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高中1.2 集合间的基本关系随堂练习题
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这是一份高中1.2 集合间的基本关系随堂练习题，文件包含专题12集合的基本关系7类必考点人教A版2019必修第一册原卷版docx、专题12集合的基本关系7类必考点人教A版2019必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc10965" 【考点1：集合的子集】 PAGEREF _Tc10965 \h 1
\l "_Tc7406" 【考点2：集合的真子集】3
\l "_Tc2922" 【考点3：集合包含关系的判断】4
\l "_Tc15766" 【考点4：集合子集的个数】 PAGEREF _Tc15766 \h 8
\l "_Tc91" 【考点5：集合真子集的个数】 PAGEREF _Tc91 \h 9
\l "_Tc17368" 【考点6：空集】 PAGEREF _Tc17368 \h 10
\l "_Tc3890" 【考点7：集合关系中的参数取值问题】 PAGEREF _Tc3890 \h 13
【考点1：集合的子集】
【知识点：子集】
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A是集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A．
1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合M满足2,3⊆M⊆1,2,3,4,5，那么这样的集合M的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.
【详解】因为2,3⊆M⊆1,2,3,4,5，
所以集合M可以为：2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5，
1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5共8个，
故选：C.
2．（2023·全国·高一假期作业）已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，若a∈M，则6-a∈M，那么集合M的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】由条件知集合M的元素性质,分类讨论验证即可.
【详解】∵a∈M，6-a∈M，M⊆{1，2，3，4，5}，∴3在M中可单独出现，1和5，2和4必须成对出现，逐个分析集合M元素个数：
一个元素时，为{3}；
两个元素时，为{1，5}，{2，4}；
三个元素时，为{3，1，5}，{3，2，4}；
四个元素时，为{1，5，2，4}；
五个元素时，为{1，5，3，2，4}，共7个.
故选：C
3．（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）写出集合{1,2}的所有子集 ．
【答案】∅，1，2，1,2
【分析】根据子集的概念进行求解即可
【详解】集合1,2的所有子集有∅，1，2，1,2.
故答案为：∅，1，2，1,2
4．（2022秋·高一校考课时练习）若A={1,2},B={xx⊆A}，则B= .
【答案】∅,{1},{2},{1,2}
【分析】由题意可知B是由A集合的子集构成的集合，利用列举法写出集合B即可.
【详解】因为A={1,2},B={xx⊆A}，
所以集合B中的元素是集合A的子集：∅,{1},{2},{1,2}，
则集合B=∅,{1},{2},{1,2}.
故答案为：∅,{1},{2},{1,2}.
5．（2022秋·西藏拉萨·高一校考期中）已知集合A=1，集合B=x∈Nx<3，则满足关系A⊆P⊆B的所有集合P为 .
【答案】1，0,1，1,2，0,1,2,
【分析】根据子集概念求解即可,
【详解】因为B=x∈Nx<3=0,1,2，A⊆P⊆B，
所以集合P为1，0,1，1,2，0,1,2,
故答案为：1，0,1，1,2，0,1,2
6．（2023·高一单元测试）已知非空集合A⊆0,5,−7，且A中至多有一个奇数，则这样的集合共有 个．
【答案】5.
【分析】列举出满足条件的集合即可得答案.
【详解】若A中没有奇数，则A=0，共1个；
若A中有一个奇数，A可能为：5，0,5，−7，0,−7，共4种可能性.
则满足条件的集合有5个.
故答案为：5.
【考点2：集合的真子集】
【知识点：真子集】
集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A是集合B的真子集，记作A⫋B．
1．（2023·全国·高三对口高考）若集合A满足{1,2}⊆A{1,2,3,4,5}，则集合A所有可能的情形有（ ）
A．3种B．5种C．7种D．9种
【答案】C
【分析】由集合的包含关系讨论A所含元素的可能性即可.
【详解】由{1,2}⊆A{1,2,3,4,5}，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素，
依次有以下可能：1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5七种可能.
故选：C
2．（多选）（2022秋·山东泰安·高一统考期中）已知集合A满足A1,2,3,4,5，则A可以是（ ）
A．∅B．0,1,2,3C．2,3,4,5D．1,2,3,4,5
【答案】AC
【分析】根据真子集的定义直接判断即可.
【详解】因为A1,2,3,4,5，
所以集合A可以是∅、2,3,4,5，不能是0,1,2,3、1,2,3,4,5.
故选：AC
3．（2022秋·北京西城·高一北京市第三十五中学校考阶段练习）1,2E0,1,2,3,4，这样的E共有 个.
【答案】6
【分析】根据真子集的概念写出所有真子集即可得解.
【详解】由真子集的定义可知，E可取{1,2,0}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,0,3}，{1,2,0,4}，{1,2,3,4}，共6个.
故答案为：6
4．（2022秋·广西桂林·高一校考阶段练习）求集合A={x|x2−x−2=0}的子集和真子集.
【答案】子集是∅，−1，2，{−1，2}，真子集是∅，−1，2
【分析】根据二次方程的解法可得A={−1,2}，根据子集和真子集的定义求解即可
【详解】集合A=xx2−x−2=0={−1,2}，
集合A={−1，2}的子集是∅，−1，2，{−1，2}，共4个；
集合A={−1，2}的真子集是∅，−1，2，共3个.
