广西壮族自治区南宁市第二中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

这是一份广西壮族自治区南宁市第二中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题，共15页。试卷主要包含了已知复数，则的虚部为，已知为内一点，且满足，则，已知复数，则下列说法正确的是，在平行四边形中，是的中点，则，的内角的对边分别为，且满足等内容，欢迎下载使用。
一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项）.
1.已知复数，则的虚部为（ ）
A.-1 B.1 C.-2 D.2
2.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
3.在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
4.已知数据的平均数，方差，则的平均数和方差分别为（ ）
A. B.
C. D.
5.设为不重合的两平面，为不重合的两直线，则下列说法正确的是（ ）
A.，且，则
B.，则
C.，则
D.，则与不垂直
6.已知样本空间，事件，事件，事件，则下列选项错误的是（ ）
A.与独立 B.与独立
C.与独立 D.
7冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，若点恰好在边上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知为内一点，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个正确选项，全部逸对得5分，部分选对得2分，有选错或不选得0分）.
9.已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.对应的点在复平面的第三象限
C.为纯虚数
10.在平行四边形中，是的中点，则（ ）
A.
B.
C.
D.在上的投影向量为
11.某校举办了一次法律知识竞赛，为了解学生的法律知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校2400名学生中抽取了一个容量为200的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图.对于该组数据，下列说法正确的是（ ）
A.样本的众数为70
B.样本中得分在区间内的学生人数的频率为0.03
C.用样本数据估计该校学生成绩在80分以上的人数约为600人
D.用样本数据估计该校学生成绩平均数约为71.5
12.如图所示，正四棱台中，，点在四边形内，点是上靠近点的三等分点，则下列说法正确的是（ ）
A.平面
B.该正四棱台的高为
C.若.，则动点的轨迹长度是
D.过点的平面与平面平行，则平面截该正四棱台所得截面多边形的面积为
三､填空题（每小题5分，共20分）.
13.已知向量，若，则__________.
14.是关于的方程的一个根，则实数__________.
15.对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配的分层抽样.已知抽取女生30人，其平均数和方差分别为；抽取男生20人，其平均数和方差分别为，则总样本平均数为__________；总样本的方差为__________.
16.在三棱锥中，平面，设三棱锥外接球体积为，则__________.
四､解答题（共70分，解答应写出文字说明，正明过程或验算步骤）.
17.（10分）的内角的对边分别为，且满足.
（1）证明：为等腰三角形
（2）若，求的面积.
18.（12分）为备战运动会，射击队的甲､乙两位射击运动员开展了队内对抗赛.在对抗赛中两人各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下：
（1）求甲运动员的样本数据第85百分位数；
（2）分别计算这两位运动员射击成绩的平均数和方差；
（3）射击队教练希望利用此次射击成绩为依据，挑选一名运动员参加运动会，请你帮助教练分析两个运动员的成绩，作出判断并说明理由.
注：一组数据的平均数为，它的方差为
19.（12分）如图，在三棱柱中，分别是的中点.求证：
（1）证明：四点共面；直线，直线，直线三线共点
（2）平面平面.
20.（12分）一个不透明的袋中有3个红球，1个白球，球除了颜色外大小､质地均一致.设计了两个摸球游戏，其规则如下表所示
（1）写出游戏1与游戏2的样本空间；求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的.
（2）甲与乙两人玩游戏2，约定每局胜利的人得2分，否则得0分，先得到4分的人获得比赛胜利，则游戏结束.每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率.
21.（12分）四棱锥中，平面，四边形为菱形，为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求与平面所成的角的正切值；
（3）求钝二面角的余弦值.
22.（12分）在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）点是上的一点，，且，求周长的最小值.
南宁二中2023-2024学年度下学期高一期末考试
数学试题答案
1.【解析】答案C：，虚部为-2
2.【解析】答案：B.另外三组向量共线
3.【答案】A【详解】正方体中，，所以与所成的角即异面直线与所成的角，因为为正三角形，所以与所成的角为，所以异面直线与所成的角为.
4.【答案】A【详解】因为的平均数是10，方差是10，所以的平均数是，方差是.故选：A.
5.【解析】答案：D
A.缺少条件，错误
B.与夹角不固定，错误
C.可能会出现，错误
D.与不重合，不可能有第二个交点，且与不平行，故与不垂直，正确
6.【解析】答案：D
，即两两独立.但，故D错误，选择D.
7.【答案】C
【解析】由题意，在中，由余弦定理，；因为，所以，在中，由正弦定理，所以，解得，
8.【解析】答案：B
原式化为，即
方法1：原式继续化为，即，延长至点，令，即三点共线，则.
