湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024届高考考前冲刺（四）数学试卷

这是一份湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024届高考考前冲刺（四）数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知N是圆O，已知点P为双曲线C，已知等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．集合A=-2,-1,0,2,3,4，B={x|ex-2-1>0}，则A∩B的子集个数为（ ）
A．4B．8C．16D．2
2．已知eiθ=csθ+isinθ，则在下列表达式中表示sinθ的是（ ）
A．eiθ-e-iθ2iB．eiθ+e-iθ2i
C．e-iθ-eiθ2iD．-eiθ+e-iθ2i
3．已知向量a在b的投影向量为-32b，且b=(1,-1)，则a⋅b=（ ）
A．-32B．-3C．-34D．3
4．若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为（ ）
A．1B．2C．4D．6
5．已知N是圆O:x2+y2=9上的动点，点M满足MN=(-3,4)，记M的轨迹为E，则（ ）
A．E是与圆O相切的一条直线B．E是半径为5的圆
C．E上的点到原点O的距离的最大值为8D．E与圆O相切
6．已知函数f(x)=ex+a,xA．(-1,0)B．13,+∞C．(-1,0)∪13,+∞D．-13,0∪(1,+∞)
7．已知点P为双曲线C:x24-y23=1上的任意一点，过点P作双曲线C渐近线的垂线，垂足分别为E，F，则△PEF的面积为（ ）
A．43B．24349C．127D．48349
8．已知:对于任意的正数x,y， z≤2xy，若满足x+y=1，则x2+y2+1xy+5x2+5y2+z2+10xy-3xz-3yz≥k恒成立，那么k的最大值是（ ）
A．6+3B．6+112C．8+3D．8+112
二、多选题（本题共4小题，每小题6分，共18分）
9．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若A>B，则sinA>sinB
B．若sin2A+sin2BC．若AB=3，AC=1，B=30°，则△ABC的面积为34
D．若a=8，c=10，A=45°，则符合条件的△ABC有两个
10．设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，若a3=12，S12>0，S13<0，则下列结论正确的是（ ）
A．数列an是递增数列B．S5=60
C．-24711．如图，矩形ABCD中，AB=2AD=2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE（点A1不落在底面BCDE内），若M在线段A1C上（点M与A1， C不重合），则在△ADE翻转过程中，以下命题正确的是（ ）
A．存在某个位置，使DE⊥A1C
B．存在点M，使得BM⊥平面A1DC成立
C．存在点M，使得MB //平面A1DE成立
D．四棱锥A1-BCDE体积最大值为24
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．x-3x2n的二项展开式中各项系数之和为64，则x2+1xn+3的二项展开式中第七项为 ．
13．已知函数fx=x2,x≤0lnx,x>0,若fx在点1,f1处的切线与点x0,fx0处的切线互相垂直，则x0= ．
14．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点是F，过点F作直线l交椭圆于点A，B，过点F与直线l垂直的射线交椭圆于点P，AB=125PF，且三点A,O,P共线（其中O是坐标原点），则椭圆的离心率为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）已知数列an的前n项和为Sn,a1=2，且Snn为等差数列．
(1)证明：an为等差数列；
(2)若S3=12，数列bn满足b1=6，且bn+1bn=anan+2，求数列bn的前n项和Tn．
16．（15分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=1.
(1)若C=π3,△ABC的周长等于3，求a,b；
(2)若△ABC为锐角三角形，且sinA+C2=sin(A+C)；
①求B；
②求△ABC面积的取值范围.
17．（15分）如图所示，四棱台ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD为一个菱形，且∠BAD=120°. 底面与顶面的对角线交点分别为O，O1. AB=2A1B1=2，BB1=DD1=392，AA1与底面夹角余弦值为3737.
(1)证明：OO1 ⊥平面ABCD；
(2)现将顶面绕OO1旋转θ角，旋转方向为自上而下看的逆时针方向. 此时使得底面与DC1的夹角正弦值为64343，此时求θ的值(θ<90°)；
(3)求旋转后AA1与BB1的夹角余弦值.