5．（2022秋·河北邯郸·高一校考阶段练习）已知集合A＝{a﹣2，2a2+5a}，且﹣3∈A．
(1)求a；
(2)写出集合A的所有真子集．
【答案】(1)a=−32 ；(2)∅，−72，{﹣3} ．
【分析】（1）由题意知a﹣2＝﹣3或2a2+5a＝﹣3，分类讨论并检验即可求得a=−32；（2）由真子集的定义直接写出即可．
（1）∵A＝{a﹣2，2a2+5a}，且﹣3∈A，
∴a﹣2＝﹣3或2a2+5a＝﹣3，
①若a﹣2＝﹣3，a＝﹣1，2a2+5a＝﹣3，故不成立，
②若2a2+5a＝﹣3，a＝﹣1或a=−32，
由①知a＝﹣1不成立，
若a=−32，a﹣2=−72，2a2+5a＝﹣3，成立，
故a=−32；
（2）∵A=−72，−3，
∴A的真子集有∅，−72 ，{﹣3}．
【考点3：集合包含关系的判断】
1．（2023·江苏·高一假期作业）设集合M=1,2,3，N=1，则下列关系正确的是（ ）
A．N∈MB．N∉M
C．N⊇MD．N⊆M
【答案】D
【分析】根据集合与集合间的关系可得出结论.
【详解】因为M=1,2,3，N=1，则N⊆M.
故选：D.
2．（2023·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（ ）
A．{(a,b)}⊆{a,b}B．{0,2}⊆ZC．∅⊆{0}D．{0,1}⊆{1,0}
【答案】A
【分析】根据集合与集合的关系判断即可.
【详解】对于A：集合{(a,b)}为点集，含有元素a,b，集合{a,b}含有两个元素a，b，
所以{(a,b)}不包含于{a,b}，故A错误；
对于B：{0,2}⊆Z，故B正确；
对于C：∅⊆{0}，故C正确；
对于D：因为{0,1}={1,0}，所以{0,1}⊆{1,0}，故D正确；
故选：A
3．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）已知集合M={x∣x=3k−2,k∈Z}，集合N={x∣x=6k+1,k∈Z}，则（ ）
A．M=NB．M⊆N
C．N⊆MD．M∩N=∅
【答案】C
【分析】利用集合之间的基本关系来判断.
【详解】对于集合N中的元素都有x=32k+1−2，其中2k+1表示奇数，
对于集合M中的k能取所有的整数，集合N和集合M相比较，集合N少了代入偶数时所对应的x值，所以N⊆M，
故选：C.
4．（多选）（2023·高一单元测试）集合M=x|x=13+n6,n∈Z，N=x|x=16+n3,n∈Z，则下列关系错误的是（ ）
A．M⊆NB．M=N
C．N⊆MD．MN
【答案】ABD
【分析】将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系.
【详解】因为M=x|x=n+26,n∈Z，N=x|x=2n+16,n∈Z
n+2表示整数，2n+1表示奇数，
故N⊆M，故选项A、B、D错误，选项C正确，
故选：ABD.
5．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合A={x|−3≤x≤4},B={x|1【答案】m≤4.
【分析】根据集合间的包含关系，分m≤1和m>1，两种情况讨论，即可求解.
【详解】由集合B={x|1若m≤1时，可得B=∅，此时满足B⊆A；
若m>1时，要是得到B⊆A，则满足m>1m≤4，解得1综上可得，实数m的取值范围是m≤4.
故答案为m≤4.
6．（2023·高一校考课时练习）设M=xx2−2x−3=0,N=xax−1=0，若N⊆M，求所有满足条件的a的集合.
【答案】−1,0,13
【分析】先求出M，再就a=0,a≠0分类求出N，根据N⊆M即可求a的取值集合.
【详解】因为M=xx2−2x−3=0=xx+1x−3=0=−1,3，N=xax−1=0，
若a=0，则N=∅，此时满足N⊆M；
若a≠0，则N=1a，因为N⊆M，故1a=−1或1a=3，解得a=−1或a=13，
所以a的取值集合为−1,0,13.
7．（2023·全国·高一假期作业）已知集合A={x|−2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m−1}.
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；
(2)若A⊆B，求实数m的取值范围.
【答案】(1){m|m≤3}
(2)不存在
【分析】（1）根据题意，分B=∅和B≠∅两种情况讨论，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，结合A⊆B，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：①当B=∅时，即m+1>2m−1，解得m<2，此时满足B⊆A；
②当B≠∅时，要使得B⊆A，
则满足m+1≥−22m−1≤52m−1≥m+1，解得2≤m≤3，
综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}.
（2）解：由题意，要使得A⊆B，则满足m+1≤−22m−1≥52m−1≥m+1，此时不等式组无解，
所以实数m不存在，即不存在实数m使得A⊆B.
8．（2023·江苏·高一假期作业）指出下列各对集合之间的关系.
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|－1(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}；
(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}.
【答案】(1)无包含关系
(2)A⊂≠B
(3)A⊂≠B
(4)N⊂≠M
(5)A＝B
【分析】（1）由集合A和集合B的代表元素判断；
（2）利用数轴求解判断；
（3）由等边三角形和等腰三角形的关系判断；
（4）由n∈N*判断；
（5）由任意k∈Z是否符合集合元素的公共属性判断.
【详解】（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
（2）集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A⊊B.
（3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A⊊B.
（4）两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N⊊M.
（5）A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意k∈Z，k＝2×(－k)＋3k∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z，
因为任意k∈Z，k＝4k－3k∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z.
【考点4：集合子集的个数】
【知识点：子集的个数】
集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集.
1．（2023春·广东广州·高二广州市白云中学校考期中）一个集合有5个元素，这个集合的子集个数共有（ ）
A．16B．31C．32D．64
【答案】C
【分析】利用集合子集个数的公式计算作答.
【详解】有5个元素的集合的子集个数为25=32.
故选：C
2．（2023·江苏南京·统考二模）集合A=x∈N1A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】确定A=2,3，再计算子集个数得到答案.