方法2：由奔驰定理，，故
9.【解析】答案：BCD
A.，错误
B.，对应的点在复平面的第三象限，正确
C.，为纯虚数，正确
D.，正确
10.【答案】AC
【详解】
如图，设，则，
对于A项，，故A项正确；
对于B项，由A项可得，，两边取平方，
，则，故B项错误；
对于C项，因，
则，故C项正确；
对于项，在上的投影向量为，故D项错误.
故选：AC.
11.【解析】答案：ACD
A.众数为区间的中点横坐标70，正确
B.，即，频率为0.3
C.样本中成绩在80分以上的频率为，用样本估计总体，总体人数为2400人，其中成绩在80分以上的人数约为，正确
D.样本平均数为，正确
12.【答案】AD
【详解】对于选项，因为，所以，由余弦定理可知，，解得，所以，即，同理可得，又因为平面，所以平面，故正确；对于选项，如图①所示，过点作，垂足为，则四棱台的高为，因为，所以，
所以，故错误；对于选项，由勾股定理得，故点的轨迹为以为圆心，以6为半径的圆在正方形内部的部分，如图②，其中，故，又，
由勾股定理得，由于，所以，故，故动点的轨迹长度是，故C错误；对于D选项，如图①，分别在棱上取点，使得，易得平面平面，所以即为平面截该四棱台所得截面多边形，易知，所以，所以截面多边形的面积为，故D正确，故选：AD.
13.【解析】答案：2或-2
，则，则或-2
14.【解析】答案：10
若一元二次方程存在虚数根，则该方程的两个根为共轭复数，即为该方程的两根，由韦达定理，
15.【解析】答案：54；（小数形式18.2也正确）
设分别为总样本均值和方差，
16.在三棱锥中，平面，设三棱锥外接球体积为，则__________.
【解析】答案：
由于，故.将三棱锥补形为边长分别为的长方体，则其外接球半径，故
17.【详解】（1）因为，由正弦定理，所以
则.
或，
又，所以，
故，即
.为等腰三角形
（2）由，则
，
即
18.【详解】（1）根据题意可知，；
把甲的数据按从小到大排列如下：
因为
所以第9个数据是第85百分位数，
所以第85百分位数为10.
（2）
（3）由（2）知，
（i）因为两名运动员射击成绩的平均数相同，且，则乙的成绩比甲稳定；
（ii）因为两名运动员射击成绩的平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙多，所以，甲爆发力更强.
（iii）乙成绩在平均数上下波动；而甲处于上升势头，从第六次以后就没有比乙少的情况发生，甲更有潜力.确定人选（11分），说出理由（12分），言之有理即可
19.【详解】（1）分别是的中点
是的中位线，
又在三棱柱中，
由平行的传递性，，
四点共面.
设，下证
平面平面
平面平面
平面平面
，即三线共点
（2）分别为的中点，
，
平面平面，
平面，
在三棱柱中，，
，
四边形是平行四边形，，
平面平面，
平面，
平面，
平面平面.
20.【解析】
（1）记三个红球为号，记白球为号，用表示两次摸球的情况，记游戏1与游戏2的样本空间分别为，
记“在游戏1中甲获胜”，记“在游戏2中甲获胜”
，
，
故游戏1是公平的.
（2）记“甲获得第局游戏胜利”，，记"“甲获得比赛胜利”
由（1），
21.【解析】（1）证明：四边形为菱形，，
为等边三角形，，
在中，是中点，，
平面平面，
平面平面，
平面，
平面平面平面.
（2）解：平面斜线在平面内的射影为，
即是与平面所成角的平面角，
平面平面，
在中，，在中，，
平面平面，
在中，，
与平面所成角的正切值为.
（3）作中点，以为原点，为轴，为轴，为轴建系
设分别为平面PCB，平面法向量
，即，即
，即，即
，
则钝二面角的余弦值为
其他建系方法（i）：作中点，以为轴，为轴，为轴建系
平面PCB法向量，平面法向量
其他建系方法（ii）：作中点，以为轴，为轴建系
平面PCB法向量，平面PCE法向量
22.（1）由二倍角公式得，
故由正弦定理得，而，
故，
则；
（2）法1：设，设，则
在中，，即
在中，，即
周长.
令，则
即周长最小值为
法2：由于，则，
在中，；
在中，；
而，故，设，
则，即，
在中，，
即，于是，故，
分别在利用余弦定理得，
两式相减得，
当时，上式恒成立，此时为正三角形，周长为；
当时，，于是，
故，
由于，故当时，取最小值，故周长的最小值为.甲
4
7
6
5
4
9
10
7
8
10
乙
7
5
8
6
7
9
7
6
7
8
游戏1
游戏2
摸球方式
不放回依次摸2球
有放回依次摸2球
获胜规则
若摸出的2球颜色相同，则甲获胜
若摸出的2球颜色不同，则乙获胜
平均数
方差
命中9环及9环以上的次数
甲
7
4.6
3
乙
7
1.2
1