【暑假衔接】人教A版新高二数学 复习重难点-第06讲：统计和概率高频考点突破（教师版+学生版）讲义

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考点一．随机抽样
(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)系统抽样：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．
(3)分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
考点二．用样本的频率分布估计总体分布
(1)在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长方形的面积总和等于1.
(2)频率分布折线图和总体密度曲线
①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．
(3)茎叶图
茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．
考点三．用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数．
(3)平均数：eq \x\t(x)＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n)，反映了一组数据的平均水平．
(4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，s＝eq \r(\f(1,n)[x1－\x\t(x)2＋x2－\x\t(x)2＋…＋xn－\x\t(x)2]) .
(5)方差：s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2](xn是样本数据，n是样本容量，eq \x\t(x)是样本平均数)．
考点四．概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
考点五．事件的关系与运算
考点六.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
【题型梳理】
题型一：随机抽样
1．（2023秋·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末）总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．02B．15C．16D．19
【答案】D
【分析】根据个体编号规则，随机表法依次取出5个个体编号，即可确定第5个个体的编号.
【详解】由题意，依次取到的编号为16、15、08、02、19，
所以第5个个体的编号为19.
故选：D
2．（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）为庆祝党的二十大胜利召开，某校举办“学习党的历史，争做新时代好少年”主题教育活动．为评估本次教育活动的效果，拟抽取150名同学进行党史测试．已知该校高一学生360人，高二学生300人，高三学生340人，采用分层抽样的方法，应抽取高一学生人数为（ ）
A．60B．54C．51D．45
【答案】B
【分析】先求出抽样比，乘以总人数即可求出抽取高一学生的人数．
【详解】，
所以应抽取高一学生人数为54人，
故选：B．
3．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按、、、进行编号，然后从随机数表第行的第列和第列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为（ ）
（注：表中的数据为随机数表第行和第行）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用随机数表可列举出样本前个同学的编号，即可得解.
【详解】由随机数表法可知，样本前个同学的编号依次为、、、，
故选出的第个同学的编号为.
故选：C.
题型二：用样本估计总体
4．（2023春·江苏连云港·高一校考期末）某高校为传承中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（ ）

A．A组打分的众数为50
B．B组打分的中位数为75
C．A组的意见相对一致
D．B组打分的均值小于A组打分的均值
【答案】C
【分析】由折线图中的数据，结合众数、中位数、平均数的定义对四个选项逐一分析判断即可．
【详解】对于A，由折线图可知，小组打分的分值为：42，47，45，46，50，47，50，47，
则小组打分的分值的众数为47，故选项A错误；
对于B，小组打分的分值为：55，36，70，66，75，68，68，62，58，
按照从小到大排列为：36，55，58，62，66，68，68，70，75，
中间数为66，故中位数为66，故选项B错误 ；
对于C；小组的打分成绩比较均匀，波动更小，故A小组意见相对一致，故选项C正确；
对于D，小组的打分分值的均值，而小组的打分分值的均值，
所以小组打分的分值的均值大于小组打分的分值的均值，故选项D错误．
故选：C．
5．（2023春·浙江丽水·高一统考期末）某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛. 经统计，得到前名学生分布的扇形图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ）

A．成绩前名的学生中，高一人数比高二人数多人
B．成绩前名的学生中，高一人数不超过人
C．成绩前名的学生中，高三人数不超过人
D．成绩第名到第名的学生中，高二人数比高一人数多
【答案】D
【分析】根据饼状图和条形图提供的数据判断．
【详解】由饼状图，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多，A正确；
由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为，B正确；
成绩前50名的50人中，高一人数为，因此高三最多有32人，C正确；
第51到100名的50人中，高一人数为，故高二最多有23人，因此高二人数比高一少，D错误．
故选：D．
6．（2023秋·北京·高一校考期末）最早发现于2019年7月的某种流行疾病给世界各国人民的生命财产带来了巨大的损失.近期某市由于人员流动出现了这种疾病，市政府积极应对，通过3天的全民核酸检测，有效控制了疫情的发展，决定后面7天只针对41类重点人群进行核酸检测，下面是某部门统计的甲､乙两个检测点7天的检测人数统计图，则下列结论不正确的是（ ）
A．甲检测点的平均检测人数多于乙检测点的平均检测人数
B．甲检测点的数据极差大于乙检测点的数据极差
C．甲检测点数据的中位数大于乙检测点数据的中位数
D．甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差
【答案】C
【分析】根据题意分别求甲乙监测点的平均人数,极差,中位数及方差判断即可.
【详解】对于:甲检测点的平均检测人数为
乙检测点的平均检测人数为
故甲检测点的平均检测人数多于乙检测点的平均检测人数，故正确;
对于:甲检测点的数据极差
乙检测点的数据极差，故正确;
对于:甲检测点数据为,中位数为,
乙检测点数据为,中位数为，故错误;
对于:通过观察平均数附近数据个数,极差等或计算甲乙数据的方差,
都可以判断乙检测点数据比甲检测点数据稳定性强,
故甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差,故正确.