【详解】A=x∈N1故选：B
3．（2023·江苏苏州·高一统考开学考试）由英文单词“bk”中的字母构成的集合的子集个数为（ ）
A．3B．6C．8D．16
【答案】C
【分析】首先写出该集合，即可判断集合的元素个数，根据含有n个元素的集合的子集个数为2n个计算可得.
【详解】解：由英文单词“bk”中的字母构成的集合为b,,k，集合中含有3个元素，
所以该集合的子集为23=8个.
故选：C
4．（2023·全国·高一专题练习）集合A=xx−7<0,x∈N∗，则B={y|6y∈N∗ , y∈A}的子集的个数为（ ）
A．4B．8C．15D．16
【答案】D
【分析】先求出A，再找出A中6的正约数，可确定集合B，进而得到答案．
【详解】集合A={x|x−7<0，x∈N∗}=x|x<7,x∈N∗={1,2,3,4,5,6,
B={y|6y∈N∗,y∈A}=1,2,3,6，
故B有24=16个子集.
故选：D．
5．（2023·全国·高一假期作业）集合A={x|x(x−2)=0}，则集合A的子集的个数为 .
【答案】4
【分析】根据题意求得集合A={0,2}，结合集合中子集的定义，即可求解.
【详解】由方程x(x−2)=0，解得x=0或x=2，即集合A={0,2}，
所以集合A的子集为∅,{0},{2},{0,2}，共有4个子集.
故答案为：4.
【考点5：集合真子集的个数】
【知识点：真子集的个数】
集合A中有n个元素，则集合A有2n-1个真子集.
1．（2023·重庆·校联考三模）数集1,2,3,4,5的非空真子集个数为（ ）
A．32B．31C．30D．29
【答案】C
【分析】利用集合中含有n个元素，则它的非空真子集个数为2n−2即可求解.
【详解】因为集合1,2,3,4,5中含有5个元素，
所以集合1,2,3,4,5的非空真子集个数为25−2=30.
故选：C
2．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知集合A=x−1A．8B．7C．6D．5
【答案】B
【分析】先求出集合A中包含的元素个数，再求真子集个数.
【详解】集合A=x−1所以集合A的真子集个数为：23−1=7.
故选：B.
3．（2023·河南开封·统考三模）已知集合A=−1,0,1，B=xx=ab,a,b∈A，则集合B的真子集个数是（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】C
【分析】根据题意得到集合B，然后根据集合B中元素的个数求集合B的真子集个数即可.
【详解】由题意得B=−1,0,1，所以集合B的真子集个数为23−1=7.
故选：C.
4．（2022秋·高一课时练习）设集合M=x|x∈A，且x∉B}，若A={1,3,5,6,7}，B={2,3,5}，则集合M的非空真子集的个数为（ ）
A．4B．6C．7D．15
【答案】B
【分析】求得集合M，即可求得结果.
【详解】根据题意知，集合M={x∣x∈A且x∉B}={1,6,7}，其非空真子集的个数为23−2=6.
故选：B
5．（2022秋·江西·高一校联考阶段练习）已知集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，则满足ABC的集合B的个数为（ ）
A．32B．31C．30D．5
【答案】C
【分析】由题意，集合B的个数可以看成由5个元素构成的集合的非空真子集的个数，从而可得出答案.
【详解】解：因为集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，且ABC，
所以集合B的个数可以看成由5个元素构成的集合的非空真子集的个数，
有25−2=30个，
所以集合B的个数为30.
故选：C.
【考点6：空集】
【知识点：空集】
不含任何元素的集合叫空集.
1．（多选）（2022秋·山东青岛·高一校考阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．集合1,2,4,5有16个真子集B．对于任意集合A，∅⊆A
C．任何集合都有子集，但不一定有真子集D．若∅A，则A≠∅
【答案】BCD
【分析】根据集合的真子集个数公式判断A；利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判断B、C、D.
【详解】集合1,2,4,5有4个元素，故其有24−1=15个真子集，故A错误；
空集是任何集合的子集，则∅⊆A，故B正确；
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正确；
空集是任何非空集合的真子集，若∅A，则A≠∅，故D正确.
故选：BCD.
2．（2022秋·天津和平·高一天津市汇文中学校考阶段练习）下列四个说法中，正确的有（ ）
①空集没有子集；
②空集是任何集合的真子集；
③若∅⊆A，则A=∅；
④任何集合至少有两个子集．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【分析】根据空集的性质判断即可.
【详解】①空集是任何集合的子集，所以①错；
②空集是任何非空集合的真子集，所以②错；
③空集是任何集合的子集，集合A不一定等于空集，所以③错；
④空集只有自己本身一个子集，所以④错.
故选：A.
3．（2023·全国·高一假期作业）已知六个关系式①∅∈{∅}；②∅⊂≠{∅}；③{0}⊃≠∅；④0∉∅；⑤∅={0}；⑥∅≠{∅}，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.
【详解】根据元素与集合、集合与集合关系：
∅是{∅}的一个元素，故∅∈{∅}，①正确；
∅是任何非空集合的真子集，故∅⊂≠{∅}、{0}⊃≠∅，②③正确；
∅没有元素，故0∉∅，④正确；且∅≠{0}、∅≠{∅}，⑤错误，⑥正确；
所以①②③④⑥正确.
故选：C
4．（2022秋·湖南永州·高一校考阶段练习）若集合x∈Ra≤x≤2 为空集，则实数a的取值范围是 .
【答案】{aa>2或a<−2}
【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解.
【详解】因为集合x∈Ra≤x≤2为空集，所以a>2，即a>2或a<−2.
