导数与不等式恒成立（专题14）-高考数学25个必考点

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1．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意得：在上恒成立，整理可得：在上恒成立直接求解即可.
【详解】由题意可得：在上恒成立，整理可得：，
函数在上递减，所以，所以，
2．设为正实数，函数，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对函数进行求导，利用导数的正负性判断函数在上的单调性，根据函数在上单调性结合已知进行求解即可.
【详解】，因为，当时，所以有成立，因此函数在上单调递减，因此当时，恒成立，一定有成立，即，因为，所以有.
3．若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数研究函数在单调性，并计算，可得结果.
【详解】令，，则，令
若时，，若时，，所以可知函数在递减，在递增
所以，由对任意的实数恒成立，所以
4．已知，则“对任意，恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由，得，令，利用导数判断出单调性和最值，可得的范围，利用充分不必要条件的定义结合选项得出答案．
【详解】由，得，，令，则，则函数在上单调递增，，，若对任意，恒成立，则，由充分不必要条件的定义可知选项C符合，
5．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】不等式可化为，构造函数，然后利用导数求函数的最小值，使最小值大于零，可求出实数的取值范围
【详解】
依题意，，设，，易知在上单调递增，．
①当时，，，所以单调递增，则，即．
②当时，，可知存在，使得，单调递减，，所以存在，，故不成立．
综上所述，．
6．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不等式在上恒成立，即恒成立，构造，利用导数判断出函数的单调性，讲不等式化简为，构造，利用导数求出最值，可得实数的取值范围．
【详解】关于的不等式在上恒成立，则，
设，，在上递增，，设，，令，解得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
，，
7．已知，若当时，总有，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】化简可得，构造函数，由已知条件可知函数为减函数，即在恒成立，解不等式可得，即可求得的最大值.
【详解】由，可得，，则，即，化简可得：，设，，，，为减函数，则在恒成立，由，解得：，的最大值为.
8．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，由导数证明它是增函数，从而由复合函数性质得的单调性，化简不等式为，分离参数为在上恒成立，最后利用导数求得函数的最大值即得．
【详解】令，则在R上恒成立，所以在R上为增函数，又，所以函数是R上的增函数，又，都是R上的增函数，所以函数是R上的增函数.因为在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故，
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全对满分，对而不全得2分）．
9．已知不等式对任意的恒成立，则满足条件的整数的可能值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】
利用导数求得函数的最小值，可得出实数的取值范围，由此可得出合适的选项.
【详解】令，则.，当时，；当时，.所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
，.因此，满足条件的整数的可能值为、.
10．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值
B．有两个不同的零点
C．
D．若在上恒成立，则
【答案】ACD
【分析】
对求导，利用导函数的符号判断的单调性即可得极值，可判断选项A；由的单调性以及函数值的符号可判断选项B；利用得单调性以及函数值与的关系可判断选项C；分离可得，计算的最大值可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：函数定义域为，，令可得，
令可得，所以在单调递增，在单调递减，所以在时取得极大值，故选项A正确，对于选项B：令，可得，因此只有一个零点，故选项B不正确；对于选项C：显然，在单调递减，
可得，因为，即，故选项C正确；
对于选项D：由题意知：在上恒成立，令，则 ，因为，易知当时.，当时，，所以在时取得极大值也是最大值，所以，所以在上恒成立，则，故选项D正确.
11．已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．函数在时，取得极小值-1；
B．对于，恒成立；
C．若，则；
D．若对于恒成立，则a的最大值为．
【答案】BCD
【详解】因为，所以，
所以，所以不是函数的极值点，故A错；若，则，
所以函数在区间上单调递减；因此，故B正确；
令，则，因为在上恒成立，
所以在上恒成立，因此函数在上单调递减；
又，所以，即，所以，故C正确；
因为函数在上单调递减；所以时，函数也单调递减，
因此在上恒成立；在上恒成立，即a的最大值为，故D正确.
12．设函数，，给定下列命题，其中是正确命题的是（ ）
A．不等式的解集为
B．函数在单调递增，在单调递减
C．当时，恒成立，则
D．若函数有两个极值点，则实数
【答案】ACD
【分析】求出，从而可得，求出函数的导数，根据函数的单调性分别判断即可.
【详解】因为函数，定义域，所以，则，，对于A，，即，，即，故A正确；
对于B，，当时，，单调递增，故B错误；对于C，若时，总有恒成立，则，在上恒成立，即，令，则，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，故，故，，故成立.对于D，函数有两个极值点，则有两个零点，即，则，令，则，在递增，在单调递减，
，即，，故D正确.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．若对任意的实数，不等式恒成立，则正数k的取值范围是__________．
【答案】
【分析】
对给定不等式等价变形，构造函数借助其单调性转化成新函数最值即可得解.
