辽宁省沈阳市第二中学2024届高三第五次模拟考试数学试题

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2.【答案】D 【解答】解：对于①，{0}不是空集，空集中无任何元素，故①错，
对于②，若a∈N，当a=0是，−a∈N，故②错，
对于③，集合{x∈R|x2−2x+1=0}={1}，只有一个元素，故③错，
对于④，集合{x∈Q|6x∈N}是无限集，故④错，故选：D．
3.【答案】D【解答】：因为 x>1 ，所以 x−1>0 ，
所以 x+1x−1= x−1+1x−1+1≥2+1=3 ，当且仅当 x=2 时取等号，
故 x+1x−1 的最小值为3．因为当 x>1 时，不等式 x+1x−1≥a 恒成立，所以 a≤3 ．故选：D．
4.【答案】C 【解答】解：Ck0⋅Cnm+Ck1⋅Cnm−1+Ck2⋅Cnm−2+…+Ckk⋅Cnm−k表示：
从装有n个白球，k个黑球的袋子里，
取出m个球的所有情况取法总数的和，
故答案应为：从装有n+k球中取出m个球的不同取法数Cn+km，
故选：C．
5.【答案】A 【解答】解：∵x3+2x2+3x+4=(x−x1)(x−x2)(x−x3)
=x3−(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x−x1x2x3，
由对应项系数相等知：x1+x2+x3=−2，x1x2+x1x3+x2x3=3，
∴x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)=4−6=−2．
故选A．
6.【答案】C
7.【答案】B 【解答】解：设公切线与函数f(x)=aex及函数g(x)=lnx+1的切点分别为(m,aem)，(n,lnn+1)．
且f'(m)=aem，g'(n)=1n故两切线方程为y−aem=aem(x−m)，y−(lnn+1)=1n(x−n)，
即y=aemx+(−m+1)aem，y=1nx+lnn，f(x)与g(x)存在公切线，
所以aem=1n −m+1aem=lnn有解，消去m后得：lna=(n−1)lnn−1，
令hℎℎ ℎℎℎℎℎℎ(x)=(x−1)lnx−1，ℎℎ'(x)=lnx−1x+1，
x∈(0,1 )时，h'(x)