18．（17分）为研究儿童性别是否与患某种疾病有关，某儿童医院采用简单随机抽样的方法抽取了66名儿童．其中：男童36人中有18人患病，女童30人中有6人患病．
附：K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d
(1)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为儿童性别与患病有关？
(2)给患病的女童服用某种药物，治愈的概率为p(019．（17分）椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为△A2BF2的外接圆半径为213．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，斜率存在的动直线与椭圆C交于P，Q两点（P、Q位于x轴的两侧）、直线PA1，PA2，QA2，QA1的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1+k4=53k2+k3，求△PQF1面积的取值范围．
衡阳县四中2024届高考考前冲刺卷（四）
数学答案
1．【答案】A
【解析】由题意可得B={x|x>2}，所以A∩B=3,4，共两个元素，
所以其子集的个数为22=4.
故选：A．
2．【答案】A
【解析】因eiθ=csθ+isinθ，则e-iθ=cs(-θ)+isin(-θ)=csθ-isinθ，
对于A，eiθ-e-iθ2i=csθ+isinθ-(csθ-isinθ)2i=2sinθ⋅i2i=sinθ，故A项正确；
对于B， eiθ+e-iθ2i=csθ+isinθ+(csθ-isinθ)2i=2csθ2i=-csθ⋅i，故B项错误；
对于C，e-iθ-eiθ2i=-eiθ-e-iθ2i=-csθ+isinθ-(csθ-isinθ)2i=-2sinθ⋅i2i=-sinθ，故C项错误；
对于D，由B项知，-eiθ+e-iθ2i=csθ⋅i，故D项错误.
故选：A.
3．【答案】B
【解析】因为b=(1,-1)，所以b2=12+(-1)2=2，
a在b的投影向量为a⋅bb2⋅b，所以a⋅bb2⋅b=a⋅b2⋅b=-32⋅b，
即a⋅b2=-32，解得a⋅b=-3.
故选：B.
4．【答案】C
【解析】设扇形的半径为r，圆心角为α，则弧长l=αr=2r，
所以α=2，
扇形的面积S=12αr2=r2=1，解得r=1或r=-1（舍去），
所以l=αr=2，
则该扇形的周长为2r+l=4.
故选：C
5．【答案】C
【解析】A：设M(x,y),N(x0,y0)，则MN=(x0-x,y0-y)，
由MN=(-3,4)，得x0-x=-3y0-y=4，解得x0=x-3y0=y+4，
又点N在圆O上，所以(x-3)2+(y+4)2=9，
即点M的轨迹是以(3,-4)为圆心，3为半径的圆，故A错误；
B：由A的分析知，E是以(3,-4)为圆心，3为半径的圆，故B错误；
C：E上的点到原点O的距离最大值为32+(-4)2+3=8，故C正确；
D：两圆的圆心距为d=(3-0)2+(-4-0)2=5，两圆的半径之和为6，
所以0故选：C
6．【答案】C
【解析】（1）当a<0时，若x因为函数fx=ex+a在-∞,a上单调递增，所以a若x≥a，则fx=x2+2ax=x+a2-a2≥-a2，当且仅当x=-a时取等号，
因为fx不存在最小值，
所以-a2>a，所以-1（2）当a≥0时，若x因为函数fx=ex+a在-∞,a上单调递增，所以a若x≥a，则fx=x2+2ax=x+a2-a2≥fa=3a2，当且仅当x=a时取等号，
因为fx不存在最小值，
所以3a2>a，所以a>13，
所以实数a的取值范围是(-1,0)∪13,+∞，
故选：C.
7．【答案】B
【解析】设点Px0,y0，满足x024-y023=1，即3x02-4y02=12，
又两条渐近线方程分别为y=±32x，即3x±2y=0，故有PE⋅PF=3x0+2y07⋅3x0-2y07=3x02-4y027=127，
设渐近线y=32x的倾斜角为α，则tanα=32，
cs∠EPF=csπ-∠EOF=-cs∠EOF=-cs2α=-1-tan2α1+tan2α=-17，
sin∠EPF=1--172=437，
S△PEF=12|PE|⋅|PF|⋅sin∠EPF=24349.
故选：B
8．【答案】A
【解析】正数x,y，满足x+y=1，则2xy≤x+y=1，
得xy≤12，当且仅当x=y=12时等号成立，可得1xy≥2，
x2+y2+1xy=x2+y2+x+yxy≥2xy+2xyxy=2+2xy≥2+4=6，当且仅当x=y=12时等号成立，
5x2+5y2+z2+10xy-3xz-3yz=5x+y2+z2-3zx+y=z2-3z+5，
又z≤2xy，即z≤1， 由二次函数的性质可知，z=1时，z2-3z+5有最大值3，
则当x=y=12，z=1时，x2+y2+1xy+5x2+5y2+z2+10xy-3xz-3yz最小值为6+3，
由x2+y2+1xy+5x2+5y2+z2+10xy-3xz-3yz≥k恒成立，
所以k的最大值为6+3.
