陕西省西北工业大学附属中学2024届高三第14次高考适应性训练文科数学试题

这是一份陕西省西北工业大学附属中学2024届高三第14次高考适应性训练文科数学试题，共13页。试卷主要包含了满足且的集合的个数为，已知,若为纯虚数,则，在中,“是钝角”是“”的，已知,则等内容，欢迎下载使用。

1.满足且的集合的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
2.已知,若为纯虚数,则（ ）
A.B.2C.1D.
3.在中,“是钝角”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要
4.已知实数x,y满足不等式组,则的最大值是（ ）
A.8B.12C.D.14
5.甲、乙两个跑步爱好者利用微信运动记录了去年下半年每个月的跑步里程(单位:公里),现将两人的数据绘制成如图所示的折线图,则下列结论中错误的是（ ）
A.甲跑步里程的极差等于110B.乙跑步里程的中位数是273
C.分别记甲、乙下半年每月跑步里程的平均数为,则
D.分别记甲乙下半年每月跑步里程的标准差为,则
6.执行如图所示的程序框图,如果输入的,则输出的（ ）
A.-3B.3C.-4D.4
7.已知,则（ ）
A.B.C.D.
8.三人被邀请参加一个晚会,若晚会必须有人去,去几人自行决定,则恰有一人参加晚会的概率为（ ）
A.B.C.D.
9.设,直线与直线相交于点,点是圆上的一个动点,则|PQ|的最小值为（ ）.
A.B.C.D.
10.在三棱锥中,底面,底面ABC是边长为的正三角形,为AC的中点,球是三棱锥的外接球.若是球上一点,则三棱锥的体积的最大值是（ ）
A.2B.C.D.
11.已知函数,将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象,若在上恰有一个极值点,则的取值不可能是（ ）
A.1B.3C.5D.7
12.已知分别是双曲线的左、右焦点,过作双曲线的渐近线的垂线,垂足为,且与双曲线的左支交于点,若(为坐标原点),则双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.D.
二.填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）
13.已知向量的夹角为,若,则_____________.
14.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为_____________.
15.已知数列为各项均不相等的等比数列,其前项和为,且成等差数列,则_____________.
16.已知椭圆的左、右焦点分别为,点是椭圆上一点,若的内心为,连接PM并延长交轴于点,且_____________.
三.解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(本小题12分)在中,角所对的边分别为已知.
(I)求角的大小;
(II)设M,N分别为BC,AC的中点,AM与BN交于点,若,求的值.
18.(本小题12分)第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行,此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情.某滑雪场在冬奥会期间开业,下表统计了该滑雪场开业第天的滑雪人数(单位:百人)的数据.
(I)根据第1至7天的数据分析,可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明（保留两位有效数字);
(II)经过测算,若一天中滑雪人数超过3000人时,当天滑雪场可实现盈利,请建立关于的回归方程,并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.
附注:参考公式:.
参考公式:①对于一组数据,其相关系数;
②对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
19.(本小题12分)如图,四棱锥,侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面垂直,底面ABCD是的菱形,为棱PC上的动点且.
(I)求证:为直角三角形;
(II)试确定的值,使得三棱锥的体积为.
20.(本小题12分)已知函数,若的最小值为0,
(I)求的值;
(II)若,证明:存在唯一的极大值点,且.
21.(本小题12分)已知抛物线的焦点为为抛物线上一点,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)若以点为圆心,|PF|为半径的圆与的准线交于A,B两点,过A,B分别作准线的垂线交抛物线于D,E两点,若,证明直线DE过定点.
请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数).在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(I)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;
(II)设点,若直线与曲线交于A,B两点,求三角形POA和三角形POB面积的乘积.
23.(本小题10分)[选修4-5:不等式选讲]
已知函数.
(I)求不等式的解集;
(II)设若求证
高2024届第14次高考适应性训练
文科数学试题
一.选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.【答案】B
【解析】由可得:.又因为,所以或.故选:B
2.【答案】C
【解析】,
若为纯虚数,则,即.则.故选:C.
3.【答案】C
【解析】由于,两边平方得,且图形为三角形,故是钝角；反之也成立。故选:C.
4.【答案】D
【解析】画出不等式组的平面区域,。过区域内的点作斜率为-2的直线,当直线过点时,直线在轴上的截距最大,所以时,取最大值,最大值为14,故选:D.
5.【答案】C
6.【答案】A
【解析】当输入的时,
;
;
;
;
;
;
,输出.
故选:A.