故答案为：{aa>2或a<−2}
5．（2023·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）关于x的不等式组x≥2x≤3a+1的解集为∅，则实数a的取值范围为 ．
【答案】a<13
【分析】由题意得2>3a+1，解不等式即可得出答案.
【详解】由题意得：2>3a+1，所以a<13．
故答案为：a<13.
6．（2022秋·黑龙江大庆·高一大庆二中校考阶段练习）已知集合A={x∈R|mx2−2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)A=∅；
(2)A恰有一个元素.
【答案】(1)1,+∞
(2)0,1
【分析】1若A=∅，则关于x的方程mx2−2x+1=0没有实数解，则m≠0，且Δ=4−4m<0，由此能求出实数m的取值范围．
2若A恰有一个元素，所以关于x的方程mx2−2x+1=0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．
【详解】（1）若A=∅，则关于x的方程mx2−2x+1=0没有实数解，
则m≠0，且Δ=4−4m<0，
所以m>1，实数m的取值范围是1,+∞；
（2）若A恰有一个元素，
所以关于x的方程mx2−2x+1=0恰有一个实数解，
讨论：①当m=0时，x=12，满足题意；
②当m≠0时，Δ=4−4m=0，所以m=1．
综上所述，m的取值范围为0,1．
【考点7：集合关系中的参数取值问题】
1．（2023·全国·统考高考真题）设集合A=0,−a，B=1,a−2,2a−2，若A⊆B，则a=（ ）．
A．2B．1C．23D．−1
【答案】B
【分析】根据包含关系分a−2=0和2a−2=0两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为A⊆B，则有：
若a−2=0，解得a=2，此时A=0,−2，B=1,0,2，不符合题意；
若2a−2=0，解得a=1，此时A=0,−1，B=1,−1,0，符合题意；
综上所述：a=1.
故选：B.
2．（2023·高一校考课时练习）设M=xx2−2x−3=0,N=xax−1=0，若N⊆M，求所有满足条件的a的集合.
【答案】−1,0,13
【分析】先求出M，再就a=0,a≠0分类求出N，根据N⊆M即可求a的取值集合.
【详解】因为M=xx2−2x−3=0=xx+1x−3=0=−1,3，N=xax−1=0，
若a=0，则N=∅，此时满足N⊆M；
若a≠0，则N=1a，因为N⊆M，故1a=−1或1a=3，解得a=−1或a=13，
所以a的取值集合为−1,0,13.
3．（2023·江苏·高一假期作业）由三个数a，ba ，1组成的集合与由a2，a+b，0组成的集合相等，求a2022+b2022的值．
【答案】1
【分析】由题意可得a2=1a+b=aba=0或a2=aa+b=1ba=0，从而可求出a,b的值，再检验3个数是否能组成集合，然后代入a2022+b2022计算即可.
【详解】由a，ba，1组成一个集合，可知a≠0且a≠1，a≠b，
由题意可得a2=1a+b=aba=0或a2=aa+b=1ba=0，综上可得a=−1b=0，
当a=−1b=0时，三个数为−1,0,1，可以组成一个集合，符合题意，
所以a2022+b2022=(−1)2022+02022=1.
4．（2023·全国·高一假期作业）已知集合A=x|x<1,B=x|x(1)若A=B，则实数a的值是多少?
(2)若A⊆B，则实数a的取值范围是多少?
(3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少?
【答案】(1)a=1
(2)a|a≥1
(3)a|a<1
【分析】利用集合相等的性质及集合的包含关系，结合数轴法求解即可.
【详解】（1）因为集合A=x|x<1,B=x|x所以a=1.
（2）因为A⊆B，如图，
由图可知a≥1，即实数a的取值范围是a|a≥1.
（3）因为B⫋A，如图，
由图可知a<1，即实数a的取值范围是a|a<1.
5．（2022秋·河南开封·高一校考期末）设集合A=xx2−1=0，B={x|x2−ax+b=0}，且B≠∅．
(1)若A⊆B，求实数a,b的值；
(2)若A⊆C，且C=−1,2m+1,m2，求实数m的值．
【答案】(1)a=0，b=−1
(2)m=0或1
【分析】（1）先化简集合A，再利用集合交集的定义求解即可；
（2）利用集合交集的定义结合集合元素的互异性求解即可.
【详解】（1）由x2−1=0解得x=±1，所以A={1,−1}，
因为A⊆B，所以1,−1是集合B中元素，
所以将x=±1代入x2−ax+b=0得1−a+b=01+a+b=0，解得a=0，b=−1.
（2）因为A⊆C，由（1）得1,−1是集合C中元素，
当2m+1=1即m=0时，此时C={−1,1,0}符合题意；
当m2=1时，①m=1，此时C={−1,3,1}符合题意；
②m=−1，此时不满足集合元素的互异性，舍去；
综上m=0或1.
6．（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）集合A={x|(a−1)x2−2x+3=0}．
(1)若A是∅，求实数a的取值范围
(2)是否存在这样的实数a，使得集合A有且仅有两个子集，若存在，求出实数a及对应的子集，若不存在，说明理由．
【答案】(1)a>43
(2)当a=1时，对应的两个子集为∅和32；当a=43时，对应的两个子集为∅和3.
【分析】（1）若A=∅，对应的方程没有实数根，可求实数a的取值范围；
（2）要使集合A有且仅有两个子集，集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根，可求实数a的值．
【详解】（1）若A=∅，方程(a−1)x2−2x+3=0没有实数根，当a=1时，方程有实数根不合题意；则a≠1，二次方程没有实数根，Δ=4−12a−1<0，解得a>43.
