2023-2024学年江苏省连云港市高二下学期6月期末考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省连云港市高二下学期6月期末考试数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.定义：集合A−B={x|x∈A且x∉B}.若A={1,2,3,4,5}，B={4,5,6,7,8}，则A−B=( )
A. {1,2,3}B. {4,5}C. {6,7,8}D. {1,2,3,4,5}
2.已知复数z=−12+ 32i，则z2+z=( )
A. 1B. −1C. iD. −i
3.由0，1，2，3，4，5，6这7个数字，可以组成无重复数字的四位数的个数为( )
A. 360B. 480C. 600D. 720
4.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BC和CD的中点.则两条平行线EF和B1D1间的距离为( )
A. 22B. 2C. 3 22D. 2 2
5.已知|a|=1，|b|= 3，a+b=( 3,1)，则a+b与a−b的夹角为( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
6.(x+4x−4)3的展开式中的常数项为( )
A. −80B. 80C. −160D. 160
7.设甲袋中有3个白球，乙袋中有1个红球和2个白球.现从两个袋中各摸一个球进行交换，则这样交换2次后，红球还在乙袋中的概率为( )
A. 59B. 23C. 79D. 89
8.一个密闭的长方体盒子高为4，底面是边长为2的正方形，盒内有一个半径为1的小球，若将盒子任意翻动，则小球不能到达区域的体积是( )
A. 16−4πB. 16−103πC. 16−83πD. 16−2π
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直
B. 如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直
C. 如果一个平面内有三点到另一平面距离相等，那么这两个平面平行
D. 如果平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，那么这条直线与该平面平行
10.已知由样本数据点集合{(xi，yi)|i=1，2，⋯，n}，求得的回归直线方程为y=1.5x+0.5，且x=3，现发现两个数据点(1.3,2.1)和(4.7,7.9)误差较大，去除这两点后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则( )
A. 变量x与y具有正相关关系
B. 去除后的回归方程为y=1.2x+1.6
C. 重新求得的回归直线必过点(3,5)
D. 去除后相应于样本点(2,3.75)的残差为−0.05
11.已知一个几何体是由正四棱锥P−ABCD和正四面体Q−PBC组合而成，且PQ=2，则( )
A. 该几何体的体积是2 2B. 二面角A−PB−C的余弦值是−13
C. 该几何体是七面体D. 平面PAD//平面QBC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校高二年级200名学生在5月25日参加了江苏省数学联赛预赛，已知预赛成绩X服从正态分布N(80,σ2)(试卷满分为120分).统计结果显示，预赛成绩在70分到90分之间的人数约为总人数的45，则此次预赛成绩不低于90分的学生人数约为 ．
13.在8只不同的试验产品中有3只不合格品、5只合格品.现每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止.最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有 种.
14.用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶(铁皮的正反面都要涂漆)，其高是1m，底面的边长是1.5m，已知每平方米需用油漆150g，共需用油漆 kg.(精确到0.1kg)
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx−mx(m∈R)．
(1)当m=13时，求函数f(x)的最大值;
(2)讨论函数f(x)的单调性．
16.(本小题12分)
已知数列{an}，{bn}满足：{an}是等差数列，a1b1+a2b2+⋯+anbn=6+(2n−3)2n+1，a1=1，b2=4．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和．
17.(本小题12分)
某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品X和治疗甲流药品Y，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下2×2列联表：
(1)根据表格中的数据，能否有95%的把握认为预防药品X对预防甲流有效果?
(2)用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样的方式选出1只，用治疗药品Y对该动物进行治疗.已知治疗药品Y的治愈数据如下：对未使用过预防药品X的动物的治愈率为12，对使用过预防药品X的动物的治愈率为56，求该动物被治愈的概率．
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
18.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且过点P(1,32).
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点Q(0,2)的直线交椭圆C于M，N两点，且OM⊥ON(其中O为坐标原点)，求△MON的面积．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD⊥AB，BC//AD，PA⊥AB，平面PAC⊥平面ABCD，AD=2，PA=AB=BC=1．
(1)证明：PA⊥AD;
(2)若点T是CD的中点，点M是线段PT上的点，点P到平面ABM的距离是3 1313.求：
①直线CD与平面ABM所成角的正弦值;
②三棱锥P−ABM外接球的表面积．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.C
5.C
6.C
7.A
8.B
9.AB
10.ACD
11.ABD
12.20
13.90
14.1.2
15.解：函数f(x)=lnx−mx的定义域为(0,+∞).
