2023-2024学年江苏省连云港市高一下学期6月期末考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省连云港市高一下学期6月期末考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设m为实数，M={2,m}，N={2m，2}，若M=N，则m的值为
A. 0B. 1C. 2D. 4
2.复数z=2−i3+4i在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段 ( )
A. 能组成直角三角形B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形
4.已知a=(−3,1)，b=(1,−2)，若(2a−b)⊥(a+kb)，则实数k的值为
A. 56B. 53C. 52D. 5
5.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在80 mg/100 ml(含80)以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下暂扣驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．2024年3月以来，某地区交警查处酒后驾车和醉酒驾车共20人．如图，这是对这20人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率直方图，则属于醉酒驾车的人数约为
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.已知α为钝角，sinα+sin2β=sin2β+π6+sin2β−π6，则α=
A. 7π12B. 2π3C. 3π4D. 5π6
7.用油漆涂100个圆台形水桶(桶内外侧都要涂)，桶口直径为30 cm，桶底直径为25 cm，母线长是27.5 cm.已知每平方米需用油漆120 g，共需用油漆(精确到0.1 kg)
A. 6.7 kgB. 6.8 kgC. 6.9 kgD. 7.0 kg
8.在梯形ABCD中，AB//DC，∠BAD为钝角，且AB=AD=2DC=2，若E为线段BD上一点，AE=BE，则BE⋅AC=
A. 12B. 1C. 32D. 23
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组样本数据如下：82，83，85，85，87，88，则该组数据的
A. 极差为6B. 平均数为85
C. 方差为26D. 第80百分位数为87.5
10.已知直线a，l，平面α，β，γ，则下列结论正确的有
A. 若α//β，β//γ，则α//γ
B. 若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
C. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ
D. 若a//α，a//β，α∩β=l，则a//l
11.在△ABC中，AC=4，AB=5，BC=6，D为AC的中点，E为BD的中点，延长AE交线段BC于点F，则
A. AE=3 144B. AE=3EF
C. △BEF的面积为5 78D. AE⋅BC=−638
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知x>0，y>0，且xy=9，则1x+1y的最小值为__________．
13.在△ABC中，tanA=14，tanB=35，若△ABC最短边的长为 2，则最长边的长为__________．
14.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，其中较大圆锥的体积是较小圆锥的体积的3倍，若这两个圆锥的体积之和为4π，则球的体积为__________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2ccs B=acs B+bcs A．
(1)求角B的大小；
(2)若b= 13，3a=4c，求△ABC的面积．
16.(本小题12分)
已知三种不同的元件X，Y，Z，其中元件X，Y正常工作的概率分别为0.6，0.8，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响．
(1)用元件X，Y连接成系统S(如左图)，当元件X，Y都正常工作时，系统S正常工作．求系统S正常工作的概率；
(2)用元件X，Y，Z连接成系统T(如右图)，当元件X正常工作且Y，Z中至少有一个正常工作时，系统T正常工作．若系统T正常工作的概率为0.57，求元件Z正常工作的概率．
17.(本小题12分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点． 求证：
(1)BD1//平面EAC；
(2)平面EAC⊥平面AB1C．

18.(本小题12分)
(1)已知α∈0,π2，β∈π2,π，且sin(α+β)=−35，sinα=6365.求cs β的值；
(2)已知2sin(2α−β)+sin β=0，且α−β≠π2+kπ，α≠kπ2，k∈Z.求tan(α−β)tanα的值．
19.(本小题12分)
如图，已知各边长为4的五边形ABFCD由正方形ABCD及等边三角形BCF组成，现将△BCF沿BC折起，连接FA，FD，得到四棱锥F−ABCD，且二面角F−BC−A的正切值为 2．
(1)求证：四棱锥F−ABCD为正四棱锥；
(2)求平面FAD与平面FBC所成的锐二面角的余弦值；
(3)若点E是侧棱FC上的动点，现要经过点E作四棱锥F−ABCD的截面，使得截面垂直于侧棱FC，试求截面面积的最大值．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.B
5.C
6.D
7.C
8.B
9.AB
10.ACD
11.ABD
12.23
13. 17
14.32π3
15.解：(1)在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB=csinC可得
2sinCcsB=sinAcsB+sinBcsA，
即2sinCcsB=sin(A+B)，又A+B+C=π，知sin(A+B)=sinC，
故2sinCcsB=sinC，
由C∈(0,π)知sinC≠0，所以csB=12，
又因为B∈(0,π)，所以B=π3；
(2)在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2−2accsB可得b2=a2+c2−2accsπ3，
又b= 13，则a2+c2−ac=13，
联立3a=4ca2+c2−ac=13，可得a2=16，则a=4，c=3(舍负)
所以S△ABC=12acsinπ3=12×12× 32=3 3．
16.解：(1)记“元件X正常工作”为事件A，“元件Y正常工作”为事件B，
“当元件X，Y都正常工作时，系统S正常工作”为事件M．
由题意可得，元件X，Y正常工作的概率分别为0.6，0.8，且两个元件是否正常工作相互独立，则当元件X，Y都正常工作时，系统S正常工作，则系统S正常工作的概率为P(M)=P(A)⋅P(B)=0.6×0.8=0.48
答：当元件X，Y都正常工作时，系统S正常工作的概率为0.48．
(2)记“元件Z正常工作”为事件C，“系统T正常工作”为事件N．
法一;P(N)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)+P(A)⋅P(B)⋅(1−P(C))+P(A)⋅(1−P(B))⋅P(C)=0.6×0.8×P(C)+0.6×0.8×(1−P(C))+0.6×0.2×P(C)=0.57，
得P(C)=0.75
法二：P(N)=P(A)⋅(1−(1−P(B)⋅(1−P(C))=0.6×(1−0.2×(1−P(C)))=0.57,
得P(C)=0.75，
答：元件Z正常工作的概率为0.75．
17.(1)证明：连结BD，交AC于点O，连结OE，
∵在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，O是BD的中点，
∴OE//BD1，
∵OE⊂平面AEC，BD1⧸⊂平面AEC，
∴BD1//平面EAC.