故选: .
题型三：平均数 方差和百分位数
7．（2023秋·北京·高一校考期末）经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ）
A．若数据，方差，则所有的数据都为0
B．若数据，的平均数为，则的平均数为6
C．若数据，的方差为，则的方差为12
D．若数据，的分位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据不大于90
【答案】C
【分析】根据数据的平均数，方差，百分位数的性质逐项进行检验即可判断.
【详解】对于，数据的方差时，说明所有的数据都相等，但不一定为，故选项错误；
对于，数据，的平均数为，数据的平均数为，故选项错误；
对于，数据的方差为，数据的方差为，故选项正确；
对于，数据，的分位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据大于或等于90，故选项错误，
故选：.
8．（2023秋·北京石景山·高一统考期末）甲、乙两人进行飞镖游戏，甲的10次成绩分别为8，6，7，7，8，10，10，9，7，8，乙的10次成绩的平均数为8，方差为0.4，则下列说法不正确的是（ ）
A．甲的10次成绩的极差为4B．甲的10次成绩的分位数为8
C．甲和乙的20次成绩的平均数为8D．乙比甲的成绩更稳定
【答案】B
【分析】根据题意，计算极差、分位数、平均数和方差，再逐一判断即可．
【详解】解：对于A，甲的10次成绩分别为8，6，7，7，8，10，10，9，7，8，极差为，故A正确；
对于B，甲的10次成绩从小到大依次为6，7，7，7，8，8，8，9，10，10，
，甲的10次成绩的分位数为第8个数是9，故B错误；
对于C，甲的10次成绩的平均数为，乙的10次成绩的平均数为8，
甲和乙的20次成绩的平均数为，故C正确；
对于D，甲的方差为，乙的方差为0.4，，乙比甲的成绩更稳定，故D正确．
故选：B．
9．（2023春·四川宜宾·高一校考期末）是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值(单位：)的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）
A．从这10天的日均监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是
B．从5日到9日，日均值逐渐降低
C．这10天中日均值的平均数是49.3
D．这10天的日均值的中位数是
【答案】D
【分析】借助于图表数据，对A、B、C、D一一验证即可.
对于A：用古典概型的计算公式进行计算；
对于B：从折线图直接看出；
对于C：直接计算平均值即可；
对于D：直接求出中位数；
【详解】对于A：从图表可以看出，“空气质量为一级”的有：3日、8日、9日、10日，故概率,故A正确；
对于B：从5日到9日，折线图逐日下降，故日均值逐渐降低，故B正确；
对于C：这10天中日均值的平均数是，故C正确；
对于D：这10天的数据从小到大依次为：30、32、33、34、45、49、57、58、73、82，故中位数为，故D错误；
故选：D
题型四：互斥事件和对立事件
10．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（ ）
A．至少有1名男生与全是男生；
B．至少有1名男生与全是女生；
C．恰有1名男生与恰有2名男生；
D．至少有1名男生与至少有1名女生．
【答案】C
【分析】写出各个事件包含的情况，根据互斥事件以及对立事件的概念，即可得出答案.
【详解】对于A项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，故A项错误；
对于B项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，故B项错误；
对于C项，事件恰有1名男生指恰有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，故C项正确；
对于D项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，故D项错误.
故选：C.
11．（2020春·甘肃定西·高一校考期末）袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则
①恰有1个白球和全是白球；
②至少有1个白球和全是黑球；
③至少有1个白球和至少有2个白球；
④至少有1个白球和至少有1个黑球．
在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为（ ）
A．②B．①C．③D．④
【答案】B
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即可.
【详解】记表示白球，表示黑球，从袋中任取3个球，共包括4个基本事件
分别为
对①，事件“恰有1个白球”包含的基本事件为：，事件“全是白球”包含是基本事件为：，由互斥事件和对立事件的定义可知，事件“恰有1个白球”和“全是白球”互为对立事件，但不是对立事件；
对②，事件“至少有1个白球”包含的基本事件为：，事件“全是黑球”包含的基本事件为：，由互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至少有1个白球”和“全是黑球”互为对立事件，也是对立事件；
对③，事件“至少有1个白球”包含的基本事件为：，事件“至少有2个白球”包含的基本事件为：，由互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至少有1个白球”和“至少有2个白球”，既不是互斥事件也不是对立事件；
对④，事件“至少有1个白球”包含的基本事件为：，事件“至少有1个黑球”包含的基本事件为：，由互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至少有1个白球”和“至少有1个黑球”，既不是互斥事件也不是对立事件；
故选：B
【点睛】本题主要考查了对立事件和互斥事件的判断，属于基础题.
12．（2020秋·山西长治·高一山西省长治市第二中学校校考期末）将一个骰子抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现的点数不超过2，事件B表示向上的一面出现的点数不小于3，事件C表示向上的一面出现奇数点，则（ ）
A．A与B是对立事件B．A与B是互斥而非对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件
【答案】A
【解析】由互斥事件与对立事件的定义判断即可得出正确答案.