7.【答案】B
【解析】因为,所以,解得或(舍去),所以.故选:B.
8.【答案】B
【解析】设三人为,则参加晚会的情况有,共7种情况,其中恰有一人参加晚会的情况有3种,故所求的概率为,故选:B.
9.【答案】A
【解析】由题意得:,
恒过定点恒过定点,又,
点轨迹是以MN为直径的圆,即为圆心,为半径的圆,
点轨迹为,
圆与圆的圆心距,
两圆相离，的最小值是两圆圆心距减去两圆半径之和,即.故选:A.
10.【答案】
【解析】因为为等边三角形,为AC的中点,所以,即为直角三角形,设AB的中点为,则的外接圆的直径为AB,圆心为,半径为,设三棱锥的外接球的半径为,球心为,则,解得,又平面平面ABC,所以,所以的外接圆是以PM为直径的圆,设PM的中点为,则,所以,即到平面PAC的距离为,所以到平面PAC的距离最大值为,又,所以;故选:C
11.【答案】A
【解答】因为，又因为将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象,所以,当时,,又因为在上恰有一个极值点,所以,解得,故选:A.
12.【答案】B
【解析】因为是的中点,所以为的中点.
因为,所以点到渐近线的距离,又,所以.连接,易知,则由双曲线的定义可知.在中,由余弦定理,得,整理,得,所以双曲线的离心率为,故选:B.
二.填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上)
13.【答案】4
【解析】由知,得
14.【答案】
【解析】由题意知,该几何体是一个半圆锥,其底面半径为1,高为1,母线长为,则该几何体的表面积为.
15.【答案】
【解析】设数列公比为,则,成等差数列,,即,解得,
16.【答案】
【解析】如图,连接,在和中,
利用角平分线定理可得,由等比定理可得,从而.
三.解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.【解析】(I)在中,由余弦定理可得,
代入中,化简可得,,…………………………2分
由正弦定理可得:,得,
为的内角,故.……………………………………………………………………5分
(II)由和,根据余弦定理得,
故,易知.…………………………………………………………………7分
由M,N分别为BC,AC的中点可得,,…………………………………………9分
在中,,易知…………10分
故…………………………12分
18.解：（I）因为,………………………………………………………………………2分
所以………………………………4分
所以,
因为样本相关系数|r|接近于1,………………………………………………………………………6分
所以可以推断和这两个变量线性相关，且相关程度很强.
(II)因为,…………………………8分
所以,因为,
所以回归方程为,………………………………………………………………………………10分
因为一天中滑雪人数超过3000人时,当天滑雪场可实现盈利,即时,可实现盈利,解得,
所以根据回归方程预测,该滑雪场开业的第11天开始盈利.………………………………………………12分
19.【解析】(I)取AD中点,连结依题意可知均为正三角形，所以.………………………………………………………………………………………2分
又因为平面平面POC,所以平面分
又平面POC,所以分
因为,所以,
即,从而为直角三角形分
(II)由(I)可知,又平面平面ABCD,平面平面,平面PAD,所以平面分
分
由,则分
20.【解析】(I)分
当时,递减,则没有最小值,分
当,得分
(II)证明:由(1)知,分
令,
则在递减,递增分
,则在存在唯一的使得,在存在唯一的零点,所以在递增,在递减,在递增,即是唯一的极大值点,分
,由知,,
因为,则分
21.【解析】(I)因为为抛物线上一点,且,所以到抛物线的准线的距离为2.
则,分
则，所以,故抛物线的方程为分
(II)证明:由(1)知,则圆的方程为.
设,将与圆的方程联立,可得,
则分
当时,,不妨令,
则,此时;
当时,直线DE的斜率为,
则直线DE的方程为,
即,分
即,令且,得,直线过点;
综上,直线DE过定点分
请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.【解析】(I)由（为参数）,消去参数可得,
故曲线的普通方程为分
由,可得,
即,将代入上式,可得,
故直线的直角坐标方程为分
(II)由(I)可知,点在直线上,可设直线的参数方程为
（为参数）.……………………………………………………………………………7分
代入化简得分
设A,B两点对应的参数分别为,则,分
由题意可得.又点到直线的距离为,
所以分
23.【解析】(I)可化为,即.
当时,,解得;分
当时,,无解;分
当时,,解得分
综上可得或分
故不等式的解集为分
(II)因为,所以,
即分
因为,分
当且仅当,即时取等号分
所以,即分天数代码
1
2
3
4
5
6
7
滑雪人数(百人)
11
13
16
15
20
21
23