故选：A
9．【答案】ABD
【解析】对于A，当A>B时，a>b，根据正弦定理得sinA>sinB，故A正确；
对于B，因为sin2A+sin2B所以csC=a2+b2-c22ab<0，因为0所以△ABC是钝角三角形，故B正确；
对于C，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB⋅BCcsB，
即1=3+BC2-3BC，解得BC=1或BC=2，
当BC=1时，S△ABC=12AB⋅BCsinB=34，
当BC=2时，S△ABC=12AB⋅BCsinB=32，
所以△ABC的面积为34或32，故C错误；
对于D，由正弦定理得sinC=c⋅sinAa=10×228=528，即22因为c>a，所以C>A，A为锐角，
所以存在满足条件的△ABC有两个，故D正确.
故选：ABD.
10．【答案】BC
【解析】由S12=a1+a12×122=6a1+a12>0，即a1+a12=2a3+7d>0，
即7d>-24，可得d>-247，
由S13=a1+a13×132=132a1+a13<0，即a1+a13=2a3+8d<0，
即8d<-24，可得d<-3，
故-247S5=a1+a5×52=2a3×52=5×12=60，故B正确；
由-2470，
故S6>S5，故D错误.
故选：BC.
11．【答案】CD
【解析】对于A，假设存在某个位置，使DE⊥A1C，取DE 中点O，
连接A1O，CO，显然A1O⊥DE，而A1O∩A1C=A1,A1O,A1C⊂平面A1OC，
∴DE⊥平面A1OC，OC⊂平面A1OC，∴DE⊥OC，则CE=CD，
但CE=2，CD=2，不可能相等，所以不可能有DE⊥A1C，所以A选项错误；
对于B，若存在点M，使得BM⊥平面A1DC成立，
因为CD⊂平面A1DC，所以BM⊥DC，
又因为BC⊥CD且BM∩BC=B，BM,BC⊂平面BCM，所以CD⊥平面BCM，
又因为CM⊂平面BCM，那么CD⊥CM，
又因为A1D对于C，存在M为中点时，符合题意，证明如下：
取CD 中点N，连接MN，BN，∵M 是A1C 的中点，
∴MN//A1D，而MN⊂平面A1DE，DE⊂平面A1DE，∴MN//平面A1DE，
由DN 与EB 平行且相等得DNBE 是平行四边形，BN//DE，BN⊄平面A1DE,DE⊂平面A1DE,
得BN//平面A1DE，而BN∩MN=N，BN,MN⊂平面BMN,
∴平面BMN//平面A1DE，BM⊂平面BMN，∴MB//平面A1DE，所以选项C正确；
对于D，△ADE 是等腰直角三角形，A 到DE 的距离是22，
当平面A1DE⊥平面BCDE 时，A1到平面BCDE 的距离最大为22，
又SBCDE=2×1-12×1×1=32，
∴Vmax=13×32×22=24，所以选项D正确．
故选：CD．
12．【答案】84
【解析】令x=1结合已知，可得x-3x2n的二项展开式中各项系数之和为-2n=64，解得n=6，
所以，二项式x2+1xn+3即为x2+1x9，
其展开式的第七项为T7=C96⋅x23⋅1x6=C93=9×8×73×2×1=84.
故答案为：84.
13．【答案】-12/-0.5
【解析】当x>0时，f'(x)=1x>0，所以f'(1)=1，且点x0,fx0不在y=lnx上，
否则切线不垂直，故x0≤0，
当x<0时，f'(x)=2x，所以f'(x0)=2x0，
由切线垂直可知，2x0×1=-1，解得x0=-12.
故答案为：-12
14．【答案】53/135
【解析】设椭圆的左焦点为F'. 由于A,O,P三点共线，故由椭圆的对称性知OA=OP，而OF=OF'，故四边形AFPF'是平行四边形.
又因为FP⊥FA，，故四边形AFPF'是矩形.
由于四边形AFPF'是矩形，故AF'AB=PFAB=512，BF'=AF'2+AB2=25144AB2+AB2=513AB.