所以实数a的取值范围为a>43
（2）要使集合A有且仅有两个子集，则集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根，
当a=1时，方程化为−2x+3=0，解得x=32，此时A=32，对应的两个子集为∅和32；
当a≠1，二次方程(a−1)x2−2x+3=0只有一个实根，Δ=4−12a−1=0，解得a=43，此时A=x13x2−2x+3=0=xx2−6x+9=0=3，对应的两个子集为∅和3.
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\l "_Tc10965" 【考点1：集合的子集】 PAGEREF _Tc10965 \h 1
\l "_Tc7406" 【考点2：集合的真子集】3
\l "_Tc2922" 【考点3：集合包含关系的判断】4
\l "_Tc15766" 【考点4：集合子集的个数】 PAGEREF _Tc15766 \h 8
\l "_Tc91" 【考点5：集合真子集的个数】 PAGEREF _Tc91 \h 9
\l "_Tc17368" 【考点6：空集】 PAGEREF _Tc17368 \h 10
\l "_Tc3890" 【考点7：集合关系中的参数取值问题】 PAGEREF _Tc3890 \h 13
【考点1：集合的子集】
【知识点：子集】
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A是集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A．
1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合M满足2,3⊆M⊆1,2,3,4,5，那么这样的集合M的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.
【详解】因为2,3⊆M⊆1,2,3,4,5，
所以集合M可以为：2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5，
1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5共8个，
故选：C.
2．（2023·全国·高一假期作业）已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，若a∈M，则6-a∈M，那么集合M的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】由条件知集合M的元素性质,分类讨论验证即可.
【详解】∵a∈M，6-a∈M，M⊆{1，2，3，4，5}，∴3在M中可单独出现，1和5，2和4必须成对出现，逐个分析集合M元素个数：
一个元素时，为{3}；
两个元素时，为{1，5}，{2，4}；
三个元素时，为{3，1，5}，{3，2，4}；
四个元素时，为{1，5，2，4}；
五个元素时，为{1，5，3，2，4}，共7个.
故选：C
3．（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）写出集合{1,2}的所有子集 ．
【答案】∅，1，2，1,2
【分析】根据子集的概念进行求解即可
【详解】集合1,2的所有子集有∅，1，2，1,2.
故答案为：∅，1，2，1,2
4．（2022秋·高一校考课时练习）若A={1,2},B={xx⊆A}，则B= .
【答案】∅,{1},{2},{1,2}
【分析】由题意可知B是由A集合的子集构成的集合，利用列举法写出集合B即可.
【详解】因为A={1,2},B={xx⊆A}，
所以集合B中的元素是集合A的子集：∅,{1},{2},{1,2}，
则集合B=∅,{1},{2},{1,2}.
故答案为：∅,{1},{2},{1,2}.
5．（2022秋·西藏拉萨·高一校考期中）已知集合A=1，集合B=x∈Nx<3，则满足关系A⊆P⊆B的所有集合P为 .
【答案】1，0,1，1,2，0,1,2,
【分析】根据子集概念求解即可,
【详解】因为B=x∈Nx<3=0,1,2，A⊆P⊆B，
所以集合P为1，0,1，1,2，0,1,2,
故答案为：1，0,1，1,2，0,1,2
6．（2023·高一单元测试）已知非空集合A⊆0,5,−7，且A中至多有一个奇数，则这样的集合共有 个．
【答案】5.
【分析】列举出满足条件的集合即可得答案.
【详解】若A中没有奇数，则A=0，共1个；
若A中有一个奇数，A可能为：5，0,5，−7，0,−7，共4种可能性.
则满足条件的集合有5个.
故答案为：5.
【考点2：集合的真子集】
【知识点：真子集】
集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A是集合B的真子集，记作A⫋B．
1．（2023·全国·高三对口高考）若集合A满足{1,2}⊆A{1,2,3,4,5}，则集合A所有可能的情形有（ ）
A．3种B．5种C．7种D．9种
【答案】C
【分析】由集合的包含关系讨论A所含元素的可能性即可.
【详解】由{1,2}⊆A{1,2,3,4,5}，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素，
依次有以下可能：1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5七种可能.
故选：C
2．（多选）（2022秋·山东泰安·高一统考期中）已知集合A满足A1,2,3,4,5，则A可以是（ ）
A．∅B．0,1,2,3C．2,3,4,5D．1,2,3,4,5
【答案】AC
【分析】根据真子集的定义直接判断即可.
【详解】因为A1,2,3,4,5，
所以集合A可以是∅、2,3,4,5，不能是0,1,2,3、1,2,3,4,5.
故选：AC
3．（2022秋·北京西城·高一北京市第三十五中学校考阶段练习）1,2E0,1,2,3,4，这样的E共有 个.
【答案】6
【分析】根据真子集的概念写出所有真子集即可得解.
【详解】由真子集的定义可知，E可取{1,2,0}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,0,3}，{1,2,0,4}，{1,2,3,4}，共6个.
故答案为：6
4．（2022秋·广西桂林·高一校考阶段练习）求集合A={x|x2−x−2=0}的子集和真子集.
【答案】子集是∅，−1，2，{−1，2}，真子集是∅，−1，2
【分析】根据二次方程的解法可得A={−1,2}，根据子集和真子集的定义求解即可
【详解】集合A=xx2−x−2=0={−1,2}，
集合A={−1，2}的子集是∅，−1，2，{−1，2}，共4个；
集合A={−1，2}的真子集是∅，−1，2，共3个.