(2)取AC的中点O，连接EO，B1O，EB1，设正方体的边长为a．
EO⊥AC，EO2+B1O2=EB12，∴EO⊥B1O，且AC∩B1O=O，AC,B1O⊂平面AB1C，EO⊥平面AB1C，又∵EO⊂平面EAC
∴平面EAC⊥平面AB1C.
18.【解答】解：(1)∵α∈(0,π2)，β∈(π2,π)，且sinα=6365，∴csα=1665，α+β∈(π2,3π2)，
又∵sin(α+β)=−35<0，∴α+β∈(π,3π2)，∴cs(α+β)=−45．
∴csβ=cs [(α+β)−α]=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα=−45×1665+(−35)×6365
=−253325．
(2)∵2sin(2α−β)+sinβ=0，∴2sin[(α−β)+α]+sin[α−(α−β)]=0，即2sin(α−β)csα+2cs(α−β)sinα+sinαcs(α−β)−csαsin(α−β)=0，即sin(α−β)csα+3cs(α−β)sinα=0∵α−β≠π2+kπ，α≠kπ2，k∈Z，∴cs(α−β)≠0，csα≠0，tanα≠0.两边同时除以cs(α−β)csα得：tan(α−β)+3tanα=0，∴tan(α−β)tanα=−3．
19.解：(1)取AD，BC中点分别为G，T，则GT//AB，GT⊥BC，连接GT，FT，因为△BCF为正三角形，且BC=4，则FT=2 3，FT⊥BC，由GT⊥BC，FT⊥BC，GT⊂底面ABCD，FT⊂面BCF知∠FTG为二面角F−BC−A的平面角，
从而tan∠FTG 2，则cs∠FTG= 33，sin∠FTG= 63，在△FGT中作
FO⊥GT，则FO=FTsin∠FTG=2 3× 63=2 2
OT=FTcs∠FTG=2 3× 33=2，从而O为GT中点知O为正方形的中心，
由GT⊥BC，FT⊥BC，则BC⊥面FGT，FO⊂面FGT，故FO⊥BC，FO⊥GT，从而有FO⊥面ABCD，所以F−ABCD为正四棱锥．
(2)设面ADF∩面BCF=l，因为AD/​/BC，AD⊄面BCF，BC⊂面BCF，故AD/​/面BCF，又AD⊂面ADF，面ADF∩面BCF=l，从而l//AD//BC，则FT⊥l，同理FG⊥l，∴∠GFT为二面角A−l−C的平面角，
因四棱锥F−ABCD为正四棱锥，故FG=FT=2 3，则cs∠GFT=13，故平面FAD与平面FBC所成的锐二面角的余弦值为13．
(3)由(1)知O为AC的中点，取FC的中点S，连接BS，DS，△FBC，△FDC都是正三角形，FC⊥平面BSD，所以S△BSD=12BD⋅OS=4 2．
由BS⊥FC，DS⊥FC，则FC⊥平面BSD，因此过点E垂直于FC的截面与截面BSD平行或重合，显然点E在CS上(不含端点)时，截面面积小于4 2，不可能最大，当点E在SF上(不含端点)时，令FEFS=x(0平面EMNQP∩平面FBC=ME，平面BSD∩平面FBC=BS，
因此ME//BS，同理PE//DS，MP//BD//NQ，由FA//OS知，FA//平面BSD，
得FA//平面EMNQP，而平面EMNQP∩平面FAB=MN，FA⊂平面FAB，则MN//FA，
同理PQ//FA，于是PQ//MN，四边形MNQP为平行四边形，又BD⊥OS，则BD⊥FA，
即有MN⊥MP，▱MNQP为矩形，显然MEBS=FEFS=PEDS=FPFD=MPBD，则△MEP∽△BSD，
，S△MEP=4 2x2，由MNFA=BMFB=ESFS=1−x，得MN=4(1−x)，
而MP=4 2x，矩形MNQP面积，从而截面EMNQ的面积，
当x=23时，ymax=16 23，显然16 23>4 2，即FEFS=23时，截面面积最大，最大值为16 23．