从而可设AF'=5k，AB=12k，BF'=13k，此时30k=AF'+AB+BF'=AF'+AF+BF+BF'=2a+2a=4a.
这得到k=215a，所以AF'=5k=23a，AF=2a-AF'=2a-23a=43a.
最后由AF'2+AF2=F'F2得到23a2+43a2=2c2，即209a2=4c2，故c2a2=59.
从而椭圆的离心率e=ca=c2a2=59=53.
故答案为：53.
15．
【解析】（1）因为Snn为等差数列，设其公差为d，所以Snn=S1+n-1d，
又因为S1=a1=2，所以Sn=2n+nn-1d=n2d+2-dn．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2d-n-12d+2-dn-2-dn-1=2dn+2-2d，
又因为a1=2适合上式，所以an=2dn+2-2d．
所以an+1-an=2dn+1-2dn=2d，所以an为等差数列．
（2）因为S3=12，由（1）知S33=a1+2d=4，得d=1，所以an=2n．
所以bn+1bn=anan+2=2n2n+4=nn+2，
当n≥2时，bn=bnbn-1⋅bn-1bn-2⋯⋯⋅b2b1⋅b1=n-1n+1×n-2n×⋯×13×6=12nn+1，
因为b1=6满足上式，所以bn=12nn+1=121n-1n+1．
所以Tn=121-12+12-13+⋯+1n-1n+1=12×1-1n+1=12nn+1．
16．【答案】(1)a=1,b=1；(2)①B=π3；②38,32
【解析】（1）由余弦定理及已知条件得，a2+b2-ab=4，
又因为△ABC的周长等于3，
所以a+b+c=3，得a+b=2。
联立方程组a2+b2-ab=1a+b=2，
解得a=1,b=1；
（2）①根据题意sinA+C2=sin(A+C)，
得sinA+C2=2sinA+C2⋅csA+C2，
因为00，
所以csA+C2=12，所以A+C2=π3，
所以A+C=2π3，
所以B=π3；
②因为△ABC是锐角三角形，
由①知B=π3,A+B+C=π得到A+C=23π，
故0由正弦定理asinA=csinC，得a=csinAsinC，
又c=1，所以a=sinAsinC，
所以S△ABC=12ac⋅sinB=12⋅sinAsinC⋅32=34⋅sinAsinC
=34⋅sin2π3-CsinC =34⋅sin2π3csC-cs2π3sinCsinC =38⋅1tanC+38，
又因π633，
故38<38⋅1tanC+38<32，
所以38故S△ABC的取值范围是38,32.
17．
【解析】（1）连接OB1，OD1，过点A1作A1E⊥AC于点E，取AO中点F，连接FO1，如图.
由题易得AC=2A1C1=2，BD=2B1D1=23. 所以FO=12.
在四棱台ABCD-A1B1C1D1中易得BD//B1D1，
又因为BB1=DD1且BD≠B1D1，所以四边形BDD1B1为等腰梯形.
因为O，O1分别是BD和B1D1的中点，所以OO1⊥BD，
又因为BB1=DD1=392，易得等腰梯形BDD1B1的高OO1=3.
因为在菱形ABCD中AC⊥BD，且AC，OO1⊂面ACC1A1，AC∩OO1=O，
所以BD⊥面ACC1A1，又因为A1E⊂面ACC1A1，
所以A1E⊥BD，又因为A1E⊥AC，且AC，BD⊂面ABCD，AC∩BD=O，
所以A1E⊥面ABCD，因此∠A1AE即AA1与底面夹角.
由题易得A1O1∥AO，且A1O1=AF，所以四边形AA1O1F为平行四边形，所以AA1∥O1F.
则cs∠A1AE=cs∠O1FO=3737，
在△O1FO中由余弦定理可得cs∠O1FO=FO2+FO12-OO122FO⋅FO1=3737，解得FO1=372.
所以FO2+OO12=FO12，由勾股定理得OO1⊥AC.
又因为OO1⊥BD，且AC，BD⊂面ABCD，AC∩BD=O，
所以OO1 ⊥平面ABCD.
（2）因为AC⊥BD，
所以O为原点，OA，OB，OO1方向分别为x，y，z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.
易得平面ABCD的一个法向量n=0,0,1，

旋转前坐标分别为：A1,0,0，A112,0,3，B0,3,0，B10,32,3，D0,-3,0，C1-12,0,3.