5．（2022秋·河北邯郸·高一校考阶段练习）已知集合A＝{a﹣2，2a2+5a}，且﹣3∈A．
(1)求a；
(2)写出集合A的所有真子集．
【答案】(1)a=−32 ；(2)∅，−72，{﹣3} ．
【分析】（1）由题意知a﹣2＝﹣3或2a2+5a＝﹣3，分类讨论并检验即可求得a=−32；（2）由真子集的定义直接写出即可．
（1）∵A＝{a﹣2，2a2+5a}，且﹣3∈A，
∴a﹣2＝﹣3或2a2+5a＝﹣3，
①若a﹣2＝﹣3，a＝﹣1，2a2+5a＝﹣3，故不成立，
②若2a2+5a＝﹣3，a＝﹣1或a=−32，
由①知a＝﹣1不成立，
若a=−32，a﹣2=−72，2a2+5a＝﹣3，成立，
故a=−32；
（2）∵A=−72，−3，
∴A的真子集有∅，−72 ，{﹣3}．
【考点3：集合包含关系的判断】
1．（2023·江苏·高一假期作业）设集合M=1,2,3，N=1，则下列关系正确的是（ ）
A．N∈MB．N∉M
C．N⊇MD．N⊆M
【答案】D
【分析】根据集合与集合间的关系可得出结论.
【详解】因为M=1,2,3，N=1，则N⊆M.
故选：D.
2．（2023·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（ ）
A．{(a,b)}⊆{a,b}B．{0,2}⊆ZC．∅⊆{0}D．{0,1}⊆{1,0}
【答案】A
【分析】根据集合与集合的关系判断即可.
【详解】对于A：集合{(a,b)}为点集，含有元素a,b，集合{a,b}含有两个元素a，b，
所以{(a,b)}不包含于{a,b}，故A错误；
对于B：{0,2}⊆Z，故B正确；
对于C：∅⊆{0}，故C正确；
对于D：因为{0,1}={1,0}，所以{0,1}⊆{1,0}，故D正确；
故选：A
3．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）已知集合M={x∣x=3k−2,k∈Z}，集合N={x∣x=6k+1,k∈Z}，则（ ）
A．M=NB．M⊆N
C．N⊆MD．M∩N=∅
【答案】C
【分析】利用集合之间的基本关系来判断.
【详解】对于集合N中的元素都有x=32k+1−2，其中2k+1表示奇数，
对于集合M中的k能取所有的整数，集合N和集合M相比较，集合N少了代入偶数时所对应的x值，所以N⊆M，
故选：C.
4．（多选）（2023·高一单元测试）集合M=x|x=13+n6,n∈Z，N=x|x=16+n3,n∈Z，则下列关系错误的是（ ）
A．M⊆NB．M=N
C．N⊆MD．MN
【答案】ABD
【分析】将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系.
【详解】因为M=x|x=n+26,n∈Z，N=x|x=2n+16,n∈Z
n+2表示整数，2n+1表示奇数，
故N⊆M，故选项A、B、D错误，选项C正确，
故选：ABD.
5．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合A={x|−3≤x≤4},B={x|1
【分析】根据集合间的包含关系，分m≤1和m>1，两种情况讨论，即可求解.
【详解】由集合B={x|1
若m>1时，要是得到B⊆A，则满足m>1m≤4，解得1
故答案为m≤4.
6．（2023·高一校考课时练习）设M=xx2−2x−3=0,N=xax−1=0，若N⊆M，求所有满足条件的a的集合.
【答案】−1,0,13
【分析】先求出M，再就a=0,a≠0分类求出N，根据N⊆M即可求a的取值集合.
【详解】因为M=xx2−2x−3=0=xx+1x−3=0=−1,3，N=xax−1=0，
若a=0，则N=∅，此时满足N⊆M；
若a≠0，则N=1a，因为N⊆M，故1a=−1或1a=3，解得a=−1或a=13，
所以a的取值集合为−1,0,13.
7．（2023·全国·高一假期作业）已知集合A={x|−2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m−1}.
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；
(2)若A⊆B，求实数m的取值范围.
【答案】(1){m|m≤3}
(2)不存在
【分析】（1）根据题意，分B=∅和B≠∅两种情况讨论，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，结合A⊆B，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：①当B=∅时，即m+1>2m−1，解得m<2，此时满足B⊆A；
②当B≠∅时，要使得B⊆A，
则满足m+1≥−22m−1≤52m−1≥m+1，解得2≤m≤3，
综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}.
（2）解：由题意，要使得A⊆B，则满足m+1≤−22m−1≥52m−1≥m+1，此时不等式组无解，
所以实数m不存在，即不存在实数m使得A⊆B.
8．（2023·江苏·高一假期作业）指出下列各对集合之间的关系.
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|－1
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}；
(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}.
【答案】(1)无包含关系
(2)A⊂≠B
(3)A⊂≠B
(4)N⊂≠M
(5)A＝B
【分析】（1）由集合A和集合B的代表元素判断；
（2）利用数轴求解判断；
（3）由等边三角形和等腰三角形的关系判断；
（4）由n∈N*判断；
（5）由任意k∈Z是否符合集合元素的公共属性判断.
【详解】（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
（2）集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A⊊B.
（3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A⊊B.
（4）两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N⊊M.
（5）A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意k∈Z，k＝2×(－k)＋3k∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z，
因为任意k∈Z，k＝4k－3k∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z.
【考点4：集合子集的个数】
【知识点：子集的个数】
集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集.
1．（2023春·广东广州·高二广州市白云中学校考期中）一个集合有5个元素，这个集合的子集个数共有（ ）
A．16B．31C．32D．64
【答案】C
【分析】利用集合子集个数的公式计算作答.
【详解】有5个元素的集合的子集个数为25=32.
故选：C
2．（2023·江苏南京·统考二模）集合A=x∈N1
【答案】B
【分析】确定A=2,3，再计算子集个数得到答案.