【详解】事件包含的基本事件为向上的点数为；
事件包含的基本事件为向上的点数为；
事件包含的基本事件为向上的点数为；
由于事件，不可能发生，且事件，的和事件为必然事件，与是对立事件
当向上一面的点数为3时，事件，同时发生，则与不互斥也不对立
故选：A
【点睛】本题主要考查了互斥事件与对立事件的判断，对立事件与互斥事件关系的辨析，属于中等题.
题型五：随机事件的概率
13．（2023春·河南·高一校联考期末）连续抛掷一枚均匀的骰子两次，向上的点数分别记为a，b，，则（ ）
A．事件“是偶数”与“a为奇数，b为偶数”互为对立事件
B．事件“”发生的概率为
C．事件“”与“”互为互斥事件
D．事件“且”的概率为
【答案】D
【分析】a为偶数，b为奇数时，两个事件均不包含，A错误，确定，计算概率得到B错误，事件“”与“”可以同时发生，C错误，列举得到D概率正确，得到答案.
【详解】对选项A：a为偶数，b为奇数时，两个事件均不包含，错误；
对选项B：，则，发生的概率为，错误；
对选项C：事件“”与“”可以同时发生，错误；
对选项D：，，
则分别为共9种情况，
概率为，正确；
故选：D.
14．（2023春·江苏南通·高一校考期末）围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含者中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不在同一个小组的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，另3位棋手分别记为丙、丁、戊，
则这5位棋手的分组情况有（甲乙丙，丁戊），（甲乙丁，丙戊），（甲乙戊，丙丁），（甲丙丁，乙戊），
（甲丙戊，乙丁），（甲丁戊，乙丙），（乙丙丁，甲戊），（乙丙戊，甲丁），（乙丁戊，甲丙），（丙丁戊，甲乙），共10种，
其中甲和乙不在同一个小组的情况分别为（甲丙丁，乙戊），（甲丙戊，乙丁），（甲丁戊，乙丙），（乙丙丁，甲戊），
（乙丙戊，甲丁），（乙丁戊，甲丙），共有6种，
所以甲和乙不在同一个小组的概率.
故选：C.
15．（2021春·陕西西安·高一统考期末）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件“抽到一等品”，事件“抽到二等品”，事件“抽到三等品”，且已知，，，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）．
A．0.65B．0.35C．0.3D．0.05
【答案】B
【分析】利用对立事件的概率计算公式即可计算作答.
【详解】“抽到的产品不是一等品”的事件的对立事件是“抽到一等品”的事件，而事件“抽到一等品”，且，
所以，
所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为0.35.
故选：B.
题型六：事件的相互独立性
16．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）已知事件，，且，，如果与互斥，那么，如果与相互独立，那么，则，分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据互斥事件的定义可求，根据独立事件的概率公式求，由此可判断结论.
【详解】因为事件与互斥，所以，所以.
因为与相互独立，，，
所以，
即.
故选：A.
17．（2023春·浙江温州·高一统考期末）在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件 “第二次摸出的球是红球”，事件“两次摸出的球颜色相同”，事件 “第二次摸出的球是黄球”，若，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由对立事件的性质判断B；由结合乘法公式得出，进而判断ACD.
【详解】依题意，事件对立，，故B正确；
设盒子中有个红球，个黄球，
，，故AD正确；
，故C错误；
故选：C
18．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中不正确的是（ ）
A．B．事件A与事件相互独立
C．与和为D．事件A与事件B互斥
【答案】D
【分析】分别求出，，进一步求出与，从而判断AC选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，判断BD选项.
【详解】，
在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，B项正确
，故A正确
，故C正确
事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误.
故选：D.
题型七：频率和概率
19．（2021春·陕西咸阳·高一统考期末）某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.9B．0.8C．0.7D．0.6
【答案】B
【分析】由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有8组，即求.
【详解】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有：812,832,569,683,271,989, 537,925,故8个，
故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.
故选：B.
20．（2020秋·辽宁大连·高一统考期末）关于频率和概率，下列说法正确的是（ ）
①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为；
②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005.如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；
③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；
④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次.
A．②④B．①④C．①②D．②③
【答案】A
【分析】根据频率和概率的定义对各个选项进行判断即可.
【详解】①某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这次投篮中命中的频率为，不能说概率，故错误；
②进行大量的实验，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5,故正确；
③只能说明可能有1806粒种子发芽，具有随机性，并不是一定有1806粒种子发芽，故错误；
④出现点数大于2的次数大约为4000次，正确.
故选：A
【点睛】本题考查频率与概率的区别，属于基础题.
21．（2020春·甘肃武威·高一校考期末）一个容量为20的样本数据，分组后组距为10，区间与频数分布如下：(10，20]，2；(20，30]，3；(30，40]，4；(40，50]，5；(50，60]，4；(60，70]，2.则样本在(10，50]上的频率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据频率等于频数比样本容量求解.
【详解】因为样本在(10，50]上的频数为14，样本容量为20，
所以样本在(10，50]上的频率为
故选：D
【点睛】本题主要考查统计中频率的求法，属于基础题.