点C1旋转的过程俯视如图：
因为在旋转过程中O1C1=12不变，且点C1所在终边对应的角大小为π，逆时针旋转θ角后点C1坐标为12csπ+θ,12sinπ+θ,3，即C1-12csθ,-12sinθ,3，所以DC1=-12csθ,3-12sinθ,3
所以底面与DC1的夹角正弦值为sinθ1=DC1⋅nDC1⋅n=314cs2θ+3-12sinθ2+9=64343,
解得sinθ=32，又因为θ<90°，所以θ=60°.
（3）由第二问可得，因为点A1所在终边对应的角为0，所以旋转后点A112csθ,12sinθ,3，即A114,34,3；
同理因为点B1所在终边对应的角为π2，所以旋转后点B132csπ2+θ,32sinπ2+θ,3，即B1-34,34,3.
所以AA1=-34,34,3，BB1=-34,-334,3，
因此旋转后AA1与BB1的夹角余弦值为csθ2=AA1⋅BB1AA1⋅BB1=9394×454=419565.
18．
【解析】（1）根据所给数据进行整理，得到如下2×2列联表，
根据列联表中的数据，经计算得到K2=66×(24×18-6×18)224×42×30×36≈6.36<6.635，
所以没有99%得把握认为儿童性别与患病有关；
（2）解法一：依题意可得f(p)=C63p3(1-p)3=20p3(1-p)3（0则f'(p)=60p2(1-p)2(1-2p)，
当00，fp在区间0,12上单调递增；
当12故fp在p0=12处取得最大值，最大值为f12=516．
解法二：因为f(p)=C63p3(1-p)3=20p3(1-p)3
=20[p(1-p)]3=20-p-122+143≤20×143=516，
当且仅当p=12时，f(p)有最大值516，
即fp在p0=12处取得最大值，最大值为f12=516.
19．【答案】(1)x24+y23=1；(2)0,358
【解析】（1）椭圆的离心率e=12，∴ca=12，∴a=2c，b=3c，
在直角△BF2O中，|BF2|=a=2c，|OF2|=c，
∴∠OF2B=60°，在△A1BF2中，∠BF2A2=120°，|A2B|=a2+b2，
设R为△A2BF2，的外接圆半径，
则由正弦定理得|A2B|sin120°=2R=2213，
∴a2+b2=7，∴4c2+3c2=7，∴c=1,a=2,b=3，
∴椭圆的方程为x24+y23=1；
（2）PQ的斜率存在，且PQ与x轴的交点在椭圆内，显然PQ的斜率不为零，
设PQ：y=kx+m，-2得3+4k2x2+8k2mx+4k2m2-12=0，
∵-20，设P(x1,y1),Q(x2,y2)，
∴x1+x2=-8k2m3+4k2，x1⋅x2=4k2m2-123+4k2，
由题意得k1⋅k2=y1x1+2⋅y1x1-2=y12x12-4=-34，同理可得k3⋅k4=-34，
又∵k1+k1=53k2+k1，∴-34k2-34k3=53k2+k1，∴-34⋅k2+k3k1⋅k3=53k2+k3，
∵PQ与x轴不垂直，∴k2+k1≠0，∴k2⋅k3=-920∴y1x1-2⋅y2x2-2=-920，
∴k(x1+m)⋅k(x2+m)(x1-2)⋅(x2-2)=-920，∴k2x1x2+m(x1+x2)+m2x1x2-2(x1+x2)+4=-920，
即∴k24k2m2-123+4k2+m-8k2m3+4k2+m24k2m2-123+4k2-2-8k2m3+4k2+4=-920，
整理可得-20k2(3m2-12)=9(4k2m2+16k2m+16k2)，
∴2m2+3m-2=0，-2即直线PQ与x轴的交点为M(-12,0)，|F1M|=12，
∴△PQF1的面积S=12⋅|F1M|⋅|y1-y2|=14⋅kx1+k2-kx2-k2=14⋅kx1-x2，
∴S2=k216⋅(x1+x2)2-4x1x2=k216⋅16k4(3+4k)2-4(k2-12)3+4k2
=94⋅5k4+4k2(3+4k)2=45641-7k410+916k4+3k22+916<4564，
∴0PK2≥k0
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
是否患病
合计
是
否
男
女
合计
性别
是否患病
合计
是
否
男
18
18
36
女
6
24
30
合计
24
42
66