(1)当m=13时，f′(x)=1x−13=3−x3x，由f′(x)=0得x=3．
f′(x)>0，00，f′(x)=1−mxx，f′(x)>0时x∈(0,1m)，函数f(x)为增函数，f′(x)0时，f(x)在(0,1m)上为增函数，在(1m,+∞)上为减函数．
16.解：(1)当n=1时，a1b1=1×b1=6−22=2，则b1=2，．
当n=2时，a1b1+a2b2=6+23=14，则a2b2=12，
又b2=4，所以a2=3，
又a1=1，所以等差数列{an}的公差d=2，
所以an=2n−1．
令Sn=a1b1+a2b2+⋯+anbn=6+(2n−3)2n+1，
当n≥2时，Sn−1=a1b1+a2b2+⋯+an−1bn−1=6+(2n−5)2n，
得：anbn=Sn−Sn−1=(2n−1)2n，得bn=2n，
b1=2也满足上式，所以bn=2n．
(2)cn=anbn=(2n−1)(12)nc，设其前项n和为Tn．
则Tn=1×(12)+3×(12)2+5×(12)3+⋯+(2n−1)(12)n
12Tn=1×(12)2+3×(12)2+5×(12)4+⋯+(2n−1)(12)n+1
两式相减得：12Tn=12+12+(12)2+⋯+(12)n−1−(2n−1)(12)n+1，
Tn=1+1+(12)+⋯⋯+(12)n−2−(2n−1)(12)n，
所以Tn=3−2n+32n．
17.解：(1)假设H0:预防药品X与对预防甲流无效果，
由表格数据得：K2=100×(40×20−30×10)270×30×50×50=10021>3.841，
因为当H0成立时，K2≥3.841的概率为0.05，
所以，有95%的把握认为预防药品X与对预防甲流有效果．
(2)设事件A表示该只动物被治愈，事件B1表示未使用过预防药品X，
事件B2表示使用过预防药品X，
则P(B1)=4070=47，P(B2)=3070=37，
且P(A|B1)=12，P(A|B2)=56，
则P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=47×12+37×56=914．
答：该只动物被治愈的概率是914．
18.解：(1)设椭圆的焦距是2c，则ca=12，
故 a2−b2a=12，则有b2a2=34，
又椭圆C经过点P(1,32)，则有1a2+34b2=1，
联立得：b2a2=341a2+34b2=1，解得：a2=4，b2=3．
故椭圆的标准方程为x24+y23=1．
(2)直线MN的斜率必存在，不妨设为k，则直线MN的方程为y=kx+2，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，由y=kx+2x24+y23=1得：(3+4k2)x2+16kx+4=0，
由Δ=256k2−16(3+4k2)=192k2−48>0，
得k2>14x1+x2=−16k3+4k2，x1x2=43+4k2．
又OM⊥ON，有x1x2+y1y2=0，
即x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0，
整理得：(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0，
故4(1+k2)3+4k2+−32k23+4k2+4=0，解得k2=43，满足△>0．
又因为|MN= (x−x1)2+(y−y1)2= 1+k2|x1−x2|，
点O到直线MN的距离d=2 1+k2，
则△OMN的面积S=12|MN|d=|x1−x2|.
则S=|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2= 256k2(3+4k2)2−163+4k2= 192k2−483+4k2，
代入k2=43，可得S=12 1325，
故△OMN的面积为12 1325．
19.(1)证明：取AD的中点E，连接CE．
在梯形ABCD中，BC/​/AE，BC=AE=AB=1，AD⊥AB，
所以四边形ABCE为正方形，所以AD⊥CE，
在Rt△CDE中，CE=DE=1，有CD= CE2+DE2= 2，
在Rt△ABC中，有AC= AB2+BC2= 2，
又AD=2，所以，在△ACD中有：AC2+CD2=AD，即CD⊥AC．
又平面PAC⊥平面ACD，平面PAC∩平面ACD=AC，CD⊂平面ACD，得CD⊥平面PAC，
因PA⊂平面PAC，得PA⊥CD．
又因为PA⊥AB，直线AB和CD有公共点，
AB⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
得PA⊥平面ABCD，
又AD⊂平面ABCD，得PA⊥AD．
(2)①解：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,2,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，T(12,32,0)，AP=(0,0,1)，CD=(−1,1,0)，
设PM=λPT(0≤λ≤1)，则M点坐标为(λ2,3λ2,1−λ)，
则AM=(λ2,3λ2,1−λ)，AB=(1,0,0)，
设平面ABM的法向量n=(x,y,z)，则有x=03λ2y+(1−λ)z=0，
令y=λ−1，z=32λ，则n=(0,λ−1,32λ)，
由点P到平面ABM的距离是313 13，可得：|n⋅AP|n||=313 13，
有|32λ (λ−1)2+(32λ)2|=313 13，解得λ=12，
此时M(14,34,12)，n=(0,−12,34)，
设直线CD与平面ABM所成角为θ，则sinθ=|cs|=|n⋅CD||n||CD|=|−12| 14+916× 2= 2613，
故直线CD与平面ABM所成角的正弦值为 2613．
②设线段PB的中点为N，则直角三角形PAB外心为N，则N点坐标为(12,0,12)，
三棱锥P−ABM的球心为O，则O必在过直角三角形PAB外心N且垂直平面PAB的直线上，
由ON⊥平面PAB，设O点坐标为(12,t,12)，
由OM=OA得， (12−14)2+(t−34)2+(12−12)2= (12−0)2+(t−0)2+(12−0)2，解得t=112．
故外接球O半径OA= (12−0)2+(112−0)2+(12−0)2= 7312，
球O的表面积为4π⋅OA2=7336π．
故三棱锥P−ABM外接球的表面积为7336π． 预防药品X
感染
未感染
未使用
40
10
使用
30
20
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
k0
2.706
3.841
5.024