题型八：统计和概率的综合
22．（2023春·河南周口·高一校联考期末）居民小区物业服务联系着千家万户，关系着居民的“幸福指数”．某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)在这100名业主中，求评分在区间[70，80)的人数与评分在区间[50，60)的人数之差；
(2)估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数；
(3)若小区物业服务满意度（满意度＝）低于0.8，则物业公司需要对物业服务人员进行再培训．请根据你所学的统计知识，结合满意度，判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训，并说明理由．（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）
【答案】(1)24人；
(2)众数：75分，90%分位数：84分；
(3)物业公司需要对物业服务人员进行再培训，理由见解析.
【分析】（1）本题考查频率分布直方图每个矩形的意义，即频率，则每个区间人数即可求解；
（2）本问考查频率分布直方图的众数与百分位数的求法，即最高矩形的组中值为众数，左右两边频率之和为0.9与0.1的为90%分位数；
（3）本问考查频率分布直方图平均数的求法，即组中值与频率乘积之和，最后套入公式即可.
【详解】（1）评分在区间的人数为100×0.04×10＝40（人），
评分在区间的人数为100×0.016×10＝16（人），
故评分在区间的人数与评分在区间的人数之差为40－16＝24（人）；
（2）业主对物业服务的满意程度给出评分的众数为75分，
由，，
设业主对物业服务的满意程度给出评分的90%分位数为x，
有，解得x＝84，
故业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数分别为75分和84分；
（3）业主对物业服务的满意程度给出评分的平均分为
55×0.016×10＋65×0.03×10＋75×0.04×10＋85×0.01×10＋95×0.004×10＝70.6，
由，
故物业公司需要对物业服务人员进行再培训．
23．（2023春·河南·高一校联考期末）大学毕业生小张和小李通过了某单位的招聘笔试考试，正在积极准备结构化面试，每天相互进行多轮测试，每轮由小张和小李各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小李每轮答对的概率为．在每轮活动中，小张和小李答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)求两人在两轮活动中都答对的概率；
(2)求两人在两轮活动中至少答对3道题的概率；
(3)求两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算即可；
（2）两人分别答两次，总共四次中至少答对3道题，分五种情况计算可得答案；
（3）分小张和小李均答对两个题目、均答对三个题目两种情况计算即可.
【详解】（1）依题意，设事件 “小张两轮都答对问题”， “小李两轮都答对问题”，
所以，．因为事件相互独立，
所以两人在两轮活动中都答对的概率为．
（2）设事 “甲第一轮答对”， “乙第一轮答对”， “甲第二轮答对”， “乙第二轮答对”， “两人在两轮活动中至少答对3道题”，
则，
由事件的独立性与互斥性，可得
，
故两人在两轮活动中至少答对3道题的概率为．
（3）设事件，分别表示甲三轮答对2个，3个题目，，分别表示乙三轮答对2个，3个题目，
则，，，，
设事件 “两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2”，
则，且，，，分别相互独立，
所以．
所以两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率为．
24．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位，小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图：（以各组的区间中点值代表该组的各个值）女生一周自读时间频率分布直方图
(1)从一周课外阅读时间为的学生中按比例分配抽取6人，则男生，女生各抽出多少人?
(2)分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数；
(3)估计总样本的平均数和方差．
参考数据和公式;男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为和．
，和分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中．
【答案】(1)男生人，女生人
(2)，
(3)，
【分析】（1）首先求出中女生的人数，再利用分层抽样计算规则计算可得；
（2）根据平均数公式计算可得；
（3）首先求出总体的平均数，再根据所给公式及数据求出总体的方差.
【详解】（1）一周课外阅读时间为的学生中男生有人，女生有人，
若从中按比例分配抽取人，则男生有人，女生有人
（2）估计男生一周课外阅读时间平均数；
估计女生一周课外阅读时间的平均数.
（3）估计总样本的平均数，
∵，
∴，，
，，
∴，
所以估计总样本的平均数，方差.
【专题突破】
一、单选题
25．（2023春·江苏连云港·高一校考期末）“抛掷一颗骰子，结果向上的点数小于3”记为事件A，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数大于1且小于5”记为事件B，则（ ）．
A．事件A，B互斥B．事件A，B对立C．事件A，B相互独立D．事件A与不相互独立
【答案】C
【分析】根据题意结合互斥、对立事件的定义逐项分析判断A、B；根据独立事件的定义分析判断C、D.
【详解】由题意可知：事件，事件，样本空间，
则，
因为，所以事件A，B不互斥，更不可能对立
故A、B错误；
因为，则，
可得，
所以事件A，B相互独立，事件A与相互独立，故C正确，D错误；
故选：C.
26．（2023春·河南·高一校联考期末）有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98，则其25%分位数与75%分位数的和为（ ）
A．144B．145C．148D．153
【答案】C
【分析】由百分位数的定义求解即可.
【详解】因为，所以样本数据的25%分位数为第六个数据即66；
因为，所以样本数据的75%分位数为第十七个数据即82.
所以25%分位数与75%分位数的和为.
