m取何值时，方程总有实数根；
(2)如果方程有两个实数根x1，x2，当(x1+x2)−x1x2=4时，求m的值．
22.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，BC=4cm.点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为ts．
(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形．
23.(本小题10分)
为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
24.(本小题10分)
综合与实践：通过课堂的学习知道，我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如x2+2x−3=(x2+2x+1)−4=(x+1)2−4，2x2+4x−6=2(x2+2x−3)=2(x+1)2−8，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为2x2+4x−6=2(x+1)2−8，因为(x+1)2≥0，可知当x=−1时，2x2+4x−6的最小值是−8.请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：
(1)知识过关：请用适当的数字填空：x2+6x+ ______=(x+______)2；
(2)知识应用：已知a是任何实数，若M=(2a−3)(3a−1),N=2a(a−32)−2，通过计算判断M、N的大小；
(3)知识迁移：如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为12米.设与墙壁垂直的一边长为x米．
①试用x的代数式表示菜园的面积y；
②求出当x取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？
25.(本小题12分)
阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF.小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上.他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题.他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG(如图2)，此时GF即是DE+BF．
参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
(1)在图2中，∠GAF的度数是______．
(2)如图3，在直角梯形ABCD中，AD//BC(AD>BC)，∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°，DE=4，求BE的长度．
(3)如图4，△ABC中，AC=2，BC=3，以AB为边作正方形ADEB，连接CD.当∠ACB= ______时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值．
26.(本小题12分)
如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=4x+8的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD(点A与点C对应，点B与点D对应)．
(1)直接写出直线CD的解析式；
(2)点E为线段CD上一点，过点E作EF//y轴交直线AB于点F，作EG//x轴交直线AB于点G，当EF+EG=AD时，求点E的坐标；
(3)如图2，若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点.且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.C
5.C
6.B
7.D
8.D
9.A
10.C
11.2(a+2)(a−2)
12.6
13.x>−1
14.245
15.a≤14且a≠0
16.3 72
17.解：5x+2⩾4x−1 ①x+14>x−32+1 ②,
解不等式 ①得，x⩾−3，
解不等式 ②得，x<3，
∴不等式组的解集为−3⩽x<3，
∴此不等式组的正整数解为：1和2
18.解：(1−1x+2)÷x2+2x+1x2−4
=x+2−1x+2⋅(x+2)(x−2)(x+1)2
=x+1x+2⋅(x+2)(x−2)(x+1)2
=x−2x+1，
∵x−2≠0，x+1≠0，
∴x≠2，−1，
∴当x=0时，原式=0−20+1=−2．
19.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠OEA=∠OFC，
∵点O为对角线AC的中点，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCO ∠OEA=∠OFC AO=CO ，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE=CF，
∴AD−AE=BC−CF，
∴DE=BF．
20.解：(1)x2−5x−6=0，
(x+1)(x−6)=0，
x+1=0或x−6=0，
x1=−1，x2=6；
(2)xx−2+3=x−42−x，
x+3(x−2)=−(x−4)，
x+3x−6=−x+4，
5x=10，
x=2，
经检验，x=2是增根，
所以原方程无解．
21.(1)证明：∵Δ=(m+1)2−4×2(m−1)
=m2+2m+1−8m+8
=m2−6m+9
=(m−3)2≥0，
∴无论m取何值时，方程总有实数根；
(2)根据根与系数的关系得x1+x2=m+1，x1x2=2(m−1)，
∵(x1+x2)−x1x2=4，
∴m+1−2(m−1)=4，
解得m=−1，
即m的值为−1．
22.解：(1)由已知可得，BQ=DP=t，AP=CQ=4−t
在矩形ABCD中，∠B=90°，AD//BC，
当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t=4−t，得t=2
故当t=2s时，四边形ABQP为矩形．