【详解】A=x∈N1
3．（2023·江苏苏州·高一统考开学考试）由英文单词“bk”中的字母构成的集合的子集个数为（ ）
A．3B．6C．8D．16
【答案】C
【分析】首先写出该集合，即可判断集合的元素个数，根据含有n个元素的集合的子集个数为2n个计算可得.
【详解】解：由英文单词“bk”中的字母构成的集合为b,,k，集合中含有3个元素，
所以该集合的子集为23=8个.
故选：C
4．（2023·全国·高一专题练习）集合A=xx−7<0,x∈N∗，则B={y|6y∈N∗ , y∈A}的子集的个数为（ ）
A．4B．8C．15D．16
【答案】D
【分析】先求出A，再找出A中6的正约数，可确定集合B，进而得到答案．
【详解】集合A={x|x−7<0，x∈N∗}=x|x<7,x∈N∗={1,2,3,4,5,6,
B={y|6y∈N∗,y∈A}=1,2,3,6，
故B有24=16个子集.
故选：D．
5．（2023·全国·高一假期作业）集合A={x|x(x−2)=0}，则集合A的子集的个数为 .
【答案】4
【分析】根据题意求得集合A={0,2}，结合集合中子集的定义，即可求解.
【详解】由方程x(x−2)=0，解得x=0或x=2，即集合A={0,2}，
所以集合A的子集为∅,{0},{2},{0,2}，共有4个子集.
故答案为：4.
【考点5：集合真子集的个数】
【知识点：真子集的个数】
集合A中有n个元素，则集合A有2n-1个真子集.
1．（2023·重庆·校联考三模）数集1,2,3,4,5的非空真子集个数为（ ）
A．32B．31C．30D．29
【答案】C
【分析】利用集合中含有n个元素，则它的非空真子集个数为2n−2即可求解.
【详解】因为集合1,2,3,4,5中含有5个元素，
所以集合1,2,3,4,5的非空真子集个数为25−2=30.
故选：C
2．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知集合A=x−1
【答案】B
【分析】先求出集合A中包含的元素个数，再求真子集个数.
【详解】集合A=x−1
故选：B.
3．（2023·河南开封·统考三模）已知集合A=−1,0,1，B=xx=ab,a,b∈A，则集合B的真子集个数是（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】C
【分析】根据题意得到集合B，然后根据集合B中元素的个数求集合B的真子集个数即可.
【详解】由题意得B=−1,0,1，所以集合B的真子集个数为23−1=7.
故选：C.
4．（2022秋·高一课时练习）设集合M=x|x∈A，且x∉B}，若A={1,3,5,6,7}，B={2,3,5}，则集合M的非空真子集的个数为（ ）
A．4B．6C．7D．15
【答案】B
【分析】求得集合M，即可求得结果.
【详解】根据题意知，集合M={x∣x∈A且x∉B}={1,6,7}，其非空真子集的个数为23−2=6.
故选：B
5．（2022秋·江西·高一校联考阶段练习）已知集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，则满足ABC的集合B的个数为（ ）
A．32B．31C．30D．5
【答案】C
【分析】由题意，集合B的个数可以看成由5个元素构成的集合的非空真子集的个数，从而可得出答案.
【详解】解：因为集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，且ABC，
所以集合B的个数可以看成由5个元素构成的集合的非空真子集的个数，
有25−2=30个，
所以集合B的个数为30.
故选：C.
【考点6：空集】
【知识点：空集】
不含任何元素的集合叫空集.
1．（多选）（2022秋·山东青岛·高一校考阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．集合1,2,4,5有16个真子集B．对于任意集合A，∅⊆A
C．任何集合都有子集，但不一定有真子集D．若∅A，则A≠∅
【答案】BCD
【分析】根据集合的真子集个数公式判断A；利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判断B、C、D.
【详解】集合1,2,4,5有4个元素，故其有24−1=15个真子集，故A错误；
空集是任何集合的子集，则∅⊆A，故B正确；
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正确；
空集是任何非空集合的真子集，若∅A，则A≠∅，故D正确.
故选：BCD.
2．（2022秋·天津和平·高一天津市汇文中学校考阶段练习）下列四个说法中，正确的有（ ）
①空集没有子集；
②空集是任何集合的真子集；
③若∅⊆A，则A=∅；
④任何集合至少有两个子集．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【分析】根据空集的性质判断即可.
【详解】①空集是任何集合的子集，所以①错；
②空集是任何非空集合的真子集，所以②错；
③空集是任何集合的子集，集合A不一定等于空集，所以③错；
④空集只有自己本身一个子集，所以④错.
故选：A.
3．（2023·全国·高一假期作业）已知六个关系式①∅∈{∅}；②∅⊂≠{∅}；③{0}⊃≠∅；④0∉∅；⑤∅={0}；⑥∅≠{∅}，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.
【详解】根据元素与集合、集合与集合关系：
∅是{∅}的一个元素，故∅∈{∅}，①正确；
∅是任何非空集合的真子集，故∅⊂≠{∅}、{0}⊃≠∅，②③正确；
∅没有元素，故0∉∅，④正确；且∅≠{0}、∅≠{∅}，⑤错误，⑥正确；
所以①②③④⑥正确.
故选：C
4．（2022秋·湖南永州·高一校考阶段练习）若集合x∈Ra≤x≤2 为空集，则实数a的取值范围是 .
【答案】{aa>2或a<−2}
【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解.
【详解】因为集合x∈Ra≤x≤2为空集，所以a>2，即a>2或a<−2.
故答案为：{aa>2或a<−2}
5．（2023·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）关于x的不等式组x≥2x≤3a+1的解集为∅，则实数a的取值范围为 ．
【答案】a<13
【分析】由题意得2>3a+1，解不等式即可得出答案.
【详解】由题意得：2>3a+1，所以a<13．
故答案为：a<13.