故选：C.
27．（2023春·河南焦作·高一统考期末）随机抽查了某校名高三学生的视力情况，得到的频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后组的频数和为，设视力在到之间的学生人数为，各组中频率最大的为，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题中信息计算出第三、第四组的频数，将第三组和第四组的频数相加可得出的值.
【详解】前两组的频数之和为，第四组的频数为，
后五组的频数之和为，所以，前三组的频数之和为，
故第三组的频数为，因此，.
故选：B.
28．（2023春·江苏常州·高一常州市第一中学校考期末）随着经济的发展和人民生活水平的提高，我国的旅游业也得到了极大的发展，据国家统计局网站数据显示，近十年我国国内游客人数(单位：百万)折线图如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数
B．近十年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差
C．近十年，农村居民国内游客人数的中位数为1240
D．2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加
【答案】C
【分析】根据每一年城镇居民国内游客人数都多于农村居民国内游客人数，即可判断选项A；根据近十年，城镇居民国内游客人数的波动比农村居民国内游客人数波动大，即可判断选项B；由中位数的计算方法，可得近十年农村居民国内游客人数的中位数，即可判断选项C；根据2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数每年都比农村居民国内游客人数增长多，即可判断选项D.
【详解】由图可知，每一年城镇居民国内游客人数都多于农村居民国内游客人数，
所以近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数，故选项A正确；
由图可知，近十年，城镇居民国内游客人数的波动比农村居民国内游客人数波动大，
所以由方差的意义可知，近十年城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差，故选项B正确；
将近十年农村居民国内游客人数从小到大进行排列，
可得近十年农村居民国内游客人数的中位数为，故选项C错误；
由图可知，2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数每年都比农村居民国内游客人数增长多，
所以2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加，故选项D正确.
故选：C.
29．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】明确随机数代表的含义，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【详解】由题意可知经随机模拟产生的12组随机数中，
这三组表示三次投篮恰有两次命中，
故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为，
故选：A.
30．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）从高一（男、女生人数相同,人数很多）抽三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（ ）
A．B．
C．事件A与事件B互斥D．事件A与事件C对立
【答案】B
【分析】由独立乘法公式求，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.
【详解】由所抽学生为女生的概率均为，则，A正确；
两事件不可能同时发生，为互斥事件，C正确；
事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，
其对立事件为，D正确；
事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，
与事件含义相同，故，B错误；
故选：B.
31．（2022春·安徽滁州·高一统考期末）某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子元件A，B至少有一个正常工作，且电子元件C正常工作，控制模块才能正常工作．已知电子元件A，B，C正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.6，则该控制模块能正常工作的概率为（ ）

A．0.704B．0.644C．0.564D．0.336
【答案】C
【分析】先根据互斥事件和对立事件的概率公式，求得元件A与B至少有一个正常工作的概率，再结合独立事件的概率乘法公式，即可求解.
【详解】由题意，电子元件A与B至少有一个正常工作的概率为：
所以该控制模块能正常工作的概率为.
故选：C.
32．（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）对于事件，，下列命题不正确的是（ ）
A．若，互斥，则
B．若，对立，则
C．若，独立，则
D．若，独立，则
【答案】D
【分析】根据对立事件，独立事件和互斥事件的性质，分别进行判断即可.
【详解】因为，互斥，互斥事件概率和在(0,1]区间，所以，故选项正确；
因为，对立，对立事件概率和为1，所以，故选项正确；
因为，独立，则,也相互独立，所以，故选项正确；
因为，独立，由独立事件的性质可知：二者同时发生的概率，由概率大于零可知：不一定成立，故选项错误；
所以命题不正确的是，
故选：.
33．（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京开幕．党的二十大报告鼓舞人心，内涵丰富．某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出基本事件的样本空间，再根据古典概型计算.
【详解】在5份优秀报告中，设教师的报告为 ，学生的报告为 ，从中随机抽取2份的样本空间为：
，
共10个，
恰好是学生，教师各一份的概率为 ；
故选：B.
34．（2022春·湖北恩施·高一恩施土家族苗族高中校考期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位，十位､百位､千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位､十位，百位，千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被3整除”，“表示的四位数能被5整除”，则有：①②；③④.上述结论正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，由此可得四位数的个数；能被3整除，只能是2个1和2个5，求出四位数的个数后可得概率，而被5整除，只要个位数字是5即可．由此计数后可计算出概率，判断各序号即可求解．
【详解】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，四位数的个数是16.
能被3整除的四位数，数字1和5各出现2个，
因此满足条件的四位数的个数是6，所以，①正确；
能被5整除的四位数，个位数为5，满足的个数为8，，②不正确；
能被15整除的四位数的个位数是5，十位、百位、千位为一个5两个1，
因此满足这个条件的四位数的个数是3，概率为，④正确；
，③正确.
故正确的有3个，
故选：D.