(2)由(1)可知，四边形AQCP为平行四边形
∴当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形
即 22+t2=4−t时，四边形AQCP为菱形，解得t=1.5，
故当t=1.5s时，四边形AQCP为菱形．
23.解：(1)设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为(1−20%)x元，
由题意得：1000(1−20％)x=1200x+10
解得：x=5，
经检验：x=5是原方程的解，且符合题意，
则5×(1−20%)=4(元)，
答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；
(2)设购进甲种水果m千克，则乙种水果(150−m)千克，利润为w元，
由题意得：w=(6−4)m+(8−5)(150−m)=−m+450，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴m≥2 (150−m)，
解得：m≥100，
∵−1<0，则w随m的增大而减小，
∴当m=100时，w最大，最大值=−100+450=350，
则150−m=50，
答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．
24.9 3
25.45° 135°
26.解：(1)一次函数y=4x+8，令x=0，则y=8，令y=0，则x=−4，
∴A(−4,0)，B(0,8)，即OA=4，OB=8，
∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD，
∴OC=OA=4，OD=OB=8，
∴C(0,4)，D(8,0)，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则8a+b=0b=4，
解得k=−12b=4，
∴直线CD的解析式为y=−12x+4；
(2)设E(a,−12a+4)，则F(a,4a+8)，
∵EG//x轴，
∴点G的纵坐标为−12a+4，
将y=−12a+4代入一次函数y=4x+8得：4x+8=−12a+4，
∴x=−18a−1，即点G的横坐标为−18a−1，
∴EF=4a+8−(−12a+4)=92a+4，EG=a−(−18a−1)=98a+1，
∵A(−4,0)，D(8,0)，
∴AD=12，
∵EF+EG=AD，
∴92a+4+98a+1=12，
∴a=5645，
∴点E的坐标为(5645,15245)；
(3)①OM为矩形的边时，如图2，分别过点O、M作ON⊥OM交直线CD于N，作MN′⊥OM交直线CD于N′，在分别过点N、N′作NP⊥ON交直线MN′于P，作N′P′⊥MN′交直线ON于P′，则四边形MONP、四边形MN′P′O均为矩形，
∵A(−4,0)，B(0,8)，点M为线段AB的中点，
∴M(−2,4)，OM=AM=BM=12AB，
∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD，
∴△AOB≌△COD，
∴OA=OC=4，∠OAB=∠OCD，AB=CD，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON(ASA)，
∴ON=OM，CN=AM，
∴ON=CN=12CD，
∴点N为线段CD的中点，
∵C(0,4)，D(8,0)，
∴N(4,2)；
设直线ON的解析式为y=mx，则4m=2，
∴m=12，
∴直线ON的解析式为y=12x，
∵MN′⊥OM，ON⊥OM，
∴MN′//ON，
∴可设直线MN′的解析式为y=12x+n，
将M(−2,4)代入得：−1+n=4，
∴n=5，
∴直线MN′的解析式为y=12x+5，
联立直线CD：y=−12x+4得：
y=12x+5y=−12x+4，
解得x=−1y=92，
∴N′(−1,92)；
综上，OM为矩形的边时，点N的坐标为(4,2)或(−1,92)；
②OM为矩形的对角线时，如图3，
∵M(−2,4)，C(0,4)，
∴MC⊥y轴，
∵四边形MNOP为矩形，
∴MN⊥y轴，
∴点N与点C重合，
∴N(0,4)．
综上，以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形时，点N的坐标为(4,2)或(−1,92)或(0,4)．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若a
A. (a+1)(a−1)=a2−1B. x2+4x+4=x(x+4)+4
C. 4x2y3=y2⋅4x2yD. a2−6a+9=(a−3)2
3.下列分式是最简分式的是( )
A. 9y12xB. x+yx2+y2C. x−y2x−2yD. x+yx2−y2
4.在平行四边形ABCD中，∠B−∠A=20°，则∠D的度数是( )
A. 80°B. 90°C. 100°D. 110°
5.下列说法正确的是( )
A. 四条边相等的四边形是矩形
B. 有一个角是90°的平行四边形是正方形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
6.如果a是一元二次方程2x2=6x−4的根，则代数式a2−3a+2024的值为( )
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
7.关于x的分式方程5x−2+2=m2−x有增根，则m的值为( )
A. m=2B. m=−2C. m=5D. m=−5
8.某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额是700万元，设第一季度平均每月增长率为x，根据题意可列方程( )
A. 200(1+x)2=700B. 200+200×2x=700
C. 200+200×3x=700D. 200[1+(1+x)+(1+x)2]=700
9.如图，Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°，D，E分别为AB，AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP=∠ABP，则PE=( )
A. 12
B. 35
C. 34