【详解】
，，，令，，即在上单调递增，
则，令，，时，时，在上递增，在上递减，时，即，正数k的取值范围是.
14．定义在上的函数，若恒成立，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】
利用导数确定函数的单调性，根据单调性列出不等式，构造函数利用单调性解不等式即可.
【详解】因为，所以，易知且，所以单调递增，所以当时，，单调递增．又因为恒成立，所以需同时满足如下条件：（1）；（2）．因为，所以（1）成立；
对于（2），，设，则，因为，所以，则单调递增，而，所以．
15．已知函数（e为自然对数的底数，a为常数且），在定义域内单调递减，则a的取值范围__________．
【答案】
【分析】由在定义域内单调递减，可得在上恒成立，可转化为，令，再利用导数求此函数的最小值即可
【详解】
因为在内单调递减，所以在上恒成立，
即，得，所以．令，则，
所以在单调递减，在单调递增．所以，故a的取值范围是．
16．已知函数的图象在处的切线方程为，若恒成立，则实数的取值范围为 ____________.
【答案】
【分析】由切线方程求得值，不等式用分离参数，通过求函数的最值（范围）得出参数范围．
【详解】，由题意，，，不等式为，时不等式显然成立．时，设，，当时，，时，，在和上递减，在上递增．
时，，所以，，时，，显然，所以，，综上．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)在给定条件下求导，并求出在处的导数值即可得解；
(2)先求出的最小值，再分情况讨论即可得解.
【详解】
（1）当时，，求导得，，而，
所以在处的切线方程为，即；
（2）定义域为，则，
当时，令，可得，列表如下：
于是有，令，
①当时，即时，，则，不符合题意；
②当时，即时，对任意的恒成立，要使，必有，二次函数的对称轴为，则时，即，解得，从而有，所以实数的取值范围是.
18．已知（e为自然对数的底数）
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）设，若对任意，总存在．使得，求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）求出函数导数，判断出单调性，即可求出最值；
（Ⅱ）问题转化为，即在恒成立，分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可.
【详解】
（Ⅰ），，令，解得；令，解得，
在单调递增，在单调递减，；
（Ⅱ）对任意，总存在．使得等价于，
由（Ⅰ），则问题转化为在恒成立，化得，
令，则，当时，，得，在单调递增，，则，即，
故的取值范围为
19．已知函数.
（Ⅰ）求的单调递减区间；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（Ⅰ）单调递减区间为；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）求函数的导函数，求的区间即为所求减区间；（Ⅱ）化简不等式，变形为，即求，令，求的导函数判断的单调性求出最小值，可求出的范围.
【详解】
（Ⅰ）由题可知.令，得，从而，∴的单调递减区间为.
（Ⅱ）由可得，
即当时，恒成立.设则.令，则当时，.∴当时，单调递增，，则当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，∴.
20．已知函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）当时，恒成立，求的最大值．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）3.
【分析】
（Ⅰ）利用导数的几何意义列方程组，解方程组即可求解.
（Ⅱ）设：，， 将问题转化为，利用导数得出，使得在递减，上递增，进而可得，再由，得出，代入即可求解.
【详解】
解（Ⅰ）由已知：，依题意：解得：，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：， 即：
设：，， 原问题转化为
令，，∵，∴在上递增．
又因为 ，∴存在唯一零点，设为，
，，∴，
∴在递减，上递增，∴，∵，
∴，∴∴，∴
∴的最大值为3，
21．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，若关于x的不等式在上恒成立，求a的最小值.
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）2.
【分析】
（1）求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.
（2）由（1）可知，只需，令，构造函数，利用导数得出存在唯一的，使得，根据函数的单调性可得，从而可求解.
【详解】
（1）由题意得，
，由，得，函数在上单调递增；由，得，
函数在上单调递减，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可知，函数在上单调递增，上单调递减，.
又在上恒成立，， 即.令，则.
设，则.，故函数在上单调递增，
且，存在唯一的，使得.当时，；当时，，，解得.的最小值为2.
22．在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，称为双曲余弦函数．
（1）若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值；
（2）若，存在，，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论．
【答案】（1）4；（2）答案见解析.
【分析】
（1）由已知可得，然后利用基本不等求解即可；
（2）由条件知，然后利用导数求得，利用二次函数的性质求得，所以可得，构造函数，再利用导数判断其单调性，进而可比较出与的大小
【详解】
:
解：（1），
∴2cℎ2x−1≥m⋅cℎx−3，即．，当且仅当，即时，等号成立．实数的最大值为．
（2）由条件知
当时，在上单调递增，，即．
令，则，，
，即．设，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
至多有两个零点，而，当时，，
当时，，，当时，，．-
0
+
递减
极小值
递增