二、多选题
35．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）为了进一步培养全校学生的法律意识，强化学生自我保护能力，知法守法，某中学举行法规知识竞赛（满分分），对全校参赛的名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照、、、、分成组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ）

A．
B．得分在区间内的学生人数为
C．该校学生法规竞赛成绩的中位数大于
D．估计该校学生法规竞赛成绩的平均数落在区间内
【答案】BC
【分析】利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为，求出的值，可判断A选项；计算出得分在区间内的学生人数，可判断B选项；利用中位数的定义可判断C选项；利用平均数公式计算出该校学生法规竞赛成绩的平均数，可判断D选项.
【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，
则，解得，A错；
对于B选项，得分在区间内的学生人数为，B对；
对于C选项，设学生成绩的中位数为，
前个矩形的面积之和为，
前个矩形的面积之和为，所以，，C对；
对于D选项，该校学生法规竞赛成绩的平均数为
，D错.
故选：BC.
36．（2023春·浙江温州·高一统考期末）国家统计网最新公布的一年城市平均气温显示昆明与郑州年平均气温均为16.9摄氏度，该年月平均气温如表（表1）所示，并绘制如图所示的折线图，则（ ）
表1
A．昆明月平均气温的极差小于郑州月平均气温的极差
B．昆明月平均气温的标准差大于郑州月平均气温的标准差
C．郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数
D．郑州月平均气温的第一四分位数为10
【答案】ACD
【分析】根据极差的定义即可判断A；根据标准差的几何意义结合折线图即可判断B；根据中位数的定义即可判断C；根据百分位数的定义即可判断D.
【详解】对于A，昆明月平均气温的极差为，
郑州月平均气温的极差为，故A正确；
对于B，由折线图可知，昆明月平均气温相较于郑州月平均气温更为集中，
所以昆明月平均气温的标准差小于郑州月平均气温的标准差，故B错误；
对于C，昆明的月平均气温按从小到大的顺序排列：
，
则昆明月平均气温的中位数为，
郑州的月平均气温按从小到大的顺序排列：
，
则郑州的月平均气温的中位数为，
郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数，故C正确；
对于D，因为，
所以郑州月平均气温的第一四分位数为，故D正确.
故选：ACD.
37．（2023春·河南·高一校联考期末）2021年3月，中共中央、国务院印发了《关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见》，某村在各级政府的指导和支持下，开展新农村建设，两年来，经济收入实现翻番．为更好地了解经济收入变化情况，统计了某村新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下扇形图：

则下面结论中正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入增加了14%
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入持平
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】BD
【分析】设新农村建设前经济收入为a，则新农村建设后经济收入为2a，根据扇形图，逐项分析即可.
【详解】设新农村建设前经济收入为a，则新农村建设后经济收入为2a，
则由扇形图可得新农村建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a，
新农村建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a.
对A，新农村建设后，种植收入增加了，故A错误；
对B，其他收入为0.1a，，故增加了一倍以上，故B正确；
对C，养殖收入为0.6a，因为，即新农村建设后，养殖收入增加了一倍，故C错误；
对D，因为养殖收入与第三产业收入总和为1.16a，由，所以养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半，故D正确.
故选：BD.
38．（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）为了解某地区经济情况，对该地区家庭年收入进行抽样调查，将该地区家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
则下列结论正确的是（ ）
A．图中的值是0.16
B．估计该地区家庭年收入的中位数为7.5万元
C．估计该地区家庭年收入的平均值不超过7万元
D．估计该地区家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为20%
【答案】BD
【分析】根据频率分布直方图频率和为1即可求,可结合选项逐一计算中位数,平均值以及所占的比重判断得解.
【详解】对于A， 根据频率分布直方图频率和为1,得，故A错误；
对于B，设该地农户家庭年收入的中位数为万元，
则，即，则中位数是，故B正确;
对于C，该地农户家庭年收入的平均值为
，故C错误；
对于D，设该地家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为
，故D正确；
故选：BD.
39．（2023春·江苏连云港·高一校考期末）下列说法错误的是（ ）
A．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125
B．若事件为两个互斥事件，且则
C．、分别是事件、的对立事件，如果、两个事件独立，则
D．一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是
【答案】ABC
【分析】先求此题不能解出的概率，再利用对立事件可得此题能解出的概率可判断A；由题意知，，可判断B；因为可判断C；由古典概率公式可得出两位女生相邻的概率可判断D.
【详解】对于A，∵他们各自解出的概率分别是，，则此题不能解出的概率为
，则此题能解出的概率为，故A错误；
对于B，因为事件为两个互斥事件，则，，故B错误；
对于C，事件为两个独立事件，且，则，故C错误；
对于D，一位男生和两位女生随机排成一列，两位女生相邻的概率是，故D正确.
故选：ABC.
40．（2023春·江苏南通·高一校考期末）已知事件、发生的概率分别为，，则（ ）
A．若，则事件与相互独立
B．若与相互独立，则
C．若与互斥，则
D．若发生时一定发生，则
【答案】AB
【分析】利用独立事件的定义可判断A选项；利用并事件的概率公式可判断B选项；利用互斥事件的概率公式可判断C选项；分析可知，可判断出D选项.