D. 1
10.如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG.下列结论：①CE⊥DF；②AG=AD；③∠CHG=∠DAG；④HG=13AD.其中正确的有( )个．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：2a2−8= ______．
12.已知一个多边形的每个外角都等于相邻内角的12，则该多边形的边数为______．
13.如图，直线y=−2x+2与直线y=kx+b(k、b为常数，k≠0)相交于点A(m,4)，则关于x的不等式−2x+2
15.关于x的一元二次方程ax2−x+1=0有实数根，则a的取值范围是______．
16.如图，点P是矩形ABCD的对角线BD上的点，点M，N分别是AB，AD的中点，连接PM，PN.若AB=3，BD=6，则PM+PN的最小值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解不等式组：5x+2≥4x−1①x+14>x−32+1②，并写出它的正整数解．
四、解答题：本题共9小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
先化简(1−1x+2)÷x2+2x+1x2−4，然后在−1，0，2中选一个你喜欢的x值，代入求值．
19.(本小题6分)
已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.求证：DE=BF．
20.(本小题8分)
解下列方程：
(1)x2−5x−6=0；
(2)xx−2+3=x−42−x．
21.(本小题8分)
已知关于x的方程x2−(m+1)x+2(m−1)=0．
(1)求证：无论m取何值时，方程总有实数根；
(2)如果方程有两个实数根x1，x2，当(x1+x2)−x1x2=4时，求m的值．
22.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，BC=4cm.点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为ts．
(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形．
23.(本小题10分)
为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
24.(本小题10分)
综合与实践：通过课堂的学习知道，我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如x2+2x−3=(x2+2x+1)−4=(x+1)2−4，2x2+4x−6=2(x2+2x−3)=2(x+1)2−8，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为2x2+4x−6=2(x+1)2−8，因为(x+1)2≥0，可知当x=−1时，2x2+4x−6的最小值是−8.请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：
(1)知识过关：请用适当的数字填空：x2+6x+ ______=(x+______)2；
(2)知识应用：已知a是任何实数，若M=(2a−3)(3a−1),N=2a(a−32)−2，通过计算判断M、N的大小；
(3)知识迁移：如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为12米.设与墙壁垂直的一边长为x米．
①试用x的代数式表示菜园的面积y；
②求出当x取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？
25.(本小题12分)
阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF.小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上.他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题.他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG(如图2)，此时GF即是DE+BF．
参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
(1)在图2中，∠GAF的度数是______．
(2)如图3，在直角梯形ABCD中，AD//BC(AD>BC)，∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°，DE=4，求BE的长度．
(3)如图4，△ABC中，AC=2，BC=3，以AB为边作正方形ADEB，连接CD.当∠ACB= ______时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值．
26.(本小题12分)
如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=4x+8的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD(点A与点C对应，点B与点D对应)．
(1)直接写出直线CD的解析式；
(2)点E为线段CD上一点，过点E作EF//y轴交直线AB于点F，作EG//x轴交直线AB于点G，当EF+EG=AD时，求点E的坐标；
(3)如图2，若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点.且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.C
5.C
6.B
7.D
8.D
9.A
10.C
11.2(a+2)(a−2)
12.6
13.x>−1
14.245
15.a≤14且a≠0
16.3 72
17.解：5x+2⩾4x−1 ①x+14>x−32+1 ②,
解不等式 ①得，x⩾−3，
解不等式 ②得，x<3，
∴不等式组的解集为−3⩽x<3，
∴此不等式组的正整数解为：1和2
18.解：(1−1x+2)÷x2+2x+1x2−4