6．（2022秋·黑龙江大庆·高一大庆二中校考阶段练习）已知集合A={x∈R|mx2−2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)A=∅；
(2)A恰有一个元素.
【答案】(1)1,+∞
(2)0,1
【分析】1若A=∅，则关于x的方程mx2−2x+1=0没有实数解，则m≠0，且Δ=4−4m<0，由此能求出实数m的取值范围．
2若A恰有一个元素，所以关于x的方程mx2−2x+1=0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．
【详解】（1）若A=∅，则关于x的方程mx2−2x+1=0没有实数解，
则m≠0，且Δ=4−4m<0，
所以m>1，实数m的取值范围是1,+∞；
（2）若A恰有一个元素，
所以关于x的方程mx2−2x+1=0恰有一个实数解，
讨论：①当m=0时，x=12，满足题意；
②当m≠0时，Δ=4−4m=0，所以m=1．
综上所述，m的取值范围为0,1．
【考点7：集合关系中的参数取值问题】
1．（2023·全国·统考高考真题）设集合A=0,−a，B=1,a−2,2a−2，若A⊆B，则a=（ ）．
A．2B．1C．23D．−1
【答案】B
【分析】根据包含关系分a−2=0和2a−2=0两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为A⊆B，则有：
若a−2=0，解得a=2，此时A=0,−2，B=1,0,2，不符合题意；
若2a−2=0，解得a=1，此时A=0,−1，B=1,−1,0，符合题意；
综上所述：a=1.
故选：B.
2．（2023·高一校考课时练习）设M=xx2−2x−3=0,N=xax−1=0，若N⊆M，求所有满足条件的a的集合.
【答案】−1,0,13
【分析】先求出M，再就a=0,a≠0分类求出N，根据N⊆M即可求a的取值集合.
【详解】因为M=xx2−2x−3=0=xx+1x−3=0=−1,3，N=xax−1=0，
若a=0，则N=∅，此时满足N⊆M；
若a≠0，则N=1a，因为N⊆M，故1a=−1或1a=3，解得a=−1或a=13，
所以a的取值集合为−1,0,13.
3．（2023·江苏·高一假期作业）由三个数a，ba ，1组成的集合与由a2，a+b，0组成的集合相等，求a2022+b2022的值．
【答案】1
【分析】由题意可得a2=1a+b=aba=0或a2=aa+b=1ba=0，从而可求出a,b的值，再检验3个数是否能组成集合，然后代入a2022+b2022计算即可.
【详解】由a，ba，1组成一个集合，可知a≠0且a≠1，a≠b，
由题意可得a2=1a+b=aba=0或a2=aa+b=1ba=0，综上可得a=−1b=0，
当a=−1b=0时，三个数为−1,0,1，可以组成一个集合，符合题意，
所以a2022+b2022=(−1)2022+02022=1.
4．（2023·全国·高一假期作业）已知集合A=x|x<1,B=x|x
(2)若A⊆B，则实数a的取值范围是多少?
(3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少?
【答案】(1)a=1
(2)a|a≥1
(3)a|a<1
【分析】利用集合相等的性质及集合的包含关系，结合数轴法求解即可.
【详解】（1）因为集合A=x|x<1,B=x|x
（2）因为A⊆B，如图，
由图可知a≥1，即实数a的取值范围是a|a≥1.
（3）因为B⫋A，如图，
由图可知a<1，即实数a的取值范围是a|a<1.
5．（2022秋·河南开封·高一校考期末）设集合A=xx2−1=0，B={x|x2−ax+b=0}，且B≠∅．
(1)若A⊆B，求实数a,b的值；
(2)若A⊆C，且C=−1,2m+1,m2，求实数m的值．
【答案】(1)a=0，b=−1
(2)m=0或1
【分析】（1）先化简集合A，再利用集合交集的定义求解即可；
（2）利用集合交集的定义结合集合元素的互异性求解即可.
【详解】（1）由x2−1=0解得x=±1，所以A={1,−1}，
因为A⊆B，所以1,−1是集合B中元素，
所以将x=±1代入x2−ax+b=0得1−a+b=01+a+b=0，解得a=0，b=−1.
（2）因为A⊆C，由（1）得1,−1是集合C中元素，
当2m+1=1即m=0时，此时C={−1,1,0}符合题意；
当m2=1时，①m=1，此时C={−1,3,1}符合题意；
②m=−1，此时不满足集合元素的互异性，舍去；
综上m=0或1.
6．（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）集合A={x|(a−1)x2−2x+3=0}．
(1)若A是∅，求实数a的取值范围
(2)是否存在这样的实数a，使得集合A有且仅有两个子集，若存在，求出实数a及对应的子集，若不存在，说明理由．
【答案】(1)a>43
(2)当a=1时，对应的两个子集为∅和32；当a=43时，对应的两个子集为∅和3.
【分析】（1）若A=∅，对应的方程没有实数根，可求实数a的取值范围；
（2）要使集合A有且仅有两个子集，集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根，可求实数a的值．
【详解】（1）若A=∅，方程(a−1)x2−2x+3=0没有实数根，当a=1时，方程有实数根不合题意；则a≠1，二次方程没有实数根，Δ=4−12a−1<0，解得a>43.
所以实数a的取值范围为a>43
（2）要使集合A有且仅有两个子集，则集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根，
当a=1时，方程化为−2x+3=0，解得x=32，此时A=32，对应的两个子集为∅和32；
当a≠1，二次方程(a−1)x2−2x+3=0只有一个实根，Δ=4−12a−1=0，解得a=43，此时A=x13x2−2x+3=0=xx2−6x+9=0=3，对应的两个子集为∅和3.
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