【详解】对于A，因为，，则，
因为，所以，事件与相互独立，A对；
对于B，若与相互独立，则，
所以，，B对；
对于C，若与互斥，则，C错；
对于D，若发生时一定发生，则，则，D错.
故选：AB.
三、填空题
41．（2023春·河南周口·高一校联考期末）从分别写有的7张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为___________．
【答案】
【分析】根据题意写出抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字的所有基本事件，然后代入古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】记“抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字”为事件，
事件包括以下种情况：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
而有放回地连续抽取2张卡片共有（种）不同情况，
则．
故答案为：.
42．（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）2022年11月8日至13日第十四届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举行．歼-20､运-20和空警-500､轰-6K､红-9B等主战装备集中亮相，运油-20､歼-16､攻击-2无人机首次振翅中国航展，空军八一飞行表演队和空军航空大学“红鹰”飞行表演队劲舞长空，中国航展成为中国航空航天产业发展和国防实力最重要的展示平台，更是展示中国力量，彰显中国价值，弘扬中国精神的一个窗口，国产某型防空导弹的单发命中率为90%，为了确保对敌机的摧毁效果，实战中往往采取双发齐射的方式，则双发齐射的命中率为___________．
【答案】/0.99
【分析】由对立事件即可求解．
【详解】由题意得，防空导弹单发命中率为0.9，
设事件为发射一枚防空导弹后命中敌机，则，，
设事件为采取双发齐射后命中敌机，
则，
故答案为：0.99．
43．（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）蚌埠市2022年人冬第一周出现了“小阳春”，气温跟往年比偏高，这一周（11月6日至11月12日）的日最高气温（单位：℃）分别为，，，，，，，则这周的日最高气温的分位数是___________℃.
【答案】
【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.
【详解】依题意将数据从小到大排列为，，，，，，，
又，所以第分位数为第个数即.
故答案为：
44．（2023秋·北京顺义·高一统考期末）下表是某班10个学生的一次测试成绩，对单科成绩分别评等级：
在这10名学生中，已知数学成绩为“A等”的有8人，语文成绩为“A等”的有7人，数学与语文两科成绩全是“A等”的有6人，则下列说法中，所有正确说法的序号是__________.
①当时，；
②当时，；
③恰有1名学生两科均不是“A等”；
④学号1~6的学生两科成绩全“A等”.
【答案】①③④
【分析】根据各科成绩排名及“A等”成绩的人数，分别讨论、、时数学成绩为“A等”的情况，、、时语文成绩为“A等”的情况，
最后再结合符合的情况分类讨论数学与语文成绩全是“A等”的情况，即可得出所有符合的情形，最后依次对各序号判断即可.
【详解】当，数学成绩为“A等”的8人从高到低为号；
当，数学成绩为“A等”不为8人，不合题意；
当，数学成绩为“A等”的8人为号.
当，语文成绩为“A等”的7人为号；
当，语文成绩为“A等”不为7人，不合题意；
当，语文成绩为“A等”的7人为号.
故当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共7人，不合题意；
当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共6人，符合题意；
当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共6人，符合题意；
当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共6人，符合题意.
综上可知：
对①，当时，，①对；
对②，当时，，②错；
对③，当，、，、，时，两科均不是“A等”的学生依次为8、9、10号，均恰有1名，③对；
对④，学号1~6的学生两科成绩全“A等”，④对.
故答案为：①③④
四、解答题
45．（2023春·江苏南通·高一校考期末）为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取名，将其成绩整理后分为组，画出频率分布直方图如图所示（最低分，最高分），但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的倍.

(1)求第一组、第二组的频率各是多少？
(2)现划定成绩大于或等于上四分位数即第百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留位小数）；
(3)现知道直方图中成绩在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，求成绩在内的平均数和方差.
【答案】(1)第一组的频率为，第二组的频率为
(2)
(3)平均数为，方差为
【分析】（1）设第一组的频率为，则第二组的频率为，利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值，即可得解；
（2）计算出样本的第百分位数，即可得出全市“良好”以上等级的成绩范围；
（3）利用总体的平均数和方差公式可求得结果.
【详解】（1）解：设第一组的频率为，则第二组的频率为，
由题意可得，解得，
因此，第一组的频率为，第二组的频率为.
（2）解：设样本的第百分位数为，前三个矩形的面积之和为，
前四个矩形的面积之和为，所以，，
由百分位数的定义可得，解得，
所以，估计全市“良好”以上等级的成绩范围为.
（3）解：成绩在的频数为，成绩在的频数为，
又因为直方图中成绩在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，
所以，成绩在内的平均数为，
方差为.
46．（2023春·河南·高一校联考期末）后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策．某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得2000位在职员工的个人所得税（单位：百元）数据，按，，，，，，，，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：

(1)求直方图中t的值：
(2)根据频率分布直方图估计该市的70%职工年个人所得税不超过m（百元），求m的最小值；
(3)已知该地区有20万在职员工，规定：每位在职员工年个人所得税不超过5000元的正常收取，若超过5000元，则超出的部分退税20%，请估计该地区退税总数约为多少．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据频率和为1计算得到答案.