=x+2−1x+2⋅(x+2)(x−2)(x+1)2
=x+1x+2⋅(x+2)(x−2)(x+1)2
=x−2x+1，
∵x−2≠0，x+1≠0，
∴x≠2，−1，
∴当x=0时，原式=0−20+1=−2．
19.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠OEA=∠OFC，
∵点O为对角线AC的中点，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCO ∠OEA=∠OFC AO=CO ，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE=CF，
∴AD−AE=BC−CF，
∴DE=BF．
20.解：(1)x2−5x−6=0，
(x+1)(x−6)=0，
x+1=0或x−6=0，
x1=−1，x2=6；
(2)xx−2+3=x−42−x，
x+3(x−2)=−(x−4)，
x+3x−6=−x+4，
5x=10，
x=2，
经检验，x=2是增根，
所以原方程无解．
21.(1)证明：∵Δ=(m+1)2−4×2(m−1)
=m2+2m+1−8m+8
=m2−6m+9
=(m−3)2≥0，
∴无论m取何值时，方程总有实数根；
(2)根据根与系数的关系得x1+x2=m+1，x1x2=2(m−1)，
∵(x1+x2)−x1x2=4，
∴m+1−2(m−1)=4，
解得m=−1，
即m的值为−1．
22.解：(1)由已知可得，BQ=DP=t，AP=CQ=4−t
在矩形ABCD中，∠B=90°，AD//BC，
当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t=4−t，得t=2
故当t=2s时，四边形ABQP为矩形．
(2)由(1)可知，四边形AQCP为平行四边形
∴当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形
即 22+t2=4−t时，四边形AQCP为菱形，解得t=1.5，
故当t=1.5s时，四边形AQCP为菱形．
23.解：(1)设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为(1−20%)x元，
由题意得：1000(1−20％)x=1200x+10
解得：x=5，
经检验：x=5是原方程的解，且符合题意，
则5×(1−20%)=4(元)，
答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；
(2)设购进甲种水果m千克，则乙种水果(150−m)千克，利润为w元，
由题意得：w=(6−4)m+(8−5)(150−m)=−m+450，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴m≥2 (150−m)，
解得：m≥100，
∵−1<0，则w随m的增大而减小，
∴当m=100时，w最大，最大值=−100+450=350，
则150−m=50，
答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．
24.9 3
25.45° 135°
26.解：(1)一次函数y=4x+8，令x=0，则y=8，令y=0，则x=−4，
∴A(−4,0)，B(0,8)，即OA=4，OB=8，
∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD，
∴OC=OA=4，OD=OB=8，
∴C(0,4)，D(8,0)，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则8a+b=0b=4，
解得k=−12b=4，
∴直线CD的解析式为y=−12x+4；
(2)设E(a,−12a+4)，则F(a,4a+8)，
∵EG//x轴，
∴点G的纵坐标为−12a+4，
将y=−12a+4代入一次函数y=4x+8得：4x+8=−12a+4，
∴x=−18a−1，即点G的横坐标为−18a−1，
∴EF=4a+8−(−12a+4)=92a+4，EG=a−(−18a−1)=98a+1，
∵A(−4,0)，D(8,0)，
∴AD=12，
∵EF+EG=AD，
∴92a+4+98a+1=12，
∴a=5645，
∴点E的坐标为(5645,15245)；
(3)①OM为矩形的边时，如图2，分别过点O、M作ON⊥OM交直线CD于N，作MN′⊥OM交直线CD于N′，在分别过点N、N′作NP⊥ON交直线MN′于P，作N′P′⊥MN′交直线ON于P′，则四边形MONP、四边形MN′P′O均为矩形，
∵A(−4,0)，B(0,8)，点M为线段AB的中点，
∴M(−2,4)，OM=AM=BM=12AB，
∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD，
∴△AOB≌△COD，
∴OA=OC=4，∠OAB=∠OCD，AB=CD，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON(ASA)，
∴ON=OM，CN=AM，
∴ON=CN=12CD，
∴点N为线段CD的中点，
∵C(0,4)，D(8,0)，
∴N(4,2)；
设直线ON的解析式为y=mx，则4m=2，
∴m=12，
∴直线ON的解析式为y=12x，
∵MN′⊥OM，ON⊥OM，
∴MN′//ON，
∴可设直线MN′的解析式为y=12x+n，
将M(−2,4)代入得：−1+n=4，
∴n=5，
∴直线MN′的解析式为y=12x+5，
联立直线CD：y=−12x+4得：
y=12x+5y=−12x+4，
解得x=−1y=92，
∴N′(−1,92)；
综上，OM为矩形的边时，点N的坐标为(4,2)或(−1,92)；
②OM为矩形的对角线时，如图3，
∵M(−2,4)，C(0,4)，
∴MC⊥y轴，
∵四边形MNOP为矩形，
∴MN⊥y轴，
∴点N与点C重合，
∴N(0,4)．
综上，以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形时，点N的坐标为(4,2)或(−1,92)或(0,4)．
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