（2）根据前5组的频率之和与前4组的频率之和得到，根据比例关系解得答案.
（3）各区间分别超出元，计算平均值得到答案.
【详解】（1），解得.
（2）前5组的频率之和为：；
前4组的频率之和为：；
故，，解得.
（3）区间在，，，内的个人所得税分别取作为代表.
则分别超出元，
则退税总数约为：
.
47．（2023春·江苏连云港·高一校考期末）从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示．观察图形，回答下列问题：

(1)估计该次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）；
(2)求89.5的百分位数．
(3)现从样本中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取5个人，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到两人的成绩不在同一组的概率．
【答案】(1)0.75
(2)第95百分位数
(3)0.6
【分析】（1）由频率分布直方图即可求解频率，
（2）计算频率即可求解，
（3）由列举法求解所有基本事件，即可由古典概型的计算公式求解.
【详解】（1）60分及以上的频率，
估计这次环保知识竞赛的及格率为．
（2）89.5分以下的频率，所以89.5的百分位数为第95百分位数，
（3），的频率之比为，所以从，的两组中抽取5个人，则5个人中来自的有 人，记为 则来自有3个人，记为,
所以5个人中随机抽取两人，所以抽取的结果有：,共有10种情况，
取到两人的成绩不在同一组的结果有有6种情况，
所以概率为
48．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）某校团委举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
【答案】(1)派乙参赛赢得比赛的概率更大
(2)
【分析】（1）记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，由表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”求解即可；
（2）记表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”由（1）知，，由表示“两人中至少有一个赢得比赛”，且求解即可.
【详解】（1）记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，
事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，
所以表示“甲赢得比赛”，，
表示“乙赢得比赛”，，
因为，所以派乙参赛赢得比赛的概率更大；
（2）记表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”
由（1）知，，
所以表示“两人中至少有一个赢得比赛”，
所以，
所以两人至少一人赢得比赛的概率为.
49．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．
(1)求甲未获得奖金的概率；
(2)求甲和乙最后所得奖金之和为900元的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率乘法公式分别求出获得一二等奖概率，再利用对立事件即可求出甲未获奖金的概率；
（2）根据最后奖金总和分析得甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，根据概率乘法和加法公式即可求解.
【详解】（1）获得二等奖的概率为，
获得一等奖的概率为，
所以甲未获得奖金的概率为．
（2）由（1）可知，获得二等奖的概率为0.14，获得一等奖的概率为0.035．
甲和乙最后所得奖金之和为900元，则甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，
则所求的概率为．
50．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）通信信号利用BEC信道传输，若BEC信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同．若BEC信道传输失败，则接收端收不到任何信号．传输技术有两种：一种是传统通信传输技术，采用多个信道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图1）．
另一种是华为公司5G信号现使用的土耳其通讯技术专家Erdal Arikan教授的发明的极化码技术（以两个信道为例，如图2）．传输规则如下，信号直接从信道2传输；信号在传输前先与“异或”运算得到信号，再从信道1传输．若信道1与信道2均成功输出，则两信号通过“异或”运算进行解码后，传至接收端，若信道1输出失败信道2输出成功，则接收端接收到信道2信号，若信道1输出成功信道2输出失败，则接收端对信号进行自身“异或”运算而解码后，传至接收端．
（注：定义“异或”运算：）．假设每个信道传输成功的概率均为．
(1)对于传统传输技术，求信号和中至少有一个传输成功的概率；
(2)对于Erdal Arikan教授的极化码技术；
①求接收端成功接收信号的概率；
②若接收端接收到信号才算成功完成一次任务，求利用极化码技术成功完成一次任务的概率．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式即可求得答案；
（2）先讨论信道1和信道2是否传输成功，计算对应的概率，即可求解
【详解】（1）设“信号和中至少有一个传输成功”为事件，“信号传输成功”为事件“信号传输成功”为事件
则
（2）若信道1和信道2都传输成功，
由可得被成功接收，概率为；
若信道1传输成功，信道2传输失败，
由可得被成功接收，接收失败，概率为；
若信道2传输成功，信道1传输失败，
可得被成功接收，接收失败，概率为；
若信道1，2都传输失败，
可得接收失败，概率为；
①接收端成功接收信号的概率为；
②接收端接收到信号的概率为
定义
符号表示
包含关系
若事件A发生，事件B一定发生，则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等
A＝B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
互斥事件
A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅且
P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)
＝1
0347
4373
8636
9647
3661
4698
6371
6297
7424
6292
4281
1457
2042
5332
3732
1676
男生一周阅读时间频数分布表
小时
频数
9
25
3
3
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
昆明
9.3
12.4
16.5
19
21.6
21.5
21.3
21.2
20.4
16.8
12.4
10.5
郑州
2.9
8.7
11.9
16.5
23.6
28.9
28.6
26.7
23.1
15.2
11.3
5.7
学生学号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学成绩
140
136
136
135
134
133
128
127
124
语文成绩
102
110
111
126
102
134
97
95
98